ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ BODE · 2010-01-18 · ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑBODE...

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ‐ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος17

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

Παράγοντας 1ης τάξης (1+jωτ)‐1 ∆ιαγράμματα

Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο:

221

11

11

j

jjGsG

Έτσι το μέτρο:

22111 jj

s

22 11

χρήση ασυμπτώτωντομή τους στη συχνότητα θλάσης

222222 1log20)(

1

111)(

dBjGjG

01log20:11 dBjG

ό 11

gdBj

sdBjG dB /20log20:11

και το όρισμα: 11 tantan

00:0 11

Im

41:1

2: X-

Re



Παράγοντας 1ης τάξης (1+jωτ)‐1 (συνέχεια) Η καμπύλη του μέτρου χαράζεται με ασυμπτωτική προσέγγιση, δηλαδή χρησιμοποιούνται οι ευθείες που

είναι εφαπτόμενες στις περιπτώσεις ω0 και ω .είναι εφαπτόμενες στις περιπτώσεις ω0 και ω .

01log20:11 dBjG

sdBjG /20log20:11

Μπορούμε να βρούμε την απόκλιση της καμπύλης από τις ασύμπτωτες:

sdBjG dB /20log20:1

χρήση ασυμπτώτων

χρή η μτομή τους στη συχνότητα θλάσης

dBjG

dBjG

dB

dB

2

03.311log20:1

97.411log20:

21

Αν το σύστημα διεγερθεί με μικρό ω τότεκαι η έξοδος έχει το ίδιο πλάτος με είσοδο και μικρή

dBjG dB 97.2log2041log20:2

0,1 jGκαι η έξοδος έχει το ίδιο πλάτος με είσοδο και μικρή διαφορά φάσης. Αν διεγερθεί με μεγάλο ω τότε μικραίνει και φ μεγαλώνει τείνοντας στο –π/2.



Παράγοντας 1ης τάξης (1+jωτ)‐1Συνοπτικά:

Για ένα απλό παραγματικό πόλο η σύνθεση με ασυμπτωτική προσέγγιση του διαγράμματος Bode για το μέτρο είναι στα 0 dB έως την συχνότητα θλάσης και μετά πέφτει με 20 dB ανά τάξη μεγέθους (‐20 dB ανά δεκάδα). Για n πολλαπλότητα πόλου η κλίση αυτή γίνεται –20n dBανά δεκάδα.

Το διάγραμμα φάσης είναι στις 0ο έως το 1/10 της συχνότητας θλάσης και μετά πέφτει γραμμικά στο ‐90ο

δ λά ό θλά Γστο δεκαπλάσιο της συχνότητας θλάσης. Για n πολλαπλότητα πόλου πέφτει στο ‐n90ο .



Παράγοντας 1ης τάξης (1+jωτ)‐1 με τ=0.1 sec ∆ιαγράμματα

Για πόλο στα 10 rad/sec (τ=0.1s): 20101

1.0111

jjG

ssG


01.0110

110

1 js

21 22

01.01log20)(01.01

1)(

dBjGjG

01log20:10 dBjG

ό

dB

sdB

jG dB

/20

log20201.0log20:10

και το όρισμα: 1.0tan 1

00:0

4

10:10

2:



Παράγοντας 1ης τάξης (1+jωτ) ∆ιαγράμματα για 1/τ = 30 rad/sec

Αντιστοιχεί σε πραγματικό μηδενικό:

jjGssG 11


jj

22 11


222222 1log20)(

1

111)(

dBjGjG

01log20:11 dBjG

ω= 30 rad/sec

ό 1

gdBj

sdBjG dB /20log20:11

και το όρισμα: 1tan

00:0 11

41:1

2:

Παρόμοια διαγράμματα με την περίπτωση του πραγματικού πόλου



Παράγοντας 1ης τάξης (1+jωτ) Συνοπτικά:

Για ένα απλό παραγματικό πόλο η σύνθεση με ασυμτωτικη προσέγγιση του διαγράμματος Bode για το μέτρο είναι στα 0 dB έως την συχνότητα θλάσης και μετά αυξάνεται με 20 dB ανά τάξη μεγέθους (+20 dB ανά δεκάδα). Για n πολλαπλότητα πόλου η κλίση αυτή γίνεται +20n dB ανά δεκάδα.

Το διάγραμμα φάσης είναι στις 0ο έως το 1/10 της συχνότητας θλάσης και μετά αυξάνεται γραμμικά στις 90ο δ λά ό θλά Γ+90ο στο δεκαπλάσιο της συχνότητας θλάσης. Για n

πολλαπλότητα πόλου αυξάνεται στο +n90ο .



Παράγοντες 1ης τάξης (1+jωτ)±n ∆ιαγράμματα Bode για διπλό πόλομε 1/τ = 30 rad/secρ γ ς ξης ( j )

Αντιστοιχεί σε πολλαπλότητας n πραγματικό πόλο ή μηδενικό.

με 1/τ = 30 rad/sec

ρ γμ ή μηΠροφανώς η καμπύλη μέτρου είναι όμοια με αυτή του παράγοντα

±1 ό ό ό ί(1+jωτ)±1 εκτός από το ό,τι η κλίση της ασύμπτωτης υψηλής συχνότητας είναι ±20∙n dB/sec Οι αποκλίσεις για ω=


±20∙n dB/sec. Οι αποκλίσεις για ω= 1/2τ, 1/τ, 2/τ είναι ±0.97n, ±3.03n και ±3.03n dB αντίστοιχα.χΤο όρισμα θα είναι n φορές αυτό του παράγοντα (1+jωτ)±1.



Παράγοντας 2ης τάξης [1+2ζ(jω/ωn)+(jω/ωn)2]-1

Αντιστοιχεί σε συζυγείς μιγαδικούς πόλους:

10,12 222

2

nsG 2

1

jG


12

2 222

nn

nn ssss

222

21

nnjj

22

22221log20)(

21

1)(nn

dBjGjG

όπου:

nn

sdBjG

nndBn /40log40log20: 2

2

και το όρισμα: όπου:

12

01log20: dBn jG nn

00:0

:

2

1

1

tan

n

n

2: nn

:



Παράγοντας 2ης τάξης ∆ιαγράμματα Bode

[1+2ζ(jω/ωn)+(jω/ωn)2]-1

Το σύστημα είναι low pass, αφού έχουμε αρνητική κλίση του μέτρου για μεγάλα ω. Το διάγραμμα μέτρου εξαρτάται από το ζ. Καθώς μικραίνει το ζ το διάγραμμαΚαθώς μικραίνει το ζ το διάγραμμα αλλάζει μορφή και παρουσιάζει μέγιστο κοντά στο ωn. Όσο μικραίνει το ζ (για ζ 0 707) ό φή λ άζζ<0.707) τόσο η κορυφή πλησιάζει το ωn(φαινόμενο συντονισμού). Το σημείο όπου η καμπύλη εμφανίζει μέγιστο είναι η η μ η μφ ζ μ γ ησυχνότητα συντονισμού :Όπου το μέτρο γίνεταιΓ ζ>0 707 ί

221 nres

212

1

resjG

1GΓια ζ>0.707 είναι: ενώ καθώς resnres jG 0

12 1max jG

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ‐ ΣΥΝΘΕΣΗ 1ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος26

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΝΘΕΣΗ 1

Κατασκευή διαγράμματος Bode σύνθετου συστήματος

Πρέπει να φέρουμε τους όρους στη μορφή (τυπική μορφή 1ης τάξης)

3

1010

ssssG

31010

jj

jjG

11jΠρέπει να φέρουμε τους όρους στη μορφή (τυπική μορφή 1 τάξης)

Έτσι:

δ ά έ ί ά ή ό θ

1j

133.0

11.03.33133.0311.01010

jjj

jjjjG

Τα διαγράμματα μέτρου και ορίσματος φτιάχνονται με γραφική πρόσθεση των καμπυλών που αντιστοιχούν σε κάθε όρο ξεχωριστά. Οι όροι είναι:1. Σταθερός όρος 33.31. Σταθερός όρος 33.3 2. Μηδενικό στο ‐103. Πόλος στην αρχή4 Πόλ 34. Πόλος στο ‐3

Χρησιμοποιούμε την βασική ανάλυση των στοιχειωδών συναρτήσεων για ρη μ μ η β ή η χ ρ ή γνα κατασκευαστούν τα διαγράμματα Bode των τεσσάρων όρων.




Τα διαγράμματα μέτρου και ορίσματος φτιάχνονται με γραφική πρόσθεση των καμπυλών που αντιστοιχούν σε κάθε όρο ξεχωριστά. Οι όροι είναι:

ό ό Σταθερός όρος 33.3 Μηδενικό στο ‐10 Πόλος στην αρχή Πόλος στην αρχή Πόλος στο ‐3Συνολικό διάγραμμα σε μαύρη γραμμή

∆ιάγραμμα Bode (μέτρο)

∆ιάγραμμα Bode (όρισμα)




Πρέπει να φέρουμε τους όρους σε τυπικές μορφές (απλές συναρτήσεις)

23

2

10010044ss

sssG

23

2

10010044

jj

jjjG

Πρέπει να φέρουμε τους όρους σε τυπικές μορφές (απλές συναρτήσεις).Έτσι:

1

551

5254254

2

23

2ss

sssG

Τα διαγράμματα μέτρου και ορίσματος φτιάχνονται με γραφική πρόσθεση λώ ύ άθ ό ξ ά Ο ό ί

1100

100100 223 ssss

των καμπυλών που αντιστοιχούν σε κάθε όρο ξεχωριστά. Οι όροι είναι:1. Σταθερός όρος 1 2. Πόλος στο ‐100ς3. Διπλός πόλος στην αρχή4. Συζυγείς μιγαδικές ρίζες του s2+s+25=0 με ω=5 και ζ=0.1Χρησιμοποιούμε την βασική ανάλυση των στοιχειωδών συναρτήσεων γιαΧρησιμοποιούμε την βασική ανάλυση των στοιχειωδών συναρτήσεων για

να κατασκευαστούν τα διαγράμματα Bode των τεσσάρων όρων.




Τα διαγράμματα μέτρου και ορίσματος φτιάχνονται με γραφική πρόσθεση των καμπυλών που αντιστοιχούν σε κάθε όρο ξεχωριστά. Οι όροι είναι:

ό ό Σταθερός όρος 1 Πόλος στο ‐100 Διπλός πόλος στην αρχή Διπλός πόλος στην αρχή Συζυγείς μιγαδικές ρίζες Συνολικό διάγραμμα σε μαύρη γραμμή

∆ιάγραμμα Bode (μέτρο)

∆ιάγραμμα Bode (όρισμα)

ΣΤΟΧΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος30

ΣΤΟΧΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

Περιθώριο κέρδους

Το περιθώριο κέρδους , μια ποσότητα που αποτελεί το μέτρο της σχετικής ευστάθειας συστήματος, ορίζεται ως η τιμή του πλάτους του αντιστρόφου

ά ά ύ ό ότης συνάρτησης μεταφοράς ανοικτού βρόγχου στην συχνότητα ωπ στην οποία η τιμή του ορίσματος ισούται με ‐180ο. Δηλαδή:

θώ έ δ 1περιθώριο κέρδους

όπου και ωπ ονομάζεται κρίσιμη συχνότητα.

GH1

180arg GH π μ ζ ρ μη χ η g

Περιθώριο φάσης

Τ θώ φά Φ ό λ ί έ ήΤο περιθώριο φάσης ΦPM , μια ποσότητα που αποτελεί μέτρο της σχετικής ευστάθειας συστήματος, ορίζεται ως 180ο συν την τιμή της φάσης Φ1 της συνάρτησης μεταφοράς ανοικτού βρόγχου όταν το κέρδος της ισούται με ρ η ης μ φ ρ ς βρ γχ ρ ς ης μτην μονάδα. Δηλαδή:όπου και ωι ονομάζεται συχνότητα μοναδιαίου κέρδους.

iPM GH arg180 1iGH



Εύρεση περιθώριου κέρδουςκαι περιθώριου φάσης απότα διαγράμματα BodeΗ κρίσιμη συχνότητα ωπ βρίσκεται από το διάγραμμα ορίσματος ως η συχνότητα στην οποία 180arg openGχ η ηΗ συχνότητα μοναδιαίου κέρδους ωiβρίσκεται από το διάγραμμα μέτρου όπου

p

όπου

Το περιθώριο φάσης είναι το ποσό της επιπλέον καθυστέρησης φάσης στην

01 dBiiii jHjKGjHjKG

επιπλέον καθυστέρησης φάσης στην συχνότητα μοναδιαίου κέρδους που απαιτείται για να φέρει το σύστημα

ό άθ δ λ δήστο όριο αστάθειας, δηλαδή: 180180)( ii



Εύρεση περιθώριου κέρδουςκαι περιθώριου φάσης απότα διαγράμματα BodeΤο περιθώριο κέρδους είναι το αντίστροφο του μεγέθους στην κρίσιμη συχνότητα όπου το όρισμα

ii jHjKG η ρ μη χ η ρ μ

είναι ‐180ο

1 ii jHjKG

Για ένα σταθερό σύστημα το ΠΚ δείχνει

ii jHjKG log20

ρ ημ χπόσο το κέρδος Κ μπορεί να αυξηθεί προτού το σύστημα γίνει ασταθές.Για ένα σύστημα με μηδενικά στο αριστερόΓια ένα σύστημα με μηδενικά στο αριστερό ημιεπίπεδο το κριτήριο ευστάθειας είναι:

00



Απόλυτη και σχετική ευστάθεια

Θεωρούμε την ειδική περίπτωση συστημάτων που γίνονται ασταθή και παραμένουν ασταθή καθώς η σταθερά κέρδους τους Κp παραμένει

ύ ό ί ή * ή ή ί ήμεγαλύτερη από μια κρίσιμη τιμή Κ*, δηλαδή τα συστήματα είναι ασταθή για Κp>Κ*.

+Κατευθυντής

Τελικό στοιχείο ελέγχου + Εγκατάσταση

pR+

- Y

Η ευστάθεια του συστήματος μπορεί να προσδιοριστεί από την απόκριση συχνότητας ανοιχτού βρόγχου αν ισχύουν τα παραπάνω. jHjGK pχ η ς χ βρ γχ χ ρΗ χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: Αποδεικνύεται ότι ένα τέτοιο σύστημα είναι ευσταθές όσο ισχύει:

p

01 sHsGK p

0l201 jHjGKjHjGKόπου ωπ είναι η κρίσιμη συχνότητα.

0log201 jHjGKjHjGK pp

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ BODE · 2010-01-18 · ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑBODE...

Documents

Transcript of ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ BODE · 2010-01-18 · ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑBODE...