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Generalità: materiali

Materiali per la costruzione delle molle:

- acciai ad alto tenore di carbonio- acciai al silicio- acciai legati (Cromo-Silicio, Cromo-Vanadio, Silicio-Cromo-Nichel)- per impieghi particolari si usano anche: acciai inox, leghe Rame-Berillio, ecc.

ε

σ

Acciaio comuneLimite elasticoLimite elastico

Acciaio per molleLimite elasticoLimite elastico

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Generalità: tipologie ed equazioni fondamentali

Relazionecaratteristica

carico-freccia:Relazione

di resistenza:

Molle di flessione: PI, Wf

f

L

fL

IEP 33=

fWLP=maxσ

rigidezza k

Molle di trazione:

NA

fL

fL

EAN =AN=σ

rigidezza k

Molle di torsione: MtJ, Wt θθθθ

L

θLJGM t =

t

t

WM=maxτ

rigidezza k

Generalità: coefficiente di utilizzo

Si definisce coefficiente di utilizzo Cuil rapporto:

VE

fP

massimaallafossematerialeiltuttoseabileimmagazzinteteoricamenEnergia

mollanellaataimmagazzinenteeffettivamEnergia

Cu 2

2121

σσ

==

Molle di trazione: 1=uC

Molle di flessione:91=uC (lamina rettangolare)

Molle di torsione:21=uC (barra cilindrica)

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Progetto di una molla

Variabili in gioco:

�resistenza statica e/o a fatica

�…

�rigidezza richiesta (relazione carico-freccia)�ingombro e peso�frequenza propria del sistema�instabilità a compressione�comportamento non lineare (molle “dure” e “soffici”)�smorzamento

Molle di torsione ad asse rettilineo: barre di torsione

Relazioni fondamentali:

Una volta scelta la classe del materiale con cui realizzare la barra, che ci vincolail valore di G, le dimensioni d ed L sono fissate sulla base degli ingombri e dellarigidezza richiesti utilizzando la relazione carico-freccia.Segue la verifica a resistenza (statica o a fatica) che viene fatta impiegando gliusuali criteri adottati per il dimensionamento dei componenti meccanici.Alle molle si applicano, in genere, coefficienti di sicurezza X di poco superiori a 1.

t

t

WM=maxτ 3max

16dM t

πτ =

θkMt = ( ) θν

πθπL

EdLGdMt +

==123232

44 Mt

4

Molle di torsione ad asse non rettilineo: molle elicoidali

Relazioni fondamentali:

2,

2DfDPMt θ==

Dalle relazioni valide per le barredi torsione, sapendo che:

fDn

EdfLDGdf

DLGd

DP 3

4

2

44

)1(16cos

82

322

ναππ

+==

≅fkP =

si ottiene:

Si noti che gli effetti dovuti alla curvatura del tondino con cui è costruita laspirale sono stati qui trascurati. Infatti, una molla che abbia il rapporto D/d(detto indice della molla) piccolo risulta avere una rigidezza maggiore diquella espressa dalla formula riportata.

P

in cui:L è stata posta uguale a απ cosDn

G è stato sostituito con ( )ν+12E

n = numero spire attiveD = diametro della spiraleα = angolo della spirale

Molle di torsione ad asse non rettilineo: molle elicoidali

Relazioni fondamentali:

ατ

cos342

max AP

WDP

t

+≅

+=

=+=

Dd

dDP

dP

dDP

3cos2183

cos168

3

23max

απ

πα

πτ

� Il coefficiente è spesso approssimato a 0,5; in questo modo si

tiene conto della ridistribuzione delle tensioni che si ottiene plasticizzandolocalmente il materiale.

αcos32

�La concentrazione delle tensioni dovuta alla curvatura dell’elica non puòessere trascurata nella progettazione delle molle che lavorano a fatica,per cui la formula precedente deve essere così corretta:

( )

+

−−=

Dd

DdDd

dDP

3cos2

1448

3maxα

πτ

�Anche in questo caso sono stati trascurati gli effetti dovuti alla curvaturadella spirale. Infatti, quando una trave curva è sollecitata a torsione il suolembo interno risulta più sollecitato di quello esterno.

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Progetto di molle elicoidali

Nel progetto di una molla elicoidale le variabili in gioco sono:�per il materiale:

E, ν � in genere sono sempre le costanti elastiche dell’acciaioσL � vale σs/X nella progettazione statica (X può essere molto prossimo

a 1 specialmente per le molle compresse)� nel dimensionamento a fatica, σa eq e σm eq vanno confrontate con la

retta di Goodman (nella maggior parte dei casi applicativi b1 e b2possono essere posti uguali ad 1)

�per la geometria:d, D � il rapporto D/d dovrebbe essere maggiore di 3÷4

hp � l’altezza “a pacchetto” è data da ntotd, dove il numero totale di spire ntotè dato da n (spire attive) più 1 o 2 a seconda del tipo di terminazioni

α � l’angolo dell’elica è in genere scelto < 15°

h0 � l’altezza “libera” è vincolata dai problemi di instabilità a compressione

�per i carichi:Pmin, Pmax � valori del carico agli estremi del campo di lavoro

Molle di flessione: balestre

Poiché le molle di flessione a sezione costante risultano avere un coefficiente diutilizzo molto basso, queste sono in genere realizzate cercando di portare latensione massima su ciascuna sezione al valore massimo ammissibile.Quindi, introducendo la coordinata x, potremo ricavare la legge di variazione delmodulo di resistenza Wf che porta la σmax di ciascuna sezione al valore massimoammissibile σ0.

Relazioni fondamentali:

fL

IEP 33=

fWLP=maxσ

PI(x), Wf(x)

xL

costxWxPx

f

=== 0max )()( σσ

6

Molle di flessione: balestre

Nel caso tecnicamente più significativo di lamine a sezione rettangolare,avremo:

02

6)()(

σ=xhxb

xP

Indicando con b0 e h0 le dimensioni della sezione di incastro:

66)()( 2

0002 hb

LPxhxb

xP ==σ

da cui segue:

200

2 )()( hbLxxhxb ====

Quindi ipotizzando di voler variare solo b o solo h, la sezione della lamina dovràseguire una delle seguenti leggi di variazione:

Lxhxhb

Lxxb 00 )(,)( ==

Molle di flessione: balestre

La prima delle due leggi di variazione porta allo schema di molla di flessionea lamina triangolare:

Lxhxhb

Lxxb 00 )(,)( ==

P

Lb0

per la quale valgono le seguentirelazioni fondamentali:

fLhbEP 3

300

6=

200

max6

hbLP=σ

31=uC

7

Molle di flessione: balestre

Nella pratica costruttiva si passa dalla forma triangolare a quella trapezoidale perrendere possibile l’applicazione del carico all’estremità libera:

b0b0

b1

( )

+=

=+−=+=

32

4

46

013

300

3

301

3

3010

bbLhbE

LhbE

LhbbEkkk retttri

Il valore della rigidezza k potrà essere ottenuto (in primaapprossimazione) come quello ricavabile dal parallelo diuna molla triangolare con una rettangolare:

Molle di flessione: balestre

Inoltre le molle di flessione a lamina trapezoidale non vengono realizzate inquesta forma, ma sovrapponendo più lamine rettangolari di lunghezzadecrescente. Queste si possono pensare ricavate dalla lamina originariaattraverso una serie di tagli longitudinali. Si arriva così alla molla a balestra.

�� ��

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Esercizio: la molla della penna a sfera

La molla elicoidale del meccanismo di estrazione/ritrazionedella punta di una penna a sfera deve soddisfare le seguentispecifiche:

�carico di azionamento: 0.5 N ±±±± 20%�corsa massima: 7 mm�diametro interno: > 3.5 mm�lunghezza totale: < 30 mm

Si completi il progetto della molla scegliendo il materialee definendo le altre dimensioni in gioco.