KALKU LU S I I

OLEH:MATHI AS HOTMA PAR U LI AN 4211101010AN DHI KA M U HAMMAD 4211101005MOHAM MAD HAFI DH R 4211101015MU HAMMAD FEBR I AN S 4211100100YU SR ON 4211100099

Grafik dan Luas Koordinat Kutub

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER2012

Koordinat Kutub

Selain itu kita kenal koordinat kutub dengan titik P (r , θ ) sesuai dengan gambar di samping:

Sebelumnya kita kenal koordinat cartesius dimana titik P(x,y). Terlihat pada gambar di samping:

Dimana, r = jari-jari lingkaranθ = sudut yang dibentuk oleh sinar dan sumbu

kutubθ bernilai 0 - 2π ; r dapat bernilai negatif.

Contoh Titik-titik pada Koordinat Kutub:

Bentuk Kurva Dari Persamaan Kutub:

Koordinat Kutub

Koordinat Kutub P (r,) dan Koordinat Siku P (x,y)

Sistem koordinat kutub (polar coordinate system) merupakan suatu alternatif untuk sistem Kartesius.

Dalam sistem ini setiap titik P (x,y) dalam bidang koordinat-xy dapat dinyatakan sebagai koordinat kutub (r,) yang memenuhi hubungan berikut: x = r cos y =

tan = = arc tan

Dalam berbagai keperluan tidak masalah apakah sudut kutub diukur

dalam derajat atau radian. Akan tetapi,dalam permasalahan yang

menyertakan turunan dan integral harus dalam radian.

Hubungan antara Koordinat Kutub dan Koordinat Siku

Titik asal O dinamakan kutub (pole) dan sumbu-x positif dinamakan sumbu kutub (polar axis).

Bilangan r dinamakan koordinat jarak (distance coordinate) yang menyatakan panjang garis dari titik P ke titik asal O, dan

sudut dinamakan sudut kutub (polar angle) yang menyatakan sudut antara garis dan sumbu kutub.

Suatu ilustrasi dapat dilihat dalam Gambar 1.9.

Pembahasan Soal

Letakkan titik-titik dengan koordinat-koordinat kutub:

Jawab:

Grafik Dalam Koordinat Kutub

Garis Dalam Koordinat kutub Suatu persamaan kutub untuk sembarang garis dapat diperoleh dengan mensubstitusikan x = r cos dan y = r sin, dalam persamaan Ax + By + C = 0 ; yang menghasilkan bentuk umum sebuah garis r (A cos

Grafik Dalam Koordinat Kutub

Gb.9.6 memperlihatkan kurva dua garis lurus l1 sejajar sumbu-x dan l2 sejajar sumbu-y.

Garis l1 berjarak a dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis ini harus memenuhi r cos =a

Garis l2 berjarak b dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis ini harus memenuhi Garis l2 berjarak b dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis ini harus memenuhi r sin θ = b

Jika titik P harus terletak pada l3 maka r cos(β − θ) = a Apabila perputaran sumbu kita lakukan sehingga garis yang kita

hadapi, l4, memiliki kemiringan negatif, maka persamaan garis adalah r cos(θ − β) = a

Pembahasan Soal

Lingkaran Dalam Koordinat Kutub

Suatu lingkaran yang berjari-jari a yang berpusat di titik asal memuat semua titik dari P(). Artinya lingkaran tersebut mempunyai persamaan r=a.

Persamaan dari suatu lingkaran yang berpusat di sumbu x dan melalui titik asal mempunyai persamaan:

atau

Pembahasan Soal

Jika r = a cos ,maka kurva berbentuk lingkaran yang simetri di x

Jika r = a cos ,maka kurva berbentuk lingkaran yang simetri di y

Jika r = a ,maka kurva berbentuk lingkaran dengan titik

pusat di (0,0)

Kurva Limacon

Limacon Limacon adalah kurva-kurva kutub yang dihasilkan berdasarkan persamaan dalam bentuk :a atau a sin

0 30 45 60 90 120 180

r

Pembahasan Soal

0 30 45 60 90 120 180

r -1 -0.59

-0.12

0.5 2 3.5 5

Kurva Kardioida

KardioidaKardioida (dari kata yunani “kardia” yang berarti jantung) adalah kurva hasil dari persamaan dalam bentuk limacon untuk a=b , dengan persamaan

atau asin

90 135 150 180 210 270

r

0 30 45 60 90 120 180

r

Pembahasan Soal

0 30 45 60 90 120 180

r 0 0.13 0.29 0.5 1 1.5 2

Kurva Lemniscate

LemniscateLemniscate (dari kata yunani “lemniscos” yang berarti pita bergulung yang berbentuk angka 8) yang menyatakan kurva-kurva berbentuk baling-baling dalam bentuk persamaan a :

0 30 45

r = a

Pembahasan Soal

0 30 45

r = a 2 1,41 0

Kurva Spiral

Kurva SpiralKurva spiral (archimedes) adalah suatu kurva yang mengelilingi titik asal tak berhingga kali sehingga r bertambah atau berkurang secara tetap dalam pertambahan dari persamaan:

atau

Pembahasan Soal

Kurva Rose

Kurva RoseKurva Rose (mawar) adalah kurva yang berbentuk bunga dari persamaan: r = a sin n atau a cos n

45 60

r

Kurva Rose (mawar) mempunyai mahkota bunga: n = ganjil maka n mahkota bunga n = genap maka 2n mahkota bunga

Pembahasan Soal

45 60

r 0 0.86 1 0.86 0 -0.86 -0.86 0

Irisan Kerucut ( parabola, elips dan hiperbola)dalam Koordinat Kutub

Irisan kerucut horizontal (direktriks):

Irisan kerucut vertikal (eksentrisitas):cos1 e

edr

sin1

edr

Pembahasan

Contoh soal:1. Tentukan persamaan elips horizontal

dengan eksentrisitas ½, fokus diitik kutub dan direktris vertikal 10 satuan di sebelah kanan titik kutub.Penyelesaian:Persamaan elips:

cos2/11

102/1

cos1

r

e

edr

cos12

10

cos122/1

5

rr

Luasan Dalam Koordinat Kutub

Luas Daerah Kurva (Koordinat Kutub)Berdasarkan sektor dari sebuah lingkaran

Luas lingkaran = Luas suatu sektor dengan sudut pusat θ

2

2rA

Maka luas dari kurva tersebut :

2

2

1fA

Pembahasan

Sketsa dan dapatkan luas dari satu mahkota

Simetri terhadap sumbu y maka:

Luas dari mawar satu mahkota adalah :

3sin4r

45

r 0 4 2.82

0 -4 o 4 0

3/

0

2

3

43sin4

2

1 dA

Pembahasan

Tentukan luas daerah di luar kardioid dan di dalam lingkaran

Penyelesaian: Mencari titik potong

dikuadratkan

dan Luas dari kurva yang diarsir:

cos1rsin3

sin3cos1

22 sin3coscos21 01cos1cos2

32

1cos

1cos

dA 3/

22 cos1sin32

1

3/

22 coscos21sin32

1d

4

33

2

3

2

32

2

1

Terima Kasih