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Exp. 3 - Geometria Fractal Física experimental I - FEP113 Adriana O. Delgado João Basso Suene Bernardes Aula S Aula S í í ntese 26/04/2008 ntese 26/04/2008
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Exp. 3 - Geometria Fractal
Física experimental I - FEP113
Adriana O. Delgado
João Basso
Suene Bernardes
Aula SAula Sííntese 26/04/2008ntese 26/04/2008
Euclidiano x Fractal
DKm φ.=
� Esfera
� Disco
� Bastão
2
2.φKm =
3
3.φKm =
LKm .1=
Geometria euclidiana
Geometria fractalDimensão
Fractal
D é não inteiro
Objetivos
� Verificar a aplicabilidade da geometria fractal ao caso de bolas de papel amassados
� Obter o valor da dimensão D dessas bolas
� Amassar 9 bolinhas de folhas de papel com tamanho decrescente de um fator 2;
Procedimento
� Cada medidor deveria medir o diâmetro das bolinhas 11 vezes com régua ou paquímetro, sem deformá-las;
256
128
6432
164 2
1
8
Resultados
0,270,0850,110,0770,0730,0590,0570,0520,051Sf
0,050,0500,050,0500,0500,0500,0500,0500,050Si
0,260,0680,090,0590,0530,0310,0270,0140,008Sm
0,260,0690,0950,0590,0530,0310,0270,0150,0094Sf
0,0050,0050,0050,0050,0050,0050,0050,0050,005Si
0,260,0680,0950,0590,0530,0310,0270,0140,0080Sm
1,230,3210,4440,2770,2490,1450,1270,0660,0376S
8,897,1685,4774,1863,0272,3351,7891,2631,0330φφφφm
... ... ... ... ...... .........
8,9257,4555,2453,8102,5752,2951,8251,3601,010
9,3457,1755,4554,0153,1152,2002,0351,2451,045
9,4406,9705,8503,7003,3902,3451,6151,2651,075
3,4656,7054,4603,8752,6652,0601,7951,1851,050
9,0657,2706,0004,6153,4202,4352,0351,2951,055
φφφφ (cm)φφφφ (cm)φφφφ (cm)φφφφ (cm)φφφφ (cm)φφφφ (cm)φφφφ (cm)φφφφ (cm)φφφφ (cm)
B9B8B7B6B5B4B3B2B1
Diâmetro das bolas
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Medida
φφ φφ (
mm
)
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9
Gráfico 1: Diâmetro das bolas de papel amassado.
Diâmetro da bolas
0
20
40
60
80
100
120
140
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Medida
φφ φφ (
mm
)
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9
Gráfico 2: Diâmetro das bolas de papel amassado.
Desvio Padrão S - bola 1
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
Grupo
S (
mm
)
612
1114
711
1311
1313
1412
913
1310
1210
1412
1214
Medidor BMedidor A
1512
1212
1211
1313
1412
1410
159
1310
117
11
139
8
Medidor BMedidor A
Gráfico 3: Desvio padrão do diâmetro da bola 1 de papel amassado obtidos por grupos de diferentes turmas.
11,109,18
9,109,02
13,709,00
12,509,62
10,208,72
10,208,32
12,3010,00
9,9010,02
12,409,70
10,606,00
12,808,80
Medidor BMedidor A
Incerteza final Sf - bola 1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
Grupo
Sf (m
m)
Gráfico 4: Incerteza final do diâmetro da bola 1 de papel amassado obtidos por grupos de diferentes turmas.
Régua
Desvio Padrão S - bola 9
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
Grupo
S (
mm
)
Gráfico 5: Desvio padrão do diâmetro da bola 9 de papel amassado obtidos por grupos de diferentes turmas.
Incerteza final Sf - bola 9
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
Grupo
Sf (m
m)
Gráfico 6: Incerteza final do diâmetro da bola 9 de papel amassado obtidos por grupos de diferentes turmas.
Sf x φφφφ
0,0
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
0 20 40 60 80 100 120
φφφφ (mm)
Sf
(m
m)
G1 régua
G2 régua
G10 paquim
G21 paquim
Gráfico 7: Incerteza final do diâmetro das bolas de papel amassado em função do diâmetro, obtidos por 4 grupos diferentes, tendo 2 grupos usado régua e 2 usado paquímetro.
Diâmetro x grupo
0
20
40
60
80
100
120
140
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Grupos
φφ φφ (m
m)
B1 B2 B3
B4 B5 B6
B7 B8 B9
Gráfico 8: Diâmetro médio das bolas de papel amassado obtidos por grupos de diferentes turmas.
M x φφφφ
0
50
100
150
200
250
300
0 20 40 60 80 100
φφφφ (mm)
M (
ua
)
Gráfico 9: Massa relativa das bolas de papel amassado em função do
diâmetro.
DKM φ.=
Linearizando...DKM φ.=
( )DKM φloglog =
φlogloglog DKM +=
( )DKM φlogloglog +=
xaby +=
Extraindo o logaritmo dos dois lados da expressão:
1
10
100
1000
1 10φφφφ (cm)
M (
ua
)Massa x φφφφ
∆∆∆∆y
∆∆∆∆x
)(
)(
)(
)(
cmXdec
cmx
cmYdec
cmy
a∆
∆
=
Gráfico 10: Massa em função do diâmetro das bolas de papel amassado
Porém...
1
10
100
1000
10 100
φφφφ (mm)
M (
ua)
Gráfico 11: Massa em função do diâmetro das bolas de papel amassado
Dimensão Fractal
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Grupo
D
Gráfico 12: Dimensão D das bolas de papel amassado com 1 barra de
incerteza, obtida por diferentes grupos.
Dimensão Fractal
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Grupo
D
Gráfico 13: Dimensão D das bolas de papel amassado com 3 barras de
incerteza, obtida por diferentes grupos.
Valor médio de D
2
1
i
iS
p =
∑
∑
=
==n
i
i
n
i
ii
p
Dp
D
1
1
.
∑=
=n
i
i
D
p
S
1
1, onde:
)38(567,2=D
15)2,( =DZ 11)3,( =DZ
Não é compatível com nº inteiro.
Possui dimensão fractal !
Obrigada!
