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Histria do Nmero Prof. Eng. Marcos Aurlio O (pi) a razo entre o comprimento de uma circunferncia e seu dimetro, na Geometria euclidiana. um nmero irracional e uma das constantes matemticas mais importante. empregado frequentemente na matemtica, fsica e engenharia. O valor numrico de , truncado em suas primeiras cifras, o seguinte: 3,14159265358979323846....

DefinioA descoberta deste nmero magnfico no foi um processo fcil e linear. Muitos foram os matemticos que dedicaram parte de suas vidas ao seu clculo. Cada avano tinha muitas falhas, muitos retrocessos, muitos esforos. O clculo de pi foi levado a cabo durante muitos sculos por inmeras razes, quer prticas quer tericas. O valor de pi, com 10 casas decimais, suficiente para a maioria das "aplicaes" prticas. Ocasionalmente, existe a necessidade de aumentar a preciso dos resultados obtidos, contudo no se conhece um nico caso, de uma situao prtica que requeira o uso de com mais do que 100 casas decimais. Ento, por qu calcular o pi com bilhes de casas decimais? Antigo EgitoHistria do clculo do valor de

Detalhe do papiro Rhind.Matemticos antigos perceberam que havia uma certa proporo entre a circunferncia e o dimetro de um crculo. Eles partiram de um quadrado inscrito em uma circunferncia, cujo lado media nove unidades, ento dobraram os lados do quadrado para obter um polgono de oito lados e calcularam a razo entre os permetros dos octgonos inscrito e circunscrito e o dimetro da circunferncia. O egpcio Ahmes no ano de 1800 a.C., descrito no papiro Rhind, chegou ao valor aproximado de 3,16 h 3500 anos. Alguns matemticos mesopotmicos empregavam, no clculo de segmentos, valores de igual a 3, alcanando, em alguns casos, valores mais aproximados, como o de 3 + 1/8 (3,125).MesopotamiaO matemtico grego Arquimedes (sculo III a.C.) foi capaz de determinar o valor de , entre o intervalo compreendido por 3 + 10/71 (~3,1408) como valor mnimo e 3 + 1/7 (~3,1428) como valor mximo. Com esta aproximao de Arquimedes se obtm um valor para com um erro que oscila entre 0,024% e 0,040% sobre o valor real. O mtodo usado por Arquimedes era muito simples e consistia em circunscrever e inscrever polgonos regulares de n-lados em circunferncias e calcular o permetro de ditos polgonos. Arquimedes iniciou com hexgonos circunscritos e inscritos, e foi dobrando o nmero de lados at chegar a polgonos de 96 lados.Antiguidade Clssica

Arquimedes (287 a 212 a.C.)Antiguidade Clssica

Mtodo de Arquimedes para encontrar dois valores que se aproximem ao nmero , por excesso e falta.Em torno do ano 20 d.C., o arquiteto e engenheiro romano Vitrvio calculou como sendo o valor fracionrio 25/8 .No sculo II, Claudio Ptolomeu proporciona um valor fracionrio por aproximaes:377/120=3,141666...Antiguidade ClssicaMatemtica ChinesaMatemtica Chinesa

Mtodo de aproximao de Liu Hui.No final do sculo V, o matemtico e astrnomo chins Zu Chongzhi calculou o valor de em 3,1415926 ao qual chamou, valor por falta, e 3,1415927, valor por excesso, e deu duas proximaes racionais de : 22/7 e 355/113 , ambas muito conhecidas, sendo a ltima aproximao to boa e precisa que no foi igualada por mais de nove sculos.Matemtica Chinesa

Zu Chongzhi (429-500)No final do sculo V, o matemtico indiano Aryabhata estimou o valor em 3,1416 usando um polgono regular inscrito de 384 lados. Matemtica Indiana

Aryabhata (476-550)

Brahmagupta (598-660)No sculo IX Al-Jwarizmi em sua "lgebra" (Hisab al yabr ua al muqabala) faz notar que o homem prtico usa 22/7 como valor de , o gemetra usa 3, e o astrnomo 3,1416. No sculo XV, o matemtico persa Ghiyath al-Kashi foi capaz de calcular o valor aproximado de com nove dgitos, empregando uma base numrica sexagesimal, o que equivale a uma aproximao de 16 dgitos decimais: 2 = 6,2831853071795865.Matemtica Islmica

Ghiyath al-Kashi (1350-1439)A partir do sculo XII, com o uso de cifras arbicas nos clculos, facilitou muito a possibilidade de obter melhores clculos para . O matemtico Fibonacci, em sua Practica Geometriae, amplificou o mtodo de Arquimedes, proporcionando um intervalo mais estreito. Renascimento Europeu

Fibonacci (1175- 1250)Renascimento EuropeuAlguns matemticos do sculo XVII, como Vite, usaram polgonos de at 393.216 lados para se aproximar com boa preciso a 3,141592653.

Franois Vite (1540-1603)

Em 1593 o flamengo Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus) obtm uma preciso de 16 dgitos decimais usando o mtodo de Arquimedes.

Adrianus Romanus(1561-1615)Em 1610 o matemtico Ludolph van Ceulen calculou os 35 primeiros decimais de . Diz-se que estava to orgulhoso desta faanha que o mandou gravar em sua lpide. Os livros de matemtica alemes, durante muitos anos, denominaram a como nmero ludolfiano.poca Pr-Moderna

Ludolph van Ceulen(1540-1610)

Em 1665 Isaac Newton desemvolve a srie:

O matemtico ingls John Wallis desenvolveu, em 1655, a conhecida srie Produto de Wallis:

poca Pr-Moderna

poca Pr-Moderna

Em 1720 o francs Thomas Fantet de Lagny utilizou o mesmo mtodo para obter uma aproximao de 127 dgitos (s os primeiros 112 eram corretos).poca Pr-Moderna

Abraham Sharp (1651-1742)Thomas Fantet de Lagny(1660-1734)poca Pr-Modernapoca Moderna (Era Computacional)

Shigeru Kondo

Em geometria Comprimento da circunferncia de raio r: C = 2 r

Frmulas que contm

reas de sees cnicas: rea do crculo de raio r: A = r rea da elipse com semi-eixos a e b: A = ab

Frmulas que contm

reas de corpos de revoluo: rea do cilindro: 2 r (r+h) rea do cone: r + r g rea da esfera: 4 rFrmulas que contm

Volumes de corpos de revoluo: Volume da esfera de raio r: V = (4/3) r Vol. de um cilindro reto de raio r e altura h: V = r h Vol. de um cone reto de raio r e altura h: V = r h / 3

Frmulas que contm

Equaes expresas em radianos: ngulos: 180 gros so equivalentes a radianos.

Em probabilidade A probabilidade de que dois nmeros inteiros positivos escolhidosao azar sejam primos entre si : 6/ Se for escolhido ao azar dois nmeros positivos menores que 1, a probabilidade de que junto com o nmero 1 possam ser os lados de um tringulo obtusngulo : (-2)/4 O nmero mdio de formas de escrever um nmero inteiro positivo como soma de dois quadrados perfeitos /4 (a ordem relevante).Frmulas que contm Em anlise matemtica Frmula de Lei bniz: Euler:

Produto de Wallis:Frmulas que contm

1. O clculo do Pi com milhes de casas decimais usado para testes em computadores e programas (Hardware e software). Uma diferena em um dos algarismos, indica falha nas arquiteturas.2. Apenas quarenta e sete casas decimais do pi seriam suficientemente precisas para inscrever um crculo em torno do universo visvel. Resultado este cujo erro, relativamente circularidade perfeita, no maior do que um simples prton.3. Um dos livros mais aborrecidos, alguma vez escrito, foi: "pi com um milho de casas decimais".4. A pior aproximao de sempre do pi, surgiu em 1897 quando a "House of Representatives" , no estado de Indiana, apresentou uma proposta de lei que decretou que o valor de pi era 4.5. Na Grcia antiga o smbolo p era usado para denotar o nmero 80.6. A fraco 22/7 usada frequentemente como aprximao para o p. A fraco que melhor se aprxima de p, embora mais difcil de decorar 104348/33215.7. Pi irracional, ou seja, PI no pode ser expresso atravs de uma frao.

CuriosidadesReferncias