B.Sc. Matthias Schulte, 175888 06.02.2018

Numerik I – Klausurzettel zum Ersttermin WiSe 17/18

Kapitel 1 – GL LinA

Vektorräume. V VR, dimV < ∞, K ∈ {R, C} .{ϕn}Nn=1 Basis, v ∈ V .Dann v =

∑Nn=1 vnϕn, vn ∈ K, eindeutig.

[v1, . . . , vn]T Koordinatenvektor.

v∗ = [v1, . . . , vn].Skalarprodukt und Orthogonalität.

〈·, ·〉 : V × V → K, 〈v, w〉V :=∑Nn=1 vnwn.

〈v, w〉V = v∗w = w∗v.

v, w ∈ V orth. :⇔ 〈v, w〉V = 0.W UVR von V . v orth. auf W :⇔ 〈v, w〉 =0∀w ∈ W .V ′ := {v1, . . . , vm} ⊂ V orth. :⇔〈vi, vj

〉= 0∀i 6= j,

〈vi, vi

〉6= 0. V ′ ortho-

normal :⇔〈vi, vj

〉= δij .

Lineare Abbildungen.

V,W K-VRe. L(V,W ): Menge der linearen undbeschränkten Abbildungen von V nach W .

{ϕn}Nn=1 Basis von V , {ψm}Mm=1 Basis von

W , A ∈ L(V,W ): ∃!A ∈ M(M,N): Aϕn =∑Mm=1 amnψm∀n.

Spezielle Matrizen I.

A ∈ KM×N . A∗ = [amn] Adjungiert. FürK = R: A∗ = AT (Transponierte).Quadratische Matrizen. (M = N)

A ∈ KN×N invertierbar, falls ∃ A−1 mitAA−1 = A−1A = I. Schreiben A ∈ GLn(K).

• (AB)−1 = B−1A−1

• (A∗)−1 = (A−1)∗

• (AT )−1 = (A−1)T

Spezielle Matrizen II. A ∈ KN×N .

• A hermitesch, falls A = A∗.

• A symmetrisch, falls K = R und A = AT .• A normal, falls A∗A = AA∗.• A unitär, falls A∗A = AA∗ = I.• A orthogonal, falls A unitär und K = R.• A spd, falls A sym. und 〈Av, v〉 >

0∀v ∈ R∗.Spur und Determinante: Wie immer.

Eigenwerte: Nullstellen des char.Pol.

spec(A) Menge aller EWe.Betragsm. gr. EW: Spektralradius ρ.Eigenvektor und Eigenraum wie immer.tr(A) = λ1 + . . . + λn.det(A) = λ1 · . . . λn.Normen. ||·|| : V → R, positiv definit, homo-gen, Dreiecksungleichung.Vektornormen:

||v||p :=(∑N

1 |vn|p)1/p

.

p = ∞: Maximumsnorm.Äquivalenz von Normen: Zwei Normen

äquivalent, falls ∃0 < c < C < ∞:c ||v|| ≤ ||v||′ ≤ C ||v|| ∀v ∈ V .Zug. Matrixnorm: A ∈ KM×N , X = KN ,Y = KM . |||A||| := sup

||x||X=1||Ax||Y .

• SSN:|||A|||1 := maxn=1,...,NM∑m=1

|amn|

• SpN: |||A|||2 =√ρ(A∗A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣A∗ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣2

• ZSN:|||A|||1 := maxm=1,...,MN∑n=1

|amn|

Kapitel 2 – LGS direkt2.1 – Lösbarkeit LGS2.1: Ax = b eind. lösbar, falls detA 6= 0.Verlässlichkeit: Es wird nur dann eine Lsg.

ber., wenn eine ex. (keine Selbstver.)2.2 – Gestaffelte SystemeIdee: Schreibe A = LR mit intendierter Be-

deutung und löse x = (LR)−1b in zwei Schrit-ten: Vorwärts- und Rückwärtssubst. Annah-me: detA 6= 0, also rnn 6= 0 ∀n.Rückwärtssubstitution:

Rx = z: xN = zN/rNN ,xN−1 = (zN−1 −rN−1,NxN )/rN−1,N−1

usw.

Vorwärtssubstitution:

Lz = b: z1 = b1, z2 = b2−l21b1 (b1 = z1)...2.3 – GaußeliminationIdee: wie immer. Durchführbar, falls a11(Pivotel.) nicht Null. Erste Zeile Pivotzeile.Dann: Rekursive Anwendung auf die Restma-trix ⇒ Folge A(k) → R.El.schritt im k-ten Schritt:

Vor.: a(k)kk 6= 0.

lmk = a(k)mk/a

(k)kk , m = k + 1, . . . N.

a(k+1)mn = a

(k)mn − l

(k)mka

(k)kn , m,n=k+1,...,N.

b(k+1)m = b

(k)m − lmkb

(k)k , m=k+1,...,N.

Frobenius-Matrizen:

El.schritt ist Op. auf Zeilen. A(k+1) =

LkA(k), b(k+1) = Lkb(k).

Die Lk sind Frobeniusmatrizen. Hauptdiago-nale 1, Oben 0, Unten 0 außer k-te Spalte.Lk ist invertierbar, die Einträge in der k-tem

Spalte sind die El.einträge und L = L−11 ·. . .·

L−1N−1 mit den zugehörigen Einträgen.

Algorithmus:

1. LR-Zerl. 2. VS 3. RS.Aufwand: N3/3 + O(N2).Speicheraufwand: O(N2).2.4 – Cholesky-Zerlegung

2.5: A ∈ RN×N symmetrisch. ∃!N reelle EWe.∃O orth. mit A = O · diag(λ1, ..., λN ) · O

T .A zus. pos. def.:

A1/2 = O·diag(λ1/21 , ..., λ1/2N )·O

T ebf. spd.

mit A1/2A1/2 = A.

2.6: A ∈ RN× spd. A invertierbar, spec(A) ⊂R+, maxm,n=1,...,N

|amn| = maxn=1,...N

|ann|.

2.7: A ∈ RN×N spd. Dann sind die Restma-trizen bei Gauß-El. wieder spd.

2.8: A ∈ RN×N spd. ∃L,D : lnn = 1∀n,

D > 0, A = LDLT .(Rationale Cholesky-Zerlegung)

2.9: A ∈ RN×N spd. ∃L unt. Dr.mat. mit

A = LLT (Setze L′ = LD1/2 wie vorher.).Rechenaufwand: N3/6 Multiplikationen, NQuadratwurzeln.2.5 – Pivotstrategien2.12:

• Spaltenpivotisierung:k-ter El.schr. Wähle m′ ∈ {k, ..., N},

s.d. a(k)m′k das betr.m. größte El. in

Spalte k von A(k) ist. Vertausche Zei-

le k und m′ und führe El.schritt aus.[O(N2)]

• Zeilenpivotisierung analog.• Vollständige Pivotisierung: Beides

gleichzeitig. [O(N3)]Algorithmus: Gauß mit Spaltenpiv.

Wähle m′ wie oben und vertausche die ent-sprechenden Zeilen. Dann El.schritt.

Permutationsmatrizen: π ∈ ΠN .ZVert. mit PMat. Pπ = [eπ(1), . . . , eπ(n)].

PMen sind orthogonal. Zeilenperm. Op. imBildbereich, Mult. von links. Spaltenperm.Op. im Urbildbereich, Mult. von rechts.2.14: Gauß mit Pivotisierung.

∀A ∈ GLN (R) ∃PMP : PA = LR. P kann sogewählt werden, dass alle El. von L betragsm.kleiner oder gleich 1 sind. Die LR-Z. von PAist eindeutig.Wichtige Bemerkungen:

Gauß+Pivot. = verlässlicher Algo.Lösungsalgo: LR-Z. von PA, dann Lz=Pb(VS), dann Rx=z (RS).P kann als Vektor gespeichert werden.Zeilenpiv.: AP=LR, LRy=b, x=Py.Einfache Det.berechnung möglich.2.6 – Nachiteration

2.15: Ax=b, y∈ RN . r(y):=Ay-b = A(y-x) Re-siduum. r(y)=0 gdw. Ay=b, also y=x.Residuum ist berechenbare Größe.Absoluter Fehler: ∆x0:=x0-x genügt A∆x0 =r(x0). Exakte Lösung: x= x0-∆x0.

Fehlerhafte Korrektur: ∆̂x0 6= ∆x0 bei num.Lsg. x1:=x0-∆̂x0 erster Schritt der Nachite-ration. Wdh. bis zufrieden. Meist nur einmalnötig (Skeel).Kapitel 3 – Numerische FehleranalyseFehlerarten:

Exakt: Daten, Algo, Resultat OK.Gest. Daten: Ex. Algo → Gest. ResultatGest. Real.: Eingabefehler, Ex. Algo, Fehlerim Resultat.3.1 – Zahldarstellung und Rundungsfehler

3.1: x=σabe, σ ∈ {±1}, B Basis (2erpot.),e Exponent, e∈ {α, . . . , β} ⊂ Z, a Mantissemit Mantissenlänge l (a = 0 oder B−1 ≤a Bβdxe : |x| < Bα

Ad F1: Be−1 ≤ |x| ≤ Be, e ∈ {α, ..., β}Relative Rundungsfehler:

Bα ≤ |x| ≤ Bβ(1 − B−l).

Gerichtet:|x−rd(x)||x| ≤ 2eps.

Korrekt:|x−rd(x)||x| ≤ eps.

eps:= B1−l2

, rel. Masch.gen.

Fehlerarten, genau:

• Eingabefehler• Rundungsfehler:

El.op. werden durch Gleitk.op. ersetzt.x◦̂y = rd(x ◦ y).x◦̂y = (x ◦ y)(1 + ε), ε = ε(x, y), |ε| ≤eps für alle Gleitkommazahlen.

• Approximationsfehler: (z.B. Diskretis.)Fehler durch Approx. bis auf Rd.fehler.

• Messfehler: ≈ 10e − 2, 10e − 3.3.2 – Kondition eines Problems

Zentrale Frage: Störung EingabeEx.Alg.→ ???

3.8: Landausche Symbole.

f, g : RN → RM .• f = O(g) für x → x0: ∃C > 0, δ > 0:||f(x)|| ≤ C ||g(x)|| ∀ ||x − x0|| ≤ δ.

• f = O(g) für ||x|| → ∞: ∃C > 0, R >0: ||f(x)|| ≤ C ||g(x)|| ∀ ||x|| ≥ R.

• f = o(g) für x → x0: ∀ε > 0∃δ > 0 :|f(x)| ≤ ε |g(x)| ∀ ||x − x0|| ≤ δ.

• f = o(g) für ||x|| → ∞: ∀ε > 0∃R >0 : |f(x)| ≤ ε |g(x)| ∀ ||x|| ≥ R.

3.9: h, g : RN → RM gleich bzw. kleiner gleichin erster Näherung für x → x0 ( ||x|| → ∞):g(x) = h(x) + o(||h(x)||) bzw. g(x) ≤ h(x) +o(||h(x)||) für x → x0 (||x|| → ∞).Kondition:

• Normweise abs. Kond.: κabs ∈ [0,∞]:||f(x̂) − f(x)|| ≤̇κabs ||x̂ − x|| , x̂ → x.

• Normweise rel. Kondition: κrel ∈ [0,∞]:||f(x̂)−f(x)||||f(x)|| ≤̇κrel

||x̂−x||||x|| , x̂ → x.

• Gut gestellt: Werte < ∞.

• κrel =||x||||f(x)||κabs

Addition und Subtraktion:

Add. zw. Zahlen mit gl. Vorz: gut kond.Subtr. zw. etwa gl. gr. Zahlen: schlecht kond.(Auslöschung führender Ziffern)

Matrixkondition: A invertierbar.

κ(A) =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣A−1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ · |||A|||

Nun: A ∈ RM×N .κ(A) =

max||Ax||min||Ax|| ∈ [0,∞] über ||x|| = 1.

Eigenschaften Kondition:

• κ(A) ≥ 1

• κ(A) = κ(αA)∀α ∈ R∗

• A 6= 0 singulär ⇔ κ(A) = ∞Rel. normweise Kond. im Urbild: (f,x)

||f(x̂)−f(x)||∞||f(x)||∞

≤̇κ̂rel maxj=1,...,n

∣∣∣∣∣x̂j−xj∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣xj

∣∣∣∣∣,

x̂ → x. Dies ist submultiplikativ:κ̂rel(g ◦ h, x) ≤ κ̂rel(g, h(x)) · κrel(h, x).Skeelsche Kondition:

κS(A) :=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣A−1 ∣∣∣∣ · |A| ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∞. (Betragsw.

Matr.) Charakterisiert die komp.weise Kond.für alle mögl. rechten Seiten b mit Störungenin A und b.3.3 – Stabilität eines Algorithmus

Ist das Resultat von (f̂, x) akzeptabel anstelle desResultats von (f, x)?Vorwärtsanalyse: Eingabemenge E. Vergleich

von R=f(E) mit R’=f̂(E).

3.21: f̂ Gleitk.real. zu (f,x) mit κrel und κ̂rel.

Stavilitätsindikator normweise:

Kleinstes σ ≥ 0:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣f̂(x̂)−f(x̂)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

||f(x̂)|| ≤̇σκreleps ∀x̂ ∈E und eps → 0.Stavilitätsindikator komponentenweise:Kleinstes σ̂ ≥ 0:

maxj=1,...,m

∣∣∣∣∣f̂j(x̂)−fj(x̂)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣fj(x̂)

∣∣∣∣∣≤̇σ̂κ̂releps ∀x̂ ∈ E

und eps → 0.f̂ stabil im Sinne der Vorw.an., falls σ/σ̂kleiner als Anzahl hinterein. ausg. El.op.3.22: El.op. sind stabil mit σ◦κ◦ ≤ 1.Idee: An. des Ges.algo. durch An. der Teilalg:

f = h ◦ g ersetzt durch f̂ = ĥ ◦ ĝ.3.23: Für f̂ = ĥ◦ ĝ mit Problem (f = h◦g, x)gilt σfκf ≤ σhκh + κhσgκg .Unverm. Subtr. mögl. an den Anf. stellen.Sum. und SP. sind stabil in diesem Sinne.3.26: (f,x) Probl. f̂ = ĥ ◦ ĝ Real. Alle Fkten.skalar und diffbar. Dann gilt:σf ≤ σh/κg + σg .Abschlussbemerkungen:

Kleine Kondition → Stabilität.Kleine Kondition = Informationsverlust.(Änd. in Eing. kaum Ausw. aufs Resultat)Kapitel 4 – Numerische Interpolation4.1 – Allgemeines Interpolationsproblem4.1: X norm. Raum, V ⊂ X, dim V=N,l1, ..., ln ∈ L(X) lineare Funktionale.Finde zu f ∈ X ein u ∈ V : lj(u) = lj(f) ∀j.(I)(I) wohlgestellt: ∀f ∈ X genau eine Lsg.{v1, ..., vN

}Basis von V ,

∑Nj=1 ajvj Lsg.

→ Löse [li(vj)]i,j=1,...,N · [a1, ..., aj ]T =

[l1(f), ..., lN (f)]T .

(I) wohlgestellt gdw. es eine Basis von V wieoben gibt mit [li(vj) wie oben regulär.

(I) höchstens dann wohlgestellt, wenn die lilinear unabhängig.Lagrangeinterpolation:

X=C[a, b], V=Pn, N=n+1,li(f)=f(xi)(0-n). WG gdw. xi pw. ver.Hermiteinterpolation:

X=C1[a, b], V=P2n+1, N=2n+2,

l2i(f)=f(xi), l2i+1(f)=f′(xi)(von0-n).

WG gdw. xi pw. ver. Kubische

Splineinterpolation:

X=C2[a, b], V speziell, N=n+1,li(f)=f(xi)(0-n). WG.4.2 – Lagrangeinterpolation

I = [a, b] ⊂ R, a ≤ x0 < . . . < xn ≤ b.Darstellungsmatrix Monombasis.

V=

1 x0 x20 . . . x

n0

. . . . . . . . . . . . . . .

1 xn x2n . . . x

nn

detV 6= 0Berechnung teuer (n2), schlechte Kondition.4.4: xi, i = 0, . . . , n pw. versch.

Lnj (x) =∏

0≤i6=j≤nx−xixj−xi

=ω(x)

(x−xj)ω′(x),

ω(x) =∏ni=0(x − xi) ∈ Pn+1 \ Pn.

4.5:{Ln0 , . . . , L

nn

}Basis von Pn. Lagrange-(I)

gelöst durch p(x) =∑ni=0 f(xi)L

ni (x).

(Koeff. umsonst, Auswertung teuer (n2))

Newtonpolynome ωj(x) =∏j−1i=0 (x − xi),

ω0(x) = 1. → Darst.mat. ist unt. Diag:

W =

1 0 0 ... 01 ω1(x1) 0 ... 0. . . . . . . . . ... . . .1 ω1(xn) ω2(xn) ... ωn(xn)

Löse W · ~a = [f0, . . . , fn]

T .Rekursion: ωj(xi) = ωj−1(xi)(xi − xj−1).Dividierte Differenzen: f[xj, . . . , xk] :=

f[xj+1,...,xk]−f[xj,...,xk−1]xk−xj

,f[xj ]=f(xj).

Daraus bek. Schema aufb., Ob. Diag. ablesen.p(x) =

∑ni=0 aiωi(x), ai = f[x0, . . . , xi]

(Einmalige Koeff.best. (n2), Ausw. linear möglich)(Keine Neuber. der Koeff. bei neuem Dat. nötig.:pn+1(x) = pn(x) + an+1ωn+1(x).)

Kondition:

Φ : C0[a, b] → Pn, f 7→ pn, pn(xi) = f(xi)⇒ κabs = Λn := max

x∈[a,b]∑nj=0

∣∣∣∣Lnj (x)∣∣∣∣.

Restglieddarstellung/Interpolationsfehler:

Frage: Wie gut ist die Approx. von f durch pn?

4.11: f ∈ Cn+1[a, b]. ∀x ∈ I∃ξ ∈ I :

Rn(x)=f(x) − pn(x)=f(n+1)(ξ)

(n+1)!ωn+1(x).

4.12: f∈Cn+1(I). ∀x∈I∃ξ∈ I[x0, . . . , xn, x]

f[x0, . . . , xn, x] =f(n+1)(ξ)

(n+1)!

4.13: f ∈ Cn+1(I): ||f − pn||∞,I ≤∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣f(n+1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(n+1)!

∣∣∣∣∣∣∣∣ωn+1∣∣∣∣∣∣∣∣ in ∞-Norm. auf I.

∣∣∣∣∣∣∣∣f(n+1)ωn+1∣∣∣∣∣∣∣∣∞,I = o((n + 1)!): Fehler

geht gegen 0. I.A.∣∣∣∣∣∣∣∣ωn+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∞,I → ∞.4.17: Tschebyscheffpolynome: T0(x)=1,

T1(x)=x,Tk+1(x)=2xTk(x)-Tk−1(x),k ≥ 1.Eigenschaften:

1. Tk∈Pk, LK 2k−1,

∣∣∣∣∣∣∣∣Tk+1∣∣∣∣∣∣∣∣=1 (un.-1,1)

2. Tk(x) = cos(k · arccosx), x ∈ [−1, 1]

3. Tk(x)=0.5((x+√x2-1)k+(x-

√x2-1)k)

4.∣∣∣Tk(x)∣∣∣ = 1 gdw. x = cos mπk ,m=o...k

5. Tk(x)=0gdw. x= cos2m+1

2kπ m=0...k-1

4.18: Min-Max-Eigenschaft:

Sk. Tsch.pol. (LK 1) hat kleinste Maxnorm:

minp∈Pn+1

||p||∞,[−1,1] =∣∣∣∣∣∣∣∣2−nTn+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∞,[−1,1]Transformation auf [a, b]:

L : [a, b] → [−1, 1], L(x) = 2 x−ab−a − 1.

L−1(x) = b+a+(b−a)x2

, TIk := Tk(L(x)).

4.19: p̂ ∈ P̌n+1 (LK 1)p = p̂ ◦ L hat grad n+1 und LKcn+1 := 2

n+1(b − a)−(n+1). p = p ◦ L−1

hat LK c−1n+1. Das sk. und transf. Tsch.pol.

2−ncn+1TIn+1 hat min. Max.norm.

4.3 – Hermite-Interpolation2 Stützst. id. → Fktsw. + Abl. notw.4.20: a=x0

Damit:|Q(f) − I(f)|≤cm(b-a)m+2∣∣∣∣∣∣∣∣f(m+1) ∣∣∣∣∣∣∣∣∞,[a,b]. (Q Ordnung m+2)5.2 – Newton-Cotes-FormelnIdee: Ersetze Funktion durch Interpolierende:

Integral einfach. Quadraturformel:

Q(f)=I(pn)=∫ba pn(x) dx.

Lagr.basisfkt.: pn(x)=n∑j=0

f(xj)Lj(x)

Gewichte: wj :=∫ba Lj(x) dx, somit

Q(f)=I(pn)=n∑j=0

wjf(xj).

Mit y = x−ab−a kann man die Gewichte bis auf

Skalierung auf [0,1] berechnen.Für den Sp.fall äquidist. Stützst. xj=a + jh,

j=0,...,n, h= b−an

, heißen die so kon-

str. Qu.formeln Newton-Cotes-Formeln.

5.3 – Zusammengesetzte Quadraturen

5.4: ∆m={a = z00, A∈R(N,N) ∃ ||·||A: ||A||A,ε ≤ρ(A) + ε.6.3: T It.mat. Verf. konv. gdw. ρ(T )