Formulazione quantitativa del secondo principio della...

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  • Formulazione quantitativa del secondo principio della termodinamica:

    TEOREMA DI CARNOT

    del secondo principio della termodinamica:TEOREMA DI CARNOT

    R macchina di Carnot che lavora tra due sorgenti a temperature T1 e T2

    X macchina termicaX macchina termica che lavora tra le stesse sorgenti

    ηR ≥ ηXηR ≥ ηX

    DimostrazioneDimostrazionePer ipotesi WR = WX = W

  • XW=η R

    W=ηX2

    X Qη

    R2R Q

    η

    T2T2 > T1RX

    T2Q2R

    WWQ2X T2 > T1RXQ1X Q1R

    WW

    T1Q1X Q1R

    Per il I principio

    Q1R + Q2R = W = Q1X + Q2X

  • Dimostriamo il teorema per assurdo, supponendo

    ηX > ηRR2X2 Q

    WQW >⇔ R2X2 QQ

  • T2QQ

    RR− Q2R

    WX

    Q2X

    T− Q1RWQ1X

    T1

    Macchina complessiva X + R:Macchina complessiva X + R:

    1) assorbe 0QQ > a temperatura T1) assorbe 0QQ R1X1 >− a temperatura T1

    2) cede 0QQ R2X2

  • X + R viola l’ enunciato di Clausius

    quindi deve essere necessariamente

    ηR ≥ ηX

    Se X reversibile, scambiando il ruolo di R e X ⇒ ηX ≥ ηR

    sono compatibili solo seηX ≤ ηR sono compatibili solo se ηX ≥ ηR ηX = ηRηX ηR

  • Temperatura assoluta1Q1+=η

    D l T di C i d d h2Q

    1+=η

    Dal Teorema di Carnot si deduce che per un ciclo reversibile il rendimento è funzione solo delle temperature delle sorgenti, indipendentemente dal sistema che lavoradal sistema che lavora

    ( )212 ttfQ

    =quindi ( )211

    ttfQ

    ,=quindi

    A hi ibil h lA macchina reversibile che lavora tra t0 e t2

    ( )2Q t < t( )2002 ttf

    QQ ,= t0 < t2

  • B macchina reversibile che lavora tra t0 e t1Q ( )10

    01 ttf

    QQ ,=

    t2 t1 t0 < t20Q

    BA

    t2

    WWQ2

    t1Q1

    0 2

    BAQ0

    WBWA−Q0

    t1 < t0

    t0Q0 Q0

    Macchina complessiva A + B:non scambia calore con la sorgentenon scambia calore con la sorgente a temperatura t0

  • ( )2 ttfQ = ( )211

    ttfQ

    ,=

    022QQ

    QQ

    QQ

    =101 QQQ

    ( ) ( )( )

    ( )( )

    22021

    2 tgttfttfQ === ,,( )( ) ( )110

    211 tgttf

    ttfQ ,

    ,

    g(t) temperatura termodinamica assoluta

  • Definizione della scala Kelvin

    Macchina reversibile che lavora tra g(t) e g(tPT) g(tPT) temperatura del punto triplo dell’acquag(tPT) temperatura del punto triplo dell acqua

    ( ) ( )tgtgQ ( )( )

    ( )16273

    tgtg

    tgQ PTPT .

    ==

    ( )Q

    16273tg =( )PTQ

    16273tg .=

    C i i i d l d l lCaratteristica termometrica = modulo del calore scambiato lungo un’isoterma di una macchina di Carnot alla temperatura g(t)

  • Per una macchina di Carnot Q

    16273T

    TT

    Q

    Q

    PTPT==

    16273TQ PTPT .

    Q

    PTQ

    Q16273T .=

    PTQ

    La temperatura assoluta è la temperatura p pmisurata con il termometro a gas ideale

    Zero assoluto è la temperatura a cui un sistema compie una trasformazione pisoterma reversibile senza scambio di calore

  • TEOREMA DI CLAUSIUS

    M macchina qualsiasi che lavora con N sorgenti

    Q1 T1che lavora con N sorgenti W

    MQ2 T2W l i t M

    Q T

    T2W lavoro compiutoQN TN

    Q Q Q l i bi ti d MQ1, Q2,…. QN calori scambiati da M con le sorgenti a temperature T1, T2,… TNg p 1 2 N

    Dimostriamo che 0QN i ≤∑Dimostriamo che 0

    T1i i≤∑

    =

  • R1, R2,….RN macchine reversibili che lavorano tra due sorgenti Introduciamo

    Q1 T1 Q01−Q1 R1

    W

    Q1

    Q2

    T1

    T

    01

    Q02−Q2

    R1

    R TMQ2 T2

    022 R2 T0

    QN TN Q0N−QNRNQN

    Qi calore scambiato da Mcon la sorgente a temperatura Tig p i

    − Qi calore scambiato da Ricon la sorgente a temperature Tig p i

    Q0i calore scambiato da Ricon la sorgente a temperature T0

  • Per le macchineQQ 011 101 QQR1: ⇒=+− 0T

    QTQ

    0

    01

    1

    1

    1

    1

    0

    01TQ

    TQ =

    ⇒=+− 0QQ 022R2: 202QQ =

    TT 022

    20 TTQQ QQRN: ⇒=+− 0TQ

    TQ

    0

    N0

    N

    N

    N

    N

    0

    0NTQ

    TQ =

    0N N0

    Sommando sulle N macchine Rii

    ∑=∑N iN

    i0 TQQ

    T1

    == 1i i1ii0

    0 TT

  • Consideriamo il sistema costituito dalla macchina M e dalle N macchine Ri

    D i l il i t h bi t

    dalla macchina M e dalle N macchine Ri

    Dopo un ciclo il sistema non ha scambiato complessivamente calore con le sorgenti p ga temperatura T1, T2,… TN

    Il sistema compie un ciclo monotermoscambiando calore solo con la sorgentescambiando calore solo con la sorgente a temperatura T0

  • Per l’enunciato di Kelvin–Planck del II principio deve essere Ndeve essere

    0QN

    1ii0 ≤∑

    1i=

    0QN i ≤∑ (*)e quindi, essendo T0 > 0 0T

    Q1i i

    i ≤∑=

    (*)

    Se M scambia calore con infinite sorgenti, indicando con dQ il calore scambiato con la generica sorgente a temperatura T, si hacon la generica sorgente a temperatura T, si ha

    0dQ ≤∫ 0T≤∫

  • Se M è reversibile , invertendo i cicli risulta ,

    N QN( ) ⇒≤∑ −=

    0QN

    1ii0 0T

    QN

    1i i

    i ≥∑=

    (**) 1i 1i i

    Le disuguaglianze (*) e (**) possono sussistere solo seLe disuguaglianze ( ) e ( ) possono sussistere solo se

    0TQN i =∑ 0

    TdQ =∫oppureT1i i= T∫oppure

  • ENTROPIAA, B stati di un sistema termodinamico

    R R1, R2trasformazioni reversibili

    R1A trasformazioni reversibili BR2−R2Percorriamo R2 in senso inverso (− R2 )

    R1 + ( − R2 ) ciclo reversibile A

    ⇔=∫ 0TdQ

    +∫ ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛B

    TdQ 0

    TdQA =∫ ⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛

    T ⎠⎝ 1RA T T 2RB ⎠⎝ −

  • Percorrendo una trasformazione reversibile in senso inversoin senso inverso cambia il segno del calore scambiato dQ e quindi possiamo scrivere

    ⎞⎛B dQ dQB ⎞⎛−∫ ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛

    1R

    B

    A TdQ 0

    TdQ

    2R

    B

    A=∫ ⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛

    ⎠⎝ 1RA 2RA ⎠⎝

    ∫ ⎟⎞

    ⎜⎛B dQ B dQ

    ∫ ⎟⎞

    ⎜⎛=∫ ⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛

    1RATQ

    2RATQ

    ∫ ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛

    ∫ ⎟⎞

    ⎜⎛B dQ indipendente dalla trasformazione,∫ ⎟

    ⎠⎜⎝A REVT dipende solo dagli stati iniziale e finale

  • Possiamo quindi introdurre una funzione di stato S “ENTROPIA” così definita

    ENTROPIA DEL GAS IDEALEENTROPIA DEL GAS IDEALE

    n moli di un gas ideale compionon moli di un gas ideale compiono una trasformazione reversibiledallo stato A allo stato B

    dQ = dU + dW ( I principio)

  • Per una trasformazione reversibiledV

    dVpV = nRT

    VdVnRTdW =

    dQ = ncVdT + VdVnRT

    V

    V

    VnRdV

    TdTnc

    TdQ V +=

    VTT

    ∫ ⎟⎞

    ⎜⎛B dQ

    ∫∫BVBT V nRdVdTnc∫ =⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛=−

    A REVAB T

    dQSS =∫+∫AVAT

    VV

    nRdVT

    dTnc AA

    BB VnRlnTlnnc += (*)AA

    V VnRln

    Tlnnc += (*)

  • Se si deve calcolare la variazione di entropia l ti d t f i i ibil ABrelativa ad una trasformazione irreversibile AB,

    si congiungono lo stato iniziale A e lo stato finale B mediante un percorso reversibile lungo il quale è possibile determinare la variazione di entropia, p p ,applicando la (*)

  • PRINCIPIO DI AUMENTO DELL’ENTROPIAA, B stati di un sistema termodinamico

    R

    R t f i i ibilB

    R1AR1 trasformazione irreversibile BR2−R2

    P i R i i ( R )R2 trasformazione reversibile

    Percorriamo R2 in senso inverso (− R2 )

    R1 + ( − R2 ) ciclo irreversibile

  • 0dQ ≤∫Per il teorema di Clausius 0T≤∫C

    0T

    dQT

    dQ AB ≤∫ ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛+∫ ⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛

    TT21 RBRA

    ⎠⎝⎠⎝ −

    BB

    TdQ

    TdQ

    ∫ ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛≤∫ ⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛

    21 RARATT ∫ ⎟⎠

    ⎜⎝

    ∫ ⎟⎠

    ⎜⎝

    SdQB

    Δ≤∫ ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ S

    T irrAΔ≤∫ ⎟

    ⎠⎜⎝

  • Per un sistema isolato dqirr = 0

    0S ≥Δ 0S ≥ΔPer una trasformazione adiabatica

    0S =Δ0SΔ i ibil

    se reversibile

    0S >Δ se irreversibile

    UNIVERSO = sistema + ambiente= sistema isolato sistema isolato

    0SSS ≥Δ+ΔΔ 0SSS AMBSISTU ≥Δ+Δ=Δ

  • 0SU =Δse la trasformazione è reversibile

    0SU >Δse la trasformazione è irreversibile

    0SU >Δse la trasformazione è irreversibile

  • Variazione di entropia dell’universo in un cicloSSS ΔΔΔ AMBCICLOUCICLO SSS Δ+Δ=Δ

    0SΔessendo 0SCICLO =ΔSS ΔΔ

    Oppure per un ciclo ABCDAAMBUCICLO SS Δ=Δ

    Oppure per un ciclo ABCDA=Δ UCICLOS

    +Δ+Δ+Δ+Δ= DACDBCAB SSSSUCICLO

    +Δ+Δ+ AMBBCAMBAB SSAMBDAAMBCD SS Δ+Δ+

  • =Δ UCICLOSQuindi UC C O

    UDAUCDUBCUAB SSSS Δ+Δ+Δ+Δ

    ΔS

    UDAUCDUBCUAB SSSS

    S d ll i i i di t i d ll’ i

    =Δ UCICLOSSomma delle variazioni di entropia dell’universo di ogni trasformazione del ciclog

    0SUCICLO =Δ se il ciclo è reversibile0SUCICLOΔ

    se il ciclo è irreversibile

    se il ciclo è reversibile

    0SUCICLO >Δ se il ciclo è irreversibile0SUCICLO >Δ