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Grundlagen derTheoretischen Informatik

Till Mossakowski

Fakultat fur InformatikOtto-von-Guericke-Universitat

Magdeburg

Sommersemester 2015

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Parametrisierte Komplexitat

O(nk) O(22k ·n)

Definition:Eine Parametrisierung der Worter uber einem Alphabet Σ ist einein polynomieller Zeit berechenbare Abbildung κ : Σ∗→ N.

Definition:Ein parametrisiertes Problem ist gegeben durch eine SpracheL⊆ Σ∗ und eine Parametrisierung κ : Σ∗→ N.

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3-cnf= {〈φ〉 | φ ist eine Boolesche Formel in konjunktiverNormalform, in der alle Klauseln aus drei Literalenbestehen}

3-sat ⊆ 3-cnf ⊆ Σ∗

κ(x) =

k falls x = 〈φ〉 ∈ 3-cnf und in φ

kommen k Variablen vor

1 sonst

(3-sat,κ)

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Fixed-Parameter Tractability

Definition:Ein parametrisiertes Problem (L,κ) ist festparameterhandhabbar(fixed-parameter tractable), falls es einen Algorithmus A, einPolynom p und eine berechenbare Funktion f gibt, so dass A furalle x ∈ Σ∗ in Zeit

f (κ(x)) ·p(|x|)

entscheidet, ob x ∈ L.

Satz:(3-sat,κ) ist festparameterhandhabbar.

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Beweisskizze:

Fur jede der 2k moglichen Belegungen der k Variablen konnen wirjeweils in Linearzeit testen, ob die Formel bei der Belegung erfulltist.

X1 = 0 X1 = 1

�

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knotenfarbbarkeit ⊆ Σ∗

κ(x) =

{k falls x = 〈G,k〉1 sonst

Satz:Falls P 6= NP, so ist das parametrisierte Problem(knotenfarbbarkeit,κ) nicht festparameterhandhabbar.

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independent-set ⊆ Σ∗

κ1(x) =

{k falls x = 〈G,k〉1 sonst

κ2(x) =

{k+∆(G) falls x = 〈G,k〉

1 sonst

(independent-set,κ1) (independent-set,κ2)

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Wahrend (independent-set,κ1) vermutlich nicht festparameter-handhabbar ist, ist es (independent-set,κ2) hingegen:

Satz: (independent-set,κ2) ist festparameterhandhabbar.

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Beweisskizze:

Sei v ein Knoten in G = (V,E) und

N[v] = {u ∈ V | {u,v} ∈ E} ∪{v}

Entweder ist v in einer maximalen unabhangigen Knotenmengeenthalten oder mindestens einer der Nachbarn von v, denn waredem nicht so, so konnte man v zur unabhangigen Knotenmengeproblemlos hinzunehmen:

miss(G) = max{miss(G−N[u]) | u ∈ N[v]}+1

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Eine diese Beobachtung ausnutzende, tiefenbeschrankte Sucheliefert O((∆(G)+1)k) Knotenmengen, von denen mindestens eine kunabhangige Knoten umfasst, falls miss(G)≥ k.

G−N[v] G−N[u1] G−N[u2]

G

G−N[u∆(v)]

�

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Platzkomplexitat

Definition:Sei M eine deterministische oder eine nichtdeterministischeTuring-Maschine uber einem Alphabet Σ. Die Turing-Maschine Mheißt polynomiell platzbeschrankt, falls es ein Polynom p gibt, sodass fur alle n ∈ N0 und alle w ∈ Σ∗ mit |w|= n jede Berechnungvon M bei Eingabe w hochstens p(n) Positionen auf dem Band derTuring-Maschine besucht.

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Die Komplexitatsklasse PSPACE

Eine Sprache L heißt deterministisch mit polynomiellemPlatzbedarf entscheidbar, falls es eine deterministische polynomiellplatzbeschrankte Turing-Maschine gibt, die L entscheidet.

Definition:Die Klasse der deterministisch mit polynomiellem Platzbedarfentscheidbaren Sprachen wird mit PSPACE bezeichnet.

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Da eine Turingmaschine pro Berechnungsschritt hochstens eineneue Position besuchen kann, folgt

Satz: P⊆ PSPACE.

Ferner gilt

Satz: PSPACE⊆ EXP.

Beweis: Eine Turing-Maschine, die hochstens f (n)≥ n Platzbenutzt, durchlauft hochstens f (n)2O(f (n)) verschiedeneKonfigurationen. Keine Konfiguration wird zweimal erreicht,sonst gabe es eine Endlosschleife. �

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Die Komplexitatsklasse NPSPACE

Definition:Die Klasse der nichtdeterministisch mit polynomiellem Platzbedarfentscheidbaren Sprachen wird mit NPSPACE bezeichnet.

Satz: [Savitch]Sei f : N→ R eine Funktion mit f (n)≥ n fur alle n ∈ N. Falls eineSprache L nichtdeterministisch mit Platzbedarf f (n) entschiedenwerden kann, so kann L deterministisch mit Platzbedarf O( f (n)2 )entschieden werden.

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Aus dem Satz von Savitch folgt

Satz: PSPACE = NPSPACE.

Da eine Turingmaschine pro Berechnungsschritt hochstens eineneue Position besuchen kann, folgt

Satz: NP⊆ NPSPACE.

Zusammenfassend gilt somit

Satz:P⊆ NP⊆ PSPACE = NPSPACE⊆ EXP

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PSPACE-Vollstandigkeit

Definition:Eine Sprache C heißt PSPACE-vollstandig, falls C ∈ PSPACE undfur alle L ∈ PSPACE gilt L�P C.

Eine Sprache C heißt PSPACE-hart, falls fur alle L ∈ PSPACE giltL�P C.

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Boolesche Formeln konnen durch das Hinzufugen von All- undExistenzquantoren erweitert werden.

∃ X∀ Y : (X∨Y)∧ (X∨Y)

∀ X∃ Y : (X∨Y)∧ (X∨Y)

tqbf= {〈φ〉 | φ ist eine vollstandig quantifizierte BoolescheFormel in pranexer Normalform und φ ist wahr}

Satz: tqbf ist PSPACE-vollstandig.

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xkcd.com

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Beweis:

Lemma: tqbf ∈ PSPACE.

Lemma: tqbf ist PSPACE-hart.

Beweisskizze:

Sei L ∈ PSPACE beliebig. Dann gibt es eine deterministischepolynomiell platzbeschrankte Turing-MaschineM = (K,Σ,Γ,δ ,s,qaccept,qreject), die L entscheidet. Ferner seis(n) = nk, so dass M bei jeder Eingabe w der Lange n hochstenss(n) Positionen auf dem Band von M besucht. Zu gegebenem wkonstruieren wir eine vollquantifizierte Formel φ , die genau dannwahr ist, wenn w ∈ L.

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Wir durfen o.B.d.A. annehmen, dass die Turing-Maschine M dasBand leert, bevor sie auf der gleichen Bandposition, auf der siegestartet ist, wieder halt.

Wir betrachten den Konfigurationsgraphen

GM,|w|

zu M. Sei n = |w|. Die Knoten von GM,|w| sind die Konfigurationenvon M, die die s(n) relevanten Bandpositionen umfassen. Es gibthochstens (2kM)s(n) solche Konfigurationen fur eine Konstante kM.Es gibt in GM,|w| eine Kante von Konfiguration c1 zu Konfigurationc2, wenn c2 in einem Berechnungsschritt von M aus c1 hervorgeht.

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Wir konstruieren teilquantifizierte Formeln φi(C1,C2). Dienichtquantifizierten Variablen in φi(C1,C2) reprasentieren zweiKonfigurationen aus GM,|w|. Legen Wahrheitswerte dieser VariablenKonfigurationen c1 und c2 fest, so ist der resultierende BoolescheAusdruck genau dann wahr, wenn es in GM,|w| einen Pfad derLange hochstens 2i von c1 nach c2 gibt.

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In Analogie zum Beweis von domino �P sat werdenKonfiguration aus GM,|w| wie folgt durch einen Boolesche Formelbeschrieben, so dass jede Belegung der Variablen, die die Formelerfullt, einer Konfiguration entspricht.

Es gibt Variablen Xjσ fur alle 1≤ j≤ s(n) und alle σ ∈ Γ. Ferner

Variablen Xlq fur alle 1≤ l≤ s(n) und alle q ∈ K.

Variable Xjσ hat Wahrheitswert 1 genau dann wenn σ das Symbol

auf der j-ten Bandposition ist. Xlq ist 1 genau dann wenn sich der

Schreib-/Lesekopf auf der l-ten Bandposition befindet und M imZustand q ist.

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∧1≤j≤s(n)

(∨σ∈Γ

Xjσ

)∧

∧1≤j≤s(n)

∧σ 6=σ ′∈Γ

(Xj

σ ∨Xjσ ′

)∧

∨1≤j≤s(n)

(∨q∈K

Xjq

)∧

∧1≤j 6=j′≤s(n)

∧q∈K

(Xj

q∨Xj′q

)∧

∧1≤j≤s(n)

∧q6=q′∈K

(Xj

q∨Xjq′

)

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φ0(C1,C2) ist nun eine Boolesche Formel, die nachVariablenbelegung, die Konfigurationen c1 und c2 reprasentiert, zueinem Booleschen Ausdruck fuhrt, der genau dann wahr ist, fallsc1 = c2 oder c2 in einem Berechnungsschritt aus c1 hervorgeht. ∧

1≤j≤s(n)

∧σ∈Γ

(Xj

σ = Y jσ

)∧

∧1≤j≤s(n)

∧q∈K

(Xj

q = Y jq)

∨

∨1≤j≤s(n)

∨(q,σ)

( . . . )

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c2 geht in hochstens 2i Schritten aus c1 hervor, falls es eineZwischenkonfiguration c′ gibt, die von c1 aus in hochstens 2i−1

Schritten erreicht wird und von der aus c2 in hochstens 2i−1

Schritten erreicht wird.

φi(C1,C2) ist, in abkurzender Schreibweise, folgendeteilquantifizierte Formel:

∃ C′∀ D1∀ D2

((∨ (D1 = C1∧D2 = C′)((∨ (D1 = C′∧D2 = C2)

)((⇒ φi−1(D1,D2)

)Wie zuvor sind die zu C1 und C2 gehorigen Variablen nichtquantifiziert.

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Sei cstart die Startkonfiguration bei Eingabe w und caccept dieeindeutige akzeptierende Haltekonfiguration.

Die vollquantifizierte Formel φ = φkM ·s(n)(cstart,caccept), die ausφkM ·s(n)(C1,C2) entsteht, indem wir die Variablen so durchWahrheitswerte belegen, dass cstart beziehungsweise cacceptreprasentiert werden, ist genau dann wahr, wenn w ∈ L(M). Siekann in polynomieller Zeit konstruiert werden. � �

Wurden wir in obigem Beweis

φi(C1,C2) = ∃C′(φi−1(C1,C′)∧φi−1(C′,C2))

setzen, hatte unsere Formel exponentielle Lange in n = |w|, konntealso nicht in polynomieller Zeit konstruiert werden.

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Gewinnstrategien in Zweipersonenspielen

Formelspiel:

Zu quantifizierten Booleschen Formel in prenexer Normalform lasstsich ein 2-Personenspiel ableiten: Die Quantoren einer gegebenenFormel werden von links nach rechts abgearbeitet. Bei einem Exi-stenzquantor ∃ darf Spieler E den Wahrheitswert der quantifiziertenVariablen festlegen, bei einem Allquantor ∀ darf Spieler A den Wertder quantifizierten Variablen festlegen. E gewinnt, falls die Teilformelohne die Quantoren bei der gewahlten Belegung erfullt ist, ansonstengewinnt A.

formula-game= {〈φ〉 | φ ist eine quantifizierte Boolesche Formel,fur deren assoziiertes 2-Personenspiel Spieler Eeine Gewinnstrategie besitzt}

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Lemma:formula-game ist in PSPACE.

Lemma:tqbf �P formula-game.

Satz:formula-game ist PSPACE-vollstandig.