Lección 2. Integrales y aplicaciones. · Los criterios de convergen-cia son condiciones que nos...

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II

Lección 2. Integrales y aplicaciones.

1

5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler.

La forma habitual de calcular una integral impropia, por ejemplo 2

0,xe dx

∞−∫ es hallar una primitiva

del integrando, aplicar la regla de Barrow y determinar si existe el límite 2

0lim .

rx

re dx−

→∞ ∫ Sin embar-

go, hay una clase amplia de funciones continuas (como por ejemplo la función 2

( ) xf x e−= ) cuyas primitivas no son calculables por métodos elementales. En estos casos puede que nos interese saber, al menos, si la integral converge, aunque no sepamos calcular su valor. Los criterios de convergen-cia son condiciones que nos permiten garantizar la convergencia de algunas integrales impropias.

EJEMPLO. Veamos que la integral 2

0

xe dx∞

−∫ es convergente, es decir, que existe 2

0lim .

rx

re dx−

→∞ ∫ Sa-

bemos que 2

0

rxe dx−∫ es una función creciente de ,r con lo cual, cuando ,r →∞ su límite tiende a

infinito (si no está acotada) o bien, su límite es finito (si está acotada)1. Veamos que ocurre esto segundo. Para ello, observa el siguiente gráfico.

Entonces, para cada 1x ≥ tenemos que

2

,x xe e− −≤ para 1.x ≥ Esto nos dice que la curva de ecua-

ción 2xy e−= está situada entre el eje OX y la curva de ecuación ,xy e−= como podemos observar

en la figura. Ahora bien, para 1,r > tenemos que 2

1 1

1 1 .r r

x x re dx e dx ee e

− − −≤ = − ≤∫ ∫ Por tanto, los

valores 2

1

rxe dx−∫ están acotados por 1

e y, en consecuencia, existe el siguiente límite

1 NOTA. Sea

g : x∈ a,∞⎡⎣ )→ g(x)∈ , siendo a∈ un número cualquiera, una función creciente. Si la función g está

acotada (es decir, existe una constante M tal que ( )g x M≤ para todo [ ), ,x a∈ ∞ entonces existe lim ( )x

g x→∞

y es finito.

Si la función g no está acotada, entonces lim ( ) .x

g x→∞

= ∞



2

2

0

1 1lim lim 1 1r

x r

r re dx e

e e− −

→∞ →∞

⎛ ⎞≤ − + = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

y la integral 2

0

xe dx∞

−∫ es convergente.

La técnica empleada en este ejemplo sugiere el siguiente criterio.

PROPOSICIÓN (CRITERIO DE COMPARACIÓN). Sean f ,g :[a,b)→ dos funciones continuas y positi-

vas tales que ( ) ( )f x g x≤ para todo [ , ).x a b∈ Entonces, para las integrales impropias ( )b

af x dx∫ e

( ) ,b

ag x dx∫ se verifica que:

(1) Si la integral ( )b

ag x dx∫ converge, entonces la integral ( )

b

af x dx∫ también converge.

(2) Si la integral ( )b

af x dx∫ diverge, entonces la integral ( )

b

ag x dx∫ también diverge.

Es más, si la función f no es positiva, pero ( ) ( )f x g x≤ para todo [ , ).x a b∈ Entonces, la integral

( )b

af x dx∫ converge si la integral ( )

b

ag x dx∫ converge.

LA FUNCIÓN Γ DE EULER. Sea n un número natural. Entonces la integral impropia 1

0

x ne x dx∞

− −∫

converge y 1

0 ( 1)!.x ne x dx n

∞− − = −∫ En lo que sigue, denotaremos por 1

0( ) : .x nn e x dx

∞− −Γ = ∫ En

efecto, para 1n = obtenemos que 0

(1) 1,xe dx∞

−Γ = =∫ como hemos visto en los ejemplos de la sec-

ción anterior. En general, tenemos que

1 110 0

0 00

,( ) lim

,

1 1lim lim lim ( 1).

x xr

x n x n nnr

rn n nr rx x x n

rr r r

u e du e dxn e x dx e x dx xdv x dx v

n

x x re e dx e x dx nn n n e n

− −∞

− − − −

−→∞

− − −

→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤= = −⎢ ⎥Γ = = = ⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎤ ⎛ ⎞= − − = + = Γ +⎜ ⎜ ⎟⎥

⎝ ⎦ ⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

Entonces ( 1) ( )n n nΓ + = Γ para todo 1,2,...n = Puesto que (1) 1Γ = obtenemos que ( ) ( 1)!n nΓ = − para todo 1,2,...n = De esta forma, tenemos definida la función Γ para números naturales. Usando el criterio de comparación se puede extender la definición de la función Γ a números reales. Dado

un número real p consideramos la integral 1

0.x pe x dx

∞− −∫ Se trata de una integral impropia de pri-



3

mera y de segunda especie. Para estudiar su convergencia (debido a que el integrando puede que no

esté acotado en 0x = ) dividimos esta integral en dos

e− xxp−1 dx0

∞

∫ = e− xxp−1 dx0

1

∫I1

+ e− xxp−1 dx1

∞

∫I2

.

Comenzamos estudiando la integral 2.I Supongamos que 1 0p − ≥ y consideremos un natural n tal

que 1 1.p n− ≤ − Entonces 1 10 x p x ne x e x− − − −≤ ≤ para todo 1.x ≥ Como la integral 1

1

x ne x dx∞

− −∫ es

convergente, el criterio de comparación nos dice que la integral 1

1

x pe x dx∞

− −∫ también es conver-

gente. Si 1 0,p − < entonces 10 x p xe x e− − −≤ ≤ para todo 1.x ≥ Como la integral 1

xe dx∞

−∫ es con-

vergente, el criterio de comparación nos dice que la integral 1

1

x pe x dx∞

− −∫ también es convergente.

En definitiva, la integral 2I converge para cualquier valor de .p

Ahora estudiamos la convergencia de la integral 1.I Si 0 1,x≤ ≤ como la función exponencial xe−

es decreciente, entonces 1 1xee

−≤ ≤ y 1 1 11 .p x p px e x xe

− − − −≤ ≤ Como la integral 1

10

p

dxx −∫ converge si

1 1,p− < es decir, si 0,p > el criterio de comparación asegura que la integral 1

1

0

x pe x dx− −∫ conver-

ge si 0.p > Por otra parte, como la integral 1

10

p

dxx −∫ diverge si 1 1,p− ≥ es decir si 0,p ≤ el criterio

de comparación asegura también que la integral 1

1

0

x pe x dx− −∫ diverge si 0.p ≤ En definitiva, la in-

tegral 1I converge si, y sólo, si 0.p >

En resumen, la integral 1

0

x pe x dx∞

− −∫ converge si, y sólo, si 0.p > Esto nos permite definir, para

0p > la función 1

0( ) : x pp e x dx

∞− −Γ = ∫ que se llama función gamma de Euler.

EJEMPLO. Vamos a usar el criterio de comparación para establecer que la integral 20 1

x dxx

∞

+∫ es di-

vergente. Debemos encontrar una función ( ) 0f x ≥ de forma que 2( )1

xf xx

≤+

para 0x ≥ (o bien

para x suficientemente grande, digamos x a≥ ) y de manera que ( )a

f x dx∞

∫ sea divergente. Para

encontrar esta función observemos que cuando x →∞ la función 21xx+

viene a ser parecida a la



4

función 1 ,x

en el sentido de que 21lim 1.1x

xx

x→∞

+ = Entonces, debe ocurrir que 2 11 ,1 2

xx

x

+ ≥ o equivalen-

temente, 2

1 0,1 2

xx x

≥ ≥+

para x suficientemente grande. De hecho se verifica que 2

11 2

xx x

≥+

para

1.x ≥ Como la integral 1

12

dxx

∞

∫ es divergente, entonces la integral 21 1

x dxx

∞

+∫ también es diver-

gente. En consecuencia, la integral 20 1

x dxx

∞

+∫ es divergente. La técnica empleada en este ejemplo

sugiere el siguiente criterio.

PROPOSICIÓN (CRITERIO DE COMPARACIÓN POR PASO AL LÍMITE). Sean f ,g :[a,b)⊆ → dos fun-

ciones continuas y positivas tales que existe ( )lim .( )x b

f xLg x−→

= Entonces, para las integrales impropias

( )b

af x dx∫ e ( ) ,

b

ag x dx∫ se verifica que:

(1) Si 0 ,L< < ∞ las dos integrales ( )b

ag x dx∫ y ( )

b

af x dx∫ tienen el mismo carácter, es decir, la

integral ( )b

af x dx∫ converge si, y sólo, si la integral ( )

b

ag x dx∫ converge.

(2) Si 0L = y la integral ( )b

ag x dx∫ converge, entonces la integral ( )

b

af x dx∫ también converge.

(3) Si L = ∞ y la integral ( )b

ag x dx∫ diverge, entonces la integral ( )

b

af x dx∫ también diverge.

LA FUNCIÓN B DE EULER. Una compañera inseparable de la función gamma es la función beta de

Euler, definida para 0p > y 0q > por la igualdad 1

1 1

0( , ) : (1 ) .p qB p q x x dx− −= −∫ Observemos que el

integrando no está acotado en los puntos 0x = y 1.x = Vamos a comprobar, usando el criterio de

comparación por paso al límite, que la integral 1

1 1

0(1 )p qx x dx− −−∫ es convergente si, y sólo si, 0p >

y 0.q > Para esto vamos a descomponer la integral en dos, de la siguiente forma

xp−1(1− x)q−1 dx0

1

∫ = xp−1(1− x)q−1 dx0

12∫

I1

+ xp−1(1− x)q−1 dx12

1

∫I2

.

La integral 1I es impropia porque el integrando no está acotado en 0x = y la integral 2I es impro-pia porque el integrando no está acotado en 1.x = Comenzamos estudiando la convergencia de la

integral 1.I Observemos que 1 1

10

(1 )lim 1.p q

px

x xx

− −

−→

−= El criterio anterior nos dice que 1I tiene el mis-



5

mo carácter que 1 12 21

10 0

1ppx dx dx

x−

− +=∫ ∫ y ya sabemos que esta última integral converge si, y sólo,

si 1 1,p− + < es decir, 0.p > Para estudiar la convergencia de la integral 2I observemos que 1 1

11

(1 )lim 1.(1 )

p q

qx

x xx

− −

−→

−=

− El criterio de comparación por paso al límite nos dice que 2I tiene el mismo

carácter que la siguiente integral 1 1

111 1

2 2

1(1 )(1 )

qqx dx dx

x−

− +− =−∫ ∫ y ya sabemos que esta última in-

tegral converge si, y sólo, si 1 1,q− + < es decir, 0.q > En definitiva, tenemos que

11 1

0( , ) (1 )p qB p q x x dx− −= −∫

es convergente si, y sólo si, 0p > y 0.q >

La funciones 1

0( ) x pp e x dx

∞− −Γ = ∫ y

11 1

0( , ) (1 )p qB p q x x dx− −= −∫ se llaman integrales eulerianas y

aparecen en varias áreas de la matemática aplicada. Existen muchas propiedades interesantes que verifican las funciones eulerianas, así como relaciones entre ellas. Quizá la más relevante sea que

( ) ( )( , )( )p qB p qp q

Γ ⋅Γ=

Γ + para todos 0p > y 0.q > A veces esta igualdad permite calcular integrales

trigonométricas. Por ejemplo, si hacemos el cambio 2senx θ= en la integral 1

1 1

0(1 )p qx x dx− −−∫ ob-

tenemos

xp−1(1− x)q−1 dx0

1

∫ =x = sen2θ , dx = 2senθ cosθ

x = 0,θ = 0; x =1,θ =π2

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥= sen2 p−2θ cos2q−2θ2senθ cosθ dθ

0

π2∫

= 2 sen2 p−1θ cos2q−1θ dθ0

π2∫ .

Entonces sen2 p−1θ cos2q−1θ dθ0

π2∫ =

12

B( p,q) = Γ( p) ⋅Γ(q)2 ⋅Γ( p+ q)

. Puesto que la función gamma está tabu-

lada, muchas de estas integrales se pueden calcular o aproximar de esta manera. Observa que la

integral 4 2 1 2 1

0sen cosp q d

π

θ θ θ− −∫ puede ser una integral impropia de segunda especie, puesto que la

función seno se anula en θ = 0 y la función coseno se anula en θ =π2

.

EJEMPLO. En la sección anterior calculamos el valor de esta integral impropia 130

.(1 )dx

x x

∞

+∫ Ahora

vamos a establecer la convergencia de dicha integral sin calcularla. Usaremos el criterio de compa-ración por paso al límite. Sabemos que esta integral es impropia porque el intervalo de integración



6

es infinito y también porque el integrando 13

1( )(1 )

f xx x

=+

(que es positivo en el intervalo de inte-

gración) no está acotado en 0.x = Separamos la integral en dos, por ejemplo, ponemos

dxx

13 (1+ x)0

∞

∫ =dx

x13 (1+ x)0

1

∫I1

+dx

x13 (1+ x)1

∞

∫I2

.

La integral 1I es de segunda especie. Además se verifica que 13

13

0 0

11(1 )lim lim 1.1 (1 )x x

x xx

x→ →

+ = =+

El crite-

rio de comparación por paso al límite nos dice que 1I tiene el mismo carácter que 13

1

0.dx

x∫ Como

1 1,3< esta integral es convergente, luego 1I también lo es. La integral 2I es de primera especie.

Además se verifica que 4133

13

43

1(1 )lim lim 1.1 (1 )x x

xx xx x

x→∞ →∞

+ = =+

El criterio de comparación por paso al

límite nos dice que 2I tiene el mismo carácter que 431.dx

x

∞

∫ Como 4 1,3> esta integral es convergen-

te, luego 2I también lo es. Entonces la integral 130 (1 )

dxx x

∞

+∫ es convergente.

EJEMPLO. Vamos a usar ahora el criterio de comparación por paso al límite para establecer que la

integral 20 1

x dxx

∞

+∫ es divergente. Observemos que esta integral es de primera especie. Además, el

integrando 21xx+

se comporta como 1x

cuando .x →∞ Esto significa exactamente que

22

21lim lim 1.1 1x x

xxx

xx

→∞ →∞

+ = =+

El criterio de comparación por paso al límite nos dice, por ejemplo, que las integrales 21 1

x dxx

∞

+∫ e

1

dxx

∞

∫ tienen el mismo carácter. Como 1

dxx

∞

∫ es divergente, entonces 21 1

x dxx

∞

+∫ diverge, luego

20 1

x dxx

∞

+∫ también es divergente.



7

EJEMPLO. En este último ejemplo analizaremos la convergencia de la integral 2

,log p

dxx

∞

∫ siendo

0.p > Comenzaremos con el caso 1.p = Observemos que

1loglim lim .1 logx x

xxx

x→∞ →∞

= = ∞ El criterio de

comparación por paso al límite nos dice que, puesto que 1

dxx

∞

∫ es divergente, entonces 1 log

dxx

∞

∫

también es divergente. En el caso general ocurre algo similar puesto que sabemos que

1loglim lim1 log

p

px x

xxx

x→∞ →∞

= = ∞

para todo 0.p > La conclusión de que 1 log p

dxx

∞

∫ es divergente se hace igual que en el caso 1.p =

EJERCICIO 1. Determina si las siguientes integrales impropias convergen y, en su caso, calcula su valor.

(1) ( )0

sen cos .xa x b x e dx∞

−+∫ (2) 20

1 .1

dxx

∞

+∫ (3) 1

0

log .x dxx∫ (4) 3

1

log .x dxx

∞

∫

EJERCICIO 2. Consideremos la función definida por 2( ) ,3 2xf x

x x=

+ + con [0, ).x∈ ∞ Dibuja la

gráfica de la curva de ecuación ( )y f x= y calcula el volumen generado al girar dicha curva alrede-dor del eje .OX EJERCICIO 3. Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias y, en su caso, calcula su valor:

(1) 4

1/32

1 ,(4 )

dxx x−∫ (2)

3

0

1 ,(1 )

dxx x+∫ (3) 2 ,

1

x

x

e dxe

+∞

−∞ +∫ (4) 0 1 .

1dx

x−∞ −∫

EJERCICIO 4. Usando el criterio de comparación por paso al límite, comprueba que la integral im-

propia 0

logxe x dx∞

−∫ es convergente.

EJERCICIO 5. Comprueba que la integral impropia 4

0 cos(2 )dx

x

π

∫ es convergente y expresa su valor

en función de la función Γ de Euler.



8

EJERCICIO 6. Establece la convergencia de la integral impropia ( )221

log ,1

x x dxx

∞

+∫ sin calcularla y,

posteriormente, calcula el valor de dicha integral.

EJERCICIO 7. Comprueba que la integral impropia 1 senh

dxx

∞

∫ es convergente y calcula su valor. ¿Es

convergente la integral impropia 0 senh

dxx

∞

∫ ?

EJERCICIO 8. Considera la función

f : x∈ 0,1( ) ⊆ → f (x) = 1

xlog 1x

∈ .

(1) Dibuja (de forma esquemática) la gráfica de la función ( ).y f x=

(2) Calcula los siguientes límites 1

1limlogx

xx x−→

− y 0

lim ( ).x

x f x+→

(3) Justifica que la integral impropia 1

0( )f x dx∫ es convergente.

EJERCICIO 9. ¿Es posible aplicar algún criterio de convergencia a la integral 0

sen x dxx

∞

∫ para estu-

diar su convergencia? Razona la respuesta. A continuación, integra por partes para obtener la igual-

dad 21 1

sen cos coscos1r rx r xdx dx

x r x= − −∫ ∫ para todo 1.r ≥ A partir de aquí, determina si la integral

impropia 0

sen x dxx

∞

∫ es convergente o divergente. Razona la respuesta.

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