Introdução

A resposta em regime permanente da função de transferência de um sistema

pode ser obtida diretamente a partir da função de transferência senoidal. A função de

transferência senoidal é caracterizada por seu módulo e ângulo de fase, com a

frequência como parâmetro. Função de transferência na qual s é substituído por jω,

onde ω é a frequência. Existem três formas de apresentação das características da

resposta em frequência na forma gráfica:

Diagrama de Bode ou gráfico logarítmico

Diagrama de Nyquist ou diagrama polar

Diagrama do Logaritmo do módulo versus ângulo de fase (carta de Nichols)

Existem vários motivos pelo qual é mais conveniente fazer a representação da

resposta numa escala logarítmica de frequência, como a transportabilidade da

resposta para qualquer valor de frequência. Do mesmo modo o uso de escala

logarítmica no traçado do ganho (módulo) permite contabilizar o efeito de

dispositivos em cascata de uma forma aditiva.

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1. Histórico sobre Diagrama de Bode

Os diagramas de Bode (“Bode plots”) levam este nome devido à Hendrik Wade

Bode, um engenheiro americano que atuava principalmente nas áreas de eletrônica,

telecomunicações e sistemas.

Fig. 1 – Hendrik Wade Bode (1905-1982), americano.

Os diagramas de Bode (de módulo e de fase) são uma das formas de caracterizar

sinais no domínio da frequência. O uso de diagramas de Bode na análise da resposta em

freqüência de sistemas lineares foi introduzido em 1940 no estudo das características em

freqüência de amplificadores eletrônicos. A técnica desenvolvida por Bode foi,

posteriormente, largamente disseminada para análise e projeto de sistemas de controle.

Em linhas gerais, diagramas de Bode possibilitam uma aproximação efetiva da resposta

em freqüência de sistemas complexos pela combinação da resposta de fatores de

primeira e segunda ordem.

Embora atualmente os engenheiros responsáveis pelo desenvolvimento de projetos

de sistemas de controle tenham a sua disposição poderosas ferramentas computacionais

que diminuem sobremaneira a necessidade do traçado manual dos gráficos de módulo e

fase que compõe os diagramas de Bode, tal técnica ainda é bastante utilizada pela sua

facilidade, rapidez e quantidade de informações que se pode obter de um dado sistema

sob análise de forma bastante simplificada.

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2. A Função de Transferência

O método proposto por Bode é constituído por dois gráficos. O primeiro gráfico

relacionado à magnitude da função de transferência G(jω) é traçado em função da

frequência em escala log-log. O segundo gráfico, relacionado à fase de G(jω), também é

traçado em função da freqüência, porém em escala linear-log. Esta estratégia permite-

nos traçar diagramas de resposta em freqüência sistemas de ordem elevada,

adicionando-se separadamente os gráficos relativos a cada um dos termos de primeira e

segunda ordem que compõe G(jω).

Os sinais são representados no domínio da frequência por funções de s, X(s),

Y(s), etc. Transformadas de Laplace ou por funções de jω:

X(jω), Y(jω), etc.

Se x(t) é a entrada de um sistema e y(t) é a saída deste mesmo sistema, em certas

aplicações podem ser mais interessante representar no diagrama de blocos estes sinais:

X(s), X(jω), Y(s) e Y(jω)

No domínio da frequência, em vez de no domínio do tempo conforme é ilustrado

na figura abaixo, onde G(s) e G(jω) são a reposta impulsional do sistema:

Fig. 2 – Diagrama de blocos com os sinais de entrada e saída representados no domínio da frequência.

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3. Polos e Zeros da Função de Transferência

Considere agora a função de transferência G(s) de um sistema, depois de

reduzida para forma de fração racional da equação abaixo:

G(s)= q(s)

p(s)

E suponha que todos as eventuais raízes comuns de q(s) e p(s) tenham sido

canceladas e, portanto esta expressão acima está na forma irredutível.

3.1. Equação Característica:

O polinômio p(s) é chamado de polinômio característico de G(s), ou o

polinômio característico do sistema. A equação é chamada de a “equação

característica” do sistema:

p(s) = 0

3.2. Polos da função de transferência:

As raízes do polinômio característico são chamadas de polos de G(s) ou polos do

sistema. Ou seja, os polos são as soluções da equação característica.

Zeros da função de transferência:

As raízes do numerados de G(s) (q(s)) são chamadas de zeros de G(s) ou zeros do

sistema. Ou seja, os zeros são as soluções da equação q(s) = 0.

De maneira semelhante se define os polos e zeros de uma resposta impulsional G(s).

Considere a função de transferência G(s) dada pelo exemplo 1:

G(s)= 2(s+30)

s(s+2)(s²+2s+2)

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É fácil de verificar que G(s) tem um zero em:

s = –30

E quatro polos, respectivamente em:

s = 0, s = –2, e s = –1 ± j

Sendo que: 2 são reais e 2 são complexos. Como s = 0 é um polo de G(s),

costuma-se dizer que este sistema tem um “polo na origem”. A equação característica

deste sistema é:

p(s) s (s+2)(s2 +2s+2) s4 4s3

6s2 4s

Exemplo 2: Considere agora a função de transferência G1(s) dada por:

G (s)= ___10 5 ______

(s+10)(s +10 s+10 )

Nitidamente G1(s) tem um “zero na origem”, ou seja, em s = 0 e três polos,

respectivamente em:

s 10 e s 50 j50√ 3

A equação característica deste sistema é:

P1 (s) (s+10)(s2 +102 s+104 ) s3 110 s2 11103 s 105

Exemplo 3: Considere agora a função G(s) dada por:

G(s) 10 s2

(s+a ) ( s+b )(s−c)

G(s) tem um “zero duplo na origem” (i.e., em s = 0) e quatro polos,

respectivamente em:

s = –a (duplo), s = –b2 e s = c.

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3. Fatores para Construção do Diagrama de Bode

Os fatores básicos para a construção de um diagrama de Bode G(s) são funções

racionais em ‘s’. Qualquer G(s) da forma pode ser desmembrado em fatores básicos e

com isso a construção de um esboço do diagrama de Bode se torna mais simples.

4.1. O ganho de Bode (KB)

G(s) = KB

Um número K maior que uma unidade possui um valor positivo em decibéis,

enquanto um número menor que uma unidade tem valor negativo. A curva de módulo

em dB de um ganho constante K é uma reta horizontal de valor de valor 20log K

decibéis. O ângulo de fase do ganho K é zero. O efeito da variação do ganho K na

função de transferência é o de deslocar para cima ou para baixo a curva de módulo em

dB da função de transferência em um valor constante correspondente, mas isso não tem

nenhum efeito sobre a curva de ângulo de fase.

O valor decibel de qualquer número pode ser obtido com auxílio do gráfico

abaixo, quando um número aumenta em um fator de 10, o valor correspondente em

decibel fica acrescido de 20.

20 log ( K x 10 ) = 20 log K + 20

De maneira semelhante,

20 logK=−20 log1k¿¿

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Figura 3 – Gráfico de conversão de um número em decibel.

4.2. Fatores integral e derivativo ( jω)∓1

O valor logarítmico de 1/jω em decibéis é:

20 log| 1jω|=−20 log ωdB

¿¿

O ângulo de fase de 1/jω é constante igual a -90º. No diagrama de Bode as

relações de frequência são expressas em termos oitavas ou de décadas. Uma oitava é um

intervalo de frequência de ω1 a 2ω1, onde ω1 é qualquer valor de frequência. Um década

corresponde a um intervalo de frequência de ω1 a 10 ω1, onde, novamente, ω1 é qualquer

valor de frequência.

Se for construído um gráfico de -20 log ω dB versus ω em escala logarítmica, o

resultado será uma reta. Para traçar esta reta, é necessário localizar um ponto (0dB,

ω=1) sobre ela. Como:

(-20 log 10ω) dB = (-20 log ω -20) dB

A inclinação da reta será -20dB/década ( ou -6dB/oitava). De maneira

semelhante o módulo de jω em decibéis é:

20 log| jω|=20 logω dB10 | P á g i n a

O ângulo de fase de jω é constante e igual a 90º. A curva do logaritmo do

módulo é uma reta com inclinação de 20dB/década. No gráfico abaixo se pode

visualizar as curvas de respostas em frequência para 1/jω e jω. Pode-se descrever com

clareza que as diferenças nas curvas das respostas em frequência dos fatores 1/jω e jω

estão nos sinais das inclinações das curvas do logaritmo de módulo e nos sinais dos

ângulos de fase. Ambas as grandezas logarítmicas tornam-se iguais a 0 dB em ω=1.

Figura 3 – (a) Diagrama de Bode de G(jω) = 1/jω; (b) diagrame de Bode de G(jω)=jω.

4.3. Fator de Primeira Ordem (1+ jωT )∓1

O módulo em dB do fator de primeira ordem 1/(jωT) é:

20 log|1+ jωT|=−20 log √1+ω2T 2 dB

Para baixas frequências, como ω ≪ 1T

, o módulo em dB pode ser aproximado

por:

−20 log √1+ω2 T2≑−20 log 1=0 dB

Assim a curva de módulo em dB em baixas frequências é uma reta de 0dB

constante. Para altas frequências, como ω≫ 1T

, essa é uma expressão aproximada para a

faixa de altas frequências. Em ω=1/T, o valor do módulo CE de 0dB; em ω=10/T o

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módulo é de -20dB. Portanto, o valor de -20log ωT dB decresce em 20dB para cada

década de ω. Para ω≫ 1T

, a curva de módulo em dB é então, uma reta com uma

inclinação de -20dB/década ( ou -6dB/oitava).

−20 log √1+ω2 T2≑−20 log ωT dB

4.4. Fatores Quadráticos ¿.

Os sistemas de controle frequentemente possuem fatores quadráticos da forma:

G ( j ω)= 1

1+2ξ ( jωωn )+( j

ωωn )

2

Se ξ>1, esse fator quadrático pode ser expresso como um produto de dois

fatores de primeira ordem com polos reais. Se 0<ξ<1, esse valor quadrático é um

produto de dois fatores complexos conjugados. As aproximações assintóticas para as

curvas de resposta em frequência não são precisas para um fator com baixos valores de

ξ ,porque o módulo e a fase do fator quadrático dependem tanto da frequência de canto

como do coeficiente de amortecimento ξ .

Pode-se obter a curva assintótica de frequência como:

20 log| 1

1+2ξ( jωωn

)+( jωωn

)2|=−2 oLog√(1− ω2

ω2n)

2

+¿¿

Para baixas frequências, como ω ≪ωn, o módulo em dB passa a ser:

-20 log1=0 dB

Portanto, a assíntota de baixa frequência é uma reta horizontal em 0 dB. Para

altas frequências como ω≫ωn, o módulo em dB passa a ser:

-20 log ω2

ω2n

=−40 logωωn

A assíntota de alta frequência cruza a de baixa frequência em ω=ωn, pois nessa

frequência:

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-40 log ωωn

=−40 log 1=0dB

Essa frequência ωné a frequência de canto do fator quadrático considerado.

5. Conclusão

O tipo de método gráfico de análise baseado na resposta em frequência de um

sistema (Diagrama de Bode) é amplamente empregado no projeto de sistemas de

controle pela facilidade com que dados experimentais podem ser usados para propósito

de projetos, principalmente porque este método resulta em bons projetos mesmo diante

de incertezas sobre o modelo do processo. Neste método, estuda-se o comportamento da

saída de um sistema, em regime estacionário, mediante a aplicação de sinais senoidais

de frequência variável em torno de uma faixa de interesse. Um dos principais motivos

para se usar este tipo de representação é a resposta numa escala logarítmica de

frequência, como a transportabilidade da resposta para qualquer valor de frequência.

Do mesmo modo o uso de escala logarítmica no traçado do ganho (módulo)

permite contabilizar o efeito de dispositivos em cascata de uma forma aditiva. A

principal vantagem do Diagrama de Bode é que a multiplicação dos módulos dos fatores

de G(jω) é transformada em soma simples. Além disso, pode-se obter uma

representação rápida da resposta em frequência através das aproximações assintóticas.

Essas aproximações são válidas somente quando se deseja obter informações

superficiais a respeito da característica da resposta em frequência de um determinado

sistema. Para aplicarmos o Diagrama de Bode devemos “ter” sempre o sistema com

realimentação unitária negativa. Aplica-se o Diagrama de Bode somente a G(s), ou

seja, o sistema em malha aberta.

A representação logarítmica é útil pelo fato de que mostra tanto as características

de baixa frequência como aquelas de alta frequência, para a função de transferência

considerada, em um único diagrama. A expansão da faixa de baixa frequência utilizando

uma escala logarítmica é vantajosa, uma vez que as características de baixa frequência

são tipicamente mais importantes em sistemas práticos.

O gráfico logarítmico permite, com relativa facilidade, desenhar as curvas de

resposta em frequência. Além disso, a abordagem da resposta em frequência possui as

vantagens de que um sistema pode ser projetado de modo que os efeitos de ruídos

indesejáveis sejam desprezíveis. Uma vez que a amplitude de G(jω) é expressa em

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decibéis (dB), produtos e divisões de fatores elementares G(jω) transformam-se em

adições e subtrações de ganhos, respectivamente. As curvas do ganho de G(jω) podem

ser aproximadas por segmentos de reta, o que permite um esboço rápido e simples, sem

o recurso a cálculos muito complicados.

Bibliografia

http://webx.ubi.pt/~felippe/texts2/an_sinais_cap9.pdf

www.feng.pucrs.br/~gacs/new/disciplinas/ascn/apostilas/Aula10.pdf

Engenharia de Controle Moderno. Ogata, Katsuhiko. Pearson Education, 4ªEdição, 2009.

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