SENSORI PER TELERILEVAMENTO: ELETTROOTTICA

Richiami di teoria Elettromagnetica

Densità spettrale di rumoreNel grafico è rappresentato y(f)=h•υ [Wsec/photon] in funzione della frequenza ed è stata inserita l’energia del rumore termico alla temperatura di 290 °K (y1) Dalla figura si evidenzia che, essendo kT il limite inferiore del rumore a temperatura T, non è possibile rivelare un fotone alle microonde, dato che la sua energia è inferiore a kT. In figura 1.1 si vede come l’andamento del contributo di photon noise comincia a divenire sensibile rispetto al rumore termico intorno a frequenze dell’ordine di grandezza di 1013 Hz, equivalenti a lunghezze d’onda di 300 µm.

][]sec[1038.1costante

][]sec[106256.6costante

][1

)(

123

234

1

KassolutaatemperaturTKWBoltzmanndik

HzfrequenzafWPlanckdih

HzWfhe

fhfTkfh

°=°⋅⋅⋅=

=⋅⋅=

⋅⋅+−

⋅=

−−

−

−

⋅⋅ψ

1 .10101 .10111 .10121 .10131 .10141 .10151 .10161 .10 241 .10 231 .10 221 .10 211 .10 201 .10 191 .10 181 .10 17

y f( )

y1

f

1 .10 21

1 .10 20

1 .10 19

1 .10 18

1 .10 170

0

ψ f( )

ψ1 T( )

1 1016×1 1010× f

.........12

+

⋅⋅

+⋅⋅

+=⋅⋅

Tkh

Tkhe Tk

h ννν

Tkh⋅⋅

+ν1

][)( 1−⋅⋅≅ HzWTkfψ

Per le microonde kT>>hν e lo sviluppo in serie vale

Segue che:

Tkh

SNRSNR

BhP

SNR

BTkP

SNR

qheto

w

sqheto

sw

⋅⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅=

ηην

νηη

µ

µ

Rivelazione diretta e eterodina• Rivelazione diretta

• Rivelazione coerente o etrodina

Ps (R) Segnale diBackscattering Ottica

detector LPF

BPBG Background

R

RL

SNRD

Ps (R) Segnale diBackscattering

cosωift

Ottica

Beamsplitter

Oscillatore locale

LPF

LPF

Etot

SNRh’PBG

cosωift

Rivelazione eterodinaNel caso della rivelazione coerente (eterodina o omodina), alla radiazione incidente sul rivelatore viene sovrapposta la radiazione di un “oscillatore locale”. La radiazione incidente può interferire con l’oscillatore locale, a condizione che abbiano in comune almeno una componente della polarizzazione. Le radiazioni che interferiscono producono una frequenza di battimento pari alla differenza delle frequenze della radiazione incidente e dell’oscillatore locale

segnale

Oscillatore locale

Beam splitterLivello di segnale + OL

Livello di rumore

s

OL

n

s+n

Rumore di fase e ampiezza più grande del livello del segnale

OL

s

s+n

Rumore di fase e ampiezza inferiori al livello di segnale

Rivelazione eterodinaIl campo retrodiffuso dall’ atmosfera, quello dell’ oscillatore locale e quello totale sono rispettivamente pari a:

Il rivelatore produce una corrente proporzionale alla potenza Ptot(t) del campo Etot(t)il cui valore è:

Il filtro a frequenza intermedia lascia passare solo la componente a frequenza intermedia della i(t) :

La tensione all’ ingresso del rivelatore coerente vale vif(t)=R• iif(t) avendo indicato cor R la resistenza di carico all’ uscita della media frequenza.Il sistema di rivelazione coerente permette di scomporre il segnale di interesse vif(t)=R• iif(t)=vif•cos(ωift+φ(t)) nelle due componenti fase e quadratura come mostrato in figura:

tjLO

tjrictot

tjLO

tjLO

jric

jric

tjric

LOR

ifLO

dRR

eEeEE

eEeE

eEeEeE

⋅⋅⋅⋅

⋅+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅+⋅=

⋅=⋅

⋅=⋅=⋅

ωω

ωωω

ννπνπω

)(

)(22

0

2detdet

2)()(

ZE

Ahe

tPhe

ti totRhettothet ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

= ηνη

ηνη

20

222detdet

)(

422

)(

)()(

ZEE

Ahe

PPhe

i

eiti

ricLORhetricLOhetif

tjifif

difdifRLO

dif

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

⋅=

−=+−+=−⋅−⋅

ηνη

ηνη

ωωωωωωωωωω

Rivelazione eterodina• La fase φ(t) e quella relativa fra gli oscillatori a media frequenza sinωift e cosωift..• Si deve notare che φ(t)=ωdt+ϕ in cui ϕ è una fase fissa.• Questo tipo di rivelazione coerente mantiene informazione della fase relativa φ ed è necessario nei

processing per l’ analisi spettrale quando ad esempio si desidera stimare l’ informazione doppler.• Il segnale rivelato con l’ eterodina vifcos(ωift+φ(t)) viene fatto battere con il segnale di

riferimento cosωift e si ha:• vifcos(ωift+φ(t))• cosωift= (vif/2)( cosφ(t)+cos(2ωift+2φ(t)))• La componente in alta frequenza viene filtrata dal low pass filter ottenendo in uscita:• VI= (vif/2) cosφ(t)= (vif/2)cos(ωift+φ(t))• Analogamente per il canale in quadratura.• La banda del LPF viene scelta in modo da consentire il passaggio della massima frequenza doppler

che si intende stimare• Se si desidera stimare la potenza è sufficiente inserire un rivelatore quadratico all’ uscita della

media frequenza. Qualora si desideri stimare contemporaneamente la doppler e la potenza si possono rivelare, con due detector quadratici, i due canali in fase e quadratura e poi sommarli fra loro.

φ

vifcosφ

vifsinφ vifejφ

vI

vQ

Rivelazione eterodinaRapporto segnale rumore teoricoConsiderando lo shot noise prodotto dal rivelatore:

e il rumore termicoPth=k•TN•BifNell’ ipotesi normalmente verificata che la potenza dell’ oscillatore locale sia sufficientemente grande (Shotnoise>>Thermal noise) il rapporto segnale rumore vale:

Tale valore è puramente teorico poiché l’ efficienza eterodina è degradata da altri fattori (RIN. allineamento dei fasci segnale OL etc)

)(2)( det2LOifshot P

he

Beti ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅>=<νη

richetv

richetif

LOhetif

ricLOhet

shot

if

ifNshot

if

thshot

PBh

PBhP

he

Be

PPhe

ti

ti

BTktiR

tiRPP

PotenzaSNR

⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

=><

><≈

⋅⋅+><⋅

><⋅=

+≅

ηνη

ηνη

ηνη

ηνη

detdet

det

2det

2

2

2

2

2)(2

4)(

)(

)(

)(

)(if segnale

Rivelazione eterodinaLe componenti senωift e cosωift nell’oscillatore locale a media frequenza sono utilizzate per convertire il segnale nella banda IF in due segnali I e Q in banda video. L’uso dei canali I e Q è necessario per:

– Riduzione della frequenza di campionamento– Stima dello spostamento della frequenza Doppler positiva e negativa– Demodulazione ottima in presenza di spettri di segnale non simmetrici (modulazione

simultanea di frequenza e ampiezza)– Eliminazione di velocità cieche (un segnale è sempre presente in uno dei due canali)– Elaborazione coerente del segnale con un algoritmo FFT o con un ‘covariance

processing’In applicazioni quali DWL (Doppler Wind Lidar) il ricevitore deve fornire le tre stime più importanti dei momenti spettrali che sono:

– La potenza del segnale di ritorno o momento zero dello spettro Doppler. Tale parametro è un indicatore del contenuto aereosolico o rate di precipitazione nella cella di volume risolta.

– La velocità Doppler media o il primo momento dello spettro normalizzato di potenza. Questo parametro è uguale alla mobilità media degli elementi scatteranti pesati dalla loro cross section. E essenziale che vi sia una componente di velocità radiale neiconfronti del ricevitore ottico.

– La larghezza spettrale σ, ossia la radice quadrata del secondo momento che identifica la dispersione delle velocità delle particelle intorno al loro valore medio.

SNR• I valori di SNR diretto e eterodina si possono scrivere come segue:

in cui:Ps Potenza del segnale ricevutoPOL Potenza dell’ oscillatore localePbg Potenza della radiazione di background dovuta alla radiazione dell’ ambiente in cui si opera che incide sull’ ottica del ricevitorePd Potenza dovuta alla corrente di buio del fonorivelatore, cioè quella corrente prodotta anche quando su di esso non incide alcuna radiazionePT Potenza del rumore termico dovuta alla parte elettronica del ricevitoreηhet Efficienza di mixing eterodinaF Figura di rumore dell’ amplificatoreReq Resistenza di carico dell’amplificatoreNλ Brillanza spettrale della sorgente di backgroundΩs Angolo solido con cui è vista dal ricevitoreAr Area della pupilla del ricevitore Bottico Banda del filtro ottico del ricevitoreτa ,τ0 Trasmissività rispettivamente dell’ atmosfera e delle ottiche di ricezione

otticoarsbg

qhet

qheteqdbgsOL

OLsqhethet

Tdbgs

sqd

BANP

BhP

eh

RFTkPPPPBh

PPSNR

PPPPBhP

SNR

⋅⋅⋅⋅Ω⋅=

⋅⋅

⋅⋅≅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

++++⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

+++⋅⋅⋅

⋅=

ττ

ν

ηη

ην

ην

ηη

ν

η

λ 0

2

2

)2

(

)(

SNRLa corrente totale di rumore del fotorivelatore e dell'elettronica a basso rumore associata In(rms) è dovuta essenzialmente ai contributi gaussiani di densità di potenza di rumore, come mostrato dalla seguente relazione:

Indk2 Corrente di rumore di buioInth2 Corrente di rumore termico o JohnsonInbk2 Corrente di rumore dovuta alla radianza di backgroundIns2 Corrente di rumore di shotInp2 Corrente di rumore dei circuiti associati al detector, riferita all'

ingresso∆f Banda equivalente di rumore

( ) )( )( 22222rmsnnpnsnbknthndkn AfIIIIIrmsI ∆⋅++++=

SNRDensità di potenza della corrente di rumore di buio Indk

2

Tale quantità rappresenta il contributo di rumore generato dal flusso nel fotorivelatore della componente in continua (dc) della corrente di buio, dovuta cioè al rumore prodotto dal fotorivelatore in assenza di radiazione presente al suo ingresso, ed è pari a :

Indk2 =2•e•Idk

2 (A2/Hz)in cui :Idk corrente di buio in dc (A)e carica dell' elettrone pari a 1.6•10-19 (Coulomb)Valori tipici per la corrente di buio sono Idk =50•10-9 A. Segue che:Indk

2 =2•1.6•10-19•50•10-9=1.6•10-26 A2/HzLa densità di potenza di rumore di corrente di buio, radice quadratica media del precedente valore, vale pertanto:Irmsndk=1.26•10-13 A/(Hz)1/2.

SNRDensità di potenza della corrente termica (Johnson) Inth

2

Tale quantità è relativa alla componente termica ed è dovuta al fatto che l’elemento resistivo di ingresso a temperatura diversa dallo zero termico assoluto (0 °K) emette una corrente pari a:Inth

2 =(4•k•T)/R (A2/Hz)in cui:

k Costante di Boltzmann pari a 1.3•10-23 J/°KT Temperatura (°K)R Resistenza di rumore del fotodetector

Valori tipici per R sono R =104 ohm da cui segue che:Inth

2 =(4•1.38•10-23•290•10-9)=1.6•10-24 A2/HzLa densità di potenza di rumore di corrente di buio, radice quadratica media del precedente valore, vale pertanto:Irmsnth=1.26•10-12 A/(Hz)1/2.

SNRDensità di potenza della corrente di rumore dovuta alla radianza di background Inbk

2

Tale contributo è dovuto alla corrente dc ottenuta dalla fotoconversione del flusso radiometrico continuo del background che illumina il fotorivelatore. Generalmente la radianza di background, prima di raggiungere il fotodetector, è limitata angolarmente dall'angolo di accettazione FOV dell'ottica ed è spettralmente filtrata da un filtro passabanda, per rigettare la radianza fuori dalla banda spettrale di interesse. Nel caso laser il 100% della energia dello spot laser si può considerare spettralmente allocato entro ± 0.005 µ rispetto alla lunghezza d'onda emessa.Inbk

2=2•e• Ibk2 (A2/Hz)

Numericamente si ha:Inbk

2 =2•1.6•10-19•354•10-9=1.13•10-25 A2/HzLa densità di potenza di rumore di corrente di buio, radice quadratica media del precedente valore, vale pertanto:

Irmsnbk=3.4•10-13 A/(Hz)1/2.Il valore di Ibk si calcola in base alla seguente relazione:

Ibk =τa(λspot,R)•La(λspot)• to(λspot)•∆λ fil•Rλspot•FOV2•Ao

in cui:τa(λspot,R) Trasmittanza spettrale per un cammino atmosferico RLa(λspot) Radianza spettrale (W•cm-2•sr-1•µm-1)del background in vicinanza dello spot laser

alla lunghezza d'onda del laser (3•10-3)to(λspot) Trasmittanza atmosferica delle ottiche alla lunghezza d'onda del laser∆λfil Banda ottica del filtro al 50% di trasmissioneRλspot Responsivity del fotodetector in presenza di un flusso continuo alla lunghezza d'onda

del laserFOV2 Angolo di accettazione dell'otticaAo Superficie effettiva della pupilla di ingresso

SNRAssumendo i seguenti valori :τa(λspot,R)=1 (considerando un cammino atmosferico breve)La(λspot) 3•10-3 W•cm-2•sr-1•µm-1to(λspot) 0.5 Trasmittanza ottica del filtro ottico ∆λfil∆λfil 0.01 µmRλspot 0.48 A/W Responsivity media all'interno della banda del

filtro ottico ∆λfilFOV2 2•10-3 sr (FOV2(sr)= π•sin2(FOV/2)) essendo

FOV=50•10-3 rad, FOV/2=25•10-3 rad, FOV2(sr)= π•sin2(25•10-3)Ao 24.6 cm2 Avendo assunto una pupilla di ingresso di 5.6 cm con una distanza focale effettiva di (EFL) pari a 4 cm (ossia un f# 0.71)Si ha pertanto:Ibk=τa(λspot,R)•La(λspot)• to(λspot)•∆λ fil•Rλspot•FOV2•Ao=1•3•10-3•0.5•0.01•0.48•2•10-3• • 24.6=354•10-9

SNRDensità di potenza della corrente di shot dovuta alla irradianza del segnale laser Ins2

Ins2=2•e•Is2 (A2/Hz)in cui Is è la corrente di picco generata dalla irradianza N (λspot) (W/cm2) del minimo segnale laser rivelabile all' ingresso dell' ottica Is=N(λspot)• to(λspot)•Rλspot•AoN (λspot)=1µW/cm2Numericamente si ha:N(λspot)=1µW/cm2e assumendo per gli altri parametri i valori già definiti si ha:Is =10-6•0.5•0.48•26.6=6•10-6 A/HzDa cui segue:

• Ins2 =2•1.6•10-19•6•10-6=2•10-24 A2/Hz

• La densità di potenza di rumore di corrente di shot, radice quadratica media del precedente valore, vale pertanto:

• Irmsns=1.4•10-12 A/(Hz)1/2.

SNRDensità di potenza della corrente dovuta ai circuiti associati riportata in ingresso Inp2

Utilizzando un’ espressione semplificata in cui si assumono trascurabili le altre componenti, si ha :Inp

2=(en2/R2+in

2) (A2/Hz)in cui:

• en2 densità di potenza equivalente di tensione dello stadio di preamplificazione

• in2 densità di potenza equivalente di corrente dello stadio di preamplificazione

• R resistenza del fotodetector• Numericamente, assumendo le seguenti caratteristiche per il preamplificatore:• en

2 10-18 V2/Hz• in

2 10-18 A2/Hz• R 10000 Ohm• Inp

2 =10-26•10-24=10-24 A2/Hz• Segue che:• Irmsnp =1•10-12 A/Hz1/2

• Riportando i vari contributi si ha :• Indk2 =1.6•10-26 A2/Hz• Inth2 =1.6•10-24 A2/Hz• Inbk2 =1.13•10-25 A2/Hz• Ins2 =2•10-24 A2/Hz• Inp2 =1•10-24 A2/Hz• Assumendo inoltre una banda equivalente di rumore ∆f=25 MHz derivante da :• Durata impulso laser 30 nsec• Banda segnale B3dB=0.5/τ= 16 MHz• si ha che la corrente di rumore totale al fotorivelatore vale:• Inrms=(1.6•10-26+1.6•10-24+1.13•10-25+2•10-24+1•10-24)1/2=10-8 Arms• Dai precedenti contributi si può ricavare la NEP che è pari a :• NEP(∆f,λspot)=Inrms/Rλspot=21•10-9 Watt

TelemetriEsiste la possibilità di misurare la distanza trasmettitore-bersaglio ed aggiornarla con continuità con diverse tecniche quali:

– misura del tempo di volo– misura di comparazione di fase

Queste misure possono utilizzare segnali impulsivi o codificati (codici pseudorandom , chirp, etc)Le prestazioni di un telemetro dipendono, in generale, dai seguenti fattori:

– 1. Caratteristica del trasmettitoreEnergia degli impulsiDurata degli impulsi

– 2 Caratteristiche del ricevitoreSensibilità del ricevitoreLivello di rumore del ricevitore

– 3 Attenuazione atmosferica– 4 Natura del bersaglio

Riflettività del bersaglioRugosità del bersaglio

– 5 Fattore geometricoDivergenza del fascio laserAngolo di vista del ricevitoreArea del bersaglioDistanza del bersaglioDiametro dell'ottica di ricezione

– 6 Caratteristica di antennaTrasparenza delle ottiche di trasmissione e di ricezione

TelemetriL’equazione di portata (range equation) è il legame fra la potenza ottica trasmessa e quella ricevuta.Si consideri una sorgente puntiforme che irradia in tutte le direzioni una potenza Pt . In tal caso si ha che la densità di potenza trasmessa Pt ad una distanza R, essendo 4π l’angolo solido totale intorno alla sorgente puntiforme, vale:

La sorgente laser possiede una certa divergenza e pertanto emette la radiazione in un prefissato angolo solido. La concentrazione di potenza entro l’angolo solido in cui viene emessa la radiazione è descritta dal guadagno dell’ottica, pari al rapporto fra l’angolo solido totale (4π) e quello in cui viene emessa la radiazione (θbw):

L’area del fascio laser sul bersaglio dovuta alla radiazione emessa (il cui diametro è d), nell’ipotesi di bersaglio più grande del foot print del fascio laser, è pari a:

Considerando il bersaglio come un radiatore Lambertiano con coefficiente di backscattering pari a ρ, la legge di Lambert stabilisce che la radianza [W•m-2•sr-1], di una superficie infinita e scatterante, è costante in funzione dell’angolo con cui è vista. Per soddisfare questa relazione l’intensità [W•sr-1] deve variare con legge cosφ (φ è l’angolo formato con la normale alla superficie scatterante) e in tal modo l’ angolo solido totale che contiene la radiazione vale π invece di 2•π. Pertanto l’intensità vale:

Il ricevitore intercetta tale intensità con un angolo pari a:in cui D è il diametro della pupilla del ricevitore. La potenza ricevuta è pari al prodotto delle precedenti relazioni e vale:

24 RPt⋅⋅π

2

4

4

bwθπ

π

⋅

⋅

( )22

42 bwRdθ

ππ ⋅=

⋅

2R⋅πρ

[W•sr-1]

4

2D⋅π

( ) 22

2

22

22 444

4

44

DRPD

RR

RPP t

bw

bw

tr ⋅⋅

⋅=

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅⋅= ρ

ππρ

θπ

θπ

ππ

TelemetriGeometria telemetro target

θbwPt

d

R

TelemetriConsiderando una efficienza delle ottiche pari a τ0 e un valore del coefficiente di estinzione atmosferica pari a K(R) [m-1] si ottiene:

Il coefficiente 2 nell’esponenziale tiene conto dell’attenuazione a due vie del fascio laser (andata e ritorno).Se il fascio laser è più grande del bersaglio, il termine del target deve essere sostituito dalla cross section σ=ρ•At, in cui At è la superficie equivalente del bersaglio. L’equazione di portata in tale caso, sempre nell’ipotesi di comportamento Lambertiano del target, diviene pari a:

In entrambe le precedenti equazioni di portata, per ottenere il valore di θbw , si deve considerare che esso è determinato dalla divergenza del fascio. La divergenza del fascio si può scomporre in due componenti (nell’ipotesi di un sistema ottico perfetto):

-termine dovuto alla diffrazione (proporzionale alla dimensione del fascio laser trasmesso)-termine geometrico (dimensione della sorgente diviso per la lunghezza focale dell’ottica di trasmissione).

Se si ipotizza una sorgente puntiforme, oppure una lunghezza focale molto lunga rispetto alle dimensioni della sorgente, la divergenza è pari solo alla diffrazione dovuta al diametro del fascio laser emesso (spesso è presente un beam expander per ottenere un fascio laser di dimensioni maggiori e di minore divergenza).

( )∫

⋅⋅⋅⋅⋅

=∫

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅=

−−RR

dRRKt

dRRK

bw

bw

tr eD

RP

eDR

RR

PP 00

')'(22

02

')'(2

02

22

22 44

4

44

τρτπρ

θπ

θπ

ππ

∫⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

∫⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅⋅=

−−RR

dRRK

tbw

tdRRK

bw

tr eDA

RP

eDRR

PP 00

')'(22

024

')'(2

0

2

22

2 44

44

τρθπ

τπ

πσ

θπ

ππ

TelemetriPer la diffrazione si possono utilizzare varie espressioni:Criterio di Rayleigh

Criterio 1/e=0367 considerando il fascio Gaussiano

Per il calcolo della divergenza si deve considerare il diametro del fascio laser. Se si considera la presenza di un corner reflector posizionato sul target, la cross section si può scrivere come segue:

dove l è la dimensione del corner reflector (dimensione di uno dei lati del triangolo) e ρ è, in tal caso, ≅ 1 almeno nei limiti di accettazione del fascio da parte del corner reflector. Questa espressione è valida se la curvatura del segnale trasmesso attraverso il corner reflector è inferiore a λ/4. La giustificazione della precedente equazione è che essa rappresenta il rapporto fra l’angolo solido e la diffrazione dovuta alla dimensione del corner reflectorstesso. Paragonata con la cross section di una sfera, in cui σ=π•ρ•z2, dove ρ è la riflettività, z il raggio della sfera in metri e σ è la cross section del radar ottico espressa in m2, si vede come il corner reflector sia più efficiente dal punto di vista del backscattering (in realtà il corner reflector è un retroriflettore totale). Nell’ipotesi di corner reflector più piccolo del foot print del fascio laser, sostituendo nell’espressione precedente della range equation e ponendo αrt=divergenza della radiazione riflessa=2.44λ/l si ottiene:

angolosemiilconsiderasiseD

ovveroD bwbw −⋅=⋅=

λθ

λθ 22.144.2

angolosemiilconsiderasiseD

ovveroDD bwbw −⋅=≈⋅=

λθ

λλθ 5.005.1

( )DDbw ⋅⋅

=

≈

4

222 πλλ

θ

ρλπ

σ ⋅⋅⋅⋅

= 2

4

34 l

∫⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅≈

≈∫

⋅⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅

=∫

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅=

−

−−

R

RR

dRRK

rtbw

t

dRRK

bw

tdRRK

bw

tr

eDlR

P

eDlRP

eDR

l

RP

P

0

00

')'(22

02

224

')'(22

02

4

24

')'(2

0

2

2

2

4

22 344

34

4

44

ρταθ

ρτλθ

ρτπ

πλπ

θπ

ππ

TelemetriQuesta espressione è valida per distanze telemetro-bersaglio molto elevate (quando il corner reflector è più piccolo del footprint del laser). L’espressione successiva vale quando il corner reflector contiene tutto il footprint del laser. Se le distanze sono piccole, ossia se il fascio laser è incluso nella dimensione del corner reflector si ha la condizione:

e la potenza ricevuta, considerando un valore di ρ prossimo all’ unità, diviene:

Per superfici inferiori al foot print del fascio laser che hanno un contributo diffusivo e contemporaneamente riflessivo (da parte del corner reflector) si deve applicare simultaneamente la condizione diffusiva e quella del corner reflectorvisto precedentemente. Si ottiene in tal caso:

Rl

l ⋅⋅

>>⋅λ44.22

( )∫

⋅⋅⋅⋅⋅

=∫

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅=

−−RR

dRRKt

dRRK

bw

bw

tr eD

RP

eDR

RR

PP 00

')'(22

02

')'(2

02

22

22 44

4

44

τρτπρ

θπ

θπ

ππ

∫⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

=∫

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+∫

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

−

−−

R

RR

dRRK

rtbw

t

dRRK

tbw

tdRRK

rtbw

tr

eDkR

P

eDARP

eDlR

PP

0

00

')'(22

00224

')'(22

024

')'(22

02

224

ταθπ

τρθπ

ρταθ

TelemetriSi deve notare che il corner reflector non sempre fornisce un segnale superiore all’albedo[1] di un oggetto a meno che non si utilizzi un corner reflector di dimensioni elevate. Il rapporto fra il segnale retroriflesso da un corner reflector e dall’albedo del bersaglio dipende dalla dimensione del fascio ovvero se questo è più grande o più piccolo del bersaglio. Si può, quindi, calcolare separatamente il valore riflesso e quello diffuso dal target oppure si può scrivere una sola range equation, purché si consideri il rapporto fra energia riflessa e diffusa espresso dal valore k0=π•l2•ρ1+α•ρ• At.In conclusione si può scrivere la range equation come segue:

in cui :Pr=Potenza in ricezionePt=Potenza trasmessaρ=Riflettività del bersaglioτoa=Trasmissione ottica di antennaTa=Trasmissione atmosfericaFG=Fattore geometrico

D=Diametro ottica di ricezioneAt=Area del bersaglioR=Distanza fra trasmettitore e bersaglioθbw=Divergenza della radiazione trasmessaαrt=Divergenza della radiazione riflessak0=Fattore di partizione fra radiazione riflessa e diffusa

[1] L’albedo è il rapporto fra l’energia radiante riflessa e quella incidente su una superficie.

Gaoatr FTPP ⋅⋅⋅⋅= τρ

0224

2

24

2

2

2

4

kR

ADF

RAD

F

RDF

rtbw

tGc

tGa

Gb

⋅⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅

=

⋅=

αθπ

απ

Telemetri

Misure telemetriche ad alta risoluzioneDovendo misurare distanze molto piccole non si tiene conto dell'attenuazione atmosferica.

L'equazione che lega la potenza trasmessa con quella raccolta dall'ottica di ricezione è pari a :

BERSAGLIO

M1 M2

MODULATORE

COMPARATORE

DI FASEO'

O

S

P P DRr t= ⋅ ⋅ ⋅⋅

ρ τ2

24La relazione che lega la risoluzione strumentale del comparatore di fase con la frequenza di modulazione e la risoluzione voluta è la seguente:

f2c R

2tc

R

Hzin frequenza la e radiantiin misurato è sec,in misurato ritorno e andata di tempoil è t2

modambiguanon

r

rmod

⋅=

⋅=

⋅⋅= r

rr ft φ

πφ

TelemetriLa precedente relazione si può scrivere anche:

dove :φr Risoluzione strumetaleRm Risoluzione della misurafm Frequenza di modulazione

Per fm=50 MHz e Rm=0.1 mm si ottiene :φr =0.01°

Tale risoluzione è ottenibile con una opportuna progettazione del comparatore di fase purché si operino stabilizzazioni in temperatura.La risoluzione ottenibile è condizionata da diversi fattori:

Turbolenza dell'ariaCambiamento della temperatura e pressione dell' ariaLimite intrinseco della misura dovuto al valore di S/N

Trascurando la turbolenza, poiché tali tipi di misure spesso avvengono al coperto, per il secondo e terzo punto si ha che l'errore temporale (e quindi un errore nella misura della distanza), per un telemetro ad onda sinusoidale, risulta essere:

cfR mm

r⋅⋅⋅⋅

=22 π

φ

−

⋅⋅⋅⋅

⋅

⋅+

+⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

0

2

22cos

22

1

ϕπ

ην

πε

cLf

kTPPP

TPkh

f rr

eqf

rrt

LASER

Caratteristica delle superficiIl comportamento di una superficie, relativamente a una radiazione luminosa, dipende della sua caratteristica e può essere riflessiva (o speculare), rugosa, (Lambertiana) o mista

+ + =

Superfici Lambertiane

A causa della rugosità un raggio di radiazione incidente subisce uno scattering in tutte le direzioni in metà dell’angolo solido (emisfero). Se la superficie è trasparente (come nel caso di scattering da parte di aerosoli), lo scattering è in tutte le direzioni, non in un semispazio.Questo diffusore riflette la luce in accordo con la legge del coseno di Lambert e viene definito diffusore Lambertiano. La legge di Lambert stabilisce che l’energia riflessa da una areola della superficie investita dalla radiazione in una direzione particolare è proporzionale al coseno dell’angolo fra quella direzione e la normale alla superficie. La legge di Lambert stabilisce quanta dell’energia incidente viene riflessa. La quantità di energia che è riflessa in ogni direzione è costante in tale modello. In altre parole l’intensità riflessa è indipendente dalla direzione che si considera, ma dipende dall’orientamento della sorgente emittente relativamente alla superficie, ed è questa la proprietà governata dalla legge di Lambert

θ

Superfici Lambertiane

L’angolo fra la normale alla superficie e il raggio incidente si chiama angolo di incidenza e si può esprimere l’intensità della luce diffusa in funzione di questo angolo.Nella relazione che segue,il termine Il rappresenta il l’intensità della luce incidente a una particolare lunghezza d’onda, mentre il termine k• Id rappresenta la riflettività diffusa dalla superficie a quella lunghezza d’ onda.Id=kd• Il•cos θDefinendo M (radiant exitance o emittanza) l’energia per unità di area che lascia la superficie, si ha:

La potenza direzionale che lascia la superficie si può scrivere:

Per la dipendenza angolare di energia riflessa o emanata da una superficie si definisce la radianza L, che rappresenta il flusso radiante per unità di superficie e di angolo solido, ed è pari a:

Φ

= 20)(

mW

dAdxM

πωθωθ

ωωωθωω

⋅=⋅⋅=⋅⋅=

⋅⋅=⋅⋅⋅=Φ

∫∫ 000

0002

22coscos

),(cos),(),(

LdLdLM

dAdxLddAxLxd

HH

rr

⋅Ω==

Ω=

Ω⋅Φ

=srm

WddM

dAdJ

ddI

ddAdyxL 2

2

),,,( ϕθ

Grandezze radiometriche

Tabella riassuntiva

Grandezza Descrizione Simbolo Equazione Unità Energia (Radiante

o Luminosa) Ammontare di luce totale

emessa dalla sorgente Qe, W

Qv J

J Flusso (Radiante o

Luminoso) Tasso di energia emesso o trasferito dalla sorgente

Φe Φv

Φ = dQ/dt W lm

Intensità (Radiante o Luminosa)

Flusso emesso da una sorgente puntiforme per unità di angolo

solido

Je Jv

J = dΦ/dΩ W sr-1 lm sr-1 ≡ cd

Emittanza (Radiante or Luminosa)

Flusso emesso per unità di area della superficie da

sorgenti estese

Me Mv

M = dΦ/dA W m-2 lm m-2 ≡ lx

Radianza Luminanza

Flusso emesso per unità di area di superficie della

sorgente estesa, per unità di angolo solido ad un angolo θ alla normale alla superficie

Le Lv

L = dΦ/(dA dΩ cosθ) W m-2 sr-1 lm m-2 sr-1 ≡ cd m-2

Irradianza Illuminanza

Flusso che arriva su una superficie per unità di area

della superficie ad un angolo θ alla normale alla superficie

Ie Iv

I = dΦ/(dA cosθ) W m-2 lm m-2 ≡ lx

Densità di energia (Radiante o Luminosa)

Energia emessa per unità di volume da una sorgente

w, ρ, u w = dQ/dV J m-3 J m-3

Le unità di misura che esprimono la radiazione ottica si inquadrano nella radiometria, mentre quelle relative alla misure della luce visibile come appare all’occhio umano si inquadrano nella fotometria. Sebbene ambedue i sistemi di misura descrivano fondamentalmente parametri simili quali flusso, intensità, radianza etc., si utilizzano due sistemi per distinguere le stesse quantità. i pedici ‘e’ e ‘v’ sono rispettivamente relativi alle quantità radiometriche e fotometriche.

RetroriflettoriRetroriflettore (esempio in due dimensioni)

Retroriflettore o corner cube (esempio in tre dimensioni, tre specchi a 90°)

Coerenza spaziale e temporaleUn modo di visualizzazione per conciliare la doppia natura della radiazione luminosa (ondulatoria e corpuscolare) è di pensare a un pacchetto d’ onda. Infatti se si pensa alla natura ondulatoria si pensa ad un onda elettromagnetica sinusoidale che si propaga nello spazio. Tale onda non ha un principio e una fine. Se si compongono differenti onde elettromagnetiche queste possono produrre un pacchetto d’ onda. In tal modo un fotone o un elettrone libero di propagarsi pensato come un pacchetto d’ onda possiede ambedue le proprietà ondulatoria e corpuscolare essendo questa ultima associata alla posizione spaziale e alla larghezza del pacchetto. In questo modo si sono utilizzate molteplici onde per descrivere una entità localizzata e quindi una particella. Un analisi più approfondita impatta sul principio di indeterminazione (Heisenberg), la formula di De Broglie e l’ effetto fotoelettrico spiegato da Einstein che sono al di fuori dello scopo di questa descrizione. Descrivendo un fotone mediante un pacchetto d’ onda si può caratterizzare la coerenza spaziale e temporale. L’ energia di un fotone è collegata alla frequenza da E=hν. Più il fotone è monocromatico (piccolo ∆E o ∆ν) più è lungo il pacchetto d’ onda. La relazione fra la lunghezza del pacchetto d’ onda e la localizzazione della frequenza è stabilita dal principio di indeterminazione di Heisemberg.

RINLa potenza di uscita del laser può essere scritta:

La potenza delle fluttuazioni è caratterizzata dalla media della deviazione standard al quadrato:

Pertanto si ha:

in cui la responsivity R è pari a:

La fluttuazione della potenza ottica è pari a:

con un valore quadratico medio pari a:

in cui ∆f è la banda del circuito di rivelazione.

0)()()( 0 =∆∆+= tPnifluttuaziodelletemporalemediadellavaloreilcuiintPPtP

( ) ( ) nPPP BSfSdffStPPtP ⋅=∆⋅==∆=− ∆∆

∝

∆∫ )()()(0

220

νη

⋅⋅⋅

=⋅=h

tPeP(t)i(t q )(

) R

νη⋅⋅

=heqR

νη

⋅∆⋅⋅

=∆h

tPei(t q )(

)

ffShe

tPh

tPetiti P

qqn ∆⋅

⋅⋅

=∆⋅⋅⋅⋅

=∆= ∆ )()(

)]([)(

)()]([)( 2

222

2

2222

νη

νη

RINIl RIN (Relative Intensity Noise) è definito come la fluttuazione di potenza relativa in un

intervallo ∆f=1Hz:

con un RIN di -160 dB e una banda del rivelatore pari a ∆f=109 Hz si ha:

Il valore rms della fluttuazione di potenza vale:

Il valore vale:

Assumendo, ad esempio un laser con λ=1.3µ, P0=3 mW, RIN=10-16 Hz-1, ∆f=109 Hz e ηq=0.6 si ottiene:

20

)1(P

HzfSRIN P =∆⋅= ∆

79162

02

0

2

20

2

101010)()()( −−∆ =⋅=∆

=∆

=∆

PffS

PP

ii P

d

d

42

0

21

2

103])([ −⋅=∆PP

)( ti 2n

fPRINhe

ti qn ∆⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅= 2

02

222

)()(

ν

η

Atin72

12 1095.5])([ −⋅=

RINIl valore di SNR nel caso eterodina nell’ ipotesi che il livello di POL molto più grande di Ps (ipotesi sempre verificata) vale:

Prendendo in considerazione il RIN il valore di SNR si modifica come segue:

Per ottenere il valore ottimo della potenza POL è necessario derivare l’ espressione precedente rispetto a POL e porla pari a zero. Considerando il numeratore della derivata si ha:

Uguagliando a zero questa espressione si ottiene:

Sostituendo tale valore nella espressione di SNR si ottiene il rapporto SNR ottimo che vale:

( ) n

sq

n

s

OLsn

OLs

n

s

BhP

BeP

PPBePP

iiSNR

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=+⋅⋅⋅⋅

⋅⋅==

νη

2222

2 RR

R 2

( ) nOLn

OLsn

OLs

n

s

BPRINRBTkPPBe

PPiiSNR

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

++⋅⋅⋅⋅

⋅⋅==

22

2

42 2

2

RR

R

[ ]nOLnOLsnOLn

nOLs BRINPBePPBRINPR

BFTkBPeP ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅ 2222 RRRRRR 2242 2

RINRFTkPOL ⋅⋅⋅⋅

⋅=41

R

⋅⋅⋅⋅⋅+⋅

⋅=

RRINBFTkBe

PSNRn

n

sottimo

42

R

Rivelazione direttaAPD Avalanche Photo Diode

F(G)=Gx x=0.2-0.5 per il Silicio, x=0.7-1 per il GermanioPMT Photo Multiplier

Analog

Photon counting

Nel caso di APD se i segnali sono valutati dopo moltiplicazione essi devono essere moltiplicati per G invece di G2 . Nei diodi pin è valida la stessa espressione utilizzata per gli avalanche con:

G=F=1

RBTkGFGPPIIBe

PPiiSNR

nbsbddsn

OLs

n

s

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅

⋅⋅== 4)(])([2 2

2

2

RR

R 2

nrbsdn

s

n

s

IIIIBeI

iiSNR

+++⋅⋅⋅==

][22

2

)( 02

2

Φ+Φ⋅⋅⋅Φ⋅

==tr

triiSNRn

s

Scansione trasversale (cross-track)

• Sistema ottico a specchio oscillante (A), separazione del segnale nelle diverse frequenze e rilevatori per le diverse bande (B).

• L’angolo totale di vista (E) e la quota determinano l’ampiezza della striscia di acquisizione F (swath).

• L’angolo E varia da 90° a 120° sugli aerei e fra 10° e 20° sui satelliti.• Il periodo di stazionamento su ciascuna cella D è detto dwell time (registrazione

dell’energia riflessa o emessa).

Scansione longitudinale (along-track)

• Utilizzo di un array di rilevatori (A) situato nel piano focale B del sistema di lenti (C).

• I rilevatori sono detti CCD (Charged Coupled Device)• Ciascun rilevatore misura l’energia da una cella di risoluzione D.• Si utilizza un array per ogni banda o canale di misura.

Vantaggi e svantaggi dei CCD

Vantaggi

• Maggiore dwell time e quindi migliore capacità di rilevazione del segnale.• Minore usura per mancanza di parti meccaniche in movimento.• Maggiore integrità geometrica delle immagini.

Svantaggi• Maggiori problemi di calibrazione dovuti a non uniformità di responsivity.• Qualche limitazione di banda.

Interazione energia e.m. - atmosfera - superficieModello di interazione

Sorgente di energia e.m.

scattering

assorbimento

sensore

scattering

scattering

assorbimento

assorbimentoemissione

scattering