Diagrammi di Bode - se0a7f66af88958bd.jimcontent.com · 3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 3 Conversione in...

0.0. 3.2 1

Diagrammi di Bode

• Possibili rappresentazioni grafiche della funzione di risposta armonica F (ω) =

G(jω) sono: i Diagrammi di Bode, i Diagrammi di Nyquist e i Dia-

grammi di Nichols.

• I Diagrammi di Bode sono due:

1) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln |G(jω)| in funzione

del ln ω;

2) il diagramma delle fasi rappresenta β = arg G(jω) in funzione del

ln ω;

ln G(jω) = ln[

|G(jω)|ej arg G(jω)]

= ln |G(jω)| + ln[ej arg G(jω)]

= ln |G(jω)| + j arg G(jω)

• Esempio:

Diagramma delle ampiezze

G(jω) =100

(

1 + j ω80

)

(

1 + j ω10

) (

1 + j ω1000

)

Diagramma delle fasi

R. Zanasi, R. Morselli - Controlli Automatici - 2005/06 3. ANALISI ARMONICA

3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 2

• Per i calcoli si utilizzano i logaritmi naturali. Peraltro, un cambiamento di

base dei logaritmi equivale ad un semplice cambiamento di scala.

• Si possono utilizzare due tipi diversi di carta millimetrata:

a) carta con doppia scala logaritmica per le ampiezze e carta semilogarit-

mica per le fasi;

b) carta semilogaritmica sia per le ampiezze sia per le fasi. In questo caso

la scala delle ampiezze e graduata in decibel: B =20 log10 A.

Caso a) Caso b)

• I vantaggi che si hanno impiegando una scala logaritmica sono:

i) e possibile avere una rappresentazione dettagliata di grandezze che

variano in campi notevolmente estesi;

ii) i diagrammi di Bode di sistemi in cascata si ottengono come somma

dei diagrammi di Bode dei singoli sottosistemi;

iii) i diagrammi di Bode di una funzione data in forma fattorizzata si

ottengono come somma dei diagrammi elementari dei singoli fattori.



Conversione in db e viceversa

• Il decibel e un’unita logaritmica convenzionale che normalmente si impiega

per esprimere il guadagno di amplificatori.

B(db) = 20 log10 A

• Per la conversione si puo utilizzare il seguente diagramma:

Posto A nella forma:

A = r · 10n con 1 ≤ r < 10,

il valore di A in decibel e:

B = 20 n + s db

dove s si ricava dal diagramma a

fianco: 0 ≤ s < 20.

• Alcune conversioni di uso frequente:

A B = 20 log10 A

1 0√2 3

2 6

5 14

10 20

20 26

50 34

100 40

1000 60

10000 80

0.5 −6

0.1 −20

0.01 −40

– Esempio 1:

A = 24

A = 2.4 · 101

B ' 20 + 8 = 28

– Esempio 2:

A = 0.56

A = 5.6 · 10−1

B ' −20 + 15 = −5

– Ogni 6 db il valore di A raddoppia;

– Ogni 20 db il valore di A e

moltiplicato per 10;



• Si consideri una generica funzione di trasferimento:

G(s) = K1sm + bm−1 sm−1 + . . . + b1 s + b0

sh (sn−h + an−1 sn−h−1 + . . . + ah+1 s + ah)

• Il fattore sh corrisponde ad un eventuale polo nell’origine avente ordi-

ne di molteplicita h: se la funzione di trasferimento non presenta poli

nell’origine, e h=0.

• Forma fattorizzata a poli e zeri:

G(s) = K1(s − z1) (s − z2) . . . (s − zm)

sh (s − ph+1) (s − ph+2) . . . (s − pn)

• Forma fattorizzata a costanti di tempo:

G(s) = K

(

1+τ ′1s

) (

1+τ ′2s

)

. . .(

1+2δ′1s

ω′n1

+ s2

ω′ 2n1

)

. . .

sh(

1+τ1s) (

1+τ2s)

. . .(

1+2δ1s

ωn1+ s2

ω 2n1

)

. . .

• La funzione di risposta armonica si ottiene ponendo s=jω:

G(jω) = K

(

1+jωτ ′1

) (

1+jωτ ′2

)

. . .(

1+2δ′1jωω′

n1− ω2

ω′ 2n1

)

. . .

(jω)h(

1+jωτ1

) (

1+jωτ2

)

. . .(

1+2δ1jωωn1

− ω2

ω 2n1

)

. . .

• Il diagramma di Bode della funzione G(jω) si ottiene come somma dei

diagrammi di Bode delle seguenti funzioni elementari:

K

(j ω)−h

(

1 + j ω τ)±1

(

1 + j 2 δ ωωn

− ω2

ω 2n

)±1



• Guadagno costante: G(jω) = K.

- I diagrammi dei moduli e

della fasi sono indipendenti da

ω, cioe sono costanti;

- Se K > 0, il diagrammi del-

le fasi e β = 0;

- Se K < 0, il diagramma

delle fasi e β = −π.

• Poli nell’origine: G(jω) = (j ω)−h.

- I diagrammi riportati a fian-

co sono relativi al caso h = 2;

- In scala (ln, ln), il dia-

gramma delle ampiezze e una

retta passante per il punto

(ω, α) = (1, 0 db) e di incli-

nazione −h;

- Il diagramma delle fasi e co-

stante, identicamente uguale

a −hπ2;

• Diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi:

ln G(jω) = α + j β = ln1

ωh− j h

π

2= −h ln ω − j h

π

2



• Poli reali: G(jω) =(

1 + j ω τ)−1

=1

1 + jωτ

ln G(jω) = α + j β = ln1√

1 + ω2 τ 2+ j (−arctan ωτ )

• Diagrammi asintotici di Bode:

Diagramma delle ampiezze:

a) per ω � 1/τ , si ottie-

ne α'0, cioe il diagramma

tende a coincidere con l’as-

se delle ascisse.

b) per ω�1/τ , si ottiene

α ' ln1

ωτ= ln

1

τ− ln ω

cioe il diagramma tende al-

la retta passante per il pun-

to ln ω = ln (1/τ ) e di

inclinazione −1;

• L’approssimazione asintotica del diagramma delle ampiezze e pertanto

costituita dalle due semirette

α =

{

0 per ln ω ≤ ln 1τ ,

ln 1τ − ln ω per ln ω ≥ ln 1

τ ,

• Il massimo errore della rappresentazione asintotica si ha per ω=1/τ e vale

ln√

2 (circa 3db).

• La pendenza −1, su carta semilogaritmica diventa −20 db/decade;



• Diagramma asintotico delle fasi:

La spezzata si ottie-

ne collegando i due

asintoti β = 0 e β =

−π/2 con la tangen-

te al diagramma ef-

fettivo nel punto cor-

rispondente alla pul-

sazione di rottura

ω0 = 1/τ , punto in

cui e β =−π/4.

• Essendo β = −arctan ωτ , si puo scrivere

d β

d ln ω

∣

∣

∣

∣

ω=ω0

=d β

d ω

d ω

d ln ω

∣

∣

∣

∣

ω=ω0

= − ω0 τ

1 + ω20 τ 2

= −1

2

• Le pulsazioni ωa e ωb si determinano utilizzando la relazione

π/4

ln ω0 − ln ωa=

π/4

ln ωb − ln ω0=

1

2

da cui si ottiene

lnω0

ωa= ln

ωb

ω0=

π

2→ ω0

ωa=

ωb

ω0= e

π2 = 4, 81

• I diagrammi di Bode della funzione G(jω)=1+jωτ si ottengono ribaltando

attorno all’asse delle ascisse quelli della funzione G(jω)=(1+jωτ )−1.

• Quando la costante di tempo τ e negativa, il diagramma delle ampiezze

risulta immutato, mentre il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto

all’asse delle ascisse.



• Esempio. Si consideri la seguente funzione di risposta armonica:

G(jω) =5, 6 (1 + j ω 0, 5)

(1 + j ω 4) (1 + j ω 0, 25) (1 + j ω 0, 125)

• Diagrammi di Bode:



• Poli complessi coniugati (0≤δ<1):

G(s) =1

1 +2δ

ωns +

s2

ω2n

→ G(jω) =1

1 − ω2

ω2n

+ j 2 δ ωωn

• Diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi:

ln G(jω) = α + j β = ln1

√

(

1 − ω2

ω 2n

)2

+ 4 δ2 ω2

ω 2n

− j arctan2 δ ω

ωn

1 − ω2

ω 2n

• Diagramma di Bode delle ampiezze:

• Asintoti del diagramma α : per ω/ωn � 1, tutti i termini sotto radice

quadrata sono trascurabili rispetto all’unita ed e pertanto α ' 0; per

ω/ωn�1, ha la prevalenza il termine (ω/ωn) 4 e si puo scrivere pertanto

α ' −lnω2

ω 2n

= 2 ln ωn − 2 ln ω



• Il diagramma effettivo si puo discostare sensibilmente da quello asintotico:

in particolare, per δ=0 e in corrispondenza della pulsazione di rottura ωn,

lo scostamento e infinito.

• Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprieta:

1) per 0≤δ≤1/√

2, presenta un massimo;

2) per 0≤δ≤1/2, interseca l’asse a destra del punto ω=ωn;

3) per 1/2≤δ≤1/√

2, interseca l’asse a sinistra del punto ω=ωn;

4) per 1/√

2≤δ≤1, non interseca l’asse delle ascisse ed e pertanto tutta

al di sotto della sua approssimazione asintotica.

• Pulsazione di risonanza ωR. Posto u=ω/ωn, il massimo dell’ampiezza

corrisponde ad un minimo della funzione

(1 − u2)2 + 4 δ2 u2

Derivando e uguagliando a zero la derivata, si ottiene

−4 (1 − u2) u + 8 δ2 u = 0

Trascurando la soluzione nulla si ottiene

uR =√

1−2 δ2 → ωR = ωn

√1 − 2 δ2

• Picco di risonanza MR: si calcola come modulo della funzione di risposta

armonica in corrispondenza della pulsazione ωR:

MR =1

√

(1 − 1 − 2 δ2)2 + 4 δ2 (1 − 2 δ2)

MR =1

2 δ√

1 − δ2



• Diagramma di Bode della fasi:

• Approssimazione asintotica del diagramma delle fasi si ottiene congiun-

gendo gli asintoti β =0 e β =−π con un segmento inclinato di pendenza

opportuna.

• Essendo β = −arctan 2 δ u1−u2 , si deduce:

d β

d lnω

∣

∣

∣

∣

ω=ωn

=d β

d u

d u

d lnω

∣

∣

∣

∣

u=1

= − 1

1 +(

2 δ u1 − u2

)2

2 δ (1 + u2) u

(1 − u2)2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

u=1

= −1

δ

• Le pulsazioni ωa e ωb sono legate alla pulsazione ωn dalla relazione:

π/2

ln ωn − ln ωa=

π/2

ln ωb − ln ωn=

1

δ

dalla quale si ottiene

ωn

ωa=

ωb

ωn= e

π2 δ = 4, 81δ



• Diagrammi delle ampiezze e delle fasi in scala semilogaritmica:



Graficazione “qualitativa” dei diagrammi di Bode

Si procede alla graficazione del diagramma asintotico di Bode della fun-

zione di risposta armonica assegnata. Due possibili metodi.

Primo metodo: somma dei singoli contributi

a) La funzione G(s) viene messa nella forma “a costanti di tempo”:

G(s) =10(s − 1)

s(s + 1)(s2 + 8s + 25)→ G(s) = −10

25

(1 − s)

s(1 + s)(1 + 8s25

+ s2

25)

b) Si tracciano i diagrammi asintotici di Bode delle singole componenti:

K = −10

25, G1(s) = (1 − s), G2(s) =

1

s, G3(s) =

1

(1 + s), G4(s) =

1

(1 + 8s

25+ s2

25)

c) Si sommano i singoli contributi per ottenere il diagramma asintotico della

funzione G(s).

- Il contributo del termine K e costante: |K| = −7.96 db e arg K = −π.

- Lo zero instabile (1 − s), e il polo stabile (1 + s)−1 agiscono alla pulsazio-

ne ω = 1 e forniscono due contribuiti uguali e contrari nel diagramma delle

ampiezze. Il loro contributo nel diagramma delle fasi si somma: l’ampiezza

complessiva per ω → ∞ e −π.

- La coppia di poli complessi coniugati (1+ 8s25

+ s2

25)−1 determina sul diagramma

asintotico delle ampiezze una attenuazione di −40 db/dec a partire dalla pul-

sazione ωn = 5. Il contributo al diagramma delle fasi e negativo di ampiezza

complessiva −π al variare di ω. Le pulsazioni alle quali si ha un cambiamento

di pendenza del diagramma asintotico di Bode delle fasi sono le seguenti

ωa =1

4.81, ωb = 4.81, ωa =

ωn

4.81δ, ωb = ωn4.81δ

dove δ = 0.8 e il coefficiente di smorzamento della coppia di poli complessi

coniugati.

- La difficolta nell’utilizzare questo metodo sta nel fatto che la somma dei

singoli contributi non e sempre agevole.



Diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s)

β

ω

A

B

C-80

-60

-40

-20

|K|0

20

40

−1

+1

−2

−3

|G1|

|G2|

|G3|

|G4|

α = |G(jω)|α = |G(jω)|(db)

0.1 1 5 10 100

ω [log10]

−7π

2

−3π

−5π

2

−2π

ϕ0 = −3π

2

−π

−π

2

0

π

2

π

G1, G3

G4

G4

G2

K

K,G2

G1, G3

ϕ∞ = −7π

2

arg |G(jω)|

ωa

ωa

ωb

ωb

ωa

ωa

ωb

ωb

0.1 1 5 10 100

ω [log10]



Secondo metodo: graficazione “rapida”

Diagramma delle ampiezze

a) Si individua nella funzione G(s) tutte le pulsazioni in corrispondenza delle

quali si ha un cambiamento di pendenza. Tali pulsazioni coincidono con

gli zeri reali, i poli reali e con le pulsazioni naturali ωn delle coppie di poli

e zeri complessi coniugati della funzione G(s). Nel caso in esame si ha

ω = 1 e ω = 5. Tali pulsazioni vengono ordinate in ordine crescente di

modulo.

b) Tenendo conto del fatto che gli zeri (reali o complessi coniugati) determi-nano un incremento di pendenza (rispettivamente di +1 e di +2) e che,viceversa, i poli (reali o complessi coniugati) determinano un decrementodella pendenza del diagramma asintotico (rispettivamente di -1 e di -2), echiaro che la “forma” del diagramma asintotico e gia nota a priori primadi iniziare la graficazione.Nel caso in esame, per esempio, si ha:

(o,x)

(

xx

)

A

1 5

ω

β

ω

-1

-1

-3

In corrispondenza della pulsazione ω = 1 non si ha cambiamento si pendenza perche

a questa pulsazione agiscono contemporaneamente sia un polo che uno zero.

c) Si determina la posizione “verticale” del diagramma asintotico di Bode.

- Se la funzione G(s) e di tipo 0, il posizionamento verticale e automati-

camente determinato dal calcolo del guadagno statico G(0).

- Se il sistema e di tipo 1, o in generale di tipo h, il posizionamento ver-

ticale puo avvenire, per esempio, calcolando la posizione del punto A in

corrispondenza della pulsazione ω alla quale si ha il primo cambiamento

di pendenza. Siano (ω, β) le coordinate del punto A. Se il sistema e di



tipo h, il valore della coordinata β si determina in base alla formula:

β =

∣

∣

∣

∣

shG(s)

ωh

∣

∣

∣

∣

s=0

cioe si sostituisce ωh al posto degli h poli nell’origine, mentre in tutti gli

altri termini di G(s) si mette s = 0.

Nel caso in esame si ha h = 1 ed ω = 5 per cui

β =

∣

∣

∣

∣

s G(s)

5

∣

∣

∣

∣

s=0

=

∣

∣

∣

∣

10(s − 1)

5(s + 1)(s2 + 8s + 25)

∣

∣

∣

∣

s=0

=2

25= −21.94 db

d) E ora possibile tracciare il diagramma asintotico complessivo tracciando, a

partire da A, i vari tratti della “spezzata”, ognuno con la propria penden-

za. Nel caso in esame, per esempio, il tratto di spezzata che precede il punto A si

determina individuando il punto B. Questo punto si calcola a partire da A diminuendo

la pulsazione di una decade ed aumentando di 20 db l’ampiezza: B = (0.5, β + 20).

Allo stesso modo si procede per determinare il tratto che segue il punto A. In questo

caso, essendo -3 la pendenza di questo tratto, il punto C si determina aumentando

la pulsazione di una decade e diminuendo l’ampiezza di 60 db: C = (50, β − 60).

Diagramma delle fasi

Anche la graficazione del diagramma asintotico delle fasi puo essere fatta

piu “rapidamente” se si procede nel modo seguente (si faccia riferimento al

diagramma delle fasi riportato nella precedente figura):

a) Si individua la fase di partenza ϕ0 del diagramma asintotico delle fasi

calcolando la fase iniziale della funzione approssimante G0(s) per ω → 0.

Nel caso in esame, per esempio, la fase iniziale e ϕ0 = −3π2 . Tale fase e

comprensiva del segno negativo della costante K e della fase costante −π2

introdotta dal polo nell’origine.

b) Si prendono in considerazione i poli e gli zeri in ordine crescente della loro

pulsazione critica (cioe il valore assoluto del corrispondente polo o zero,

oppure la ωn nel caso di coppie di poli o zeri complessi coniugati). Il

diagramma asintotico di ciascun elemento viene disegnato in una diversa



“fascia” in funzione dell’azione introdotta dai precedenti elementi, e in

funzione del fatto che l’elemento sia stabile o instabile.

Nel caso in esame, per esempio, i primi due elementi da prendere in consi-

derazione all’aumentare di ω sono il polo stabile (s+1)−1 e lo zero instabile

(s − 1). Questi due elementi agiscono contemporaneamente e ciascuno

di essi introduce uno “sfasamento”, per ω ∈ [−∞, ∞], pari a −π2 . Il

contributo complessivo di questi due elementi e un diagramma asintotico

di ampiezza −π da disegnare verso il basso nella fascia −3π2 , −5π

2 . An-

che la coppia di poli complessi coniugati (1 + 8s25 + s2

25)−1 , essendo stabili,

introduce uno sfasamento di ampiezza complessiva −π. Il loro contributo

al diagramma asintotico va quindi disegnato nella fascia −5π2, −7π

2.

c) Si procede alla graficazione del diagramma asintotico complessivo “inter-

polando” i diagrammi asintotici delle fasi dei singoli elementi, ognuno dei

quali e stato disegnato nella fascia piu opportuna. Nel caso in esame,

e evidente che la determinazione dei punti intermedi di cambiamento di

pendenza risulta notevolmente semplificato rispetto al caso di semplice

somma dei singoli contributi asintotici. Si noti inoltre che la fase finale

ϕ∞ ottenuta e in accordo con la fase finale della funzione approssimante

G∞(s) per ω → ∞.


3.4. LA FORMULA DI BODE 3.4 1

La formula di Bode

• Una funzione di trasferimento razionale fratta e a a fase minima se non

ha ne poli ne zeri nel semipiano destro del piano s.

• Per sistemi a fase minima, detta ωc la pulsazione in corrispondenza della

quale si vuole calcolare la fase βc, vale la formula di Bode:

βc =1

π

∫ ∞

−∞

d α

d uln cotanh

∣

∣

∣

u

2

∣

∣

∣du

in cui si e posto α := ln |G(jω)|, u := ln ωωc

= ln ω−ln ωc.

• La fase βc in corrispondenza di unadata pulsazione ωc dipende essen-zialmente dalla pendenza d α

d u del dia-gramma delle ampiezze nell’intornodi quella pulsazione ωc.

• Esempio: βc = 0·A1 − 1·A2 − 2·A3

dove:

A1 =π

4−β1, A2 = β1+β2, A3 =

π

4−β2



• Significato della variabile di integrazione u: se il diagramma α e riferito ai

logaritmi naturali, la variabile u non e altro che l’ascissa ln ω con l’origine

traslata in ln ωc.

• La condizione necessaria e sufficiente per la validita della formula di Bode,

cioe che la funzione di trasferimento sia a fase minima, e soddisfatta per

la quasi totalita dei sistemi che normalmente si considerano.

• Esempio di rete elettrica a fase non minima:

• Funzione di trasferimento

Vu(s) =1/Cs − R

R + 1/CsVi(s)

che, posto T :=RC, diventa

G(s) =Vu(s)

Vi(s)=

1 − T s

1 + T s,

cioe una funzione non a fase

non minima;

• Diagrammi di Bode delle

ampiezze e delle fasi: il dia-

gramma delle ampiezze e co-

stante α = 0 (|G(jω)| = 1),

mentre il diagramma delle fa-

si varia gradualmente da 0◦ a

−180◦.

• E chiaro che applicando la formula di Bode all’esempio si sarebbe invece

dedotta una fase identicamente nulla.



• La funzione di trasferimento trascendente

G(s) = e−t0 s

che rappresenta un ritardo finito di valore t0, non e a fase minima.

• Essendo

G(jω) = e−jωt0 = cos ω t0 − j sen ω t0 ,

la funzione di risposta armonica ha modulo identicamente unitario e fase

crescente linearmente con la frequenza.

• Per ricavare i diagrammi di Bode, si scrive

ln G(jω) = α + j β = 0 − j ω t0 = 0 − j t0 eln ω

relazione dalla quale si deduce che il diagramma delle fasi ha un andamento

esponenziale. Anche in questo caso l’applicazione della formula di Bode

avrebbe condotto ad un risultato errato (β = 0).



Diagrammi di Bode: riepilogo

• I diagrammi di Bode si basano su alcune proprieta dei logaritmi e sulle

proprieta valide per il modulo e l’argomento di funzioni complesse:

1. |A B| = |A| |B| ⇒ log10 |A B| = log10 |A| + log10 |B|

2.

∣

∣

∣

∣

A

B

∣

∣

∣

∣

=|A||B| ⇒ log10

∣

∣

∣

∣

A

B

∣

∣

∣

∣

= log10 |A| − log10 |B|

3. arg(A B) = arg(A) + arg(B)

4. arg

(

A

B

)

= arg(A) − arg(B)

• Queste proprieta permettono di ricondurre il problema di tracciare i dia-

grammi di bode di una generica funzione razionale fratta

G(jω) = K(jω + b)...(−ω2 + 2δbωbjω + ω2

b )

(jω)h(jω + d)...(−ω2 + 2δdωdjω + ω2d)

alla “somma” dei diagrammi di Bode delle seguenti funzioni elementari:

K

(jω)−h

(jω + a)±1

(−ω2 + 2δaωajω + ω2a)

±1

• E possibile ricavare i diagrammi asintotici di Bode anche senza ricorrere

alla somma dei singoli contributi, ma utilizzando un metodo diretto.



Assi nei diagrammi di Bode

• I Diagrammi di Bode usano l’asse orizzontale in scala logaritmica. Consi-

derando l’asse reale R e fissata una origine, una pulsazione ω corrisponde

ad un punto sull’asse con coordinata x = log10 ω. Accanto all’asse si

possono quindi indicare o i valori della coordinata x oppure direttamente

i valori di ω; questa seconda soluzione e la piu comoda.

x= log w0 1 2- 1

w1 10 1000.1

w

1 102 3 5 8

0 10.3 0.5 0.7 x= log w0.9

x= log w0 1 2- 1

w1 10 1000.1

w

1 102 3 5 8

0 10.3 0.5 0.7 x= log w0.9

• Per il disegno qualitativo dei diagrammi conviene memorizzare alcuni valori:

log10 2 ' 0.3 log10 3 ' 0.5 log10 5 ' 0.7 log10 8 ' 0.9

• L’asse verticale nei diagrammi di ampiezza e graduato in decibel (db):

A|db

def= 20 log10 A

Con questa scala, le pendenze caratteristiche dei diagrammi di Bode so-

no ±20 db/decade, ±40 db/decade, ecc. Per comodita tali pendenze

vengono indicate rispettivamente con i SIMBOLI ±1, ±2, ecc.

N.B.: se la scala verticale fosse semplicemente logaritmica (y = log10 A)

le pendenze caratteristiche dei diagrammi di Bode sarebbero ±1 e ±2.

• L’asse verticale nei diagrammi di fase puo essere graduato sia in radianti sia

in gradi. In ogni caso il diagramma delle fasi puo essere traslato verso l’alto

o verso il basso di multipli interi di 2π, o di 360o, mantenendo inalterato

il suo significato.


Diagrammi di Bode - se0a7f66af88958bd.jimcontent.com · 3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 3 Conversione in...

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