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MECCANICA ANALITICA – Dispensa 1

CAPITOLO 1

Equazioni di Lagrange

1.1 Spazio delle configurazioni e spazio delle fasi

Prendiamo in considerazione, nella Meccanica Newtoniana, un sistema diN particelle di massa mα con α = 1, 2, ...., N , soggette a delle forze Fα =(Fα1, Fα2, Fα3) e fissiamo l’origine O e una terna di vettori ortonormaliB = (e1, e2, e3). In questo sistema di riferimento (O, B), la posizione diogni particella sara descritta da un vettore rα = (rα1, rα2, rα3). Abbiamo,cosı, N equazioni del tipo:

mαrα = Fα

ognuna delle quali rappresenta l’equazione del moto per ogni singola par-ticella.

Il primo passo della teoria Lagrangiana e l’introduzione dello spazio

delle configurazioni C a 3N dimensioni in cui la posizione dell’interosistema, cioe di tutte le particelle, e rappresentato da un unico puntoq = (q1, q2, . . . , q3N) ∈ C, dove

q1 = r11, q2 = r12, q3 = r13, q4 = r21 , ........., q3N = rN3,

in cui il primo indice fa riferimento alla particella e il secondo indica lacoordinata.

Dunque, lo spazio delle configurazioni C = <3N e lo spazio di tutti ipossibili q ed e mediante questo spazio che rappresentiamo la posizionedi tutte le particelle del sistema.

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Introducendo le costanti

µ1 = m1, µ2 = m1, µ3 = m1,µ4 = m2, µ5 = m2, µ6 = m2,

......

...µ3N−2 = mN , µ3N−1 = mN , µ3N = mN

le equazioni del moto assumono la forma

µiqi = Fi, i = 1, ......, 3N, (1.1.1)

ovvero si tratta di 3N equazioni del secondo ordine in cui

F1 = F11, F2 = F12, F3 = F13, F4 = F21 , .........., F3N = FN3;

sottolineando che il vettore F e dato da:

F = (F1, F2, F3, F4, ........, F3N) = (F11, F12, F13, F21, ......, FN3).

Per rappresentare la configurazione del sistema e le velocita delle par-ticelle bisogna assegnare i valori delle 6N variabili

q1, q2, ......, q3N , v1, v2, ......v3N ,

dove vk = qk. Si perviene, cosı, al concetto di spazio delle fasi P , lo spazioa 6N dimensioni in cui e possibile rappresentare mediante un unico punto

x = (q1, q2, ......, q3N , v1, v2, ......v3N)

il sistema di particelle o, piu precisamente, la posizione e la velocita diogni particella.Ogni singolo punto dello spazio delle fasi P corrisponde ad un particolare”stato di moto”, ovvero la posizione e la velocita dei punti del sistemadefiniscono il suo stato di moto. Ad ogni posizione possono corrispondereinfiniti stati di moto.

Siano xi, i = 1, . . . , 6N , le componenti del vettore x e osserviamoche le ultime 3N sono le derivate delle prime 3N , ovvero vi = qi i =1, . . . , 3N o anche

x3N+i = xi, i = 1, . . . , 3N (1.1.2)

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che sono 3N equazioni del primo ordine.

Le 3N equazioni della forma (1.1.1), quindi, possono anche essere scrittenel modo seguente:

Fi = µiqi = µivi = µix3N+i i = 1, . . . , 3N.

Le 6N equazioni del primo ordine espresse da

Fi = µix3N+i i = 1, . . . , 3N

e da

x3N+i = xi i = 1, . . . , 3N

possono essere scritte in un unico modo. Infatti intoducendo il vettore f

di componenti {fi = µivi = µix3N+i

f3N+i = Fi

con i = 1, . . . , 3N

e sapendo che µ3N+i = µi, i = 1, . . . , 3N (in quanto xi e x3N+i i =1, . . . , 3N si riferiscono alla stessa particella e quindi alla stessa massa),si ha:

fi = µixi i = 1, . . . , 6N. (1.1.3)

Quindi le equazioni del moto dell’intero sistema si possono scrivere come6N equazioni del primo ordine. Per risolverle servono tutte le condizioniiniziali:

x1(0), x2(0) , . . . , x3N(0), x3N+1(0) = v1(0) , . . . , x6N(0) = v3N .

Per ogni scelta di queste, esiste un’unica soluzione x(t) per le equazioni(1.1.3). Tale soluzione esprime sia le posizioni che le velocita delle par-ticelle istante per istante e inoltre individua una curva orientata nellospazio delle fasi detta orbita. Nello spazio delle fasi P , percio, passa soloun’orbita per ogni punto. La famiglia delle orbite e definita ritratto di

fase.

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Consideriamo, adesso, l’esempio dell’oscillatore armonico in una di-mensione spaziale.

Esempio (1.1.1)

La seconda legge della dinamica per un oscillatore armonico in una di-mensione spaziale e data dall’equazione

mq = −kq,

dove con q indichiamo l’unica coordinata dell’oscillatore armonico e conk la costante elastica.

Essendo in questo caso lo spazio delle fasi a due dimensioni, abbiamo:

x = (q, v) = (x1, x2)

e l’equazione del moto nello spazio delle fasi e dato dal seguente sistema:

{mx1 = mx2

mx2 = −kx1.(1.1.4)

Notiamo che la prima equazione del sistema si ottiene considerando fi =µixi per i = 1 e sapendo che x1 = x2; la seconda si ottiene dall’equazionedell’oscillatore mx2 = −kx1.

Derivando la prima equazione del sistema (1.1.4), sostituendola nellaseconda e affiancando all’equazione cosı ottenuta la derivata della seconda,otteniamo: {

mx1 = −kx1

mx2 = −kx1

ovvero {mx1 = −kx1

mx2 = −kx2

che ha soluzione:

x1(t) = x1(0) cos√

km

t + x2(0)√

mk

sin√

km

t

x2(t) = x2(0) cos√

km

t− x1(0)√

km

sin√

km

t .

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Tale soluzione puo essere cosı scritta:

x1(t) = A1 cos(√

km

t− ϕ1

)

x2(t) = A2 cos(√

km

t− ϕ2

).

(1.1.5)

Calcolando le fasi (moltiplicando e dividendo per l’ampiezza A1), otte-niamo che ϕ2 = ϕ1 + π

2, ovvero le fasi differiscono di π

2. Tale risultato ci

consente di scrivere la (1.1.5) cosı:

x1(t) = A1 cos(√

km

t− ϕ1

)

x2(t) = A2 sin(√

km

t− ϕ1

).

La traiettoria di questa soluzione nello spazio delle fasi e un’ellisse, infattix21

A21

+ x22

A22

= 1 e valida.

Dunque, l’orbita dell’oscillatore armonico e un’ellisse che ha come semiassiA1 e A2, dove

A1 =√

x21(0) + x2

2(0)m

k

e

A2 =√

x22(0) + x2

1(0)m

k=

√k

m

√x2

1(0) + x22(0)

m

k=

√k

mA1.

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Possiamo osservare che A1 e A2 dipendono dalle condizioni iniziali, a dif-ferenza del loro rapporto A2

A1=

√km

. Da qui ne segue che ellissi corrispon-denti a diverse condizioni iniziali non si possono intersecare. Tale carat-teristica e una proprieta generale che deriva dal fatto che esiste un’unicasoluzione per ogni equazione del tipo (1.1.3) in corrispondenza di unadata condizione iniziale x(0). D’altra parte se due traiettorie diverse siintersecassero in un punto x, allora esisterebbero due diverse soluzioniper il problema (1.1.3) in corrispondenza dell’unica condizione inizialex(0) = x, che non e possibile.

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1.2 Trasformazioni di coordinate

La configurazione di un sistema rappresentato dalle coordinate

q1, q2, . . . , qn

puo essere equivalentemente descritta da un diverso sistema di coordinate

q1, q2, . . . , qn,

purche le funzioni

q1(q, t), q2(q, t) , . . . , qn(q, t),

che definiscono la corrispondenza tra le coordinate q = (q1, q2, . . . , qn) e lecoordinate q = (q1, q2, . . . , qn) al tempo t, stabiliscano una corrispondenzabiunivoca. Pertanto, per ogni n-pla di tali funzioni che soddisfano questacondizione, q = (q1, q2, . . . , qn) costituisce un sistema di coordinate ingrado di descrivere la configurazione del sistema. Ci riferiamo ad essocome ad un sistema di coordinate generalizzate.

Se lo stato di un sistema e descritto all’ istante t dal punto

(q1, . . . , qn, v1, . . . , vn),

definendo un altro spazio delle fasi abbiamo

(q1, . . . , qn, v1, . . . , vn),

dove le ”nuove” coordinate sono funzioni delle ”vecchie” e del tempo,qk = qk(q(t), t). Di conseguenza le velocita generalizzate relative ad unaltro sistema di coordinate sono definite da:

vk =dqk

dt=

∑j

∂qk

∂qj

dqj

dt+

∂qk

∂t

dt

dt,

dove dtdt

= 1.In genere si indica anche la trasformazione del tempo (dal ”vecchio” al”nuovo”) che comunque e banale: t = t, ma e bene specificarlo, vista

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l’importanza di sottolineare come il ”nuovo” tempo dipende dal ”vecchio”sistema. Dunque, il tempo puo essere considerato come un particolaretipo di coordinata detta coordinata temporale.

Quindi, ricapitolando, passiamo dal sistema (q,v, t) al sistema (q, v, t)con la seguente trasformazione delle coordinate e delle velocita:

{qa = qa(q(t), t)va =

∑c

∂qa

∂qcvc + ∂qa

∂t

t = t.

E questa una trasformazione da uno spazio delle fasi ad un altro.Vediamo qualche esempio.

Esempio (1.2.1)

La configurazione di un punto in un piano puo essere descritta mediantele coordinate generalizzate costituite dalle coordinate polari.Poniamo { q1 = x, q2 = y

q1 = r, q2 = ϕ .

Quindi, abbiamo:

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q1(x, y) = r =√

x2 + y2

q2(x, y) = ϕ =

arctan yx

se x > 0, y ≥ 0π + arctan y

xse x < 0

2π + arctan yx

se x > 0, y < 0 .

In questo caso, vediamo facilmente che:

∂x

∂y= 0

∂x

∂ϕ= −r sin ϕ

in quanto x = r cos ϕ.

Osservazione:

q, v, t sono tra loro indipendenti in quanto fanno parte dello stesso sistemadi variabili. Di conseguenza ∂qa

∂t= 0, invece ∂qa

∂t6= 0 perche qa dipende da

t.

Esempio (1.2.2)

Se il sistema di riferimento Σ′ si muove rispetto a Σ con velocita uniformeu = (u, 0, 0) lungo la direzione x e all’istante t = 0 gli assi di Σ′ coincidonocon quelli di Σ, la configurazione di una particella rispetto a Σ′ e descrittadalle coordinate:

x = x(x, t) = x− ut

y = y

z = z .

Qui possiamo osservare che:∂x∂t

= −u 6= 0, mentre ∂x∂t

= 0.Dunque, anche se la trasformazione della coordinata temporale e quellabanale t = t, le derivate rispetto a t e rispetto a t sono diverse.

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1.3 Equazioni del moto in un sistema di coordinate generaliz-

zate

Teniamo presente che il nostro obiettivo e riscrivere l’equazione del motoin termini di nuove coordinate, o meglio cercare una forma dell’equazionedel moto valida per ogni sistema di coordinate.

Il primo passo consiste nel considerare una funzione F : PT −→ < dovePT = <2n × < (dove n e il numero delle coordinate) e quindi F dipendeda q, v, t.

Andando a definire in corrispondenza di un valore fissato dell’indice a, laseguente forma

d

dt

∂F

∂va

− ∂F

∂qa

, (1.3.1)

possiamo osservare che si tratta ancora di una funzione definita sullospazio delle fasi.

Esempio (1.3.1)

Se F fosse l’energia cinetica di un punto che si muove nel piano e suppo-nendo di scriverla rispetto alle coordinate cartesiane, avremmo F (q,v, t) =12m(v2

1 + v22).

Sapendo che disponiamo di n forme della (1.3.1) per ogni F , possiamoscrivere la (1.3.1) nel modo seguente:

per a = 1 ddt

∂F∂v1

− ∂F∂q1

= ma1, in quanto ∂F∂v1

= mv1 e inoltre l’energiacinetica non dipende da q1;

per a = 2 ddt

∂F∂v2

− ∂F∂q2

= ma2.

Dunque, possiamo fare uso dei risultati ottenuti per scrivere l’equazionedel moto e, quindi, ottenere:

{ddt

∂F∂v1

− ∂F∂q1

= f1

ddt

∂F∂v2

− ∂F∂q2

= f2 .

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Siamo, allora, giunti all’equazione del moto utilizzando le coordinatecartesiane e la forma F .

Adesso usiamo le coordinate polari.

L’energia cinetica e F = 12mv2

1 + 12mq2

1 v22, con q1 = r, v1 = r, q2 = ϕ, v2 =

ϕ. Per a = 1 abbiamo ddt

∂F∂v1− ∂F

∂q1= m ˙v1−mq1v

22, che quindi risulta diversa

da ma1. Cio vuol dire che cambiando tipo di coordinate non arriviamoalle equazioni del moto. Potremmo comunque arrivarci se trovassimo larelazione tra la forma scritta in un sistema di coordinate qualunque e laforma scritta in un altro sistema di coordinate. Trovare tale relazione eappunto il primo passo che vogliamo esaminare. Il secondo passo consistenel determinare l’equazione del moto.

Per raggiungere il nostro obiettivo consideriamo il seguente:

Teorema (1.3.1)

d

dt

∂F

∂va

− ∂F

∂qa

=∑

b

∂qb

∂qa

( d

dt

∂F

∂vb

− ∂F

∂qb

)

Prima di dimostrare tale teorema osserviamo che:

Sia F = 12mv2, a = 1, mv1 e per il teorema:

mv1 =∂q1

∂q1

( d

dt

∂F

∂v1

− ∂F

∂q1

)+

∂q2

∂q1

( d

dt

∂F

∂v2

− ∂F

∂q2

)= f1

in quanto sappiamo che mv1 = f1.

Allo stesso modo per a = 2 abbiamo:

mv2 =∂q1

∂q2

( d

dt

∂F

∂v1

− ∂F

∂q1

)+

∂q2

∂q2

( d

dt

∂F

∂v2

− ∂F

∂q2

)= f2

in quanto sappiamo che mv2 = f2.

Dunque, possiamo dedurre che se sono note le forze abbiamo le dueequazioni del moto e allora abbiamo raggiunto, per questo particolarecaso, l’obiettivo di avere le due equazioni del moto in qualsiasi sistema dicoordinate.

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Per raggiungere in generale l’obiettivo serve la trasformazione tra le coor-dinate cartesiane e quelle generalizzate.Adesso dimostriamo il teorema:Per qualsiasi funzione F e per qualsiasi sistema di coordinate cominciamoa calcolare ∂F

∂qafissando un qualunque valore per a:

∂F

∂qa

=∑

b

(∂F

∂qb

∂qb

∂qa

+∂F

∂vb

∂vb

∂qa

)+

∂F

∂t

∂t

∂qa

=

=∑

b

(∂F

∂qb

∂qb

∂qa

+∂F

∂vb

∂vb

∂qa

) (1.3.2)

in quanto ∂t∂qa

= 0.Inoltre, poiche vb =

∑c

∂qb

∂qcvc + ∂qb

∂tda cui abbiamo

∂vb

∂qa

=∑

c

∂2qb

∂qc∂qa

vc +∂2qb

∂qa∂t,

la (1.3.2) diventa:∑

b

[∂F

∂qb

∂qb

∂qa

+∂F

∂vb

(∑c

∂2qb

∂qc∂qa

vc +∂2qb

∂qa∂t

)].

Adesso calcoliamo ∂F∂va

e poi facciamone la derivata temporale:

∂F

∂va

=∑

b

(∂F

∂qb

∂qb

∂va

+∂F

∂vb

∂vb

∂va

)+

∂F

∂t

∂t

∂va

=

=∑

b

∂F

∂vb

∂vb

∂va

=

=∑

b

∂F

∂vb

∂qb

∂qa

in quanto osserviamo che:• qb dipende da q e da t e non da va =⇒ ∂qb

∂va= 0;

• ∂t∂va

= 0;• ∂vb

∂va= ∂qb

∂qa, infatti: va =

∑c

∂qa

∂qcvc + ∂qa

∂t

∂

∂vb

(∂qa

∂qc

vc

)=

{∂qa

∂qc

∂vc

∂vb= 0 per c 6= b

∂qa

∂qbper c = b

∂va

∂vb

=∂

∂vb

(∑c

∂qa

∂qc

vc +∂qa

∂t

)=

∂qa

∂qb

+∂

∂vb

(∂qa

∂t

)=

∂qa

∂qb

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Quindi:

d

dt

∂F

∂va

=d

dt

(∑

b

∂F

∂vb

∂qb

∂qa

)=

=∑

b

[( d

dt

∂F

∂vb

)∂qb

∂qa

+∂F

∂vb

( d

dt

∂qb

∂qa

)]=

=∑

b

[( d

dt

∂F

∂vb

)∂qb

∂qa

+∂F

∂vb

(∑c

∂2qb

∂qc∂qa

vc +∂2qb

∂qa∂t

)].

A questo punto, da questi risultati otteniamo:

d

dt

∂F

∂va

− ∂F

∂qa

=∑

b

[( d

dt

∂F

∂vb

)∂qb

∂qa

+∂F

∂vb

(∑c

∂2qb

∂qc∂qa

vc +∂2qb

∂qa∂t

)]+

−∑

b

[∂F

∂qb

∂qb

∂qa

+∂F

∂vb

(∑c

∂2qb

∂qc∂qa

vc +∂2qb

∂qa∂t

)]=

=∑

b

( d

dt

∂F

∂vb

)∂qb

∂qa

−∑

b

∂F

∂qb

∂qb

∂qa

=

=∑

b

∂qb

∂qa

( d

dt

∂F

∂vb

− ∂F

∂qb

). c.v.d.

Il teorema mostra che la combinazione di derivate

d

dt

∂F

∂va

− ∂F

∂qa

ha una regola di trasformazione molto semplice sotto un cambiamento dicoordinate, sebbene nessuno dei singoli termini d

dt∂F∂va

e ∂F∂qa

si comporti inun modo particolarmente semplice.

Siamo, ora, nelle condizioni di trasformare le equazioni del moto.

Adesso, definiamo un’osservabile come una funzione

G : PT −→ <(q,v, t) 7−→ G(q,v, t) ∈ <

e consideriamo il caso in cui applichiamo il teorema appena esaminato adun’osservabile quale l’energia cinetica T =

∑c

12µcv

2c .

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Le equazioni del moto di Newton sono mava = Fa e tale espressionepossiamo ottenerla da T nel modo seguente:1) Si deriva T rispetto a va: ∂T

∂va= µava

2) Si deriva ∂T∂va

rispetto al tempo: ddt

∂T∂va

= µava = Fa.

Possiamo osservare che a questo punto abbiamo:

Fa =d

dt

∂T

∂va

− ∂T

∂qa

con ∂T∂qa

= 0, in quanto l’energia cinetica T in coordinate cartesiane nondipende da q. Dunque utilizzando il teorema ne deriva:

∑

b

∂qb

∂qa

( d

dt

∂T

∂vb

− ∂T

∂qb

)= Fa. (1.3.3)

Si tratta di n equazioni del secondo ordine in t, che possono essere espli-citamente scritte se si conoscono le forze Fa e le trasformazioni qb(q, t).Inoltre possiamo scrivere le equazioni (1.3.3) anche moltiplicandole per∂qa

∂qc( che conosciamo se conosciamo le trasformazioni):

∑

b

(∂qb

∂qa

∂qa

∂qc

)( d

dt

∂T

∂vb

− ∂T

∂qb

)=

∂qa

∂qc

Fa.

Poiche di queste equazioni ne abbiamo una per ogni a, sommiamo su a:∑

b,a

(∂qb

∂qa

∂qa

∂qc

)( d

dt

∂T

∂vb

− ∂T

∂qb

)=

∑a

∂qa

∂qc

Fa.

Aggiungiamo che, poiche vale

∂qb

∂qc

=∑

a

∂qb

∂qa

∂qa

∂qc

+∂qb

∂t

∂t

∂qc

=∑

a

∂qb

∂qa

∂qa

∂qc

,

otteniamo: ∑

b

∂qb

∂qc

( d

dt

∂T

∂vb

− ∂T

∂qb

)=

∑a

∂qa

∂qc

Fa.

Ora, poniamo attenzione al fatto che ∂qb

∂qc= 0 sempre, tranne quando

b = c, infatti risulta uguale all’ unita. Quindi:∑

a

∂qa

∂qc

Fa =d

dt

∂T

∂vc

− ∂T

∂qc

. (1.3.4)

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Siamo, dunque, giunti ad ottenere n equazioni (abbiamo un’ equazione perogni c) equivalenti alle equazioni del moto, ma valide rispetto a qualunquesistema di coordinate.

Esempio (1.3.2)

Consideriamo un sistema di particelle che si muove su un piano. Abbiamole coordinate cartesiane q1 = x, q2 = y. Supponiamo che le forze sianoF1 = Fx e F2 = Fy e che vogliamo scrivere l’equazione del moto nellecoordinate polari. Quindi: q1 = r =

√q21 + q2

2 , q2 = ϕ, dove{ q1 = x = r cos ϕq2 = y = r sin ϕ

Per scrivere l’equazione del moto occorrono:1) l’energia cinetica espressa in coordinate polari

T =12m(v2

1 + q21 v

22) =

12m(r2 + r2ϕ2)

2) le derivate:∂q1

∂q1

=∂x

∂r= cos ϕ = cos q2;

∂q2

∂q1

=∂y

∂r= sin ϕ = sin q2;

∂q1

∂q2

=∂x

∂ϕ= −r sinϕ = −q1 sin q2;

∂q2

∂q2

=∂y

∂ϕ= r cos ϕ = q1 cos q2;

Allora l’equazione (1.3.4) per c = 1 diventa:∂q1

∂q1

F1 +∂q2

∂q1

F2 =d

dt

∂T

∂v1

− ∂T

∂q1

= m ˙v1 −mq1v22

da cui otteniamo:

(cos ϕ)F1 + (sin ϕ)F2 = mr −mrϕ2 .

Osserviamo che il primo membro risulta essere il prodotto scalare tra leforze e il versore di r e inoltre la proiezione di F sul versore di r e lacomponente radiale.Per c = 2 abbiamo:

∂q1

∂q2

F1 +∂q2

∂q2

F2 =d

dt

∂T

∂v2

− ∂T

∂q2

.

Da qui ricaviamo:

−r sin ϕF1 + r cos ϕF2 = mr2ϕ

il cui primo membro e correlato alla componente normale della forza.

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1.4 Equazioni del moto nel caso di forze conservative:

le equazioni di Eulero-Lagrange

L’equazione del moto valida per ogni sistema di coordinate, fin’ora oggettodel nostro discorso, assume una forma particolare e semplificata nel casoin cui le forze agenti sul sistema sono conservative.

Una forza e conservativa quando il lavoro compiuto da q a q′ si puoscrivere mediante una funzione U che dipende da q come Lq−→q′ = U(q)−U(q′), dove U e detta funzione potenziale e tale che Fa = − ∂U

∂qa.

Consideriamo una coppia (q,q′) , dove q′c = qc se c 6= a e q′a = qa +dqa

se c = a. Poiche q′ differisce da q solo per qa, allora tutti i dqc sono nullie quindi:

Lq−→q′ =∫

Fdq = F · dq = Fadqa.

Ma se la forza e conservativa, allora abbiamo:

Fadqa = U(q)− U(q1, q2, . . . , qa + dqa, . . . , qn).

Da qui:

Fa =U(q)− U(q1, q2, . . . , qa + dqa, . . . , qn)

dqa

= −∂U

∂qa

.

Viceversa, se la forza lungo una direzione e pari a Fa = − ∂U∂qa

, vediamoche F e conservativa:

dL =∑

a

Fadqa =∑

a

(−∂U

∂qa

)dqa = −dU = −

[U(q + dq)− U(q)

].

Dunque abbiamo una dipendenza da q e da q′ = q+dq e quindi si trattadi forze conservative.

A questo punto, sostituiamo Fa = − ∂U∂qa

nel primo membro dell’equazio-ne del moto (1.3.4) valida per ogni sistema di coordinate e otteniamo:

∑a

−∂qa

∂qc

∂U

∂qa

= −∂U

∂qc

.

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Allora, l’equazione del moto valida per ogni sistema di coordinate diventa:

−∂U

∂qc

=d

dt

∂T

∂vc

− ∂T

∂qc

. (1.4.1)

Osserviamo che quest’equazione dipende solo dalle coordinate e dallevelocita generalizzate. Quindi nel caso di forze conservative, abbiamol’equazione del moto senza alcun riferimento alle coordinate cartesiane.Definendo, inoltre, la seguente osservabile L = T −U , possiamo esprimerel’equazione del moto cosı:

d

dt

∂(T − U)∂vc

− ∂(T − U)∂qc

= 0 (1.4.2)

ovvero:d

dt

∂L

∂vc

− ∂L

∂qc

= 0. (1.4.3)

La funzione L = T −U e detta lagrangiana. Le equazioni (1.4.1), (1.4.2),(1.4.3) sono equivalenti e sono le equazioni di Eulero-Lagrange.

Dunque, considerando forze conservative siamo giunti alle equazioni diEulero-Lagrange.

Abbiamo visto che se per tutte le curve nello spazio delle configu-razioni C, il lavoro fatto nello spostare il sistema lungo la curva dipendesolo dai punti estremi della curva, allora le forze sono conservative. Allostesso modo, le forze sono conservative se il lavoro fatto nello spostareil sistema intorno a tutte le curve chiuse svanisce. Da qui il termine’conservativo’: per tali curve non c’e nessuna netta ”spesa” di energia.

Da questo possiamo dire che le forze gravitazionali e le forze elastiche sonoconservative: per esempio nessun netto lavoro viene fatto dalla gravita nelsollevare una particella e poi nel riportarla nella sua posizione iniziale; enessun netto lavoro viene fatto dalle forze elastiche nello stendere e poinel rilassare un filo perfettamente elastico.

Nei problemi che coinvolgono le forze gravitazionali o quelle elastiche, U

e l’energia potenziale.

18

Esempio (1.4.1)

Prendiamo in esame la forza gravitazionale. In tal caso l’energia poten-ziale e: U = −α

r.

L’energia cinetica espressa in coordinate polari e:

T =12m(v2

1 + q21 v

22) =

12m(r2 + r2ϕ2)

dove q1 = r e q2 = ϕ.Sappiamo che l’equazione di Eulero-Lagrange e:

−∂U

∂qc

=d

dt

∂T

∂vc

− ∂T

∂qc

.

L’equazione del moto relativa a q1 e:

−∂U

∂q1

= m ˙v1 −mq1v22 = mr −mrϕ2

e poiche ∂U∂r

= αr2 , abbiamo:

− α

r2= mr −mrϕ2.

L’equazione del moto relativa a q2 e:

−∂U

∂q2

=d

dt

∂T

∂v2

− ∂T

∂q2

= m ˙v2 = mϕ

e poiche ∂U∂ϕ

= 0, allora abbiamo:

mϕ = 0.

Esempio (1.4.2)

Consideriamo una forza elastica e tre gradi di liberta. Supponiamo diavere una massa legata ad una molla con costante elastica k. La forza haespressione:

F = −kr = ma = mr.

Dobbiamo scrivere le tre equazioni corrispondenti ai tre gradi di liberta.

19

La lagrangiana e:

L = T − U =12m(v2

x + v2y + v2

z)−12k(x2 + y2 + z2).

Sappiamo che l’equazione di Eulero-Lagrange e:d

dt

∂L

∂vc

− ∂L

∂qc

= 0.

Scriviamola lungo x:d

dt(mvx) + kx = 0 =⇒ mvx + kx = 0 =⇒ mx = −kx.

Equivalentemente lungo y:d

dt(mvy) + ky = 0 =⇒ mvy + ky = 0 =⇒ my = −ky.

E lungo z:d

dt(mvz) + kz = 0 =⇒ mvz + kz = 0 =⇒ mz = −kz.

Scegliamo, adesso, altre coordinate, ad esempio le coordinate sferiche:r, ϕ, θ. Preso un punto, r e la sua distanza dall’origine, l’angolo ϕ el’anomalia e l’angolo θ e l’azimut. Vogliamo esprimere l’energia cineticain funzione di queste coordinate e delle loro derivate.

20

x =r sin θ cos ϕ

y =r sin θ sin ϕ

z =r cos θ

Consideriamo la sfera con raggio r e centro nell’origine e tracciamo ilmeridiano che passa per il punto. Possiamo decomporre il vettore velocitadel punto.La componente radiale e vr = r.Dobbiamo trovare una seconda componente della velocita. Scegliamo,allora, come seconda direzione quella del parallelo che e perpendicolare aquella radiale. La ciconferenza relativa a tale parallelo ha raggio r sin θ eil punto si muove lungo tale circonferenza con velocita angolare ϕ. Ognivolta che un punto si muove su una circonferenza, la velocita e ugualeal raggio per la velocita angolare. Allora la seconda componente dellavelocita e v2 = r(sin θ)ϕ.Per trovare la terza componente della velocita, scegliamo la direzione delmeridiano. Quindi, quando il punto si muove lungo il meridiano, esso simuove lungo una circonferenza di raggio r con velocita angolare θ. Allorane risulta che la terza componente della velocita e v3 = rθ.A questo punto possiamo scrivere l’energia cinetica:

T =12mv2 =

12m(v2

1 + v22 + v2

3) =12m(r2 + r2(sin2 θ)ϕ2 + r2θ2).

L’energia potenziale e:U =

12kr2.

Di conseguenza otteniamo la lagrangiana:

L = T − U =12m(r2 + r2(sin2 θ)ϕ2 + r2θ2)− 1

2kr2.

Vediamo, quindi, qual e l’equazione di Eulero-Lagrange

d

dt

∂L

∂vc

− ∂L

∂qc

= 0

corrispondente a tale lagrangiana.

21

Relativamente ad r, otteniamo:

d

dt(mr)−(mr(sin2 θ)ϕ2+mrθ2−kr) = 0 =⇒ mr−mr(sin2 θ)ϕ2−mrθ2+kr = 0.

Relativamente a ϕ:

d

dt(mr2(sin2 θ)ϕ) = 0 =⇒ 2mrr(sin2 θ)ϕ+mϕr2 sin2 θ+2mr2ϕ sin θ(cos θ)θ = 0.

Relativamente a θ:

d

dt(mr2θ)−mr2 sin θ(cos θ)ϕ2 = 0 =⇒ 2mrrθ+mr2θ−mr2ϕ2 sin θ cos θ = 0.

22

CAPITOLO 2

Sistemi vincolati

2.1 Vincoli olonomi

La grande potenza del metodo lagrangiano si apprezza nella dinamica deisistemi vincolati.

Con il termine ”vincolo” si intende una qualsiasi limitazione al motodi uno o piu punti del sistema e le forze responsabili di tali limitazionisono le forze vincolari.I vincoli vengono classificati a seconda delle variabili che sono coinvolte.In particolare essi sono detti olonomi (ed e ad essi che ci limiteremo) secoinvolgono le coordinate dei punti ed eventualmente il tempo, ma non levelocita; ovvero sono espressi con equazioni del tipo:

f(q) = 0

oppuref(q, t) = 0.

Quando i vincoli olonomi non coinvolgono il tempo t sono detti scleronomi;quando, invece, lo coinvolgono sono detti reonomi.

Esaminiamo alcuni esempi:

Esempio (2.1.1)

Consideriamo un corpo su un tavolo. La limitazione al moto, in questocaso, viene espressa con una disequazione: z ≥ 0. In tal modo diciamoche x e y possono essere qualsiasi, mentre z non puo essere negativa, cioec’e un vincolo che impedisce al punto di avere una quota minore di zero.

Esempio (2.1.2)

Pensiamo ad un punto che si deve muovere a causa di vincoli lungo unanello. In tal caso, ci sono due equazioni che coinvolgono le coordinate e

23

che rappresentano le limitazioni al moto, ovvero i vincoli:

x2 + y2 = r2, z = 0.

Esempio (2.1.3)

(a) Consideriamo una particella localizzata sulla superficie di una sferadi raggio a. In queste condizioni la particella esaminata avra sempre lastessa distanza dal centro della sfera. Di conseguenza l’equazione cherappresenta il vincolo e la seguente:

x2 + y2 + z2 = a2.

(b) Identificando la sfera del caso (a) con un pallone e supponendo digonfiare tale pallone, allora la distanza dal centro aumenta col passaredel tempo, ovvero aumenta il raggio: r(t) = αt, con α = velocitacon cui viene gonfiato il pallone. In questo caso, allora, l’equazione cheesprime il vincolo coinvolge anche il tempo:

x2 + y2 + z2 = α2t2

e tale tempo t deve essere compreso in un intervallo che precede il mo-mento in cui il pallone scoppi.

Esempio (2.1.4)

Prendiamo, adesso, in esame una sfera che ruota su un piano orizzontale.

Il vettore che individua il punto di contatto e pari a r− r0k, dove r0 e ilraggio della sfera, r e il vettore posizione del baricentro e k e il vettoreunita normale al piano, e la velocita del baricentro e un vettore che giacesu un piano orizzontale.

La condizione che dobbiamo considerare e il puro rotolamento e perquest’ultimo la velocita del punto di contatto sul pallone e uguale allavelocita del punto di contatto sul tavolo. Allora la velocita del punto dicontatto deve essere nulla.

24

Quindi, imponiamo che tale velocita sia nulla, cioe

r + ~ω ∧ (r0(−k)) = 0

dove ~ω e la velocita angolare della sfera.

25

2.2 Sistema adattato ai vincoli

Supponiamo di considerare un sistema di N particelle soggette a n −m

vincoli della forma:

fk(q, t) = 0 k = 1, 2, . . . , n−m

dove qa sono coordinate generalizzate.

Le equazioni del moto sono:

d

dt

∂T

∂va

− ∂T

∂qa

= Fa = Ea + Ka,

dove Ea sono le componenti delle forze esterne e Ka sono le componentidelle forze responsabili dei vincoli.

Per rendere manegevoli tali equazioni, introduciamo innanzi tutto il con-cetto di gradi di liberta.

Definizione (2.2.1)

Il numero di gradi di liberta e il numero minimo di parametri necessariad individuare la posizione del sistema tenendo conto dei vincoli.

Ad esempio se n coordinate q1, . . . , qn non sono necessarie per indi-viduare la posizione, ma ne bastano n− 1, allora abbiamo n− 1 gradi diliberta; o anche: se r e il numero dei vincoli olonomi indipendenti, alloran− r e il numero di gradi di liberta.

Se i vincoli sono indipendenti, noi siamo in grado di determinare laconfigurazione del sistema a partire dalle equazioni che caratterizzanoi vincoli, conoscendo t ed m relativi alle coordinate qa.

Proposizione (2.2.1)

I vincoli fk = 0 sono indipendenti se la matrice (n−m)× n con elementi∂fk

∂qaha rango massimale in ogni punto.

Se i vincoli fk = 0 sono indipendenti, allora esiste un sistema di coordinate

26

generalizzate qa in cui si ha:

qm+1 = 0 , qm+2 = 0 , . . . , qn = 0.

Il sistema di coordinate generalizzate in cui valgono tali equazioni e dettosistema adattato ai vincoli.

Esempio (2.2.1)

Supponiamo di considerare una particella che e costretta a rimanere sullaretta y = x; da cui z = 0.Prendiamo, adesso, in esame un sistema di coordinate (x, y, z) ottenutofacendo ruotare di 45 gradi gli assi intorno all’asse z fino a far, quindi,coincidere l’asse x con la retta y = x.

Abbiamo, percio, il seguente cambiamento di coordinate:

x −→ x = x cosπ

4+ y sin

π

4=√

22

(x + y)

y −→ y = −x sinπ

4+ y cos

π

4=√

22

(y − x)

z −→ z = z

27

La particella rispetto al nuovo sistema avra coordinate (x, 0, 0).Siamo nel caso in cui i vincoli sono due e nel primo sistema di coordinatesono: y = x e z = 0; ne segue che il grado di liberta e uno, da cui abbiamoche nel nuovo sistema di coordinate i vincoli sono q2 = 0 e q3 = 0 e quindi:z = 0 e y = 0.

Esempio (2.2.2)

Nel caso di una particella che si muove sulla superficie di una sfera, c’eun solo vincolo espresso da: x2 + y2 + z2 = R2. Considerate le coordi-nate sferiche ϕ, θ, r, con r =

√x2 + y2 + z2 = R, scegliamo il sistema di

coordinate per il qualeq1 = ϕ

q2 = θ

q3 = r −R.

Questo e un sistema adattato ai vincoli, infatti nel primo sistema dicoordinate il vincolo e uno, ne segue che i gradi di liberta sono due equindi q3 = 0, che e vero in quanto r −R e nullo.

Esempio (2.2.3)

Prendiamo in esame il caso in cui una particella si muove nel piano lungouna circonferenza di raggio R. Le due equazioni che esprimono i vincolisono z = 0 e x2 + y2 = R2 e il grado di liberta e uno.Cerchiamo un sistema adattato ai vincoli, ovvero un sistema di coordinatetali che q2 = 0 e q3 = 0.Lavorando con le coordinate sferiche ϕ, θ, r, osserviamo che l’anomalia ϕ

puo assumere qualsiasi valore; l’azimut θ deve essere pari a π2

in quantola particella sta nel piano e infine r deve essere uguale ad R. Quindiprendendo:

q1 = ϕ

q2 = θ − π

2q3 = r −R

come sistema adattato ai vincoli, abbiamo che q2 = 0 e q3 = 0.

28

Generalizzando:Siano fm(q, t) = 0 con m = k+1, . . . , n le equazioni che esprimono i vincolie sia k il numero di gradi di liberta. Per trovare un sistema adattato aivincoli si procede nel modo seguente:¦ Si definiscono le ”nuove” coordinate in funzione delle ”vecchie”;¦ Si pone qm(q, t) = fm(q, t) con m = k + 1, . . . , n;¦ Si trovano le altre coordinate q1(q, t), q2(q, t), . . . , qk(q, t); in modotale che la trasformazione di coordinate da q a q sia una trasformazionebiunivoca.

Esempio (2.2.4)

Consideriamo un punto su una circonferenza e due sistemi di coordinate.Nel primo i vincoli sono espressi da:

f2(x, y, z, t) = x2 + y2 −R2 = 0

f3(x, y, z, t) = z = 0;

nel secondo, abbiamo:

q2(x, y, z, t) = x2 + y2 −R2 = 0

q3(x, y, z, t) = z = 0.

Per quanto riguarda q1, dobbiamo sceglierlo in modo tale che la trasfor-mazione sia biunivoca, ad esempio q1 = ϕ.

29

2.3 Forze vincolari e principio di d’Alembert

Consideriamo un sistema adattato ai vincoli

q1 , q2 , . . . , qr , qr+1 = 0 , . . . , qn = 0.

Osserviamo che non abbiamo bisogno di n equazioni del moto, ma di r

equazioni del moto, infatti da r + 1 ad n le coordinate sono nulle e diconseguenza sono nulle anche le velocita

vr+1, . . . , vn.

Quindi, le equazioni del moto

d

dt

∂T

∂va

− ∂T

∂qa

= Fa = Ea + Ka (2.3.1)

sono equazioni in cui le uniche incognite sono:

q1, q2, . . . , qr, v1, . . . , vr.

L’unico problema e costituito dalle forze vincolari Ka, che non siconoscono.Una delle caratteristiche dei vincoli olonomi e quella di svolgere un lavoronullo; di conseguenza la sola assunzione che facciamo sulle forze vincolariKa e che svolgono un lavoro nullo.Andiamo a specificare meglio tale concetto.Immaginiamo che al tempo t, opportunamente fissato, venga fotografatoil sistema, cogliendo non solo le posizioni delle particelle, ma anche leforze che agiscono su esse.Immaginiamo, poi, di fare un piccolo cambiamento nella configurazione,ovvero di considerarne uno spostamento, in cui

qa −→ qa + δqa;

in altre parole, la particella α viene spostata dal punto con vettore po-sizione rα al punto con vettore posizione rα + δrα.

30

L’assunzione fatta caratterizza il lavoro delle forze vincolari, consideran-dolo nullo ogni volta che lo spostamento e compatibile con i vincoli. Laconfigurazione, quindi, deve soddisfare le equazioni vincolari al tempofissato t oltre che prima dello spostamento (fk(qa, t) = 0) anche dopo(fk(qa + δqa, t) = 0). Uno spostamento di questo tipo si dice virtuale.

Riguardo tale assunzione introduciamo il

Principio di d’Alembert

Il lavoro compiuto dalle forze vincolari quando i vincoli sono olonomi perogni spostamento virtuale e nullo:

∑a

Kaδqa = δLk = 0.

Esprimiamo, adesso, il principio di d’Alembert nel sistema di coordi-nate adattato ai vincoli:

δLk =∑

a

Kaδqa = 0.

Nel sistema adattato ai vincoli la condizione che lo spostamento sia com-patibile ai vincoli e:

δqr+1 = 0 , . . . , δqn = 0,

in quanto sappiamo che:

qr+1 = 0 , . . . , qn = 0 e qr+1 + δqr+1 = 0.

Ne segue che

δLk =∑

a

Kaδqa = 0

equivale a

K1δq1 + . . . + Krδqr = 0.

Consideriamo uno spostamento compatibile con i vincoli

δq = (0, . . . , 0, δqb, 0, . . . , 0)

31

{δqj = 0 con j 6= bδqb 6= 0 con b ≤ r.

Poiche il principio di d’Alembert vale per ogni spostamento compatibilecon i vincoli, allora vale anche in questo caso. Cosı abbiamo Kbδqb = 0.Siccome δqb 6= 0, ne segue che Kb = 0.

Quindi possiamo dire che le equazioni del moto (2.3.1) nel sistema adat-tato ai vincoli diventano:

d

dt

∂T

∂va

− ∂T

∂qa

= Ea (2.3.2)

con a = 1, . . . , r.

Queste equazioni hanno la stessa forma in tutti i sistemi di coordinate.La conoscenza delle forze esterne ci consente di scrivere le equazioni delmoto. Se le forze esterne sono conservative, allora c’e un potenziale U

tale che:Ea = −∂U

∂qa

a = 1, 2, . . . , r

e quindi le equazioni (2.3.2) si riducono alla forma lagrangiana:

d

dt

∂L

∂va

− ∂L

∂qa

= 0

dove L = T − U e a = 1, . . . , r e sono proprio le equazioni di Lagrangeche sono note come equazioni adattate ai vincoli.Osservazione

Dal principio di d’Alembert arriviamo a dire che i primi r valori delleforze vincolari K sono nulli e quindi le forze vincolari generalizzate sono:

K1 = 0 , K2 = 0 , . . . , Kr = 0 , Kr+1 , . . . , Kn

e per a = r + 1, . . . , n abbiamo le equazioni

d

dt

∂T

∂va

− ∂T

∂qa

= Ea + Ka.

Da qui, se le forze esterne sono conservative, allora esiste U tale cheEa = − ∂U

∂qae di conseguenza le equazioni possono essere scritte come:

d

dt

∂L

∂va

− ∂L

∂qa

= Ka.

32

Tali equazioni sono del tipo:

G(q, v, ˙v, t) = Ka.

Da queste equazioni possiamo determinare gli ultimi n− r valori di K.A questo punto precisiamo che per conoscere le forze vincolari dirette

dobbiamo fare opportune trasformazioni; piu precisamente dobbiamo in-vertire la seguente relazione:

Ka =∑

c

∂qc

∂qa

Kc.

Quindi, moltiplichiamo per ∂qa

∂qbe sommiamo su a:

∑a

∂qa

∂qb

Ka =∑c,a

(∂qa

∂qb

∂qc

∂qa

)Kc =

∑c

δb,cKc = Kb

dove δb,c e il ”delta di Kroneker”.Abbiamo, cosı, ottenuto la relazione che ci consente di ottenere le

forze vincolari dirette.

33

2.4 Esempi

• Pendolo semplice

Un pendolo semplice consiste di una massa m all’estremita di un filo o diun’asta di lunghezza l privi di massa.

Se la massa m viene spostata lateralmente e quindi lasciata libera, il motoottenuto sara oscillatorio.

Determiniamo, quindi, il moto di un pendolo semplice di lunghezzal e massa m supponendo piccole oscillazioni, nessuna forza resistente efacendo uso della lagrangiana.

Innanzi tutto l’energia cinetica e:

T =12mv2 =

12ml2ϕ2;

l’energia potenziale e:

U = mg(l − l cos ϕ) = mgl(1− cos ϕ).

34

Dunque, la lagrangiana e

L =12ml2ϕ2 −mgl(1− cos ϕ).

Percio le equazioni di Lagrange:d

dt

∂L

∂ϕ− ∂L

∂ϕ= 0

diventano:d

dt(ml2ϕ) + mgl sin ϕ = 0 =⇒

=⇒ml2ϕ + mgl sin ϕ = 0 =⇒=⇒ϕ +

g

lsinϕ = 0

Risolvendole per piccole oscillazioni:

ϕ +g

lϕ = 0 =⇒ ϕ = A cos

(√g

lt− ψ

).

• Pendolo doppio

Scriviamo le equazioni di Lagrange per un pendolo doppio caratterizzatoda due aste di lunghezza l1 ed l2 e da due masse m1 ed m2 vincolate amuoversi in un piano.

Prendiamo come parametri ϕ1 e ϕ2.

35

Osserviamo che:

x1 = l1 sin ϕ1 ; y1 = −l1 cos ϕ1

e che

x2 = l1 sinϕ1 + l2 sinϕ2 ; y2 = −l1 cos ϕ1 − l2 cos ϕ2.

Deduciamo che si puo determinare univocamente la configurazione delsistema se si conoscono ϕ1 e ϕ2: un solo parametro non e sufficiente.Dunque i gradi di liberta sono due.

L’energia cinetica e:

T =12m1(x2

1 + y21) +

12m2(x2

2 + y22) =

=12m1l

21ϕ

21 +

12m2

[l21ϕ

21 cos2 ϕ1 + l22ϕ

22 cos2 ϕ2 + 2l1l2ϕ1ϕ2 cos ϕ1 cos ϕ2+

+ l21ϕ21 sin2 ϕ1 + l22ϕ

22 sin2 ϕ2 + 2l1l2ϕ1ϕ2 sinϕ1 sinϕ2

]=

=12m1l

21ϕ

21 +

12m2

[l21ϕ

21 + l22ϕ

22 + 2l1l2ϕ1ϕ2 cos ϕ1 cos ϕ2 + 2l1l2ϕ1ϕ2 sin ϕ1 sin ϕ2

].

L’energia potenziale e:

U = m1gy1 + m2gy2 = −m1gl1 cos ϕ1 −m2gl1 cos ϕ1 −m2gl2 cos ϕ2.

Esaminando un caso particolare in cui:

m1 = m2 = m e l1 = l2 = l,

abbiamo:

T =12ml2

[ϕ2

1 + ϕ21 + ϕ2

2 + 2ϕ1ϕ2 cos ϕ1 cos ϕ2 + 2ϕ1ϕ2 sinϕ1 sin ϕ2

]=

=12ml2

[2ϕ2

1 + ϕ22 + 2ϕ1ϕ2 cos(ϕ2 − ϕ1)

]

U = −2mlg cos ϕ1 −mlgϕ2.

Dunque, la lagrangiana e

L =12ml2

[2ϕ2

1 + ϕ22 + 2ϕ1ϕ2 cos(ϕ2 − ϕ1)

]+ mlg

[2 cos ϕ1 + cos ϕ2

].

36

Allora, determinando le equazioni di Lagrange{

ddt

∂L∂ϕ1

− ∂L∂ϕ1

= 0ddt

∂L∂ϕ2

− ∂L∂ϕ2

= 0,

abbiamo:

ddt

[2ml2ϕ1 + ml2ϕ2 cos(ϕ2 − ϕ1)

]−ml2ϕ1ϕ2 sin(ϕ2 − ϕ1) + mlg2 sin ϕ1 = 0

ddt

[ml2ϕ2 + ml2ϕ1 cos(ϕ2 − ϕ1)

]+ ml2ϕ1ϕ2 sin(ϕ2 − ϕ1) + mlg sinϕ2 = 0

Per piccole oscillazioni, ovvero approssimando

sin ϕ ≈ ϕ

cos ϕ ≈ 1

ϕ1ϕ2 ≈ 0,

abbiamo:{

2ml2ϕ1 + ml2ϕ2 + 2mlgϕ1 = 0ml2ϕ2 + ml2ϕ1 + mlgϕ2 = 0

=⇒{

2lϕ1 + lϕ2 + 2gϕ1 = 0lϕ2 + lϕ1 + gϕ2 = 0 .

Si tratta di un sistema di equazioni accoppiate ed e possibile disaccop-piarle ed ottenere poi le soluzioni ϕ1 e ϕ2.In realta si ricavano i due modi normali:

~ϕ(1)(t) =(

z1 cos(ω1t− θ1)√2z1 cos(ω1t− θ1)

)

~ϕ(2)(t) =(

z2 cos(ω2t− θ2)−√2z2 cos(ω2t− θ2)

)

e la soluzione generale del sistema e una combinazione lineare di ~ϕ(1)(t) e~ϕ(2)(t)

{ϕ1(t) = c1z1 cos(ω1t− θ1) + c2z2 cos(ω2t− θ2)ϕ2(t) = c1

√2z1 cos(ω1t− θ1)− c2

√2z2 cos(ω2t− θ2).

37

CAPITOLO 3

Simmetrie e leggi di conservazione:il teoremadi Noether

L’obiettivo di questo capitolo e quello di far vedere che ad ogni sim-metria dinamica di un sistema meccanico lagrangiano, cioe all’invarianzadella lagrangiana per una certa trasformazione invertibile di coordinate,corrisponde una legge di conservazione.

3.1 Trasformazioni e campi vettoriali

Introduciamo, innanzi tutto, un campo vettoriale associato ad una trasfor-mazione.

Consideriamo la trasformazione

q −→ q + εX,

dove le componenti Xa del campo vettoriale X dipendono dalla configu-razione di tutte le particelle e dal tempo t, cioe Xa = Xa(q, t).

Se qa = xa(t) e l’equazione di una curva in CT rappresentante unpossibile moto del sistema di particelle, allora

qa = xa(t) + εXa(x(t), t)

e la curva ottenuta facendo i piccoli spostamenti associati ad X.

Estendendo il discorso a PT , abbiamo

va = xa(t) + εWa(x(t), x(t), t),

38

dove

Wa(q,v, t) =dXa

dt=

=∑

b

∂Xa

∂qb

dqb

dt+

∂Xa

∂t

dt

dt=

=∑

b

∂Xa

∂qb

vb +∂Xa

∂t.

Cosı associamo ad X i piccoli spostamenti in PT per i quali (qa, va, t) emandato in (qa + εXa, va + εWa, t).

Esaminiamo alcuni esempi.

Esempio (3.1.1)

Consideriamo una rotazione di un angolo ε e determiniamo il campo vet-toriale associato ad essa.

39

Di tale trasformazione r −→ r + δr determiniamo δr.

δr = rε(− y√

x2 + y2,

x√x2 + y2

)=

=√

x2 + y2ε(− y√

x2 + y2,

x√x2 + y2

)=

= ε(−y, x).

Sapendo che δr = εX, allora il campo vettoriale associato ad una ro-tazione e:

X(x, y, t) = (X1(x, y, t), X2(x, y, t)) = (−y, x).

Esempio (3.1.2)

Prendendo in esame come trasformazione r −→ r + δr la traslazione(x, y) −→ (x + ε, y), determiniamo il campo vettoriale ad essa associato.

Determiniamo δr e otteniamo:

δr = (ε, 0) = ε(1, 0).

40

Dunque, il campo vettoriale associato ad una traslazione lungo l’asse x e:

X(x, y, t) = (X1(x, y, t), X2(x, y, t)) = (1, 0).