Relativno gibanje: PRIMJERI

. Lozina: KINEMATIKA, FESB, 2011 1

Relativno gibanje estice

Primjer 1: Koliko ubrzanje estice A opaa nepomini promatra ako pomini promatra u B, trenutno se gibajui brzinom vB =3i+2j i ubrzanjem aB=5i+3j mijenja orjentaciju (pravac) s =2k, = k te pri tome opaa poloaj rA/B=3i+2j, brzinu vA/B=i+j i ubrzanje aA/B=4i+2j estice A?

Rjeenje: ( )/ / / /2A B A B A B A B A BB= + + + + a a a r r v Napomena: Vektori se mogu zapisati geometrijski ili matrino. Primjerice, vektore a i b zapisujemo:

- geometrijski: a= axi+ ayj+ azk, b= bxi+ byj+ bzk - matrino: a={ ax ay az}T,

x

y

z

bbb

=

b

Vektorski umnoak dva vektora a i b se takoer moe se zapisati geometrijski ili matrino koritenjem spina vektora. Spin vektora a je kvadratna matrica koju oznaavamo s a% i koja ima komponente kako slijedi:

00

0

z y

z x

y x

a a

a a

a a

=

a%

Sad je:

( ) ...x y z y z z yx y z

a a a a b a bb b b

= = = +

i j kc ab i

00 ...

0 ...

z y x y z z y

z x y

y x z

a a b a b a ba a ba a b

= = =

c ab%

Studentu je preputeno da za vjebu dovri gornje izraze. Usporedbom odgovarajuih komponenti utvrdi ekvivalentnost zapisa.

Izraz za ubrzanje ( )/ / / /2A B A B A B A B A BB= + + + + a a a r r v matrino sada glasi:

Relativno gibanje: PRIMJERI

. Lozina: KINEMATIKA, FESB, 2011 2

( ) ( )/ / / /25 4 0 1 0 3 0 2 0 0 2 0 3 0 2 0 13 2 1 0 0 2 2 0 0 2 0 0 2 2 2 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A B A B A B A B A BB

A

A

= + + + +

= + + + +

a a a r r v

a

a

% % %%

5 4 2 12 43 2 3 8 40 0 0 0 0

52

0A

= + + + +

=

a

Geometrijski zapisano, ubrzanje estice A je: aA=5i2j.

Primjer 2: Kolika je razlika ubrzanja estice B spram A to ih opaaju pomini i nepomini promatra ako pomini promatra u B mijenja orjentaciju (pravac) =d/dt, ====d/dt te pri tome opaa poloaj rA/B i brzinu vA/B estice A?

Rjeenje: ( ) ( )/ / / /2A B A B A B A B A BB = + + a a a r r v

Primjer 3: Pliva pliva konstantnom brzinom vp s jedne na drugu obalu rijeke plivajui uvijek okomito na obalu. Brzina rijeke se mijenja od obale prema sredini toka u skladu s izrazom: vt(y)=y(L - y) gdje je L irina rijeke.

Slika: Odredi putanju te brzinu i ubrzanje plivaa kako ih vidi promatra s obale. Poznato: vp = 0.5m/s, L = m, vt = 2m/s.

Rjeenje: Poloaj plivaa na rijeci mjereno od obale (udaljenost od prve obale) je y(t) = vpt. Brzina kojom rijeka nosi plivaa nizvodno je vt(y) = y(L-y) = yL - y2. Nakon uvrtenja udaljenosti od obale u funkciji vremena u brzinu rijeke dobije se ovisnost brzine kojom rijeka nosi plivaa o vremenu: vt(t) = vptL - (vpt)2. Poloaj plivaa nizvodno se dobije integracijom brzine:

L

y

x

vt

vp

Relativno gibanje: PRIMJERI

. Lozina: KINEMATIKA, FESB, 2011 3

( )2

2

2 2 3

( ) - ( )( ) - ( )

( ) - 2 3

t p p

p p

p p

v t v Lt v t

x t v Lt v t dt

v Lt v tx t

=

=

=

gdje je uzeto x(0)=0. Poloaj plivaa na rijeci promatran s obale dan je sada parametarski x(t) i y(t), eliminiranjem vremena dobijemo putnju kako je vidi promatra s obale.

( )2 31( ) 3 - 26 px t L y yv=

Slika: Ukupna brzina i ubrzanje plivaa kako ih vidi promatra s obale su:

v = vti + vpj a = ati + 0j

gdje je: 2

t p p

2t p

( ) = - ( )( ) = - 2 p

v t v Lt v t

a t v L v t

Primjer 4: S obale se prati gliser pri emu se mjeri poloaj, brzina i ubrzanje glisera u polarnom koordinatnom sustavu: r, , vg i ag. Posada u gliseru prati objekt na horizontu kojem je izmjeren poloaj d, brzina vr i ubrzanje ar u koordinatnom sustavu glisera (x, y) prema slici.

x

y

Relativno gibanje: PRIMJERI

. Lozina: KINEMATIKA, FESB, 2011 4

Slika: Odredi brzinu i ubrzanje objekta kako ih vidi promatra na obali s komponentama u koordinarnom sustavu (X, Y) vezanom za obalu prema slici. Poznato: r = 150 , = 30o, vg = 8er+6e , ag = 2er+3e , vr = 5i+6j , ar = 4i-3j , d = 3i-4j.

Rjeenje: Koordinatni sustav glisera s vremenom mijenja orjentaciju pa su brzina i ubrzanje objekta:

o g r= + + v v v d ( ) 2o g r r= + + + + a a a d d v gdje su i relativna vremenska promjena orjentacije i relativna vremenska promjena brzine promjene orjentacije koordinatnog sustava glisera (x,y).

Odluili smo proraun provesti u koordinatnom sustavu (X, Y) promatraa na obali. (S ovim se izbjegava mnoenje jedininih vektora razliitih koordinatnih sustava, to pojednostavljuje raun. Meutim, sve vektore moramo prikazati u ovom (odabranom) koordinatnom sustavu.)

Brzine i ubrzanja glisera i objekta svodimo na koordinatni sustav promatraa. Matrica transformacija za gliser je (transformacija iz polarnog u pravokutni, jedinini vektori zakrenuti za ):

cos( ) sin( )sin( ) cos( )g

=

t

a za objekt (koji je mjeren u koordinatnom sustavu glisera zakrenutom u odnosu na obalu za ):

cos( ) sin( )sin( ) cos( )o

=

t

gdje je kut koordinatnog sustava glisera u odnosu na nepomini koordinatni sustav: =+atan(v/vr) izraunat iz pravca brzine glisera zakrenutog spram polarnog koordinatnog

y

r

vgag

x

ar

vr

d

X

Y

I

J

Relativno gibanje: PRIMJERI

. Lozina: KINEMATIKA, FESB, 2011 5

sustava za kut atan(v/vr). Za gliser i za objekt (relativno spram glisera, ali komponente prikazane u nepominom koordinatnom sustavu vezanom za obalu) dobivamo:

cos( ) sin( )sin( ) cos( )

rg

g

vXvY

=

&

&

cos( ) sin( )sin( ) cos( )

xr

yr

vXvY

=

&

&

odnosno: g g gX Y= +v I J& &

r r rX Y= +v I J& &

Slino, na koordinatni sustav promatraa na obali svodimo ubrzanja glisera i objekta: cos( ) sin( )sin( ) cos( )

rg

g

aXaY

=

&&

&&

cos( ) sin( )sin( ) cos( )

xr

yr

aXaY

=

&&

&&

odnosno: g g gX Y= +a I J&& &&

r r rX Y= +a I J&& &&

Na isti nain transformiramo i poloaj objekta u odnosu na gliser, d: cos( ) sin( )sin( ) cos( )

xX

yY

dddd

=

X Yd d= +d I J Kako je brzina glisera paralelna (i sinkrona) s pravcem koordinate osi x, nalazimo i :

3g

g g

v =

v a

gv

=

g

gv=

vT

T ga = a T

Ta

=

Poto su poznate brzine promjene orjentacije koordinatnog sustava glisera, = = = = k i = = = = k, moemo odrediti brzinu i ubrzanje objekta koje vidi promatra na obali: o g r= + + v v v d ( ) 2o g r r= + + + + a a a d d v

Rezultat: Koristei MATLAB skript, (m-file):

Relativno gibanje: PRIMJERI

. Lozina: KINEMATIKA, FESB, 2011 6

theta = pi*30/180; rit = 150;

r = [rit*cos(theta); rit*sin(theta); 0];

vg = [8; 6; 0]; ag = [2; 3; 0];

phi = theta + atan( vg(2,1)/vg(1,1) );

vr = [5; 6; 0]; ar = [4; -3; 0];

d = [3; -4; 0];

tg = [cos(theta), -sin(theta), 0; sin(theta), cos(theta), 0; 0, 0, 1] to = [cos(phi), -sin(phi), 0; sin(phi), cos(phi), 0; 0, 0, 1]

VVg = tg*vg; VVr = to*vr;

AAg = tg*ag; AAr = to*ar;

DD = to*d;

c=cross(VVg,AAg); ro=sqrt(dot(VVg,VVg))^3/sqrt(dot(c,c)); OMEGA = [0; 0; sqrt(dot(VVg,VVg))/ro] T = vg/sqrt(dot(vg,vg)); aT = dot(ag, T); ALFA = [0; 0; aT/ro]

Vo = VVg + VVr + cross(OMEGA, DD) Ao = AAg + AAr + cross(ALFA, DD) + cross(OMEGA, cross(OMEGA, DD)) + 2*cross( OMEGA, VVr)

dobije se:

tg =

Relativno gibanje: PRIMJERI

. Lozina: KINEMATIKA, FESB, 2011 7

0.8660 -0.5000 0 0.5000 0.8660 0 0 0 1.0000

to =

0.3928 -0.9196 0 0.9196 0.3928 0 0 0 1.0000

OMEGA =

0 0 0.1200

ALFA =

0 0 0.0408

Vo =

0.2321 16.7340 0

Ao =

2.7746 5.4263 0