1

Scattering Scattering elettroneelettrone--protoneprotone• Nel 1950 Hofstadter utilizzò elettroni da 180 MeV per sondare la distribuzione di carica dei nuclei.

•Consideriamo dapprima la diffusione Coulombiana di un elettrone da parte di un protone in quiete.

e−e−

p

θipfp

q

Se l’elettrone fosse senza spin e il protone avesse massa infinita, avremmo lo scattering di Rutherford:

24

2sin

24 i

dd p

σ α θ=

ΩNotare la dipendenza 1/p2

• L’impulso trasportato dal fotone vale:2 2 2 q 2i f i f i fq p p p p p p= − = + −⇒ i

i fp p=⇒• Se il protone ha massa infinita, l’elettrone conserva la sua energia cinetica:

( )2 2 2 2 q 2 1 cos 4 sin2i i

p pθθ= − =⇒

• Inoltre: ( ) d = 2 sin d = 2 d -cosπ θ θ π θΩ( )2 2 22

i

dq 2 cos d =p

ip d dqπθ ⇒= − Ω

2

2 44d

dq q

σ πα= Formula di Rutherford

2

Fattore di FormaFattore di Forma• Nella realtà la carica del protone non è localizzata in

un punto, quindi occorre considerare il fattore di forma:

• Dalla misura sperimentale della sezione d’urto, e dal suo confronto con la sezione d’urto puntuale di Rutherford, si ricava F(q2) e da questa la distribuzione della carica all’interno del protone.

( ) ( ) iq rF q r e dVρ ⋅= ⋅∫( )2 2

misurata Rutherford

d d F qd d

σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦Ω Ω⎝ ⎠⇒

⎝ ⎠

222

2 2

1( )

1

F qq

a

=⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

3

Sezione d’urto di Sezione d’urto di MottMott

• Consideriamo ora la spin dell’elettrone e consideriamo il rinculo del protone. Il protone viene ancora consi-derato come una particella puntiforme priva di spin. Otteniamo in questo modo la sezione d’urto di Mott.

• Dalla formula si vede che per θ=π la sezione d’urto è nulla. Questo è in relazione con l’elicità dell’elettrone e nell’aver considerato il protone privo di spin.

2

2

cos2

21 sin2

Rutherfo oM tt rd Edd

M

dd

σϑ

σϑ

⎛⎛ ⎞⎜ ⎟Ω

⎛ ⎞⎜ ⎟Ω ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= ⋅

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

θ = angolo di scattering dell’elettr.M = massa del protoneE = energia dell’elettrone incidente

e−e−

p

θipfp

q

p

L’elettrone deve fare uno spin-flip, che non può essere fatto se il protone ha spinzero.

4

Sezione d’urto di Sezione d’urto di RosenbluthRosenbluth

• La sezione d’urto di Mott può essere migliorata introducendo nel calcolo anche lo spin del protone, considerato come una particella puntiforme di Dirac di spin ½.

• L’elettrone interagirà pertanto sia con la carica che con il momento magnetico del protone (che sappiamo essere diverso da quello previsto da Dirac per una particella puntiforme).

• Questo dà luogo a due fattori di forma, uno elettrico ed uno magnetico. Il calcolo esplicito fu fatto da Rosembluth.

2

.

2 2 A(q )+B(q ) tan2MottRosem

dd

dd

σ θσ⎛ ⎞⎜

⎛ ⎞⎜

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣⎟Ω⎝ ⎝⎠ Ω ⎠ ⎦

⎟

222

GeV Q =2.5 c expdddd

Mott

σ

σ

⎛ ⎞⎜ ⎟Ω⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟Ω⎝ ⎠

2 ta n 2θ

A(q2)

Slope = B(q2)

5

MomentoMomento magneticomagnetico

2q

Lm

µ = Momento magnetico di una particellacon carica q, massa m e momentoangolare orbitale L

qhµ=g S

2mS=spin; g=rapporto giromagnetico. Classicamente g=1

• La teoria di Dirac prevede che l’elettrone abbia g=2 (ed ovviamente spin 1/2ħ)

-5e

e

eh eVµ = 5.79×10

2m T≈ Magnetone di Bohr

• Sostituendo nella formula la massa dell’elettrone con la massa del protone, abbiamo il magnetone nucleare

-8N

N

eh eVµ = 3.1525×10

2m T≈

• I valori misurati del momento magnetico del protone e del neutrone sono:

pP N NN

nN n

gµ = µ = 1.91 µ

2

gµ = µ =+2.79 µ ;

2⋅ − ⋅⋅ ⋅

• Se fossero state due particelle di Dirac avvremmo avuto:

P N nµ = µ ; µ = 0

• Quindi la parte anomala del momento magnetico, espressa in termini di magnetone nucleare, vale:

nP = 1.79 ; = -1. 91 κ κ

6

Scattering elastico Scattering elastico elet.elet.--muonemuone

e−e−

θk

= −( ')q k k

µ-µ-

'k

p'p

• L’interazione è elettromagnetica. Il diagramma di Feynman fondamentale è dato dallo scambio di un solo fotone.

• L’elemento di matrice del processo si ottiene considerando l’interazione corrente-corrente, tra la corrente di Dirac dell’elettrone e quella del muone.

( ) ( ) ( ) ( )2

fi 2 ' 'eM u k u k u p u pq

µµγ γ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎣ ⎦

(Quadrimomentotrasferito)

• Per trovare la sezione d’urto occorre fare il modulo quadro di Mfi. Dato che il proiettile (elettrone) ed il bersaglio (muone) non sono polarizzati, occorre mediare sugli spin dello stato iniziale e sommare su quelli dello stato finale.

( )( ) ( )( )4

2fi 4

8 [ ' ' ' 'eM k p k p k p k pq

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −

( ) ( )2 2 2 2 -m ' M ' 2m M ]p p k k⋅ − ⋅ +m= massa dell’elettrone; M= massa del muone

7

Scattering elastico Scattering elastico elet.elet.--muonemuone

e−

e−

p=(M,0)

θq=(ν,q)

k=(E,k)k'=(E',k')

p'

Variabili cinematiche nel sistema di riferimento in cui il muone è fermo

• Valutiamo di nuovo Mfi2 nel sistema di riferimento in cui il muone è fermo, trascurando la massa dell’elettrone. Ricordiamo che:

q=k-k'=p'-p p'=k-k'+p⇒

( ) ( )( )4

2 2 2 2fi 4

8 1 1 ' 2 '2 2

eM q k p k p k p k p M qq

⎡ ⎤= − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦⇒

• Sperimentalmente si misurano soltanto le grandezze relative all’elettrone (Energia (E,E’) ed angolo di scattering θ), le quali inserite in Mfi2, danno:

4 22 2 2 2

fi 4 2

8 2 ' cos sin 2 2

2

e qM EE Mq M

θ θ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

• Per ottenere la sezione d’urto differenziale per lo scattering dell’elettrone nell’angolo solido dΩ e di energia compresa nell’intervallo E’ e E’+dE’, occorre aggiungere all’elemento di matrice Mfi2, il fattore relativo allo spazio delle fasi

2 2 2 2 22 2

4 2 d 4 ' cos sin

d dE' 2 2 2 2 E q q

q M Mσ α θ θ δ ν

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

8

Scattering elastico Scattering elastico elet.elet.--muonemuone• Nello scattering elastico vi è una relazione tra l’energia

e l’angolo dell’elettrone diffuso:

( )2

E E' = E1+ 1

Mc

s

co ϑ−

• Integrando la sezione d’urto differenziale rispetto ad E’, si ottiene:

2 22 2

22 4 2

d 1 cos sin2d 2 2 24 sin 1 sin

2 2

qE ME

M

σ α θ θθ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• Questa può essere riscritta nella forma seguente:

22

2

q 1- tan2M 2Mott

dd

dd

σ θσ ⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅⎛ ⎞⎜ ⋅ ⎜⎟Ω⎝ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣⎛ ⎞⎜ ⎟Ω⎝ ⎠ ⎦⎠

2 2

2 4 2

cosd 2 d 24 sin 1 sin

2 2

Mott EE

M

θασ

θ θ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠=⎜ ⎟Ω ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

dove

• L’equazione della sezione d’urto differenziale gioca un ruolo molto importante dello studio della struttura del protone attraverso lo scattering elettrone protone.

• Si tenga inoltre presente che il termine sin2(θ/2) nella sezione d’urto di Mott deriva dall’interazione dello spindell’elettrone con il momento magnetico del muone.

9

Scattering elastico Scattering elastico eletelet..--protoneprotone

• L’elemento di matrice è sempre dato dall’interazione corrente-corrente

Il vertice protone-fotone non è il vertice di Diracperché il protone non è una particella puntiforme

e−e−

θk

= −( ')q k k

protone

'k

p'p

protone

.fi .2

1 elec protM J Jqµ

µ=

( ) ( ). ' elecJ e u k u kµ µ

γ= − ⋅ ⋅ ⋅• Corrente dell’elettrone:

• Il protone deve obbedire all’equazione di Dirac, tuttavia la struttura complicata del protone si manifesta nel vertice di accoppiamento fotone-protone che è diverso da quello fotone-elettrone. La corrente del protone si scrive come:

( ) ( ). ' protJ e u p u pµ µ= ⋅ ⋅Γ ⋅

• Jµ deve essere un quadrivettore di Lorentz. La forma più generale che si possa scrivere per Γµ, seguendo la decomposizione di Gordon, è:

2 21 2( ( )2

)F q F q i qM

µ µ µνν

κγ σ⎡ ⎤Γ = +⎢ ⎥⎣ ⎦

Int. elettrica Int. magnetica

10

Sezione d’urto di Sezione d’urto di RosenbluthRosenbluth

2 21 2( ( )2

)F q F q i qM

µ µ µνν

κγ σ⎡ ⎤Γ = +⎢ ⎥⎣ ⎦,

2iµν µ νσ γ γ⎡ ⎤= ⎣ ⎦;

• k=1.79 magnetoni nucleari; è la parte anomala del momento magnetico (µp = 2.79 magnetoni nucl.)

• M è la massa del protone

N.B. non ci sono termini in γ5 perché l’interazione elettromagnetica conserva la parità.

• Se q2 → 0, il fotone virtuale ha una grande lunghezza d’onda e non è sensibile ai dettagli della struttura del protone; quindi esso viene visto come una particella puntiforme.

• In questi limiti si deve avere:

2 2

2 21 2

0 0 lim ( ) 1 l ) im ( 1e

q qF q F q

→ →= =

• Dall’ampiezza si può calcolare la sezione d’urto, sommando sugli spin finali e mediando su quelli iniziali; in questo modo si ottiene la sezione d’urto di Rosenbluth

2 22 2

22.

1q F (q ) - F (q )

4MMRo otts

dddd κσσ ⎛ ⎞

⎜ ⎟Ω⎝

⎧⎡ ⎤⎪= ⋅ −⎨⎢ ⎥⎪⎣

⎛ ⎞⎜ ⎟Ω⎝ ⎠ ⎩⎠ ⎦

22 2 2

1 2q - F (q )+ F (q ) tan2M 2

θκ⎫⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎬⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎭

11

Fattori di forma del protoneFattori di forma del protone• Se il protone fosse puntiforme come il muone, k

sarebbe nullo e F1(q2) sarebbe uguale a 1 per tutti i valori di q2, in modo da riottenere il vertice di Dirac. In questo modo riotteniamo le formule trovate in precedenza per lo scattering elettrone-muone.

22

2

q 1- tan2M 2Mott

dd

dd

σ θσ ⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅⎛ ⎞⎜ ⋅ ⎜⎟Ω⎝ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣⎛ ⎞⎜ ⎟Ω⎝ ⎠ ⎦⎠

• La formula può essere scritta in un altro modo introdu-cendo i fattori di forma elettrico e magnetico del protone:

2

E 1 22

κqG = F + 4M

F⋅ M 1 2G = F + κ F⋅;

2 E0 lim G = 1

q → 2 M p0lim G = 1 + κ = q

µ→

;

(µp = momento magnetico del protone)2

2 22E M2 2 2

M2 2

2

qG G q4M - G tanq 2M 21-

4MMott

dd dd σ θσ

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎣

⎛ ⎞⎜ ⎟Ω

⎦

⎛ ⎞Ω ⎝ ⎠

⎜ ⎟⎝ ⎠

• In pratica la formula è riscritta usando la variabile:

2 2Q = q− 2 2 2. A(Q )+B(Q ) tan 2Mot

Ros

t

d

dd

d

σθ

σ

⎛ ⎞⎜ ⎟Ω⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟Ω⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

22 2

2E M2 2M2 2

2

QG G Q4MA = B = GQ 2M1+

4

M

; +

Dove:

N.B. Q2 > 0

12

Misura dei fattori di formaMisura dei fattori di forma

• I fattori di forma GE e GM possono essere determinati facendo una serie di esperimenti a diversi valori di q2 e misurando la sezione d’urto differenziale dσ/dΩ in funzione di θ

222

GeV Q =2.5 c expdddd

Mott

σ

σ

⎛ ⎞⎜ ⎟Ω⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟Ω⎝ ⎠

2 ta n 2θ

A(Q2)

Slope = B(Q2)

22 2E M2

2

2

22M2 ;

QG G4M A =

QQ

1+B = G

24

MM

+

• Il fattore di forma magnetico, ad un dato valore di q2, viene determinato direttamente dalla slope, e quindi da questo risultato, e dal valore dell’intercetta, si ricava il fattore di forma elettrico.

13

Legge di scala dei fattori di formaLegge di scala dei fattori di forma

• I risultati sperimentali mostrano che i fattori di forma del protone e del neutrone sono legati da una relazione molto semplice:

p 2 n 2p 2 M ME

n 2E

p n

; G (q ) G (q ) G G (q(q ) ) = = 0 =µ µ

• L’andamento può essere descritto da una formula di tipo dipolo:

Q2

222

2

q G(q ) = 1- m

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2m = 0.71 GeV dove

• La formula di dipolo è compatibile con la distribuzione di carica esponenziale:

m 2- r r e 0.8 fm ρ ≈≈ ⇒

14

SetupSetup di di HofstadterHofstadter (1956(1956))Fascio: elettroni da 188 MeV

Bersaglio: protoni o elio

Spettrometro per misurare l’angolo dell’elet-trone diffuso. L’angolo θ varia da 35° a 138°

( )2

E E' = E1+ 1

Mc

s

co ϑ−

Nello scattering elastico E’ e θnon sono variabili indipendenti

Ad angoli diversi corrisponde un Q2 diverso

2 Q =2EE' (1-cos )θ⋅

15

Risultati di Risultati di HofstadterHofstadter

µp=2.79

Protone puntiforme

• I dati suggeriscono che il protone ha una struttura. Hofstader e McAllister ricavarono che il protone ha un raggio medio di:

( ) 13r = 0.74 0.2 4 ×10 cm −±

16

Scattering Scattering anelasticoanelasticoelettroneelettrone--protoneprotone

• Nello scattering elastico le particelle dello statoiniziale, elettrone e protone, conservano la propriaidentità.

• Se aumentiamo il quadrimpulso trasferito, q, dal-l’elettrone al protone (e quindi l’energia trasferita ν), ilprotone può essere eccitato in un suo stato risonante, ad esempio la ∆+, ritornando poi nel suo stato fondamentale emettendo un pione.

• Aumentando ancora di più il q2 trasferito, il protoneperde completamente la sua identità e vengonoprodotti al suo posto molti adroni.

• In ogni caso assumiamo che il meccanismofondamentale dell’interazione sia lo scambio di un solo fotone.

• Sperimentalmente si misurano soltanto le grandezzerelative all’elettrone, ovvero la sua energia e l’angolodi diffusione.

• La sezione d’urto misurata in questo modo vienechiamata sezione d’urto inclusiva.

e−e−

θk

( )q=(k-k') ,qν=protone

'k

p 'p

adroni,massa invariante W

π++ → + ∆ → + + 0e p e e p

17

Relazioni cinematicheRelazioni cinematiche

e−e−

θk

( )q=(k-k') ,qν=protone

'k

p 'p

adroni,massa invariante W

' 'p k p k+ = + Conservazione del quadrimpulso

' 'q k k p p= − = − Quadrimpulso trasportato dal fotone

2 24 'sin2

q EEθ

= −

( , ) ; p=(M,0)q qν= Il protone è fermo nel laboratorio2 2 2 p'=p+q ' 2 p p q p q= + + ⋅⇒

• Consideriamo lo scattering elastico. In questo caso il protone rimane un protone, quindi p’2=M2

2

2qM

ν = −2 2 2M 2 p q p q= + + ⋅

• Nello scattiring elastico vi è una relazione tra l’energia trasferita ν , misurata nel laboratorio, ed il quadrimpulsotrasferito q2

• Consideriamo ora lo scattering anelastico, in questo caso ν e q2 sono variabili indipendenti:

2 2' p W= W è la massa invariante degli adroni prodotti

N.B. M e ν sono valutati nel laboratoriop q=Mν ⋅

2 2Q = q − È una definizione, in questo modo Q2>0

2 2 2 Q 2 M M Wυ= + −

18

Relazioni cinematiche: x e QRelazioni cinematiche: x e Q22

• Introduciamo una nuova variabile cinematica, x, che sarà molto importante nello studio dello scattering profondamente anelastico.

2

2Q

xMν

=(N.B. nello scattering elastico x = 1)

2 2Q x Mν=

• Le regioni nelle quali sia Q2 che ν sono grandi si chiamano di scattering profondamente anelastico. Queste regioni sono molto importanti perché è dove si rivela la struttura interna del protone, il quale consiste di partonipuntiformi.

Q2X=1

X=0.75

X=0.50

X=0.25

2Mν

W=MRegioneproibita dallacinematica

W’ Produzionedi risonanze

Scattering anelastico

2 2Q Mx ν=

X costante

2 2'W M−

2 2 2 Q 2 M M Wυ= + −

19

InvarianzaInvarianza di scaladi scala• Consideriamo un fattore di forma di tipo dipolo:

• In questa espressione Λnucleo stabilisce la scala del fenomeno che si sta studiando; il comportamento delle sezioni d’urto, attraverso il fattore di forma, dipende dai valori relativi di Q2 e della scala Λnucleo

• In questa situazione il fotone ha una lunghezza d’onda molto lunga e non è sensibile ai dettagli della struttura interna del bersaglio; la diffusione avviene come se questi fosse puntiforme.

• All’aumentare di Q2 la sezione d’urto elastica punti-forme diminuisce attraverso il fattore 1/Q2

• Tuttavia, se immaginiamo che ci sia un’altra scala Λnucleone, ma Q2

20

Scattering Scattering elecelec. 400 . 400 MeVMeV su su αα

0θ=45

0θ=60

N.B.Q2 aumenta all’aumentare di θ

Il picco elastico diminui-sce all’aumentare di Q2

x

Il picco anelasticodiminuisce poco all’aumentare di Q2

2px'=Q /2m =1ν

2px'=Q 4/2(4m )ν

2x=Q /2mαν

x'=4x=1⇒

x=0.25⇒

X=0.25

21

Confronto tra le sezioni Confronto tra le sezioni d’urto elastica e d’urto elastica e anelasticaanelastica

e x p .

M o t t

σσ

Q2

Fattore di forma

W=massainvariante

θ=10°

• L’energia dell’elettrone incidente varia tra 7 e 17 GeV

• I dati si discostano chiaramente dalla sezione d’urto elastica prevista, indicando l’esistenza di particelle puntiformi all’interno del protone.

Scattering elettrone-protoneFattore di FormaSezione d’urto di MottSezione d’urto di RosenbluthMomento magneticoScattering elastico elet.-muoneScattering elastico elet.-muoneScattering elastico elet.-muoneScattering elastico elet.-protoneSezione d’urto di RosenbluthFattori di forma del protoneMisura dei fattori di formaLegge di scala dei fattori di formaSetup di Hofstadter (1956)Risultati di HofstadterScattering anelastico elettrone-protoneRelazioni cinematicheRelazioni cinematiche: x e Q2Invarianza di scalaScattering elec. 400 MeV su aConfronto tra le sezioni d’urto elastica e anelastica