LE ORIGINI DELLA TEORIA QUANTISTICA - uniroma1.it...Fisica moderna 6 L’effetto fotoelettricopuò...

LEORIGINIDELLATEORIAQUANTISTICA

LEZIONEN.3

DUALISMOONDA-PARTICELLA

L.Palumbo - FisicaModerna - 2017-18 1

LeggediWien (1893)TλΜ =b


L.Palumbo - Fisicamoderna- 2018-17 3

𝑓 𝜈 = $%&'(

)(

*+,-./01

Spettro dicorpo nero diPlanckche riproduceperfettamente i dati sperimentali

POSTULATODIPLANCK(1900)

L’Energia èquantizzata,conuncontenutoproporzionaleallafrequenza(n intero):𝐸3(𝜈) = 𝑛ℎ𝜈

𝐸 =ℎ𝜈

𝑒&)9.: − 1

Energia media

Spettro intensità


L’effetto Fotoelettrodo fu per la prima voltaosservato da Hertz primadel 1980.Nel 1902 Philipp Lenard avviò una serie diesperimenti per determinare come l’energiadei fotoelettroni emessi dipendessedall’intensità della luce. Come sorgenteluminosa utilizzò una lampada ad arco dinotevole potenza che gli permise unaescursione in intensità di un fattore mille. Glielettroni emessi dal fotocatodo finivano suuna piastra metallica, il collettore, che era asua volta collegato al primo mediante un filoconduttore attraverso un sensibileamperometro in tal modo era possibilemisurare la corrente di elettroni prodottadall’illuminazione.

EFFETTOFOTOELETTRICOESPERIMENTODILENARD(1902)

Fisicamoderna 5

L’effetto fotoelettrico può essereinterpretato come un urto tra un fotone eun elettrone (Einstein 1905).

Se l’energia del fotone è maggiore del lavoro di estrazione l’elettrone supera la barriera e fuoriesce con una certaenergia cinetica

𝐸'= = ℎ𝜈 − 𝐿*

EFFETTOFOTOELETTRICOEINSTEIN(1905)

Fisicamoderna 6

L’effetto fotoelettrico può essere interpretato come un urto tra unfotone, quanto di radiazione, e un elettrone (Einstein 1905).

Appare una evidente contraddizione, ci basiamo sulla teoriaondulatoria per trovare l’energia ℎ𝜈 del fotone !!!

𝐸'= = ℎ𝜈 − 𝐿*

Se il fotone è un corpuscolo, come avviene l’interferenza di duefenditure misurate da Young?

R. FEYNMAN: è impossibile prevedere cosa farà il singolo fotone, nonsiamo in grado di prevedere se il fotone passerà per la fenditura A oB. Possiamo solo parlare di probabilità dell’evento A o B. La natura cipermette solo di calcolare tale probabilità.


Un gas reso incandescente (in questo casol’idrogeno), emette energia solo su alcunefrequenze. Lo stesso gas esposto ad una luceassorbe le stesse frequenze che emette quandoè riscaldato. Uno spettro di assorbimento (righein alto) è quindi il negativo dello spettro diemissione (righe in basso).

𝜆 = 𝑏𝑛A

𝑛A − 4

Balmer 1885

b=3645,6Angstrom

SPETTRODIASSORBIMENTO EDEMISSIONE


Sono ammesse sololeorbite stazionarie,l’energia può essere assorbita oemessa mediante unsalto daun’orbita all’altra

𝑟D =1𝑚*

4𝜋𝜖D𝑒A

ℎ2𝜋

A

= 0,529𝐴𝑛𝑔𝑠𝑡𝑜𝑚

𝐸3 = −1𝑛A

12

𝑒A

4𝜋𝜖D𝑟D

Ilraggio inferiore è detto primoraggio diBohrdell’atomo diidrogeno

𝑟3 = 𝑛A𝑟D

𝜈 =𝐸3 − 𝐸=

ℎ = 12ℎ

𝑒A

4𝜋𝜖D𝑟D1𝑚A −

1𝑛A

𝑟3 =𝑛A

𝑚*

4𝜋𝜖D𝑒A

ℎ2𝜋

A


DUALISMO ONDA-PARTICELLA:DEBROGLIE



PLANCK:Quantizzazionedelcampoelettromagnetico contenuto inuna cavità

BOHR:Quantizzazionedell’energia degli elettroni legati alnucleoEINSTEIN:Quantizzazionedelcampoelettromagnetico che si propaga - fotone

Ripartiamo dalraggio dell’atomo diBhor

𝑝 =ℎλ

nell’ipotesi diDeBroglie

𝑟3 = 𝑛A4𝜋𝜖D𝑚*𝑒A

ℎ2𝜋

A 14𝜋𝜖D

𝑒A

𝑟3A=𝑚*𝑣3A

𝑟3

𝑒A = 4𝜋𝜖D𝑚*𝑣3A𝑟3

2𝜋𝑟3 A =𝑛AℎA

𝑚*A𝑣3A

2𝜋𝑟3 = 𝑛ℎ

𝑚*𝑣3

2𝜋𝑟3 = 𝑛λ

otteniamo perlaquantità dimotodell’elettrone



Leuniche orbite consentite sono quelle che contengono unnumero intero dionde stazionarie.

La quantizzazione di Bohr equivale a imporre chesono permesse solo le orbite che contengono unnumero intero di lunghezze d’onda

𝐸 = ℎ𝜈 𝑝 =ℎ𝜆

DeBroglieintroducedifatto un’onda elettronicaassociata all’elettrone.


DUALISMOONDA-PARTICELLA(2)

Esperimento interferenza elettroni attraverso duefenditure (unelettrone alla volta)

Come fa l’elettrone a decidere in qualefenditura passare? Con che legge fisica ?

Per questi fenomeni non possiamo utilizzareleggi deterministiche, riusciamo a descivere ilcomportamento della natura solo utilizzandoleggi probabilistiche.

Non possiamo più affermare che un elettronioccupi una determinata posizione nello spazioe nel tempo, altrimenti non avremmol’interferenza!! E sarebbe difficile spiegarel’ipotesi di De Broglie !!

MECCANICAONDULATORIAEQUAZIONEDISCHROEDINGER(1)

Assumiamo la natura ondulatoriamediante un’onda piana

𝜓 𝑥 = 𝜓D𝑒X(9Y0Z[)𝑘 =

2𝜋𝜆

𝜔 =2𝜋𝑇

Parametri ondulatori

Onda DeBroglie

𝜕A𝜓𝜕𝑥A = −𝑘A𝜓

𝐸 =𝑝A

2𝑚 + V

b 𝜆 =ℎ𝑝

𝐸 = ℎ𝜈

𝑘 =2𝜋𝑝ℎ

𝜔 =2𝜋𝐸ℎ

𝜓 𝑥 = 𝜓D𝑒XA%& (cY0d[)

Inunpotenziale esterno V,l’elettrone possiedeuna energia meccanica pari a


Eseguiamo leseguenti derivate:

𝜕A𝜓𝜕𝑥A = −

2𝜋ℎ

A𝑝A𝜓

𝐸𝜓 =𝑝A𝜓2𝑚 + V𝜓Eseguiamo i seguenti passaggi :moltiplichamo per𝜓

𝑝A𝜓 = −ℎ2𝜋

A 12𝑚

𝜕A𝜓𝜕𝑥A

𝜕𝜓𝜕𝑡 = −𝑗

2𝜋ℎ 𝐸𝜓 𝐸𝜓 = 𝑗

ℎ2𝜋

𝜕𝜓𝜕𝑡

Sostituiamo,ricaviamo l’equazionediSchroedinger che dipende daltempo– (premio Nobel1933)

−ℎ2𝜋

A 1

2𝑚

𝜕A𝜓𝜕𝑥A + V𝜓 = 𝑗

ℎ2𝜋

𝜕𝜓𝜕𝑡

𝜓 𝑥 = 𝜓D𝑒XA%& (cY0d[) 𝐸 =

𝑝A

2𝑚 + V


In presenza di un potenziale𝑉 costante, anche E è costante

12𝑚

ℎ2𝜋

A 𝜕A𝜓𝜕𝑥A + 𝑉𝜓 = −𝐸𝜓 Equazione diSchroedinger indipendente daltempo

Costituisce l’equazione fondamentale della meccanica quantistica

FUNZIONE D’ONDA COMPLESSA

𝜓(𝑟, 𝑡) Arappresenta la probabilità dP che in un istante 𝑡 l’elettrone sia contenuto nell’elementodi volume𝑑𝜏. Integrando su tutto lo spazio otteniamo:

𝝍(𝒓, 𝒕)

∫ 𝜓(𝑟, 𝑡) A𝑑𝜏 = ∫𝜓𝜓∗𝑑𝜏 =1𝒅𝝉


EQUAZIONEDISCHROEDINGER– ORBITALI ATOMICI

Mentre il modello atomico di Bohr considerava gli elettroni intornoal nucleo secondo orbite circolari, il modello atomico diSchroedinger definisce regioni dello spazio in cui il quadrato dellafunzione d’onda raggiunge i valori più elevati. Tali regioni furonochiamati orbitali e rappresentano le zone in cui è massima laprobabilità di trovare un elettrone.La funzione d’onda contiene tre numeri interi, detti numeriquantici (n, l em)Il numero quantico principale n (n = 1, 2, 3…,7) definisce il livelloenergetico dell’elettroneIl numero quantico secondario l (l = 0, 1,…, n-1)determina le caratteristiche geometriche dell’orbitaleIl numero quantico magnetico m (m = -l, 0, +l) definisce quantiorbitali della stessa forma,ma con orientazionediversaIl numero quantico di spin ms (ms = ±

½) indica il valore di spin che puòessere assunto dall’elettrone


ILLASER(LightAmplifierStimulatedEmissionRadiation)



Sfrutta l’assorbimento stimolato el’emissionediquanti diradiazione dapartediunmateriale

1) A partire da uno stato fondamentale E1(ground level) l’atomo può assorbire fotoni difrequenza ν tale che salta ad uno stato dienergia superiore E1 (livello eccitato).

2) L’atomo tende a decadere nello statofondamentale emettendo radiazione:a) Emissione Spontaneab) Emissione Stimolata



𝑁A(𝑊A1 + 𝐴) = 𝑁1𝑊1A

All’equilibrio termico il numero ditransizioni tra assorbimento ed emissionedeve essere uguale


CONDUZIONENEISOLIDI

glielettronineicristalli esempio inunadimensione: V(x)=V(x+a)

E1

E2

E1gE1u

E2gE2u

E1min

E2max

E1max

E2min

atomosingolo↓livelli energeticisingoli

dueatomi↓livelli energeticisdoppiati

moltiatomi↓multipletti dilivellienergetici

motodiunelettroneinunpotenziale periodico:soluzione formale

esempio inunadimensione: V(x)=V(x+a)

Hamiltoniana:

)(2

)(2

xVmpxH x +=

l’hamiltoniana èinvariantepertraslazioni dipassoa (periodica):H(x)=H(x+a)

funzioned’onda:H(x)ψ (x)=Eψ (x)

anche ψ (x)deveessere invarianteper traslazioni ?

Nonnecessariamente, ma|ψ (x)|2 deveesserlo

|ψ (x)|2=|ψ(x+a)|2

bandedienergiapermesseebandeproibite

ilteoremadiBloch

persoddisfare lacondizione |ψ(x)|2=|ψ(x+a)|2 la funzioned’ondadevepoteresserescrittacome

ψ(x)=eikxu(x)

conu(x)invariante pertraslazioni :u(x)=u(x+a)

ψ(x)èchiamata“ondadiBloch”

verificadel teoremadiBloch:

comeconseguenzadell’invarianza traslazionale,ψ(x)puòdifferiredaψ(x+a)alpiùperunafase:

ψ(x+a)=eiαψ(x)infatti:

ψ(x+a)=eik(x+a)u(x+a)=eikaeikxu(x)= eikaψ(x)=eiαψ(x)

conα =ka,u(x+a)=u(x)

funzioned’ondadiBloch

significato fisico dell’onda di Bloch: è il prodotto di

- un’onda piana eikx→ elettrone libero

- una funzione u(x) identica sotto traslazioni di un passo reticolare a u(x)→ funzione d’onda “in vicinanza” del singolo atomo

potenziale modulatoreperiodico V(x)piccolo: → sipartedall’ondadielettrone liberoesicorregge perl’effettodiV(x)→ elettronidiconduzione

neimetalli;→ “quantumcorral”

potenziale modulatoreperiodico V(x)grande: → sipartedalla funzioned’ondaperiodica esiinclude l’effettodella faseeikx

→ approssimazione dilegame forte

ikxikxxmk

mp e

2e

2

222 !−=

px→ costantedelmoto→ kbuonnumeroquantico


CONDUZIONENEISOLIDI

La meccanica quantistica dimostra che quando gli atomi isolati si uniscono per formareil cristallo, la struttura dei livelli energetici degli elettroni più esterni e le corrispondentifunzioni d’onda viene drasticamente modificata. Mentre, infatti, i livelli energetici e lefunzioni d’onda degli elettroni degli strati interni non vengono apprezzabilmentecambiati, di modo che tali elettroni rimangono vincolati ai singoli atomi, i livelli dellashell più esterna risultano sensibilmente alterati dalla presenza degli atomi vicini; alposto dei singoli livelli energetici nettamente distinti presenti nell’atomo isolato,l’accoppiamento tra le funzioni d’onda degli elettroni porta alla formazione di una fittabanda di livelli energetici a cui corrispondono stati elettronici delocalizzati. In altritermini, un elettrone che occupa uno dei livelli della banda non è vincolato ad un atomoma è condiviso da diversi atomi del cristallo. Sono proprio gli elettroni appartenenti atale banda, chiamata banda di valenza, che non essendo confinati all’interno di unsingolo atomo, possono contribuire alla conduzioneelettrica.


CONDUZIONENEISOLIDI

Al disopra della banda di valenza (ma, in genere, anche al disotto) si ha la formazione dialtre bande di energia, separate una dall’altra da intervalli proibiti di energia, chiamatigaps energetici

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