! 2 . 1 . ) 1 ) . . 2 0 . . 0 ! ....

1

02 Προτασιακός Λογισμός

Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020

Module #1 - Logic

06-Feb-20 1 1

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το

University of Aberdeen

Πέμπτη, 06/02/2020

Αντώνης Α. Αργυρόςe-mail: [email protected]

Module #1 - Logic

06-Feb-20 2 2

Προηγούμενη φορά…

• Διαδικαστικά θέματα ΗΥ118• Εισαγωγή στα Διακριτά Μαθηματικά• Εισαγωγή στο ΗΥ118• Επισκόπηση ερευνητικών ενδιαφερόντων

• Θυμίζω:– http://users.ics.forth.gr/~argyros/cs118.html– http://users.ics.forth.gr/~argyros/cs118diary.html– Username: cs118– Password: !dm20!

Module #1 - Logic

06-Feb-20 3 3

Προτασιακός Λογισμός

Module #1 - Logic

06-Feb-20 4 4

Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής

Η Μαθηματική Λογική είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά να χειριστούμε σύνθετες προτάσεις.

Περιλαμβάνει:– Μία τυπική γλώσσα για να τις εκφράζουμε.– Μία μεθοδολογία για να αποφασίζουμε σχετικά με το

αν είναι αληθείς ή ψευδείς.

Αποτελεί το θεμέλιο της έκφρασης τυπικών αποδείξεων σε όλους τους κλάδους των

μαθηματικών!

2



Module #1 - Logic

06-Feb-20 5 5

Θα μιλήσουμε για δύο συστήματα λογικής:

1. Προτασιακός λογισμός

2. Κατηγορηματικός λογισμός– (επεκτείνει τον 1. )

Πολλοί άλλοι “λογισμοί” υπάρχουν, αλλά μοιάζουν με τους δύο παραπάνω

Module #1 - Logic

06-Feb-20 6 6

Προτασιακός λογισμός

Ο Προτασιακός λογισμός είναι η λογική των σύνθετων προτάσεων οι οποίες δημιουργούνται από απλούστερες, χρησιμοποιώντας λογικές πράξεις.Μερικές άμεσες εφαρμογές στους υπολογιστές:

• Σχεδιασμός ψηφιακών κυκλωμάτων.• Έκφραση συνθηκών σε προγράμματα.• Ερωτήσεις σε βάσεις δεδομένων και μηχανές

αναζήτησης.• …

George Boole(1815-1864)

Χρύσιππος(280 – 206 π.Χ.)

Module #1 - Logic

06-Feb-20 7 7

Προτάσεις

Μία πρόταση είναι απλά μία δήλωση με κάποια οριστική σημασία και η οποία μπορεί να είναιείτε αληθής (T) είτε ψευδής (F)

– Δεν είναι ποτέ και τα δύο, ούτε κάπου “ανάμεσα”

– Ωστόσο, η τιμή αληθείας της δεν είναι απαραίτητο να μας είναι γνωστή…

Module #1 - Logic

06-Feb-20 8 8

Παραδείγματα προτάσεων

• “Μου αρέσει η rock μουσική”

• “Ο γάιδαρος πετάει”

• “Εχθές έβρεξε στη Νέα Υόρκη”

• “Η Αθήνα είναι η πρωτεύουσα της Ελλάδας, και 1 + 4 = 2.7”

• “2x2 = x2 + x2”

Αλλά οι ακόλουθες ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ προτάσεις:• “Ποιός είναι εκεί;” (ερωτηματική)

• “Φέρε μου ένα ποτήρι νερό” (προστακτική)

• “x := x+1” (προστακτική)

• “1 + 2” (ένας αριθμητικός όρος)

3



Module #1 - Logic

06-Feb-20 9 9

Προτάσεις στον προτασιακό λογισμό

• Ατομικές: πχ, p = “Ονομάζομαι Αντώνης Αργυρός”

• Σύνθετες: χτίζονται από τις ατομικέςπροτάσεις χρησιμοποιώντας λογικούς τελεστές(π.χ., “Ονομάζομαι Αντώνης Αργυρός ΚΑΙείμαι πενήντα δύο ετών”)

Module #1 - Logic

06-Feb-20 10 10

Προτάσεις στον προτασιακό λογισμό

• Η λογική προσφέρει ορισμούς γι’ αυτούς τους τελεστές

• Επομένως, καθορίζει το νόημα των σύνθετων προτάσεων που δημιουργούνται με τη χρήση των τελεστών.

Module #1 - Logic

06-Feb-20 11 11

Ένας τελεστής συνδυάζει n το πλήθος εκφράσεις σε μία μεγαλύτερη έκφραση– π.χ., “+” στις αριθμητικές εκφράσεις

• Οι μοναδιαίοι τελεστές έχουν 1 όρισμα (π.χ., −3)

• Οι δυαδικοί τελεστές έχουν 2 ορίσματα (π.χ., 3+4)

• …

• Οι προτασιακοί τελεστές (Boolean operators) συνδέουν ένα πλήθος λογικών προτάσεων και όχι αριθμητικές εκφράσεις.

Τελεστές

Module #1 - Logic

06-Feb-20 12 12

Μερικοί προτασιακοί τελεστές

Ονομα Συντομ. Τύπος Σύμβολο

Άρνηση NOT Μον. ¬

Σύζευξη (ΚΑΙ) AND Δυαδ.

Διάζευξη (Ή) OR Δυαδ.

Αποκλειστική διάζευξη XOR Δυαδ.

«αν... τότε...» IMPLIES Δυαδ.

«αν και μόνο αν» IFF Δυαδ. ↔

4



Module #1 - Logic

06-Feb-20 13 13

Λογική άρνηση

Ο μοναδιαίος τελεστής άρνησης “¬” (NOT) μετασχηματίζει μία πρόταση στην άρνησή της.

Π.χ. Εάν p = “Είμαι κοντός.”

τότε ¬p = “Δεν είμαι κοντός.”

Ο πίνακας αληθείας για την NOT: p p T F F T

T :≡ True; F :≡ False“:≡” σημαίνει “ορίζεται ως”

Όρισμα Αποτέλεσμα

Module #1 - Logic

06-Feb-20 14 14

Λογική σύζευξη

Ο δυαδικός τελεστής σύζευξης “” (AND)

Π.χ. Έστω

p=“Έφαγα μπριζόλα για μεσημεριανό.”

q=“Έφαγα σαλάτα για βραδυνό”

Τότε

pq=“Έφαγα μπριζόλα για μεσημεριανό και έφαγα σαλάτα για βραδυνό.”

Module #1 - Logic

06-Feb-20 15 15

Ορισμός της λογικής σύζευξηςμέσω πίνακα αληθείας

p q pqF F FF T FT F FT T T

Στήλες ορισμάτων Αποτέλεσμα

Module #1 - Logic

06-Feb-20 16 16

Λογική διάζευξη

Ο δυαδικός τελεστής διάζευξης “” (OR).

p=“Το αυτοκίνητό μου έχει χαλασμένη μηχανή.”

q=“Το αυτοκίνητό μου δεν έχει βενζίνη.”

pq=“Το αυτοκίνητό μου έχει χαλασμένη μηχανή ή το αυτοκίνητό μου δεν έχει βενζίνη.”

Εννοώντας “και/ή” στα ελληνικά.

5



Module #1 - Logic

06-Feb-20 17 17

• Η pq εννοεί ότιη p είναι αληθής, ή η q είναι αληθής ή και τα δύο.

• Οι τελεστές ¬ και μαζί, είναι ικανοί να εκφράσουν κάθε πίνακα αληθείας

Πίνακας αλήθειας της διάζευξης

p q pqF F FF T TT F TT T T

Διαφοράμε τηνAND

Module #1 - Logic

06-Feb-20 18 18

Μερικές βασικές ιδέες:

• Διαφορετικοί τύποι προτάσεων

• Συνειδητοποίηση ότι κάποιες προτάσεις έχουν διαφορετική εμφάνιση αλλά εκφράζουν την ίδια πληροφορία

Module #1 - Logic

06-Feb-20 19 19

Ταυτολογίες

Μία ταυτολογία είναι μία σύνθετη πρόταση η οποία είναι αληθής ανεξάρτητα από τις τιμές αληθείας των ατομικών προτάσεων.

Π.χ. p (p)

Ποιός είναι ο πίνακας αληθείας;

Module #1 - Logic

06-Feb-20 20 20

Ταυτολογίες

• p (p)

• Κάθε γραμμή του πίνακα αληθείας δίνει T.

p p p(p) F T T T F T

6



Module #1 - Logic

06-Feb-20 21 21

Αντιφάσεις

Μία αντίφαση είναι μία σύνθετη πρότασηπου είναι ψευδής ανεξάρτητα από τις τιμές αληθείας των ατομικών προτάσεων.

Π.χ., p (p)

Ποιός είναι ο πίνακας αληθείας;

Module #1 - Logic

06-Feb-20 22 22

Αντιφάσεις

• p (p)

• Κάθε γραμμή του πίνακα αληθείας δίνει F

p p p(p) F T F T F F

Module #1 - Logic

06-Feb-20 23 23

Τι απομένει πέραν τωνταυτολογιών και των αντιφάσεων

Προφανώς, υπάρχουν προτάσεις που δεν είναι ούτε ταυτολογίες ούτε αντιφάσεις…

...κάποιες γραμμές του πίνακα αληθείας δίνουν T, άλλες δίνουν F

Module #1 - Logic

06-Feb-20 24 24

Λογική ισοδυναμία προτάσεων

Δύο συντακτικά διαφορετικές σύνθετες προτάσεις μπορεί να είναι σημασιολογικάταυτόσημες (δηλ., να έχουν το ίδιο νόημα). Τέτοιες προτάσεις τις ονομάζουμε λογικά ισοδύναμες.

7



Module #1 - Logic

06-Feb-20 25 25

Λογική ισοδυναμία προτάσεων

Δύο σύνθετες προτάσεις p και q είναι λογικά ισοδύναμες, και το συμβολίζουμε με p q:

• Αν και μόνο αν οποιαδήποτε εκχώρηση τιμών στις επιμέρους προτάσεις που απαρτίζουν τις p και qκαταλήγει σε ταυτολογία …

• …δηλαδή αν και μόνο αν οι p και q έχουν τις ίδιες τιμές αληθείας σε όλες τις γραμμές των πινάκων αληθείας τους

Module #1 - Logic

06-Feb-20 26 26

Π.χ.: Αποδείξτε ότι pq(p q).

p q ppqq pp qq pp qq ((pp qq)) F F F T T F T T

Απόδειξη ισοδυναμίας μέσω των πινάκων αληθείας

FT

TT

T

T

T

TTT

FF

F

F

FFF

F

TT

Module #1 - Logic

06-Feb-20 27 27

Η λογική ως «στενογραφία» της φυσικής γλώσσας

Έστωp = “Είμαι έξυπνος”, q = “Είμαι καλός”,r = “Είμαι όμορφος”

¬p = r ¬p = ¬ r p q =

“Δεν είμαι έξυπνος.”

“Είμαι όμορφος και δεν είμαι έξυπνος.”

“Δεν είμαι όμορφος, ή είμαι καλός, ή είμαι έξυπνος

Module #1 - Logic

06-Feb-20 28 28

«Φωλιασμένες» λογικές προτάσεις

Χρήση παρενθέσεων για την ομαδοποήσηυποεκφράσεωνΠχ, έστω η πρόταση p q r• “Έίμαι έξυπνος και είμαι καλός ή είμαι όμορφος”

p q r• Η πρόταση p (q r) σημαίνει:

– Είμαι έξυπνος,....... και είμαι καλός ή όμορφος

• Η πρόταση (p q) r σημαίνει:

– Είμαι έξυπνος και καλός, ....... ή είμαι όμορφος

• Οι παραπάνω δύο προτάσεις έχουν διαφορετικό νόημα!• Επομένως, η p q r είναι διφορούμενη!

8



Module #1 - Logic

06-Feb-20 29 29

p q r p(q r) (pq) rF F FF F TF T FF T TT F FT F TT T FT T T

p(qr) σε σχέση με την (pq)r

Module #1 - Logic

06-Feb-20 30 30

p q r p(q r) (pq) rF F F F FF F T F TF T F F FF T T F T T F F F FT F T T TT T F T TT T T T T

p(qr) σε σχέση με την (pq)r

Module #1 - Logic

06-Feb-20 31 31

Συμβάσεις σε σχέση με την προτεραιότητα των τελεστών

– Κατά σύμβαση, ο τελεστής “¬” έχει προτεραιότητα έναντι των τελεστών “” και “”.– Η ¬f g σημαίνει (¬f)g , και όχι ¬ (f g)

– Κατά σύμβαση, ο τελεστής “” έχει προτεραιότητα έναντι του τελεστή “”.– Η f gh σημαίνει (fg)h, και όχι f(gh)

– Όπου χρειάζεται να επιβάλουμε την προτεραιότητα που επιθυμούμε, το κάνουμε χρησιμοποιώντας παρενθέσεις

Module #1 - Logic

• Μπορούμε να γράψουμε p1 p2 p3 χωρίς ασάφεια;

06-Feb-20 32 32

Ερώτημα

9



Module #1 - Logic

06-Feb-20 33 33

Απάντηση

• Εάν οι προτάσεις (p1 p2 ) p3 και p1 (p2 p3 ) είναι ισοδύναμες, τότε ναι!

• Πρέπει δηλαδή να δούμε κατά πόσον ισχύει(p1 p2 ) p3 p1 (p2 p3 )

• Πως μπορούμε να το αποδείξουμε αυτό;

Module #1 - Logic

06-Feb-20 34 34

p1 p2 p3 (p1p2) (p1p2)p3 (p2p3) p1 (p2p3 )F F F F F F FF F T F F F FF T F F F F FF T T F F T FT F F F F F FT F T F F F FT T F T F F FT T T T T T T

Μπορούμε να γράψουμε p1 p2 p3

χωρίς ασάφεια;;;

Module #1 - Logic

• Ισχύει ότι (p1 p2 ) p3 = p1 ( p2 p3 );

• … Η ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΕΚΦΡΑΣΗ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΝΟΗΜΑ (δεν έχουμε ορίσει την ισότηταπροτάσεων μόνο τη λογική ισοδυναμία! )

• Αυτό που όντως ισχύει είναι ότι (p1 p2 ) p3 p1 ( p2 p3 )

06-Feb-20 35 35

Ερώτημα

Module #1 - Logic

06-Feb-20 36 36

1. Θεωρείστε τη σύζευξηp1 p2 … pn, n το πλήθος προτάσεων.Πόσες γραμμές έχει ο πίνακας αληθείας της;

2x2x2x … x2 (n παράγοντες)Επομένως, το πλήθος των γραμμών του πίνακα αληθείας είναι 2n όπου n το πλήθος των προτάσεων

Ερώτημα

10



Module #1 - Logic

06-Feb-20 37 37

Ας εισάγουμε κάποιους ακόμα τελεστές

• Αποκλειστική διάζευξη (XOR, σύμβολο )

• «εάν ... τότε» (IMPLIES, σύμβολο )

• «αν και μόνο αν» (IFF, σύμβολο )

Module #1 - Logic

06-Feb-20 38 38

Η αποκλειστική διάζευξη

Δυαδικός τελεστής αποκλειστικής διάζευξης“” (XOR).

p = “Θα πάρω 10 σε αυτό το μάθημα”

q = “Θα παρατήσω αυτό το μάθημα”

p q = “Ή θα πάρω 10 σε αυτό το μάθημα ή θα παρατήσω αυτό το μάθημα”

(...αλλά όχι και τα δύο!)

Module #1 - Logic

06-Feb-20 39 39

• Η pq είναι αληθής όποτε μόνο μία από τις p, q είναι αληθής, αλλά όχι και οι δύο!

• Αποκλειστική διάζευξη,επειδή αποκλείει το ενδεχόμενο και η p και η q να είναι ταυτόχρονα αληθείς.

• Οι τελεστές ¬ και “” μαζί, ΔΕΝ είναι ικανοί να εκφράσουν κάθε πίνακα αληθείας

Πίνακας αληθείας αποκλειστικής διάζευξης

p q pqF F FF T TT F TT T F Διαφορά

από τονOR.

Module #1 - Logic

06-Feb-20 40 40

Το Ελληνικό “ή” μπορεί να είναιδιφορούμενο…

Χρειαζόμαστε τα συμφραζόμενα για γνωρίζουμε εάν προκειται για την OR ή τηνXOR!

Η φυσική γλώσσα είναι διφορούμενη...

p q p "ή" q F F F F T T T F T T T ?

11



Module #1 - Logic

06-Feb-20 41 41

Χρειαζόμαστε τα συμφραζόμενα για γνωρίζουμε εάν σε μία πρόταση το ακριβές νόημα αποδίδεται από την OR ή την XOR!

p = “Μου αρέσουν τα θρίλερ”

q = “Μου αρέσει η επιστημονική φαντασία”

r=“Μου αρέσουν τα θρίλερ ή η επιστημονική φαντασία”

r p q ... ή ... r p q;

Η φυσική γλώσσα είναι διφορούμενη...

Module #1 - Logic

06-Feb-20 42 42

Έλεγχος της κατανόησης των δύο διαζεύξεων

1. Ας υποθέσουμε ότι η p q είναι αληθής.Προκύπτει από αυτό ότι και η pq είναι αληθής;

OXI: δέστε τι συμβαίνει για p=T, q=T

Module #1 - Logic

06-Feb-20 43 43

Έλεγχος της κατανόησης των δύο διαζεύξεων

2. Ας υποθέσουμε ότι η pq είναι αληθής.Προκύπτει από αυτό ότι και η p q είναι

αληθής;

ΝΑΙ: Ελέγξτε τις δύο περιπτώσεις που κάνουν την pq αληθή:a) p=T, q=F (η p q είναι Τ)b) p=F, q=T (η p q είναι Τ)

Module #1 - Logic

06-Feb-20 44 44

Ο τελεστής «εάν...τότε»

Η πρόταση p q σημαίνει “εάν p τότε q”.

Π.χ., .έστω p = “Μελετώ πολύ”q = “Θα πάρω καλό βαθμό.”

p q = “Εάν μελετώ πολύ, τότε θα πάρω καλό βαθμό.”

υπόθεση συμπέρασμα

12



Module #1 - Logic

06-Feb-20 45 45

Πίνακας αληθείας «εάν...τότε»

• Η p q είναι ψευδής μόνο ότανp -αληθής αλλά q – ψευδής

• …με άλλα λόγια η p q είναιψευδής μόνο όταν μία αληθής υπόθεση οδηγεί σε ένα ψευδές συμπέρασμα…Η p q δεν λέει ότι η p είναι η αιτία της q!

• Η p q δεν απαιτεί η p ή η q να είναι αληθής!

• Π.χ.: Η πρόταση “(1=0) ο γάιδαρος πετάει” είναι αληθής!

p q pq F F T F T T T F F T T T

ΤομόνοFalse

Module #1 - Logic

06-Feb-20 46 46

«εάν...τότε» μεταξύ προτάσεων

• “Εάν αυτό το μάθημα είναι το ΗΥ118, τότε ο ήλιος ανέτειλε σήμερα το πρωί.” True ή False;

• “Εάν η Παρασκευή είναι μέρα της εβδομάδας, τότε είμαι πιγκουίνος.” True or False ;

• “Εάν 1+1=6, τότε διδάσκω Διακριτά Μαθηματικά.” True or False ;

• “Εάν το φεγγάρι είναι από τυρί, τότε είμαι πλουσιότερος από τον Bill Gates.” True or False ;

Module #1 - Logic

06-Feb-20 47 47

Γιατί αυτά μοιάζουν «λάθος»;

• Θυμηθείτε “Εάν [μελετώ πολύ] τότε [θα πάρω καλό βαθμό]”

• Στην καθομιλουμένη, υπάρχει μία σχέση αιτίας – αποτελέσματος μεταξύ των δύο προτάσεων. Ο τελεστής όμως, δεν δηλώνει τέτοιου είδους σχέση!

Module #1 - Logic

06-Feb-20 48 48


• Ας υποθεσουμε ότι η qείναι T. Τί ξέρουμε για την αλήθεια τηςpq ;

• Είναι αληθής!


13



Module #1 - Logic

06-Feb-20 49 49


• Ας υποθεσουμε ότι η pείναι F. Τι ξέρουμε για την αλήθεια της pq;

• Είναι αληθής!


Module #1 - Logic

06-Feb-20 50 50

«εάν...τότε»

• Αποδείξτε ότι (pq) (p q)

p q pq p p q F F T T T F T T T T T F F F F T T T F T

Module #1 - Logic

06-Feb-20 51 51

Θυμηθείτε…

• Προηγουμένως είδαμε ότι αν η pq είναι αληθής τότε προκύπτει ότι και η pq είναι αληθής.

• Αυτό μπορούμε να το γράψουμε αυτό ως:

pq pq

• Η παραπάνω πρόταση είναι ταυτολογία: οποιεσδήποτε τιμές αληθείας και να έχουν οι p, q, η σύνθετη πρόταση είναι αληθής

! 2 . 1 . ) 1 ) . . 2 0 . . 0 ! ....

Documents

Transcript of ! 2 . 1 . ) 1 ) . . 2 0 . . 0 ! ....