ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA

Dada una línea de transmisión:

i(z,t)

v(z,t)

∆z

z

Se puede obtener un modelo circuital equivalente de la misma…

∆z

i(z,t)

v(z,t)

R∆z L∆z

G∆z C∆z v(z+ ∆z,t)

i(z + ∆z,t)

R = resistencia en serie por unidad de longitud, Ω/m

L = inductancia en serie por unidad de longitud, H/m

G = conductancia en paralelo por unidad de longitud, S/m

C = capacidad por unidad de longitud, F/m

Ecuación del telegrafista

Por las leyes de Kirchhoff:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, =∆+−∂

∂⋅∆− tzzv

ttzitzizRtzv

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, =∆+−∂

∂∆−∆+⋅∆− tzzv

ttzizCtzzVzGtzi

∆z 0

( ) ( )t

tziLtziRt

tzv∂

∂⋅−⋅−=

∂∂ ,),(,

( ) ( )t

tzvCtzvGt

tzi∂

∂⋅−⋅−=

∂∂ ,),(,

( ) ( ) ( )zIjwLRdz

zdV⋅+−=

( ) ( ) ( )zVjwCGdz

zdI⋅+−=

Similitud con las ecuaciones de Maxwell

( ) ( ) 022

=− zVdz

zVd γ

( ) ( ) 022

=− zIdz

zId γ( ) ( )jwCGjwLRj +⋅+=+= βαγ

CONSTANTE DE PROPAGACIÓN

( ) zo

zo eVeVzV γγ ⋅+⋅= −−+

( ) zo

zo eIeIzI γγ ⋅+⋅= −−+

( ) [ ]zo

zo eVeV

jwLRzI γγγ

⋅−⋅+

= −−+

jwCGjwLRjwLRZo +

+=

+=

γ

o

oo

o

o

IVZ

IV

−

−

+

+

−==

( ) z

o

oz

o

o eZ

VeZ

VzI γγ ⋅−⋅=−

−+

( ) ( )( ) z

o

zo

ezwtV

ezwtVtzVα

α

φβ

φβ

⋅+−⋅

+⋅+−⋅=−−

−++

cos

cos,

βπλ 2

= fwvp ⋅== λβ

Línea sin pérdidas

LCjwj =+= βαγ LCw=β

0=α CLZo =

( ) z

o

oz

o

o eZ

VeZ

VzI ββ ⋅−⋅=−

−+

( ) zo

zo eVeVzV ββ ⋅+⋅= −−+

LCwπ

βπλ 22==

LCwvp

1==

β

Línea cargada

i(z,t)

v(z,t) z

0l

ZLZo,β

( ) z

o

oz

o

o eZ

VeZ

VzI ββ ⋅−⋅=−

−+

( ) zo

zo eVeVzV ββ ⋅+⋅= −−+

( )( ) o

oo

ooL Z

VVVV

IVZ −+

−+

−+

==00

o

oL

oLo V

ZZZZV +−

+−

=

oL

oL

o

o

ZZZZ

VV

+−

==Γ +

−

( ) [ ]zjzjo eeVzV ββ ⋅Γ+= −+

( ) [ ]zjzj

o

o eeZ

VzI ββ ⋅Γ−= −+

( )201

21

Γ−=+

oav Z

VP

Pérdidas de retorno:

( )Γ⋅−= log20RL dB

( )( )lj

o

ljo

zjo

eV

eVeVzVβθ

ββ

2

22

1

11−+

−++

⋅Γ+⋅

=⋅Γ+⋅=⋅Γ+⋅=

( )Γ+= + 1max oVV

( )Γ−= + 1min oVVΓ−Γ+

===11

min

max

VVSWRROE

∞<< SWR1

( ) ( ) ljlj

o

ljo e

eVeVl β

β

β20 −

+

−−

Γ=⋅⋅

=Γ COEFICIENTE DE REFLEXIÓNEN EL RESTO DE LA LÍNEA

( )( )

( )( )ljZZ

ljZZZZee

lVlVZ

Lo

oLoolj

lj

in ββ

β

β

tantan

11

2

2

++

=Γ−Γ+

=−

= −

−

Ejemplos de casos particulares…

Línea cortocircuitada

i(z,t)

v(z,t) z

0l

Zo,β

( ) [ ] ( )zsenjVeeVzV ozjzj

o βββ ⋅−=−= +−+ 2

( ) [ ] ( )zZVee

ZVzI ozjzjo βββ cos2

00

⋅=+=+

−+

( )ljZZ oin βtan=

Línea en circuito abierto

i(z,t)

v(z,t) z

0l

Zo,β

( ) [ ] ( )zVeeVzV ozz

o βββ cos2 ⋅=+= +−+

( ) [ ] ( )zsenZjVee

ZVzI ozzo βββ ⋅=−=

+−

+

00

2

( )ljZZ oin βcot−=

Línea λ/2

i(z,t)

v(z,t) z

0l

Zo,β

Lin ZZ =

ZL

Línea λ/4

i(z,t)

v(z,t) z

0l

Zo,β

L

oin Z

ZZ2

=

ZL

Línea acoplada a otra línea

Zo Z1

Γ T

o

o

ZZZZ

+−

=Γ1

1 ( ) [ ]zjzjo eeVzV ββ ⋅Γ+= −+

( ) zjoTeVzV β−+= z>0

z<0

z0

oZZZT+

=Γ+=1

121

Carta de Smith

Biyección

Re(Γ)

Im(Γ)

2 familias de rectas perpendiculares 2 familias de circunferenciasperpendiculares

r

x

11

+−

=+−

=ΓL

L

oL

oLL Z

ZZZZZ

L

LLZ

Γ−Γ+

=11 Correspondencia

biunívoca

Plano complejo de impedancias.Representación cartesiana.

Plano semiinfinito.

Plano complejo de coeficientes ΓL.Representación polar.

Plano limitado por la circunferencia | ΓL|=1.

Carta de Smith

( ) oZlZΓ−Γ+

=11 ( ) ( ) jxr

ZlZlZo

+==

ljLejvuw β2−Γ=+=

11

+−

=+−

=ΓL

L

oL

oLL Z

ZZZZZ )(1

)(1jvujvujxr

+−++

=+

( )( )

2

22

22

11

vuvur+−+−

=

( ) 2212

vuvx+−

=

( )22

2

11

1 rv

rru

+=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

( ) 2

22 111

xxvu =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

( )22

2

11

1 rv

rru

+=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+− Familia de circunferencias

con r como parámetro

rRadio

Centro

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

11

0,r1

r

r=0

u

v

(1,0)(0,0)

r=1

r=∞

Familia de circunferencias con x como parámetro

xRadio

xCentro

1

1,1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

u

v

(1,0)(0,0)

( ) 2

22 111

xxvu =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

x=0

x=1

x=-1

x=2

x=-2

x=0.5

x=-0.5

¿Significado del sentidodel movimiento en la carta?

Sentido horario:hacia generadorSentido antihorario:hacia la carga

Ejercicios de la carta de Smith

Adaptadores simples Stub simple Doble stub

Adaptadores simples

jX

ZL = 50 +j10Zo = 70

d

Encontrar la posición y el valor de la reactancia para conseguiradaptación en la línea…

ZL

142.0714.0 jZZZ

o

LL +==

Solución A:

Azimut = 0.141 λ

Impedancia vista = 1 + j0.38

d = (0.141-0.043)λ = 0.098 λ

Solución B:

Azimut = 0.359 λ

Impedancia vista = 1 - j0.38

d = (0.359-0.043)λ = 0.316 λ

Stub simple

YL = 0.4 + j1.35Zo

d

l

jB

Encontrar l y d para conseguir adaptación en la línea…

Solución A:

Azimut = 0.193 λ

d = (0.193-0.153)λ = 0.04 λ

Solución B:

Azimut = 0.307 λ

d = (0.307-0.153)λ = 0.154 λ

Admitancia vista = 1 + j2.3

Admitancia vista = 1 - j2.3

Azimut de -j2.3 = 0.315 λ

Azimut de j2.3 = 0.185 λ

l = (0.315 – 0.25) λ = 0.065 λ

l = (0.25 + 0.185) λ = 0.435 λ

Doble stub

ZrZo

l1

jB1

l2

jB2

λ/4

Zo

Zo

Zo = 200 Ω

SWR = 6.5

Dmin voltaje a la carga = 0.168 λ

Zr ??

l1 y l2 para adaptación de la línea ??

Desplazándose 0.168 λ hacia la carga:

Zr = Zo(0.6 – j1.6) = 120 – j320 Ω

Solución A:

Yr = 0.21 + j 0.41

Solución B:

Yr = 0.21 - j 0.41

Admitancia del stub = j0.41 – j0.55 = -j 0.14

Yr = 0.21 + j0.55

l1 = (0.478-0.25) λ = 0.228 λ

Azimut de –j0.14 = 0.478 λ

Admitancia del stub = -j0.41 – j0.55 = -j 0.96

l1 = (0.379-0.25) λ = 0.129 λ

Azimut de –j0.96 = 0.379 λ

Yin = 1 – j1.95 Yin = 1 + j1.95Azimut de j1.95 = 0.174 λ

l = (0.25 + 0.174) λ = 0.424 λ

Azimut de -j1.95 = 0.326 λ

l = (0.326 – 0.25) λ = 0.076 λ

Criterio de Bode-Fano

La demostración del criterio es muy compleja:

H. W. Bode, Network Analysis and Feedback Amplifier Design, NY, 1945.

R. M. Fano, Theeoritical limitations on the broad band matching of arbitraryimpedances, Journal of the Franklin Institute, vol. 249, pp. 57-83, January 1950,

and pp. 139-154 February 1950.

¿Se puede conseguir una adaptación perfecta para un ancho de banda especificado?

Si no se puede, ¿cuál es la relación entre el máximo coeficiente de reflexiónque nos podemos permitir en la línea y el ancho de banda?

¿Se puede evaluar la complejidad de la red de adaptación?

( ) RCdw

wπ

≤Γ∫

∞

0

1ln

∆ww

Módulo Γ

Γm

RCw

m

π≤

Γ∆

1ln

Para una carga dada, se puede conseguir un ancho de banda elevado a expensas

de aumentar el coeficiente de reflexión….

El coeficiente de reflexión sólo puede ser ceroa frecuencias discretas….

Circuitos con Q mayor son más difíciles deadaptar que los de Q menor:

(Q alta equivale a valores de R y/o C altos)

Principales conclusiones del criterio de Bode-Fano

Teoría de reflexiones múltiples

Zo Z1

Γ T

z0

Γ1 T1 Γ3

RL

Γ2

o

o

ZZZZ

+−

=Γ1

11

1210

10 Γ−=+−

=ΓZZZZ

1

13ZRZR

L

L

+−

=ΓoZZ

ZT+

=Γ+=1

12111

o

o

ZZZT+

=1

22

( )n

nTT

TTTTTT

∑∞

=

ΓΓ−Γ−Γ=

=+ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ=Γ

0323211

33

22

2132

2213211 ...

Serie geométrica

( )( )( )11

12

32

3213211 21 ZRZZ

RZZTT

Lo

Lo

++−

=ΓΓ+

Γ−ΓΓΓ+Γ=Γ

Recordar adaptador de λ/4…

Desadaptación de la carga y del generador

i(z,t)

v(z,t) z

0

Zo,β ZLVg

ZG

Zin

-l

ΓlΓG

( ) [ ]gin

inljljo

ZZZVgeeVlV+

=⋅Γ+=− −+ ββ

ljgl

lj

gin

oo

ee

ZZZVgV β

β

21 −

−+

ΓΓ−+=

og

ogg ZZ

ZZ+

−=Γ

( ) ( )222

2*

21

1Re21Re

21

gingin

in

in

inin

XXRRRVg

ZVgIVP

+++

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==Potencia entregada

a la carga

Carga adaptada

( ) ( )222

21

ggo

o

XRZZVgP++

=

Generador adaptado

( )22

421

gg

g

XRR

VgP+

=

Adaptación compleja

gRVgP

41

21 2=

gin ZZ *=

Línea de transmisión con pérdidas

( ) ( )jwCGjwLRj +⋅+=+= βαγ

wCGwLR

<<<< ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≅ o

o

GZZR

21α

LCw≅βCLZo ≅

Línea de HeavisideCG

LR= L

CR=α

LCw=β

( ) [ ]zzo eeVzV γγ ⋅Γ+= −+ ( ) [ ]zz

o

o eeZ

VzI γγ ⋅Γ−= −+

( )( )

( )( )lZZ

lZZZlVlVZ

Lo

oLoin γ

γtanhtanh

++

=−

=

( )[ ] l

oin el

ZV

P α22

20

12

Γ−=+

[ ]2

2

12

Γ−=+

o

o

L ZV

P

( ) ( )[ ]ll

oLinloss ee

ZV

PPP αα 222

20

112

−Γ+−=−=+