LA MORT DE π

par Miles Mathis

bye bye π

Je démontre que, dans les situations cinématiques, π est 4. Pour tous ceux quivont s’exciter sur mon titre, je répète et souligne que cet article s’applique àdes situations dynamiques, pas à des situations statiques. J’analyse une orbite,qui est causée par un déplacement et qui inclut la variable de temps. Danscette situation, π devient 4. Lorsque vous mesurez votre taille, vous ne créezpas une orbite, et vous pouvez garder π pour cela. Arrêtez donc de m’écriredes lettres méchantes et mal informées.

LA MORT DE π M. Mathis

Avant de commencer, permettez-moi de répondre à quelques préjugés. Beaucoupde lecteurs, et plus spécialement ceux qui découvrent mes articles, vont se heurterà un mur lors de la lecture de ce texte. Il ne fait aucun doute que de nombreusespersonnes ont déjà heurté ce mur à la lecture du titre. Il est compréhensible quel’affirmation selon laquelle π est 4 soit une pilule difficile à avaler. Je reconnaisque ce papier constitue l’un de mes textes les plus révolutionnaires, et il ne peutpas être compris seul. C’est une erreur de commencer par cet article. Ceux quicommencent par cet article seront sans doute amenés à croire que mes calculssont faux. À ces personnes, je déclare que ce n’est pas moi qui calcule mal ; ce sontNewton, Leibniz, Cauchy et tous les autres depuis lors qui ont mal calculé. J’aigagné le droit d’écrire cet article en rédigeant tout d’abord trois papiers importantssur les fondations du calcul différentiel. Le premier démontre que la dérivée aété définie erronément depuis le début et que la dérivée est une différentielleconstante sur un sous-intervalle, pas un différentiel diminuant quand on approchede zéro. Il n’existe aucune nécessité d’approcher zéro dans le calcul différentiel,et l’intervalle de la dérivée est un intervalle réel. Dans tout problème particulier,vous pouvez trouver le temps qui passe durant la dérivation, et donc rien dans lecalcul n’est instantané non plus. Ceci révolutionne l’électro-dynamique quantiqueen excluant la particule-point et en évitant tout besoin de renormalisation. Lesecond article prouve que les huit premiers lemmes ou suppositions de Newtondans les Principia sont faux. Newton surveille le mauvais angle dans son trianglelorsqu’il va à la limite, arrivant à de fausses conclusions sur ses angles et sur lavaleur de la tangente et de l’arc à la limite. Finalement, le troisième papier analyserigoureusement toutes les preuves historiques de l’équation orbitale a = v

2/r, en

y incluant les preuves de Newton et de Feynman, montrant qu’elles contiennenttoutes des erreurs fondamentales. L’équation actuelle est démontrée fausse, etl’équation de la vitesse orbitale v = 2πr/t est également démontrée fausse. Lespersonnes qui ne trouveront pas suffisamment de rigueur dans cet article devraientlire ces trois textes avant de décider que le saut à faire est trop grand. Je nepeux pas réécrire toutes mes preuves dans chaque article ni représenter tous mesarguments ; je crains donc que ceux qui désirent vraiment être convaincus devrontpasser par des lectures supplémentaires. Cet article ne suffira pas sans la réécriturehistorique contenue dans ces papiers. Je suis le premier à l’admettre.

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Ajouté le 10 décembre 2012 :

Après avoir reçu un émail d’un lecteur concernant la géométrie du Taxi, il m’ap-parut que la métrique de Hilbert est fondamentalement équivalente à ma « mé-trique » dans cet article. Dans la métrique de Hilbert, π est aussi égal à 4 ! Et ilest égal à 4 pour la même raison élémentaire que π est égal à 4 dans ce papier :ma « limite » est approchée de la même façon que la sienne. Voyez plus bas, où jemontre l’approche à la limite en utilisant la géométrie du cercle. Eh bien, Hilbert

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utilise la même sorte d’analyse. La seule différence est que je plonge un peu plusprofond dans la cinématique, montrant la cause réelle du problème. Sur Wikipé-dia, ils disent que la différence dans les métriques est dûe à un déplacement surun seul axe à la fois :

« C’est essentiellement une conséquence du fait d’être forcé d’adhérerà un déplacement sur un seul axe : lorsque l’on suit la métrique deManhattan, on ne peut se mouvoir diagonalement (suivant plus d’unaxe à la fois) ».

Mais cela n’est pas la cause. La cause est le déplacement lui-même. Le déplacementfait entrer en jeu la variable de temps, ce qui ajoute un degré supplémentaire deliberté aux équations. Vous pouvez maintenant considérer le fait que les physicienscontemporains utilisent souvent la distance, ou métrique, de Manhattan quand ilsse retrouvent dans des problèmes, et plus spécialement au niveau quantique. Lamétrique de Manhattan est la même que la géométrie du Taxi. Vous pouvez main-tenant comprendre pourquoi le fait d’utiliser cette métrique les aide : comme je ledémontre dans cet article, la géométrie standard échoue parce qu’elle échoue à in-clure explicitement la variable de temps, ce qui fausse les maths puis la physique.Dans des situations cinématiques comme une orbite, les maths et la physique cor-rectes incluent l’analyse que je fournis dans ce papier, dans laquelle π = 4. Et cecisignifie que toutes les têtes brûlées sur l’internet qui s’excitent sur mes articlesdoivent maintenant s’en prendre à Hilbert également. Je n’estime pas beaucoupHilbert et je ne l’ai jamais beaucoup estimé mais, dans ce cas-ci, l’avoir pour al-lié constitue un coup de pouce considérable. La science officielle l’estime, parfoisplus même que Newton ou Einstein semblerait-il. Si donc ma proposition selonlaquelle π = 4 me qualifie automatiquement comme étant un excentrique ou uncinglé, ces critiques devront expliquer pourquoi le même jugement ne s’appliquepas à Hilbert. Hilbert était-il un cinglé pour avoir proposé que π = 4 ?

Il est également d’un intérêt considérable que dans la géométrie du Taxi, la circon-férence est 8r, comme je le démontre dans cet article. De plus, tout ceci est aussiconnecté à mes correctipons antérieures de a = v

2/r, où je démontre que le déno-

minateur devrait être 2r plutôt que r. La même chose se retrouve dans la géométriedu Taxi en étendant les équations juste au-delà du point où Hilbert les emmena.Pour en savoir plus sur ce sujet, vous pouvez consulter mon dernier article, où jeprésente des commentaires, des diagrammes et des animations supplémentaires,y compris une vidéo sur Youtube produite par Caltech.

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Ajouté en avril 2014 :

Une autre lectrice m’a maintenant aidé dans cette preuve en me rappelant quel’arc d’une cycloïde est également 8r. Ce qui signifie que, dans la cycloïde, π est

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remplacé par 4, exactement comme dans la métrique de Manhattan. Je ne sais paspourquoi je n’ai pas pensé à inclure ceci auparavant, car c’est vraiment évident.Nous aurions dû demander de façon plus persistante pourquoi l’arc de la cycloïdeest 8r alors que la circonférence est 2πr. En matière de cinématique, cela n’a aucunsens. Le même point dessine les deux, alors pourquoi une différence de 27% ? Onva me dire que c’est parce que, avec la circonférence, le cercle ne se déplace pasle long de l’axe des x ; mais avec la cycloïde, c’est le cas. C’est la différence entreun cercle qui roule et un cercle qui ne roule pas. C’est le mouvement latéral quiajoute les 27%. Mais quiconque m’affirmant ceci oublie un point très important :dans le cercle cinématique dont je parle, le cercle roule aussi. Si vous êtes sur uneorbite, par exemple, le cercle ne se déplace pas latéralement, mais un point sur lecercle se meut. Le cercle roule sur place, et il se déplace exactement comme le pointdans la cycloïde. Dès lors, nous constatons que ce n’est pas le mouvement latéralqui ajoute les 27%, c’est uniquement la rotation. Un cercle statique et un cercledessiné par un mouvement ne sont pas la même chose. Le nombre π fonctionneuniquement avec un cercle statique dans lequel il n’existe pas de mouvement, pasde temps et pas de tracé. Tout cercle du monde réel, tracé dans le temps par unobjet réel, ne peut pas être décrit avec π.

Si nous étudions la génération de la cycloïde de plus près, nous trouvons encoreplus de preuves de ceci, car l’arc de la cycloïde n’est pas une sorte d’intégrationde la circonférence avec la distance parcourue en roulant. Cela ne peut être, carun certain point sur le cercle est toujours contigu avec la surface plane. Nousdevrions faire glisser le cercle afin d’ajouter à la distance en x parcourue. Ce quise passe en fait, c’est qu’avec la cycloïde, l’intégration des distances de x à y inclutexplicitement le temps, comme vous pouvez le voir ici :

S =

ˆ 2π

0

(dydt

)2

+

(dxdt

)212

dt

=

ˆ 2π

0

r√2− 2 cos(t)dt

=

ˆ 2π

0

2r sin(t

2

)dt

= 8r.

Dans cette intégrale, nous avons trois variables ou fonctions : x, y et t. Étudiezles deuxième et troisième lignes de ces maths, où nous suivons explicitement lavaleur de t. Ce n’est pas le sinus ou le cosinus de x ou de y que nous suivons, cesont le cosinus puis le sinus de t. Dans cette intégration, nous avons trois degrésde liberté, ou 3-vecteur. Ce n’est donc pas le déplacement latéral qui est la causede la différence, c’est l’inclusion du temps. Pour calculer la longueur de l’arc de la

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cycloïde, nous avons besoin de l’intégrale qui inclut dt. Mais quand nous calculonsla circonférence, nous n’incluons pas un quelconque dt. Les méthodes de calcul necorrespondent donc pas. Malgré cela, nous utilisons la naïve circonférence statiqueincluant π lorsque nous calculons des orbites. C’est illogique, car toute orbite in-clut du temps. Les orbites devraient être résolues par des intégrales comme cellesprésentées ci-dessus, pas par une circonférence statique calculée à partir de π.

Vous désirez peut-être comprendre la différence entre les deux, comme je le faisdans mon long article sur le calcul. Dans ce papier, je fais la différence entre lon-gueur et distance. Une longueur est un paramètre donné n’incluant pas de mouve-ment ni de temps. Elle n’est que géométrique. Mais une distance est une longueurparcourue en un temps réel ; elle requiert donc du mouvement. Une longueurn’est pas cinématique tandis qu’une distance l’est. La circonférence 2πr est unelongueur. La circonférence 8π est une distance.

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Dans un article précédent, j’ai démontré que π est réellement une accélération.Dans ce papier, je montrais que l’équation corrigée a = v

2/2r est analogue à l’équa-

tion C = 2πr ou π=C/2r. Ce qui me permit de découvrir beaucoup de choses inté-ressantes qui ne sont pas habituellement connues. Dans cet article, je démontreraique si nous définissons π comme la relation entre le diamètre et la circonférence,la valeur correcte de π est 4, 00. En d’autres termes, la valeur actuelle de π n’estrien d’autre qu’une erreur mathématique : c’est la marge d’erreur standard causéepar un postulat fabuleusement faux.

Plus spécifiquement, le π que je corrige est la constante dans l’équation orbitalev = 2πr/t.

Les pythagoriciens avaient quelques soupçons concernant cette erreur. Ils ne furentjamais heureux avec ce nombre irrationnel π, juste au-dessus du nombre 3. Onnous a enseigné que les pythagoriciens étaient malheureux avec ce nombre π àcause du fait qu’il n’était pas rationnel. Mais leur embarras était plus probablementcausé par un problème plus fondamental. Ils semblent avoir eu l’idée intuitive quequelque chose clochait là-dedans. Ce qui signifie que ce n’était pas la valeur deπ qui les tracassait, encore moins son statut de nombre rationnel ou irrationnel.Non, ils ne passèrent même pas leur temps à chercher une valeur précise pource nombre, car ils n’avaient aucun respect pour lui pour commencer, de quelquefaçon dont vous le caractérisiez. Si ce nombre avait été rationnel, ils n’auraientpas eu plus de respect pour lui. Ils n’avaient aucun respect pour π parce qu’ils sus-pectaient qu’il était le résultat de maths erronées ou incomplètes. Ils ne voulaientpas d’un nombre quelconque, rationnel ou irrationnel, légèrement au-dessus de 3,quelle que soit sa nature, car ils sentaient que la bonne réponse devait être 3. Cequi les tracassait le plus, c’est qu’ils ne pouvaient pas compléter les maths. Je le

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ferai maintenant. Malheureusement, bien que je montrerai que leur embarras étaitjustifié, leur intuition était fautive. Le nombre correct n’est pas 3 mais 4.

Dans ce précédent article, je montrais que les géomètres classiques avaient cherchédes solutions tout en ignorant complètement la variable de temps. Les équationsde géométrie sont figées à un instant imaginaire. Non seulement nous sommesà une limite quant à la longueur (puisque les lignes n’ont aucune épaisseur, etc)mais nous sommes à une limite quant au temps. Nous avons atteint la limite oùt = 0, puisque le temps ne passe pas. Nous ne prenons pas en considération letemps qu’il faut pour tracer les lignes ou les courbes, nous les prenons simplementcomme données. Nous ne nous imaginons pas nous déplaçant le long de ces lignes,nous n’imaginons pas ces lignes comme parcourues par un point. Le cercle n’estpas une orbite, par exemple, c’est juste un cercle, existant tout entier en une fois.

Mais, comme je l’ai souligné également dans cet autre papier, la géométrie tricheen ce domaine, car la géométrie est sensée représenter le monde extérieur, et lemonde extérieur n’existe jamais de cette façon. Dans toute l’histoire de l’univers,jamais un cercle ne s’est tracé de lui-même ni n’a existé en tant que tel. Nousassumons couramment que π existe dans le monde réel, mais je montrerai queπ n’existe que dans une géométrie abstraite et que cette géométrie abstraite estcinématiquement fausse. Ce qui veut dire que π n’existe pas et ne peut exister enphysique ou en mathématique appliquée, excepté en tant qu’outil de manipulation.Nos équations en font un si grand usage uniquement parce que nos équations sontincomplètes ou mal définies. Si nos équations contenaient toute la logique et lestransformations correctes, π aurait disparu. En fait, π est inconnu ou oublié parceux qui sont plus malins que nous et il aura disparu dans un futur proche. Nonseulement π ne représente pas un élément intéressant d’ésotérisme mais il est unboulet traîné par le mathématiquement ignorant.

Permettez-moi d’expliquer d’abord ce que je veux dire par là un peu plus en détail.Le nombre π est une relation entre le diamètre et la circonférence. Le problèmeest que nous traitons le diamètre et la circonférence comme des entités mathéma-tiquement équivalentes alors qu’elles ne le sont pas. L’un est une ligne, l’autre estune courbe. Si nous étudions la ligne et la courbe avec un peu plus de rigueur,nous découvrons qu’elles ne sont pas directement comparables. Pour le dire d’uneautre manière : nous supposons que nous pouvons rectifier une courbe comme unmorceau de ficelle, la mesurer comme une ligne droite puis comparer cette nou-velle longueur à toute autre ligne. Physiquement, cela se révèle être une faussesupposition. Nous ne pouvons faire cela que dans la géométrie abstraite, où letemps n’existe pas et où les lignes et les courbes peuvent être « données » plutôtque tracées ou créées dans un sens physique quelconque. Si on nous donne deslignes et des courbes, et si nous pouvons ignorer le temps, alors nous obtenonsπ comme résultat de la relation entre le diamètre et la circonférence. Le nombreπ existe uniquement lorsque l’on nous donne des valeurs pré-existantes absolues,lorsque la circonférence est traitée comme une simple longueur et lorsque nous

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ignorons le temps. Mais puisque, avec tout cercle réel, ces deux suppositions sontnécessairement fausses, π n’existe pas dans un cercle réel quelconque. Dans toutcercle réel, la relation entre le diamètre et la circonférence n’est pas π, car la cir-conférence ne peut pas être conçue comme une distance en ligne droite. Du faitque la circonférence ne peut pas être créée avec un simple vecteur de vitesse (et lediamètre, lui, le peut), les deux nombres ne peuvent être comparés directement.

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Mais commençons par le début. Par définition, un vecteur de vitesse ne peut pasêtre courbé. Une vitesse n’existe que dans une dimension ou une direction. Dansune vitesse, il n’existe qu’une seule distance au numérateur et un seul temps au dé-nominateur. Ces temps et distance sont également des vecteurs et ne peuvent êtrecourbés. Mais pour créer une courbe, que ce soit mathématiquement ou physique-ment, nous avons besoin d’au moins deux vitesses qui s’appliquent sur le mêmeintervalle. Ou, pour le dire autrement, cela exige deux distances mesurées sur lemême intervalle de temps. Si nous sommons ces vitesses sur le même intervalle,nous obtenons une accélération et dès lors – en supposant que les deux vitessesforment un certain angle – une courbe.

Si nous ramenons le temps dans le problème du cercle, nous trouvons que chaqueligne ou distance devient une vitesse et que chaque courbe devient une accéléra-tion. Le diamètre devient donc une vitesse et la circonférence devient une accé-lération. Tout ce que nous avons à faire, c’est d’imaginer les lignes en train d’êtretracées. Le crayon doit avoir une certaine vitesse ou accélération lorsqu’il se dé-place le long de la ligne ou de la courbe. De même pour une planète dessinant uneorbite ou pour toute création de cercle possible dans le monde réel.

Une fois que nous avons fait cela, nous voyons que, en comparant le diamètre à lacirconférence dans un cercle réel, nous comparons une vitesse et une accélération.Mais nous ne pouvons pas comparer directement deux nombres quand l’un d’euxest une vitesse et que l’autre est une accélération. Nous pouvons le faire, bien sûr,mais alors le nombre que nous obtenons ne sera pas un nombre possédant unequelconque signification. Ce n’est certainement pas la même chose que comparerune distance à une autre. Par exemple, si vous comparez une distance à une autreen les mettant dans une fraction pour obtenir un nouveau nombre, ce nouveaunombre contiendra une information utile. Il vous dira combien une de ces lignesest longue par rapport à l’autre, évidemment. Mais si vous comparez une vitesseet une accélération, quelle information obtenez-vous ? Supposons que vous avezobtenu le nombre 5, qui vous dit que l’accélération vaut 5 fois la vitesse. Cela vousapprend-t-il quoi que ce soit sur les distances ? Oui, peut-être, si vous développezune transformation. Mais sans transformation et un peu de réflexion, le nombre 5ne vous dira rien. Il ne vous dira certainement pas qu’une certaine distance vaut 5fois une autre distance.

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Prenons un exemple. Que se passe-t-il si mon accélération est 3 et que votre vitesseest 1 ? Pouvons-nous comparer directement ces deux nombres ? Non, nous ne pou-vons pas les mettre sous forme de fraction ou dans une équation quelconque sanstravailler un peu plus sur eux. Nous ne pouvons pas proclamer que j’ai fait quelquechose trois fois plus que vous. Avec une accélération de 3, ma vitesse peut valoirn’importe quoi dans un certain intervalle, et de même pour ma distance parcourue.Qu’arrive-t-il si mon accélération est π et que votre vitesse est 1 ? Cette valeur deπ donne-t-elle une relation réelle entre nous ? Non. Vous ne pouvez pas comparerune accélération et une vitesse. Vous avez besoin d’informations supplémentaires.

Ceci est important, car c’est précisément ce que nous croyons que π nous dit. Nouspensons qu’il nous dit que la circonférence mesure 3,14 fois le diamètre. Maisce n’est pas le cas. En ce qui concerne un cercle réel, π ne nous dit rien. En cequi concerne un cercle abstrait, π nous dit que si la circonférence était une lignedroite, elle vaudrait π fois le diamètre. Mais du fait que la circonférence n’est pasune ligne droite, π ne nous dit rien d’utile. En réalité, π est très exactement aussiutile qu’une relation numérique entre des pommes et des oranges, une relation quicommencerait par le postulat « si les oranges étaient des pommes » et trouveraitque « alors les oranges seraient π fois plus rouges qu’elles ne le sont ». Très édifiant,j’en suis sûr, mais comme les oranges ne sont pas des pommes, tout nombre quel’on trouverait de la sorte ne serait qu’un fantôme.

Afin de montrer tout cela plus clairement, permettez-moi de vous donner un autreexemple, à l’aide d’un diagramme.

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Ici, nous avons un graphe cartésien d’une vitesse, avec des axes marqués x ett. Comme nous le savons, une vitesse sur un tel graphe est représentée par uneligne droite. La ligne représente une vitesse. Mais que représente la longueur decette ligne ? Dans cet exemple, x = 2 et t = 4, donc v = x/t = 0, 5. Mais lalongueur de la ligne v est bien plus grande que 0, 5 unités. La longueur de laligne v ne peut être trouvée qu’à l’aide du Théorème de Pythagore, et le calculnous donne pour résultat 4, 47. Maintenant, nous pouvons nous demander quelleest le rapport entre la ligne v et la ligne x, et nous trouvons que ce rapport estd’environ 4, 47/2 = 2, 236, qui est un nombre irrationnel. Un rapport ésotérique ?Non, bien entendu, car la longueur de v n’est pas seulement ici une longueursans signification physique mais elle ne représente même pas la vitesse réelle. Pardéfinition de « vitesse », la vitesse est la distance parcourue en un certain temps,et donc utiliser le Théorème de Pythagore pour trouver la longueur de v est justeune stupidité. Je déclare que, dans une situation physique, comparer la longueurde la circonférence d’un cercle donné à la longueur de son diamètre est tout aussistupide.

Nous pouvons aussi tracer le graphe cartésien d’un cercle. Nous ne pouvons pasdonner à l’un de nos axes une valeur de temps, mais nous savons que nous pou-vons tracer un cercle sur un graphe x/y, puisqu’une équation bien connue vient

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avec : (x2+ y

2= r

2). Ici, on nous enseigne que le cercle représente une accéléra-

tion, puisque toute courbe est une accélération sur un graphe cartésien. Mais qu’enest-il de la longueur de la circonférence de ce cercle ? Que représente-t-elle ? Exac-tement comme avec la ligne représentant la vitesse sur la première illustration, ellene représente rien ici. Vous n’imagineriez pas comparer cette « longueur » au rayonou au diamètre dans cette illustration ; alors pourquoi le feriez-vous lorsque vousenlevez le graphe ?

Bien entendu, cette analyse pose la question : quel « graphe » est un cercle réel des-siné dans le monde réel ? Lorsqu’une planète « dessine » une orbite autour d’uneétoile, quel contexte mathématique utilisons-nous ? Vu sous cet angle, ce problèmecommence à paraître très complexe. Nous avons trois dimensions : x, y et t, ainsiqu’un mouvement complexe. Une orbite n’est pas juste une vitesse ou une accélé-ration, elle est simultanément une vitesse et une accélération. Pour tracer le cercle,la planète doit exprimer à la fois une vitesse tangentielle et une accélération cen-tripète sur chaque dt. On nous dit que la planète aura une « vitesse orbitale », maiscette phraséologie est criminellement réductrice et trompeuse. Non seulement laplanète ne possède pas de vitesse orbitale mais elle ne possède pas non plus stric-tement une accélération orbitale. Elle possède une certaine sorte d’accélération,mais cette accélération n’est pas comparable à une quelconque accélération dupremier degré telle que celles que nous avons l’habitude de mesurer. Non, nousavons affaire ici à une bête très étrange. Elle doit être appelée accélération pourdeux raisons : 1. Elle courbe. Une vitesse est un vecteur et ne peut pas courber.2. Elle requiert une force constante. Une vitesse est atteinte par une force unique.Une accélération demande une force continue. Un cercle exige à la fois une forceunique et une force continue ; dès lors, il doit être l’expression d’une certaine formed’accélération. Mais il s’agit d’un type unique d’accélération composée ; composéeà la fois d’une accélération et d’une vitesse.

Ce qui amène une seconde question : 2πr/t représente-il une vitesse ? Non, carune vitesse ne peut pas courber. Est-ce une accélération ? Non, car vous ne pou-vez pas obtenir une accélération en divisant une distance par un temps. De quois’agit-il alors ? Il s’agit d’un outil flottant d’heuristique, un morceau de fausse mathqui nous désoriente. Cela nous fait voir une orbite comme une forme géométriqueabstraite, où le temps peut être réintroduit d’une façon bâclée à la fin. Mais nil’orbite ni le cercle ne devraient être pensés de cette façon. Comme je le montreraide manière plus détaillée ci-dessous, 2πr/t est en réalité une accélération variable,ou du second degré, de la forme x/t3. Ceci parce que π est déjà une accélérationlui-même. Ce qui donne à 2πr/t les dimensions de x/t2/t, réduit à x/t3. Ceci estlogique car nous avons besoin des trois variables t afin d’exprimer simultanémentla vitesse tangentielle et l’accélération centripète qui font l’orbite. La vitesse contri-bue à une variable t et l’accélération contribue aux deux autres. L’orbite n’est niune vitesse ni une simple accélération. Elle constitue une accélération du seconddegré 1.

1. Pour en savoir plus sur ce sujet, voir mon papier sur le calcul différentiel.

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J’espère que vous commencez à voir le problème. Historiquement, nous avons re-cherché une relation entre des distances, et historiquement nous avons pensé queπ était une expression de cette relation. Mais ce n’est pas le cas. Le nombre π estune expression de la relation entre deux longueurs existant uniquement dans unegéométrie abstraite, et une géométrie abstraite est physiquement fausse. Dans lemonde réel, si nous voulons connaître la relation entre le diamètre et la circonfé-rence, nous devons examiner la relation entre une vitesse et une accélération dusecond degré.

Vous allez dire : « Mais cette accélération, comme d’ailleurs la vitesse, nous don-nera certainement une distance. Êtes-vous en train de dire que la distance donnéepar cette accélération n’est pas 2πr ? ». Oui, c’est exactement ce que je dis. Si vousutilisez un mouvement en ligne droite pour mesurer toute chose (ce que nous fai-sons physiquement), alors une corde courbée doit être plus longue qu’une cordeen ligne droite. Et la très simple raison pour cela est qu’un corps quelconque metplus de temps pour parcourir une courbe qu’une ligne droite.

Une expression clé dans ce dernier paragraphe est « mouvement en ligne droite ».Notez que je n’ai pas dit « la ligne droite ». En réalité, nous n’utilisons pas uneligne droite pour mesurer le monde réel, nous utilisons le mouvement en lignedroite. Nous utilisons un vecteur vitesse pour mesurer le monde réel. On peut s’enapercevoir très clairement dans mon explication ci-dessus : le monde réel inclutdu temps. En physique, vous n’avez tout simplement jamais une distance divorcéedu temps, comme vous l’avez en géométrie. Toute distance vient avec un temps etne peut pas en être séparée. Lorsque nous réinsérons le temps dans les équationsdu cercle, toutes les longueurs deviennent des vitesses. Le diamètre n’est pas unelongueur, elle est une vitesse. Maintenant, si nous comparons le diamètre à lacirconférence, ce que nous faisons vraiment, c’est mesurer la circonférence avec lediamètre. Donc, si nous mesurons avec une vitesse et que cela prend plus de tempspour parcourir une courbe qu’une ligne droite, la courbe doit être plus longue. Celadoit être vrai même lorsque la courbe et la ligne droite ont la même longueur engéométrie abstraite.

Une autre expression clé dans l’avant-dernier paragraphe est celle-ci : « met plusde temps ». Quand nous mesurons une courbe avec une ligne droite ou une accé-lération avec une vitesse, nous mesurons plus avec t qu’avec x. Voyez les chosesde cette façon : si vous avez une vitesse constante, alors la distance parcourue estsimplement une fonction du temps. Si vous parcourez deux longueurs, celle quiprendra plus de temps sera plus longue. Puisqu’une courbe n’est pas équivalenteà une ligne droite, nous devrions les mesurer avec le temps plutôt qu’avec la lon-gueur. Nous pouvons déduire la longueur de la courbe en observant combien detemps il nous faut pour la parcourir.

Finalement, souvenez-vous que la distance parcourue par une accélération n’estjamais juste la vitesse multipliée par le temps. Il s’ensuit que ni une vitesse orbi-tale ni une accélération orbitale ne peuvent être exprimées par le terme 2πr/t. Si

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on vous donne une accélération normale et que vous recherchez la distance par-courue en un certain temps, vous devez utiliser l’équation x = at2/2. Mais nousn’avons pas une accélération normale, nous avons une accélération variable, uneaccélération non linéaire, et nous recherchons la distance parcourue en un certaintemps. Quelle équation utilisons-nous ? Nous sommes en territoire inconnu ici,car il n’existe aucune équation connue à laquelle se référer. Nous devons la créerentièrement.

Pour arriver à cette équation, examinons d’abord d’autres problèmes par la pensée.Ces problèmes par la pensée, avec l’illustration qui les accompagne, peuvent nousdonner un indice quant à la façon de procéder. Pour premier problème, supposonsque vous soyez dans un engin spatial voyageant à la vitesse v. Vous approchezd’une planète. Il se fait que vous connaissez précisément sa gravité, et vous vousarrangez donc pour croiser son champ gravitationnel selon l’angle et la distanceprécis de manière à ce que votre vitesse crée une orbite stable. Dans la vie réelle,cette manœuvre demanderait quelques ajustements, mais nous supposerons quevous pouvez y arriver directement. Afin de rendre ce problème encore plus inté-ressant, disons que votre orbite à un rayon de cinquante kilomètres et que vousvoyagez à cinquante kilomètres à l’heure. La planète est très petite et il se fait queson vecteur gravitationnel rend l’orbite stable. La logique et la mécanique newto-nienne vous disent qu’il vous faudra huit heures pour parcourir une orbite (voirl’illustration ci-dessus). Imaginons de plus que vous êtes un extra-terrestre venant

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d’une planète où on ne sait rien de π et où l’on fait de la physique un peu différem-ment, et que vous calculez la distance orbitale de la façon suivante : votre vitesseétait la même avant et après être entré dans l’orbite ; votre moteur se trouve dansle même état qu’avant, en direction comme en puissance ; vous n’avez pas accéléréni ralenti, ni changé de direction. Puisque la distance est la vitesse multipliée parle temps, vous calculez la distance orbitale et vous obtenez 400 kilomètres.

Avez-vous tout faux ?

Selon la géométrie abstraite et π, vous avez certainement tort. La circonférencede l’orbite doit être d’environ 314 kilomètres, et pas 400. Votre vitesse orbitale estd’environ 39 km/h, pas 50. Et ce qui vous ralentit est la gravitation, qui tend àlégèrement vous tirer vers l’arrière, travaillant en opposition à votre moteur.

Mais il y a un tas de problèmes dans cette version. Si nous utilisons la relativitégénérale, notre mécanique est immédiatement jetée par la fenêtre, car il n’existepas de force centripète. La courbure pré-existe dans l’orbite : elle n’est pas causéepar une attraction, et donc seule votre vitesse existe. Si votre vitesse est le seulmouvement existant, et si une ligne droite est équivalente à une courbe, il n’existeabsolument aucune raison pour que le calcul de votre distance orbitale ne vousdonne pas 400 kilomètres. Il n’y a rien qui vous retient vers l’arrière ou qui tra-vaille contre votre moteur ; donc si vous n’êtes pas ralenti, vous devez aller à lamême vitesse. Si vous allez à la même vitesse dans le même laps de temps, vousdevez parcourir la même distance. Si vous n’êtes pas ralenti, alors votre « vitesseorbitale » ne peut pas être plus petite que votre vitesse originelle.

Mais c’est encore pire que cela, d’un point de vue physique. Demandons-nous s’ilest possible d’appliquer une force centripète sans affecter une vitesse tangentielle.Supposons qu’il existe une certaine force faisant tourner le vaisseau spatial, quece soit la gravitation de Newton ou une autre force réelle qui « déformerait » l’es-pace. Le problème avec cette supposition est celui-ci : les moteurs du vaisseau sontéteints ! Quand je commentais la réponse du modèle standard, je disais que la gra-vitation travaillait contre le moteur du vaisseau, le ralentissant. Mais une vitesseconstante n’exige pas de moteur dans l’espace. La lune possède-t-elle un moteur ?Non, tout ce dont nous avons besoin est une force initiale, qui permet à la lune ouau vaisseau de se déplacer. Après cela, le corps se déplace à vitesse constante (cecid’après le modèle standard et l’interprétation historique).

Afin de rendre ce problème encore plus clair, disons que nous voulons créer l’appa-rence d’une orbite en utilisant uniquement la puissance du vaisseau. Cela signifieque nous voulons tracer un cercle dans l’espace sans avoir de corps central. Théo-riquement, nous devrions être à même de faire cela avec juste deux moteurs : unmoteur qui nous permettrait de partir vers l’avant et un autre qui nous pousse-rait constamment vers un certain centre choisi. Ce second moteur fonctionneraittout le temps avec une poussée constante, et sa direction changera à tout instant.J’espère que vous pouvez voir le problème. Même si nous pouvions obtenir une

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poussée directionnelle pour le moteur qui changerait précisément et en douceur,nous ne pourrions empêcher cette poussée d’interférer avec la vitesse originelle.Vous ne pouvez ni pousser ni tirer sur un objet réel dans une direction exactementperpendiculaire à la ligne de déplacement de cet objet, car une poussée ou unetraction réelle n’est jamais instantanée. Notre poussée, ici, comme la gravitation,doit être continue, ce qui doit créer un certain intervalle de temps, ce qui doit créerune certaine composante non-tangentielle, qui doit à son tour interférer avec la vi-tesse initiale de l’engin spatial. Toute force de poussée ou de traction, même dansune direction tangentielle, doit tendre à dissiper une vitesse initiale.

La mécanique du cercle rend ceci encore plus clair, car la force de gravitation n’estde toute façon pas strictement perpendiculaire. Créer le cercle ou l’orbite avec unevitesse en ligne droite initiale donnée exige une certaine composante rétrograde àla force centrale. Vous pouvez constater ceci immédiatement juste en comparantla vitesse tangentielle et la « vitesse orbitale ». Comme je l’ai montré ci-dessus, etcomme le savent tous les ingénieurs, la vitesse orbitale est inférieure à la vitessetangentielle. Cette constatation à elle seule prouve qu’il existe une composante deforce rétrograde le long de la ligne de la tangente, car si celle-ci n’existait pas,la vitesse tangentielle devrait être égale à la vitesse orbitale. En d’autres termes,la gravitation doit tirer vers le bas et vers l’arrière. Si elle tirait juste vers le bas,aucun cercle ou orbite ne serait créé(e). Parce que le vaisseau se déplace versl’avant, la gravitation doit tirer vers le bas et vers l’arrière. Regardez l’illustrationsuivante. BC est le vecteur gravité. Pour aller à la limite, nous rendons le triangleABC aussi petit que possible. Nous ne pouvons pas le faire nul, car AB doit avoirune certaine longueur. Si AB n’a aucune longueur, alors le vaisseau a une vitessede zéro. Si le vaisseau se déplace, alors AB a une certaine longueur. Si AB a unecertaine longueur, alors BC doit posséder une certaine composante vers l’arrière.Si BC possède une certaine composante vers l’arrière, cela doit tendre à diminuerla vitesse AB. CQFD, la gravité doit tendre à diminuer la vitesse tangentielle duvaisseau ou le « déplacement inné » de la lune.

La réponse du modèle standard ici est que j’ai tort : la force centripète doit êtrecomplètement perpendiculaire à la vitesse initiale à tout moment, dès lors il n’y apas et ne peut y avoir de composante « rétrograde » à la force ou à l’accélération.On me dit que c’est pour cette raison que le mouvement inné de la lune ne se dis-sipe pas. Mais si c’est vrai, alors pourquoi la distance orbitale est-elle inférieure àla distance qui aurait été parcourue à la vitesse originelle ? Comme le montre clai-rement l’illustration, une vitesse tangentielle de r créerait une distance parcouruede 4d, pas πd. Si la force centripète ne travaille pas contre la vitesse tangentielle,en tant que vecteur, alors comment πd peut-il être inférieur à 4d ? Pour le direautrement : si la force centripète est complètement perpendiculaire à la vitessetangentielle – même lorsque nous sommons les temps impliqués dans une orbitecomplète – alors la vitesse tangentielle doit rester inchangée. Si la vitesse tangen-tielle reste inchangée sur chaque dt et sur la somme de tous les dt, alors commentse fait-il que la distance orbitale n’est pas la même que la distance en ligne droite

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attendue ? Et comment est-il possible que la vitesse orbitale soit inférieure à lavitesse tangentielle ?

J’affirme que, pour que la composante ou vitesse « orbitale » soit inférieure à l’ori-ginelle, ou vitesse tangentielle, la force centripète doit travailler contre elle, dansun sens vectoriel. C’est la seule façon possible pour que la distance orbitale (lacirconférence) puisse être inférieure à 4d. Mais si la force centripète diminue ladistance totale parcourue, elle doit diminuer la vitesse tangentielle. Et si elle dimi-nue la vitesse tangentielle, cette vitesse doit être dissipée, et le mouvement innéde l’orbiteur doit être dissipé également.

En fait, si nous acceptons l’interprétation du modèle standard, l’orbite serait unesorte de machine à mouvement perpétuel. Sans perturbations et autres imper-fections orbitales, une orbite planétaire serait parfaitement stable, selon Newtoncomme selon le modèle standard actuel. Elle ne tendrait pas à changer, ni versl’intérieur ni vers l’extérieur. Le modèle standard permet une telle possibilité dansle monde réel, puisque ni la vitesse tangentielle ni l’accélération centripète ne sontune cause d’instabilité orbitale. Théoriquement, une planète parfaitement rondesuivant une orbite parfaitement ronde autour d’une étoile parfaitement ronde setrouvant à une certaine distance de toute autre planète ou étoile pourrait orbiterpour l’éternité. Et puisque, dans la Relativité Générale, la courbure est donnée plu-tôt que créée, ce mouvement conserve l’énergie. Puisqu’il conserve l’énergie et créeune énergie potentielle, il doit constituer une machine à mouvement perpétuel.Rappelez-vous, nous avons ici une courbe non-dissipative ! Ce n’est pas seulementdu mouvement perpétuel, c’est une machine perpétuelle : une perpétuelle sourced’énergie.

Maintenant, je n’ai pas analysé les choses en ces termes pour vendre une machine àmouvement perpétuel. J’ai analysé les choses en ces termes afin de montrer que lemodèle standard est contradictoire et imparfait. Je dois revenir à π ; je vous racon-terai donc la fin de cette histoire et je continuerai. La réponse courte à ce problèmeest que les cercles et les orbites ne sont pas créés de cette façon, physiquement oumécaniquement. Nous pouvons analyser le cercle mathématiquement de cette fa-çon si nous le faisons correctement (ce que, historiquement, nous n’avons pas fait),mais dans le monde réel, les cercles et les orbites ne sont jamais créés à l’aide desimples vitesses tangentielles ou « mouvements innés ». Un rapporteur ne tracepas un cercle en utilisant une vitesse tangentielle, un gamin faisant tourner uneballe au bout d’un fil n’utilise pas de vitesse tangentielle, et aucun autre cerclen’est jamais créé de cette manière. Le rapporteur, le gamin, le tilt-a-whirl, etc uti-lisent des forces tangentielles constantes, pas juste des forces centripètes, et ilsdevraient le faire même si la friction n’entrait pas en jeu. Concernant les orbitescélestes, la mécanique échoue ici aussi. Des vitesses dissiperaient, les planètes nesont pas auto-propulsées et un équilibre ne pourrait pas être maintenu. Comme jele montre dans une série d’autres articles, les orbites célestes sont plus complexesque ce qui nous a été enseigné. Pour commencer, elles incluent le champ E/M,

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qui agit à la fois comme équilibrant et comme moteur. Et nous devons inverser levecteur gravitation, ce qui fait qu’il n’est ni une poussée ni une traction. Il est uneaccélération réelle du corps central ; il ne crée donc aucune force ni dissipation ausens newtonien de ces termes.

Ceci étant dit, nous pouvons quand même analyser l’orbite et le cercle pratique-ment de la même façon que Newton. Nous pouvons utiliser ses équations, nousdevons juste un peu les nettoyer. Pour cela, examinons de nouveau la dernièreillustration. Ce tracé exige une analyse plus poussée, étant donné qu’il s’appliqueà la fois aux orbites et aux cercles créés par toute autre voie. Si vous avez jamaisétudié ce problème, vous avez sans doute vu des centaines d’illustrations, avecdes polygones inscrits et circonscrits dans et autour de cercles, et ainsi de suite.Mais toutes ces illustrations sont des manipulations. L’illustration importante estla suivante.

Ici, nous mesurons le cercle directement avec le rayon. Nous traitons le rayoncomme une vitesse plutôt que comme une distance, puis nous commençons notrevoyage à partir d’un certain point sur le cercle. Je commence au point A sur cetteillustration. Dans ce schéma, la longueur du vecteur tient lieu de vitesse, et je doisle tracer à la tangente. Ce qui signifie que l’angle en A doit être de 90°. Donc, sivous me donnez le même laps de temps pour parcourir une distance qu’il m’en afallu pour tracer le rayon, je me retrouverai au point B.

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Mais si nous voulons tracer une courbe, nous devons garder le crayon le long ducercle, et ici je suis bien en dehors du cercle. Comment résoudre ceci ? Résolvonsce problème de la même façon que Newton, en insérant un second mouvement.Créer une courbe réelle quelconque exige au minimum deux mouvements simul-tanés. Comme nous le savons d’après la mécanique orbitale classique, ce secondmouvement doit être un vecteur pointant vers le centre. Ce mouvement nous ra-mènera vers le cercle. Pour nous ramener vers le cercle, nous pouvons postulerune force constante sur l’intervalle de mouvement, et ceci nous donnera une ac-célération, exactement comme dans la mécanique gravitationnelle. Ou bien, pouréviter cette variation, qui mathématiquement exigerait l’utilisation du calcul dif-férentiel, nous pouvons juste postuler toute notre force à la fin. Dans ce cas, lavitesse finale est l’accélération, car nous obtenons un changement à partir de zéro.L’accélération peut être trouvée en traçant juste une ligne de B à O. La longueurde la ligne BC représente alors l’accélération centripète de notre crayon sur l’in-tervalle AC. Ces deux mouvements ou vitesses se passent sur le même intervalle,et donc les deux temps se superposent. Quel que soit le temps pris pour tracer lerayon initialement, c’est le même temps qu’il nous faut maintenant pour aller deA à C. Dès lors, nous avons mesuré la circonférence en utilisant le rayon.

Mais comment cela nous donne-t-il une circonférence ? Avant de vous montrer lesmaths, laissez-moi vous montrer le raccourci conceptuel. Retournez à l’illustrationci-dessus. Vous pouvez voir immédiatement que nous avons découpé une tranchede tarte qui vaut le huitième du cercle. AO=AB, donc l’angle en O est 45°. Huitmorceaux de tarte signifient que nous utilisons huit rayons pour mesurer le cercleentier. Ce qui nous fait quatre diamètres. Problème résolu. Il nous faut quatrefois plus de temps pour parcourir la circonférence que pour parcourir le diamètre,étant donnée la même vitesse. Si les vitesses sont égales, et que les temps sontdirectement comparables, alors les distances sont directement comparables. Lavitesse est d/t, donc s’il nous faut quatre fois plus longtemps, la distance doit êtrequatre fois plus grande également. Ceci est la seule façon réelle de comparer unevitesse et une accélération, ou une ligne droite et une courbe. Toute autre analyseest incomplète et fautive, car toute autre analyse ignore la variable temps.

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Construisons maintenant les maths complètes. Retournons à l’illustration, pourcommencer. Traçons une perpendiculaire à partir du point D de façon qu’elletouche le point C, comme ci-dessus. Puisque l’angle en B est 45°, DB doit êtreégal à DC. Et maintenant, je vais prouver très rapidement que AD+DC est égal enlongueur à la courbe AC. En faisant cela, j’aurai également prouvé que AB est égalen longueur à la courbe AC, ce qui prouvera mon assertion ci-dessus concernant lafausseté de π. Si je peux prouver cela, je prouverai que la circonférence vaut 8AB,pas 2πAB.

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Historiquement, trouver la longueur de l’arc AC se fait par épuisement ou parcalcul. Nous examinons des sous-arcs de plus en plus petits jusqu’à ce que nousatteignions la limite où l’arc égale la corde. La corde est simplement la ligne droiteallant d’un point à un autre : par exemple, la ligne droite allant du point A aupoint C est la corde AC. Si nous pouvons redresser l’arc, nous l’aurons mesuré, etnous pourrons utiliser cette longueur afin de comparer à d’autres lignes droites.Nous laissons donc C approcher de A. À la limite, on assume que la corde AC estla longueur parcourue. Les Grecs utilisèrent cette analyse et ces suppositions enrésolvant ce problème il y a plus de 2.000 ans, en utilisant l’idée d’épuisement (àlaquelle je retournerai dans un instant). Plus tard, quand le calcul différentiel étaitdéjà formalisé, nous allâmes vers un rapport ultime, comme Newton l’appelait ;puis nous allâmes vers une limite, avec Cauchy. Mais dans toutes les solutionshistoriques, les suppositions étaient celles que j’ai citées dans ce paragraphe. Lasupposition principale étant que nous ramenons l’arc à la corde : il faut approcherla corde d’une certaine manière.

Mais tout ceci est faux. Le fait très simple est que la distance parcourue n’approchejamais la corde. La distance n’approche rien du tout, car elle ne diminue jamais.La distance est la même que nous la tracions grande ou petite. Du fait qu’elle nechange jamais pendant que nous l’« épuisons », elle ne peut pas approcher une li-mite. Examinez soigneusement ce fait, comme je le prouve dans mes diagrammes,à l’aide de la simple logique.

Dans mon analyse ci-dessus, je montrais que la force centripète doit tirer vers lebas et en arrière afin d’amener tout objet – que ce soit la pointe d’un crayon ou unvaisseau spatial – hors de son chemin originel et le long d’un chemin circulaire. Laplus simple façon de penser à ceci est de penser à la vitesse originelle en tant que

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AB. Alors la force centripète crée deux autres vitesse : une vitesse de taille DB, quitire le corps en arrière de B en D ; et une vitesse DC, qui tire le corps vers le basvers sa destination finale, C. C’est de cette manière que nous décomposons notrecourbe en vecteurs vitesses, en lignes droites. Le mouvement du corps de A à Cest une sommation de ces trois vecteurs. Toutes ces trois vitesses ont lieu dans lemême intervalle ; nous les sommons donc. C’est aussi simple que cela.

Vous allez dire : « Cela à l’air sensé, jusqu’à ce que nous examinions les lignesréelles. N’importe quel idiot peut dire que AD+DC doit être plus long que la courbeAC. La courbe AC ne passe jamais par le point D, pour commencer. Si vous voulezrésoudre par épuisement, vous devez “pousser” le point D de plus en plus près dela courbe, en divisant cette courbe en un tas de petits segments, ou étapes. C’estcomme cela que les Grecs résolurent le problème, espèce de crétin. Vous ne pouvezpas juste prendre n’importe quel arc comme cela et tracer des perpendiculaires :vous devez aller à une limite. Vous devez aller vers du plus en plus petit ».

Eh bien, d’accord, faisons cela. Dans ce diagramme, je vais pousser D plus près dela courbe AC. Je commencerai à la fois l’épuisement et l’« approche » vers un in-finitésimal, ou limite. Nous commencerons par diviser la courbe en quatre partieségales, ou étapes. Et, oui, nous sommes déjà plus près de la courbe, comme vouspouvez le constater, juste avec quatre divisions. Nous ne nous trouvons pas où quece soit proche de la distance à partir de la courbe du point originel D. Il apparaîtdéjà que si nous continuons à faire cela, nous « approcherons » de la courbe ACtrès rapidement, et donc notre méthode paraît être la bonne. Elle fait ce que nousdésirons qu’elle fasse et elle reflète la méthode des Grecs et des Modernes.

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Le problème est que cela ne change pas du tout la distance parcourue. Si vousadditionnez ces huit petits segments de ligne, vous trouverez qu’ils sont égaux àAD+DC. Nous avons changé de chemin mais nous n’avons pas changé de distance !Nous pouvons tracer huit étapes ou 64 étapes, ou une infinité d’étapes, et cela nechangera rien du tout. Avec notre petite méthode logique ici, nous n’« approchons »pas une quelconque nouvelle distance, nous ne faisons qu’approcher un nouveauchemin. La distance est la même à la limite qu’elle était au début : AD+DC.

Il s’ensuit que, à la limite, le chemin AD+DC est égal au chemin parcouru parla courbe AC, ce qui résout réellement notre problème. Mais la distance n’a paschangé en allant vers cette limite. Donc, si AB est la même longueur que le rayon,et nous avons défini le rayon à 0, 5, alors AC doit mesurer 0, 5 également, et lacirconférence vaut 4.

Il semble bien que les extra-terrestres avaient raison une fois de plus. J’ai dit plushaut qu’ils n’avaient aucune idée de π et qu’ils utilisaient simplement leur vitessetangentielle ou originelle pour mesurer la circonférence de l’orbite. Je viens toutjuste de montrer pourquoi ils ont raison et pourquoi nous avons et avons toujourseu tort.

Il reste une chose à noter avant de continuer. C’est très important. J’ai montré queAD+DC=arc AC. Dans mon diagramme, cela signifie que la tangente égale l’arc.Cependant, cela fonctionne uniquement lorsque la tangente est égale au rayon.L’angle en O doit être de 45°, de façon que DC=DB. Si l’angle n’est pas de 45°,alors la tangente ne peut être égale à l’arc, car AD+DC n’est pas égal à AB.

C’est important parce que si nous assignons la tangente à la vitesse tangentielleet l’arc à la vitesse orbitale, comme le fit Newton, nous trouvons qu’ils sont égauxnon à la limite, mais seulement quand la tangente égale le rayon. En fait, commeje l’ai montré, la tangente et l’arc ne sont PAS égaux à la limite. À la limite, latangente reste plus longue que l’arc. Et ceci signifie que la vitesse tangentielle et lavitesse orbitale ne sont égales que lorsque la longueur de la tangente est égale aurayon, ou bien lorsque le temps est égal à 1/8e de la période orbitale. Une vitesseorbitale trouvée par toute autre méthode donnera une mauvaise réponse. C’estpourquoi 2πr/t est faux : 2πr/8 n’est pas égal à r.

Abandonner π nous permet de corriger encore plus l’équation orbitale. J’ai déjàmontré que l’équation devrait être a = v

2/2r plutôt que v2

/r. Si t est le temps pourune orbite, alors la vitesse orbitale doit être 8r/t, pas 2πr/t. Ces deux correctionschangent la valeur de a de 39, 5r/t2 à 32r/t2. Dans un supplément à cet article, jemontrerai comment ceci résout la fameuse anomalie d’Explorer.

Après avoir fait toutes ces corrections, nous sommes dans une position qui nouspermet de voir que nous pouvons assigner l’accélération a au segment de ligne BC.De plus, si a = v

2/2r, et AB = r, alors r = v, et a = r/2. Consultant de nouveau le

diagramme ci-dessus, cela nous donne également 2BC=CO. Ce que cela signifie,

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c’est que nous avons une nouvelle méthode pour trouver une accélération cen-tripète, couramment appelée « gravitation ». L’équation a = r/2 nous donne uneaccélération totale sur le 1/8

e de l’orbite, donc l’accélération totale sur l’orbite en-tière est de 4r. Ou bien nous pouvons trouver l’accélération sur tout sous-intervalle.Disons que nous voulons trouver l’accélération de la lune sur une seconde. On saitque la période de la lune est de 2.360.534 s. Puisque la lune orbite à 384.400.000 m,l’accélération totale sur l’orbite est 4 fois ce nombre, soit 1, 538x109. En divisant,nous trouvons une accélération de a = 0, 000276 m/s2 sur une seconde.

Pour le plaisir, nous pouvons même montrer que l’accélération centripète n’est pastrouvée à un instant. J’ai montré que l’accélération centripète de la lune dûe à laTerre n’est pas de 0, 002725, elle est de 0, 002208. Si l’accélération totale de la lunesur une seconde est de 0, 000276, alors une accélération de 0, 002208 ne peut arriversur un instant. Nous pouvons même trouver la période avec une math simple. Sinous mettons cela dans notre nouvelle équation, nous trouvons que a = 0, 002208

quand t =8s. Ce n’est pas un instant ou un infinitésimal, puisque c’est un nombrecalculable. Ce serait vrai même si j’utilisais le nombre 0, 002725 pour l’accélérationde la lune. Vous ne pouvez pas avoir une accélération réelle sur un instant, et doncnous aurions dû savoir par simple logique que l’accélération centripète que nousavons calculée n’était pas sur un instant ni infinitésimale. Je viens juste de calculerle temps réel d’orbite durant l’accélération « instantanée » ; j’ai donc prouvé queNewton n’alla pas à la limite ni n’approcha de zéro. Comme je l’ai dit dans monpapier sur la dérivation, le calcule ne fonctionne pas en allant vers zéro ou versune limite, il fonctionne en allant vers un sous-intervalle, et je viens juste de vousmontrer le sous-intervalle dans un problème spécifique.

Certains diront que cette façon de faire est du mauvais calcul, mais j’affirme quel’Histoire a fait du mauvais calcul, pas moi. La réponse courante à ma démonstra-tion ci-dessus est qu’à la limite, définie telle qu’elle l’est couramment, la longueurtotale des étapes n’approche jamais de l’arc, parce que même avec un très grandnombre d’étapes, la distance entre chaque étape et la courbe reste réelle. Nouspouvons faire la somme de cette distance même à la limite, gardant la sommedes étapes au-dessus de la somme de la courbe. Ce n’est pas la somme des étapesqui approche la courbe, c’est la courbe qui approche la corde. En d’autres termes,ce sont les hypoténuses des petits triangles qui convergent vers la courbe, pas lessommes des autres côtés des triangles.

Bien que je reconnais que c’est là l’interprétation commune, je ne peux agréer avecelle. Dans mon article sur les lemmes de Newton, j’ai prouvé que la tangente dansson triangle doit être plus longue que la corde et que l’arc à la limite. Si nousappliquons cela à ce problème-ci, cela signifie que l’arc ne peut approcher la cordeà la limite. La tangente est une composante de l’arc, par la définition même deNewton dans ses Principia, donc si la tangente est plus longue que la corde à lalimite, l’arc doit l’être également. Ceci signifie que la courbe n’approche pas deshypoténuses de ces étapes, quel que soit leur nombre. Les hypoténuses sont les

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cordes, et elles ne peuvent pas être approchées par l’arc ni la tangente.

Vous allez maintenant me demander où Newton, dans ses Principia, dit que l’arcest composé de la tangente. C’est à l’endroit où il nous dit que le mouvement or-bital est composé de l’accélération centripète et du mouvement inné du corps. Cesdeux vecteurs composent le mouvement orbital. Ce sont les deux seuls mouve-ments qui nous sont donnés par Newton, et il assigne explicitement le mouvementinné du corps à la tangente.

Ce qui signifie que l’interprétation historique courante ne peut être correcte. L’hy-poténuse ne converge pas vers la courbe ou vers l’arc. Non, comme je l’ai montréci-dessus, c’est la tangente qui converge vers l’arc, mais la convergence se passeseulement quand la tangente égale le rayon. Cette convergence peut se passer uni-quement à 1/8

e du cercle, et elle se passe exactement comme je le montre dansces articles. Elle se passe parce que l’arc n’est jamais une courbe continue, mêmeà la limite. L’arc est défini comme une courbe composée de vecteurs linéaires, ouen lignes droites ; dès lors, il ne peut jamais être continu, si nous définissons par« continu » que le temps ou la longueur parcourue va vers zéro. Logiquement, letemps ou la longueur ne peut aller vers zéro, car il n’existe pas de temps ni de lon-gueur à zéro. Tous les nombres en math et en physique impliquent un différentiel,et puisqu’il en est ainsi, la courbe ne peut être pensée comme continue de cettefaçon. La courbe doit être pensée comme composée de vecteurs linéaires, même àla limite. Et puisque ceci doit être vrai, il doit également être vrai que le cheminque j’ai tracé ci-dessus doit converger vers l’arc, pour les raisons précises que j’aiprésentées. Le chemin converge vers l’arc dans le sens que le chemin se rapprochede l’arc. Personne ne peux nier cela, au moins. Mais puisque l’arc n’est pas continumême à la limite, la chemin converge réellement vers l’arc quand nous traçons deplus en plus d’étapes. Puisque la distance ne change pas, quel que soit le nombred’étapes que nous tracions, la tangente doit converger vers l’arc. Ou bien, à 1/8

e

du cercle, la tangente EST tout simplement l’arc.

G G G

Laissez-moi compléter cette « math complète » en répondant à quelques ques-tions. J’ai montré la mathématique complète la plus simple, et elle pourrait nepas convaincre certaines personnes. On me dira : « Il semble que votre méthoded’“épuisement” peut être utilisée pour démontrer que toute courbe allant de A à Cest de la même longueur. À part ça, il semble que l’on puisse démontrer que, parvotre méthode, même la corde AC est égale à AD+DC. Qu’est-ce qui rend l’arc decercle AC spécial, et pourquoi votre méthode devrait-elle fonctionner sur lui et suraucun autre arc ou ligne entre A et C ? ».

C’est une bonne question, je crois, sinon je ne l’inclurais pas ici. Pour que cetteméthode fonctionne – méthode que j’ai nommée « épuisement » mais qui pourrait

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aussi bien être appelée « approche d’une limite » – nous devons pousser D vers lacourbe de manière rigoureuse. Pour faire court, toutes nos étapes doivent appro-cher la courbe au même taux, sinon la méthode ne fonctionnera pas. Par exemple,si nous traçons une courbe différente de A à C, une courbe qui rebondit très prèsde D, et qu’ensuite nous traçons nos étapes, nous ne serons pas à même de rendreégales ces étapes. Ou, pour le dire d’une autre manière, nous ne pourrons pas ar-river à pousser D vers la courbe d’une façon uniforme. Notre épuisement n’ira pas« vers l’infini » au même taux tout au long de la courbe ; dès lors, notre méthodene fonctionnera pas, mathématiquement ou physiquement. Mais elle fonctionneraavec l’arc de cercle AC, et elle fonctionne pour la raison physique dont j’ai parléci-dessus : la vitesse tangentielle et la force centripète sont constantes toutes lesdeux. L’arc AC est créé par un processus constant qui ne varie pas, dès lors cet arcpeut être approché par les (bons) vecteurs orthogonaux de façon logique et rigou-reuse. En fait, l’arc AC est la seule courbe partant de A et allant vers C pouvantêtre épuisée de cette manière, étant donnés AD et DC. Toutes les autres courbessont des courbes variables et elles ne peuvent pas être approchées à une limite ouépuisées de cette manière directe.

Afin de montrer pourquoi la corde AC ne peut être approchée comme ceci, nousutilisons en gros la même analyse. Au premier abord, il apparaît que vous pouveztracer des étapes le long de la corde AC de la même manière, les « épuiser » dela même manière en augmentant de plus en plus le nombre d’étapes, et trouverpar cette magie que la ligne droite AC avait la même longueur que AD+DC. Laraison pour laquelle vous ne pouvez faire cela, c’est que, une fois de plus, vousne pouvez approcher la corde AC de façon uniforme à partir du point D. Dès lors,toutes vos étapes n’iront pas à la limite au même taux, et votre « méthode » nefonctionnera pas. Vous allez dire : « Bon sang, il semble que la ligne droite doitêtre la chose la plus aisée à approcher de façon uniforme, puisqu’elle est uniformedès le départ ! ». Mais essayez et vous verrez rapidement que ce n’est pas le cas. Laligne droite est en réalité la chose la plus difficile à approcher, et l’impossibilité decette approche est en fait la chose la plus facile à découvrir. Par exemple, tracezquatre étapes égales le long de AC, puis regardez-les à partir du point D. Vousn’avez pu approcher ces quatre étapes égales à partir de D d’aucune façon. Dans laméthode, vous ne tracez pas juste n’importe quelle étape qui vous arrange. Vousêtes supposé tracer des étapes qui existeraient si vous poussiez la ligne AD+DCvers AC. Épuiser un processus ou aller à une limite n’est pas un processus bongré mal gré, il s’agit d’un processus défini et rigoureux. Si vous essayez, voustrouverez que vous ne pouvez pas approcher une ligne de façon uniforme à partirde n’importe quel point, en utilisant cette méthode. Où que vous placiez D le longde la ligne AB, il n’approchera pas AC au même taux, avec des étapes définieslogiquement, d’aucune façon. Et la raison de ceci pourrait peut-être devenir clairpour vous : la distance d’une ligne ne peut être approchée à partir d’un point horsde la ligne, parce que la ligne est déjà la distance elle-même. Elle est « uniformedès le début » ; dès lors, elle ne peut être approchée de façon uniforme (excepté

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par une ligne parallèle de la même longueur).

Comme courte démonstration supplémentaire de ceci, disons que nous plaçons Dsur la ligne AB de façon qu’il soit équidistant de A et de C, pour commencer. Vouspourriez penser que nous pouvons le faire approcher de AC d’une manière uni-forme comme cela. Mais non. Si nous traçons de plus petites étapes au milieu et deplus grandes aux environs de A et de C, nous pouvons forcer un ensemble d’étapesà agir correctement. Mais nous ne pouvons faire en sorte que notre ensemble sui-vant d’étapes agisse correctement, à la fois par rapport à D et par rapport à notrepremier ensemble. Afin de faire diminuer uniformément notre prochain ensembled’étapes, nous devrions faire varier le taux de changement le long des étapes, etcela n’est pas permis. Une approche à une limite doit progresser d’une manièredéfinie, sinon l’approche n’aura pas lieu. Une approche qui progresserait non uni-formément créerait des « bosses » quand on approcherait de la limite, et la limitene serait pas la courbe que nous voyons. C’est une chose que d’approcher une li-mite qui est un point et une autre que d’approcher une limite qui est une ligne ouune courbe. Pour approcher une ligne ou une courbe, l’approche doit être la mêmeen tout endroit le long de la courbe, et afin de parvenir à cela, l’approche doit êtresurveillée tout au long de la courbe, comme je vous le montre.

Il existe des façons plus abstraites de dire ces choses, dans des symbolismes ma-thématiques divers, mais du fait que les mathématiques sont toujours des rac-courcis d’explication, je préfère donner l’explication. Si vous ne comprenez pasl’explication, vous ne comprendrez jamais les maths. Pour pouvoir comprendrela courbe ou le calcul, vous devez étudier des diagrammes et réaliser réellementdes approches de lignes, exactement comme ceci. Une limite n’est pas une choseabstraite. Ce n’est pas un concept que vous pouvez utiliser comme une marteau,sans finesse. Vous devez comprendre qu’une limite est toujours approchée d’unemanière rigoureuse et définie ; et si elle n’est pas approchée d’une manière rigou-reuse, vous obtiendrez une mauvaise réponse. La même chose s’applique à l’épui-sement. Mathématiquement, l’épuisement est un processus rigoureux. Il ne s’agitpas juste de tracer de plus en plus d’étapes ; il s’agit de tracer des étapes croissanten nombre et en taille d’une manière définie.

La plus courte réponse à cette question est que vous pouvez approcher l’arc decercle AC à partir de la ligne AD+DC parce que ces vecteurs ont créé l’arc AC pourcommencer. Ces vecteurs ont créé physiquement le chemin courbé. Ce ne sont pasjuste des vecteurs orthogonaux choisis parce qu’ils étaient commodes. Ils sont LES

vecteurs orthogonaux qui définissent le chemin de la courbe. L’arc AC est approchéen douceur à partir de D parce qu’il fut en un certain sens créé à partir de D. D estl’équilibre physique de O, étant donnés l’intervalle AC et le mouvement de A versC. D avait la garantie d’approcher l’arc AC en douceur et uniformément, raisonpour laquelle j’utilise la méthode sans explication dans la version courte de cetarticle.

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Maintenant, certains peuvent se demander ce que ceci a à faire avec mon analysedu temps tout entière, plus haut dans ce papier. J’ai rédigé de nombreuses pagespour vous dire que le temps change tout le problème de la circonférence et de samesure, puis j’ai offert une « math complète » qui ne mentionne pas une seule foisle temps. Ici, nous entrons dans des difficultés que j’aurais voulu éviter. J’ai essayéd’éviter d’amener le calcul dans ce problème, du fait que j’ai déjà été forcé de re-définir le calcul différentiel dans un autre article. Amener tout cela dans ce papierétait quelque chose que j’espérais contourner, en gardant une explication trans-parente pour la fin. Pour certains lecteurs, j’ai déjà atteint ce but. Pour d’autres(ceux qui se posent des questions sur le temps juste maintenant), ce n’est pas lecas. À l’intention de ces derniers, je vais tenter une explication transparente quiévitera encore une pleine utilisation du calcul, que ce soit le traitement historiqueou le mien. Quand je dis que nous devons surveiller le taux auquel D approcheAC, ce taux est le temps. À chaque fois que quelqu’un dit « taux », vous devriezcomprendre « temps ». Dans toute situation physique, le temps se trouve toujourssous toutes les mesures de distances. Nous pouvons tracer une cercle et refuser desurveiller le temps impliqué dans ce tracé, mais néanmoins le temps est toujourslà. Il est là lorsque nous nous rappelons que toutes les distances sont des vitessesou des accélérations ; et il est là aussi quand nous nous souvenons que les limitesdoivent être approchées d’une certaine manière rigoureuse et réelle. La courbe ACne peut pas être rectifiée comme un bout de ficelle, parce que cette courbe est unecourbe faite à la fois de distance et de temps. Si vous la rectifiez et la mesurezcomme un bout de ficelle, vous mesurez la distance mais pas le temps, et ainsivous obtenez la mauvaise réponse.

Il y a deux façons de penser à ceci. L’une est de penser au temps comme étantlui-même une longueur réelle. Supposons que vous ayez une courbe et une ligned’égales longueurs, selon la géométrie abstraite ou la méthode de la corde. Lacourbe aura plus de temps « intégré » en elle. Il vous faudrait plus de temps pourla parcourir à la même vitesse (comme le modèle standard l’admet déjà avec sa« vitesse orbitale »). Dès lors, lorsque vous la rectifiez, vous devez surveiller à la foisla distance et le temps. Si vous faites cela, le temps s’additionnera à la distance, etvotre courbe sera plus longue d’une façon appréciable que ce que vous attendiez.Vous pouvez en fait ajouter la différence en temps à la fin de la ligne et obtenir labonne réponse, donc penser au temps comme étant intégré dans la courbe n’estpas juste une jolie visualisation. C’est mathématiquement vrai.

Une autre façon de penser au temps est de penser la ligne et la courbe commeétant faites d’atomes. Les atomes représentent la distance et la séparation entre lesatomes le temps. Si vous rectifiez une courbe, vous devez comprimer les atomes,perdant ainsi un peu de séparation. Si vous avez perdu cette séparation, alorsvous avez perdu une partie du « temps » et dès lors de la distance. Une courbene peut pas être rectifiée sans affecter sa longueur réelle. Ce n’est pas juste unevisualisation non plus. C’est physiquement vrai. La meilleure façon de le visualiserest une fois de plus à l’aide d’un diagramme :

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Nous voulons rectifier le morceau de corde courbée 1-4-5 en le morceau de cordedroite 1-2-3. Bien qu’il est clair que la courbe est plus longue que la ligne droite,suivons le modèle standard et définissons les deux cordes comme ayant la mêmelongueur, et voyons ce qui arrive. J’utilise ce diagramme parce que certains vontdire qu’aucune compression réelle n’est impliquée si nous imaginons une cordedépourvue d’épaisseur. Ils diront qu’un bout de corde réelle sera compressée uni-quement à l’extérieur quand vous allez la rectifier, mais que l’intérieur de la courbesera étiré. Ils diront qu’une corde à une seule dimension ne sera pas compres-sée quand vous la rectifierez. Ce diagramme montre que cela est faux. Même unbout de corde composé seulement d’une ligne d’atomes, avec la distance entre lesatomes adjacents toujours à seulement 2r, sera compressé. Afin de voir cela, toutce que nous avons à faire est de rouler la balle 5 jusqu’à la balle 3. Si nous faisonscela, la marque qui est la courbe doit dépasser aux deux bouts, montrant qu’unecompression a eu lieu. Cela est évidemment dû au fait que la ligne AB est égale àCDE, pas à la courbe. La courbe est plus longue que CDE et doit être compresséeafin d’égaler AB.

Les personnes particulièrement pointilleuses diront : « Eh bien, si la courbe estplus longue que AB, alors les deux cordes n’étaient pas de la même longueur.Vous devriez définir la courbe comme étant égale à AB ». Mais si nous faisonscela, nous avons le problème opposé, en ceci que nous ne pouvons pas obtenirdes balles de la même taille dans la corde courbée et dans la ligne droite. Si nousdéfinissons la courbe comme étant égale à AB, alors nous devons faire nos ballesplus grosses le long de la courbe. Donc, quand nous roulons la balle 5 jusqu’à cequ’elle rencontre la balle 3, nous obtenons encore de la compression. De quelquefaçon que vous regardiez le problème, vous ne pouvez pas rectifier une courbesans matériellement, et dès lors mathématiquement, l’affecter.

Certains affirmeront que cette analyse assume la non-continuité, mais ce n’est pasle cas. Cela n’exige même pas une vision quantique de la matière. Ces balles n’ont

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pas besoin de représenter des atomes. Elles peuvent représenter des petits nombres1 si nous le désirons. Elles peuvent représenter n’importe quoi, physiquement oumathématiquement, réel ou abstrait, excepté zéro ou un équivalent. Quel que soitce que les balles représentent, la compression est le résultat logique.

Mais retournons au temps. Le temps est central dans cette dernière visualisationégalement. Une seconde variable nous fournit toujours le taux de changement, etde ce fait la courbe, et dans le monde réel, le temps est toujours présent : elle dé-termine ce taux de changement, quelles que soient les autres variables présentes.Le temps est la raison pour laquelle la courbe n’égale pas AB dans cet exemple.La différence entre les deux est la différence en temps. Et la différence est grande.Historiquement, nous avons mesuré la longueur de la courbe erronément, et celapar une grande marge d’erreur.

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Les mathématiciens professionnels n’apprécieront pas tout ceci, pour plusieurs rai-sons. Premièrement, ils n’aimeront pas voir π traité avec si peu de respect. Unechose ayant une si longue histoire ne devrait pas être regardée d’aussi près. C’estcomme si vous examiniez votre grand-mère avec une loupe : impoli et malvenu,pour le moins. Seul un monomaniaque pourrait entretenir l’idée selon laquelletoute l’Histoire avait tort, concernant n’importe quelle idée. Deuxièmement, ilsn’aimeront pas du tout ce discours. Si j’ai de nouvelles maths à présenter, je devraisjuste sortir quelques équations et attendre pour voir si elles tiennent le coup sousla critique. C’est la voie que nous sommes sensés suivre. Troisièmement, ils n’ai-meront pas ma « mauvaise » utilisation du calcul, même si je n’ai jamais proclaméêtre un orthodoxe. Je leur apparaîtrai comme quelqu’un qui amène des choses àla limite d’une manière très étrange et qui s’explique d’une manière encore plusétrange. Étant donnés Newton, Cauchy et le reste, je serai vu simplement commefaisant du mauvais calcul. En réponse, je souligne que l’invention du calcul diffé-rentiel alla historiquement main dans la main avec l’analyse de courbes, et il futinventé pour analyser des courbes géométriques, non des courbes cinématiques.Ce que je veux dire par là est que le calcul, la trigonométrie et l’utilisation ortho-doxe des limites étaient analysés dans une analyse qui ignorait le temps. Newtonassumait qu’une orbite circulaire pouvait être vue simplement comme un cercledonné en géométrie, sans surveillance du temps ou de la vitesse. En ceci, il étaitencore plus réducteur que les Grecs eux-mêmes, qui au moins se demandaient sile point sur la courbe avait une vitesse. Certaines de leurs analyses jouaient aveccette idée. Mais Newton ne remit jamais en question sa supposition selon laquellela distance autour du cercle serait une distance brute, comme la circonférencegéométrique. C’est pourquoi il appela faussement la vitesse orbitale une vitesse,et c’est pourquoi nous le faisons encore de nos jours. Nous n’incluons pas le tempsdans la courbe, nous essayons juste de l’ajouter à la fin. C’est pourquoi nous gar-dons la ridicule habitude d’écrire la « vitesse » orbitale comme une longueur sur

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un temps, même si, comme je l’ai montré en grand détail, et comme cela était déjàcompris il y a longtemps, le mouvement orbital est composé de trois vecteurs devitesse séparés. Historiquement, la sagesse populaire peut avoir été qu’il existaituniquement deux vitesses sur chaque dt, mais de toute manière il était connu quele mouvement orbital n’est pas une simple vitesse.

Le calcul, depuis Newton, a été un algorithme capable de décrire une courbe,étant donnés des changements en x et en y. Que trouve-t-il ? Le calcul différentieltrouve la pente à la tangente, dont on nous dit qu’elle est la vitesse en ce point.Le problème, c’est que j’ai démontré que ce qui se trouve en ce point, quelque soitsa nature, ne possède pas de vitesse. Il possède une accélération, au minimum, etdans le cercle il possède une accélération du second degré (trois t au dénomina-teur). L’algorithme de Newton doit donc échouer. S’il fonctionne quelque peu, il nepeut fonctionner que pour un cercle géométrique, où le temps ne passe pas. Maisun cercle cinématique n’est pas physiquement équivalent ou mathématiquement àun cercle géométrique, et donc le calcul doit être refait.

Maintenant, je n’ai jamais affirmé que le calcul est faux in toto. Newton avait rai-son sur bien des choses, et le calcul est un algorithme valable et utile quand il estutilisé correctement. Il fonctionne très bien sur des courbes géométriques et il peutêtre utilisé pour trouver π dans un cercle géométrique. Il résout l’un des problèmesque Newton voulait résoudre. Mais tel qu’il est utilisé aujourd’hui, il ne résout pasle problème des cercles physiques, parce que les cercles physiques ne sont pas descercles géométriques. Leurs courbes ne sont pas des entités mathématiquementéquivalentes. Ceci étant, je dois montrer en quoi elles diffèrent et de quelle façonles fondations de l’analyse du cercle doivent changer. Clairement, je ne peux fairecela à l’aide d’équations brutes. Refaire un algorithme en entier demande beau-coup de préparation, et cette préparation exige une explication claire. Vous nepouvez pas réécrire deux millénaires et demi d’histoire par une demi page d’équa-tions brutes. Si je désire faire une correction majeure, je dois d’abord convaincrede la nécessité de la correction. J’espère au moins avoir réalisé cela.

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Les Grecs nous ont emmenés sur une mauvaise voie en assumant que l’arc ap-proche de la corde quand nous épuisons les séries (Archimède utilisait des cordesde plus en plus petites sous forme de polygones pour approcher le cercle, maisl’idée est la même, en inverse). Newton et d’autres ont solidifié cette erreur en leformalisant avec leurs calculs, et Cauchy cacha l’erreur par une formalisation en-core plus éloignée de la physique. Durant ces 200 dernières années, cette erreur n’ajamais été reconnue parce qu’elle était méconnaissable. Avec le calcul – et dès lorsla courbe – tel qu’il est aujourd’hui enseigné, personne ne pourrait découvrir quoique ce soit de tout ceci. Le calcul comme la géométrie du cercle sont enseignéssous la forme d’une série d’équations de plus en plus abstraites et non pas sous

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la forme d’étapes logiques et fondées physiquement. Mais lorsque vous retournezaux diagrammes, comme je l’ai fait ici, il est incroyablement facile de s’apercevoirque le mouvement circulaire constitue un énorme gâchis supplémentaire.

Quantitativement, ceci pourrait constituer LA plus grosse erreur de toutes les mathset de toute la physique, car n’importe quelle équation physique contenant π doitmaintenant être jetée et reconstruite. La transformation π doit être éliminée detoute la cinématique et de toute la dynamique.

Vous pouvez vous demander comment la physique a pu exister avec de telleserreurs depuis aussi longtemps. Toutes les technologies ne devraient-elles pasêtre impossibles avec des erreurs d’une telle magnitude ? Toutes nos machinesne devraient-elles pas immédiatement se briser et s’arrêter de fonctionner ? Pasnécessairement. Du fait que nous faisons les mêmes erreurs dans toutes nos équa-tions, ces équations sont correctes les unes par rapport aux autres. La plupart destechniques sont concernées par des nombres relatifs, pas par des nombres absolus.Par exemple, il est plus important en physique – du moins en ce qui concerne l’in-génierie – de savoir de quelle manière la gravitation de Vénus se compare à la gra-vitation de Mars que de connaître la gravitation réelle de chacune de ces planètes.Si nous nous trompons sur toutes au même degré, la plupart de nos machines fonc-tionneront encore. Ce n’est que rarement qu’une erreur sur des nombres absolusaffectera une technologie. Je pourrais le démontrer par des exemples spécifiques,mais je pense que c’est assez clair comme cela.

Maintenant, résumons. Vous devriez avoir appris de cet article plusieurs choses :

1. Il n’existe rien de tel qu’une vitesse orbitale. Une « vitesse » orbitale est enréalité la somme de trois vitesses séparées et séparables. Dans le diagrammeci-dessus, le mouvement orbital est AB−BD+DC, qui est évidemment égal àAD+DC.

2. Une courbe ne peut être mesurée en la rectifiant comme un bout de corde.Dans toute situation physique, la distance parcourue le long d’une courbeest trouvée en traçant des perpendiculaires, et par aucune autre méthode.Comme je l’ai montré, vous n’avez pas à aller à une quelconque limite : toutce que vous avez à faire est de tracer les plus grandes perpendiculaires. Dansl’exemple ci-dessus, vous n’avez pas à tracer des tas de petites étapes et àaller à une limite : tracez juste AD et DC. Pour autant que AB égale AO, ABsera toujours égal à AC.

3. L’équation de la circonférence est maintenant C = 8r= 4d.Cela signifie queπ est mort.

Les milliers de mathématiciens ayant recherché des valeurs de plus en plus pré-cises de π ont pourchassé un fantôme. Car, bien que leurs équations puissent êtrecorrectes en gros, leurs suppositions sont fausses. Leur première supposition atoujours été que Newton comprenait la géométrie du cercle et qu’il savait com-ment faire du calcul. Les mathématiciens et les physiciens depuis Newton ont tout

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simplement pris ses postulats comme vérité d’évangile : ils ont emprunté son al-gorithme et essayé de le peaufiner. Mais l’algorithme est fautif au niveau fonda-mental, et il l’a été depuis des millénaires. Les premiers lemmes de Newton, lesfondamentaux – qui sont eux-mêmes basés sur les suppositions des Grecs – sonttous faux. À la limite, la tangente n’est pas égale à la corde, comme je l’ai démontréailleurs. La corde n’est jamais approchée ni par l’arc, ni par la tangente, ni par unequelconque entité mathématique en trigonométrie ou dans le calcul. En créant eten mesurant le cercle, nous n’épuisons pas des polygones, inscrits ou circonscrits,et donc la corde est sans importance. Pour créer ou mesurer le cercle, nous devonsle faire comme je l’ai fait ici : avec des vecteurs orthogonaux. Si nous choisissonsles vecteurs corrects, nous n’avons pas à approcher une limite quelconque. Nouspouvons utiliser une sorte d’épuisement, mais nous le faisons uniquement afin demontrer que les plus grands vecteurs sont corrects pour commencer. J’ai « épuisé »un processus de mesure plus haut (en augmentant les étapes le long de l’arc), maiscet épuisement n’a pas amené notre distance à une limite. Il a uniquement montréque, en tant que distance, un chemin était équivalent à un autre. Du fait que c’étaitce que nous recherchions avec la circonférence, cela nous donna une méthodetrès simple et rapide. En choisissant précisément la bonne analyse et le bon in-tervalle, nous avons été à même de résoudre le problème sans calcul, sans limite,sans infinitésimale, sans rapport ultime et sans intégration ou différentiation. Enrésumé, je suis retourné à l’analyse des Grecs d’avant le calcul, analyse qui estsous-jacente dans toutes les analyses modernes. En corrigeant cette analyse d’unemanière simple mais cruciale, j’ai changé et corrigé toutes les mathématiques etanalyses circulaires étant apparues depuis lors. Ceci signifie que π est maintenantune relique (excepté peut-être dans les équations scalaires, comme l’aire etc). Cer-tains seront bouleversés d’apprendre que tant de travaux sérieux ont été réaliséspour rien, que ce soit en mathématique ou en physique ; mais plutôt que de perfec-tionner une erreur jusqu’à la fin des temps, il serait sans doute plus avisé d’enfindécouvrir la simple vérité.

Pour une preuve expérimentale de cet article, vous pouvez lire la preuve par laNASA que PI vaut 4 .

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Traduction : Bahrmanou

©14 mai 2014