I primi elementi

I termini primitivi della geometria sono:

Il linguaggio della geometria

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Indichiamo per convenzione:

•I punti con le lettere maiuscole dell’alfabeto: A, B, C, D…

•Le rette con le lettere minuscole: r, s, t…

•I piani con le lettere minuscole dell’alfabeto greco: α, β, γ…

Punto

Retta

Piano

P

α

r

I primi elementi

• Si assumono alcuni concetti come primitivi: punto, retta, piano

• Si assumono come vere alcune proposizioni: assiomi

• Si definiscono i nuovi oggetti della geometria: definizioni

• Dagli assiomi e dai concetti primitivi si deducono le altre proposizioni (teoremi) mediante un

ragionamento strutturato (dimostrazione).

Il metodo della geometria

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Un teorema si esprime mediante una frase del tipo “Se..........................allora”.

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In geometria si applica il metodo assiomatico-deduttivo

Indicato con a l’insieme delle ipotesi e con b la tesi, è comodo sintetizzare in forma simbolica un teorema mediante la scrittura

a bche significa: dalle ipotesi a segue la tesi b.

I primi elementi

A1. Ogni coppia di punti A e B distinti dello spazio appartiene ad una e una sola retta.

Assiomi di appartenenza

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A2. Tre punti non allineati appartengono ad uno ed un solo piano.

A3. Se due punti di una retta appartengono ad un piano, la retta giace interamente sul piano.

A4. Il piano contiene infiniti punti ed infinite rette.

A5. Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette, infiniti piani.

Punti che appartengono ad una stessa retta si dicono allineati.

A, B, C non sono allineati.

Si dice figura geometrica un qualunque sottoinsieme dello spazio, quindi un qualunque insieme di punti.

A

B

CA

B

C

I primi elementi

Si dicono complanari due rette che appartengono allo stesso piano.

Rette complanari

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Posizioni reciproche di due rette complanari:

Rette coincidenti

r

s

Rette incidenti: hanno un solo punto di intersezione

r

s

A

Rette parallele: non hanno alcun punto di intersezione

r

s

I primi elementi Assiomi di ordinamento

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• la retta contiene infiniti punti ed è illimitata

• per un punto P passano infinite rette.

Retta orientata: retta su cui è fissato un verso di percorrenza.

Dall’assioma possiamo dedurre che:

L’insieme di tutte le rette che passano per P si dice fascio proprio di centro P.

P

A6. Presi due punti distinti A e B su una retta tali che, nel verso fissato, A precede B, accade che:

•vi è almeno un punto che segue A e precede B

•vi è almeno un punto che precede A

•vi è almeno un punto che segue B.

A B

I primi elementi

Data una retta orientata e fissato un punto P su di essa, si chiama semiretta l’insieme formato dal punto P e da tutti quelli che lo seguono, oppure l’insieme formato dal punto P e da tutti quelli che lo precedono; il punto P si dice origine della semiretta.

Semirette e segmenti

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Gli assiomi introdotti ci permettono di dare le seguenti definizioni:

Considerati due punti A e B su una retta orientata, si dice segmento l’insieme dei punti A e B e di tutti quelli che sono compresi fra essi. I punti A e B si dicono estremi del segmento.

• Un segmento nel quale gli estremi coincidono si dice segmento nullo.

P

P

• Due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune.

• Due segmenti sono adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta.

B

A C

BA C

• Un segmento non nullo contiene infiniti punti.

BA

I primi elementi Segmenti consecutivi e adiacenti

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A7. (assioma di partizione del piano) Sia r una retta di un

piano e siano A e B due punti del piano; allora:

data una retta r su un piano α, si dice semipiano di origine r ciascuna delle due regioni individuate da r su α. La retta r si dice origine o frontiera del semipiano.

Possiamo allora dare la seguente definizione:

• se A e B appartengono a regioni diverse, il segmento AB

interseca la retta r.

• se A e B appartengono alla stessa regione, il segmento AB

non interseca la retta r

I primi elementi

Si chiama angolo ciascuna delle due parti in cui due semirette che hanno l’origine in comune dividono il piano. Le due semirette si dicono lati dell’angolo, l’origine comune si dice vertice.

Angoli

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In conseguenza dell’assioma di partizione si può dare la definizione di angolo.

Un angolo è convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati; è concavo se li contiene.

Modi per indicare un angolo:

• se le semirette che definiscono l’angolo si chiamano a e b, si può

scrivere ab.

• se si individuano due punti sui lati dell’angolo, uno per ogni lato, si

può scrivere AVB, mettendo la lettera del vertice fra le altre due.

• si può usare una lettera dell’alfabeto greco: α, β, γ, …..; tale lettera

viene di solito indicata anche all’interno dell’angolo.

I primi elementi

• Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice in comune e se gli altri due lati si trovano da parti opposte rispetto al lato comune.

Angoli consecutivi e adiacenti

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• Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e se i loro lati non comuni appartengono alla stessa retta.

I primi elementi

• Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semirette opposte;

l’angolo piatto si indica di solito con la lettera greca π. Un angolo i cui lati sono semirette sovrapposte si dice angolo giro se è concavo, angolo nullo se è convesso.

Angoli

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• Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati del primo sono i prolungamenti dei lati dell’altro.

Corda di un angolo convesso è il segmento che ha gli estremi sui due lati dell’angolo.

I primi elementi

Due figure F1 e F2 si dicono congruenti quando esiste un movimento rigido che le sovrappone punto a punto; in simboli si scrive

F1 ≅ F2

I punti delle due figure sono in questo modo in corrispondenza biunivoca.

Congruenza

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A8. La relazione di congruenza è: riflessiva: ogni figura è congruente a se stessa simmetrica: se F1 ≅ F2 anche F2 ≅ F1

transitiva: se F1 ≅ F2 e F2 ≅ F3 allora F1 ≅ F3.

I primi elementi Congruenza

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A9. (assioma del trasporto dei segmenti). Dato un segmento

AB ed una semiretta di origine O, esiste sulla semiretta ed è

unico un punto P in modo che il segmento OP sia congruente al

segmento AB.

A10. (assioma del trasporto degli angoli). Dato un

angolo ab ed una semiretta c esiste ed è unica la

semiretta d tale che l’angolo cd, nell’orientamento

orario oppure antiorario prefissato, sia congruente

all’angolo ab.

I primi elementi

• Attraverso la relazione di congruenza si può definire la lunghezza di un segmento come la caratteristica comune a tutti i segmenti tra loro congruenti.

Confronto di segmenti

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il punto B cade fra C e D ed allora diciamo che AB è minore di CD e scriviamo AB < CD.

Se vogliamo confrontare due segmenti AB e CD è necessario sovrapporli con un movimento rigido in modo da far coincidere uno dei loro estremi, per esempio A con C; possono allora verificarsi tre situazioni diverse:

il punto B coincide con D ed allora i due segmenti sono congruenti

il punto B cade oltre D ed allora diciamo che AB è maggiore di CD e scriviamo AB > CD

I primi elementi

Somme o differenze di segmenti congruenti sono congruenti.

Somma e differenza di segmenti

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Dati due segmenti AB e CD, la loro somma è il segmento AD che si ottiene accostando CD ad AB con un movimento rigido in modo che AB e CD siano adiacenti.

Dati due segmenti AB e CD, con AB > CD, la differenza AB − CD è il segmento DB che si ottiene sovrapponendo AB e CD in modo che A coincida con C.

I primi elementi

• Dato un segmento AB ed un numero naturale n non nullo, si dice multiplo di AB secondo n il segmento CD che si ottiene facendo la somma di n segmenti congruenti ad AB. Si dice anche che AB è sottomultiplo di CD secondo n.

Multipli e sottomultipli

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• La divisibilità di un segmento in un qualunque numero di parti congruenti è assicurata dal seguente assioma:

A11. Dato un segmento AB esiste sempre ed è unico il suo sottomultiplo secondo un numero naturale n non nullo.

CD è multiplo di AB secondo il numero 3.

In particolare: dato un segmento AB esiste ed è unico il punto medio di AB, cioè il punto che divide il segmento in due parti

congruenti AM ≅ MB.

I primi elementi

Attraverso la relazione di congruenza si può definire l’ampiezza di un angolo come la caratteristica comune a tutti gli angoli fra loro congruenti.

Confronto fra angoli

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Se vogliamo confrontare due angoli ab e cd, è necessario sovrapporli con un movimento rigido in modo da far coincidere i vertici e uno dei lati, per esempio il lato a con il lato c, in modo che i due angoli si trovino dalla stessa parte rispetto al lato comune; possono allora verificarsi tre situazioni diverse:

il lato b coincide con il lato d e allora i due angoli sono congruenti.

I primi elementi Confronto fra angoli

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il lato d è interno all’angolo ab e allora ab è maggiore di cd e scriviamo ab > cd.

il lato b è interno all’angolo cd e allora ab è minore di cd e scriviamo ab < cd

I primi elementi Somme e differenze di angoli

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Dati due angoli ab e cd, la loro somma è l’angolo ad che si ottiene

accostando cd ad ab con un movimento rigido in modo che tali

angoli siano consecutivi.

Dati due angoli ab e cd, con ab > cd, la loro differenza è l’angolo

db che si ottiene sovrapponendo con un movimento rigido cd ad ab

come nel caso del loro confronto.

I primi elementi Multipli e sottomultipli

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cd è multiplo di ab secondo il numero 4.

Dato un angolo ab ed un numero naturale n non nullo, si dice multiplo di ab secondo n l’angolo cd che si

ottiene facendo la somma di n angoli congruenti ad ab. Si dice che ab è sottomultiplo di cd secondo n.

In particolare: dato un angolo ab esiste ed è unica la bisettrice di ab

che divide l’angolo in due parti congruenti: ar ≅ rb.

I primi elementi

Si dice angolo retto ciascuno dei due angoli in cui un angolo piatto è diviso dalla sua bisettrice

Angoli particolari

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Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono complementari

Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono supplementari

I primi elementi Angoli particolari

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Un angolo convesso maggiore di un angolo retto si dice ottuso; un angolo ottuso è quindi maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto.

Un angolo minore di un angolo retto si dice acuto.

Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono esplementari.

I primi elementi

• Teorema. Angoli supplementari di angoli congruenti sono congruenti.

Proprietà degli angoli

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• Teorema. Angoli opposti al vertice sono congruenti.

• Teorema. Metà di angoli congruenti sono congruenti.