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Vorkurs Darstellende GeometrieDurchstoßpunkt Gerade Ebene

Hans-Peter Schröcker

Arbeitsbereich Geometrie und CADInstitut für Grundlagen der Bauingenieurwissenschaften

Universität Innsbruck

Wintersemester 2007/08

© 2007 Arbeitsbereich Geometrie und CAD, Universität Innsbruck

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Durchstoßpunkt Gerade Ebene

Bestimmen Sie den Durch-stoßpunkt D der Geraden gmit der Ebene ε.

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Teil I

Lösung mit erstprojizierender Hilfsebene

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Erstprojizierende Hilfsebene ν durch g

1. Erstprojizierende Hilfsebe-ne ν durch g.

2. Schnittgerade d von ν

und ε.3. Der gesuchte Durchstoß-punkt D ist der Schnittpunktvon d und g.

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1. Erstprojizierende Hilfsebe-ne ν durch g.2. Schnittgerade d von ν

und ε.

3. Der gesuchte Durchstoß-punkt D ist der Schnittpunktvon d und g.

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1. Erstprojizierende Hilfsebe-ne ν durch g.2. Schnittgerade d von ν


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Teil II

Lösung mit zweitprojizierender Hilfsebene

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Zweitprojizierende Hilfsebene ν durch g

1. Zweitprojizierende Hilfs-ebene ν durch g.

2. Schnittgerade d von ν


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1. Zweitprojizierende Hilfs-ebene ν durch g.2. Schnittgerade d von ν

und ε.

3. Der gesuchte Durchstoß-punkt D ist der Schnittpunktvon d und g.

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1. Zweitprojizierende Hilfs-ebene ν durch g.2. Schnittgerade d von ν


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Vorkurs Darstellende GeometrieFallgeraden






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Fallgeraden

Konstruieren Sie dievon den markiertenPunkten ausgehendenFallgeraden. Sie gebenden Weg an, den Was-ser nehmen würde, dasvon den markiertenPunkten abfließt.

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Erste Hauptgerade

1. Wir betrachten nurdie Fallgeraden inder hervorgehobenenSeitenfläche S des Ob-jektes (alle anderensind einfach).

In S konstruieren wireine erste Hauptgeradeh1.

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Falllinien in Grund-, Auf- und Kreuzriss

2. Der Grundriss derFallrichtung schließtmit h′

1 einen rechtenWinkel ein.

Die Falllinien in Auf-und Kreuzriss wer-den durch Angitterngefunden.

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Würfelspuren von S

3. Wir konstruieren dasSchnittpolygon von Smit dem Würfel.

Dazu verlängern wirddie Schnittgerade mitder hinteren Wür-felseitenfläche undschneiden sie mit derVerlängerung einersenkrechten Würfel-kante.

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Fallrichtung im axonometrischen Bild

4. Der Grundriss ei-ner Fallgerade f1 wirdins axonometrischeBild übertragen. Dortwird über der Fallge-raden eine erstproji-zierende Hilfsebeneerrichtet und mit derSeitenfläche des Ob-jektes geschnitten. DieSchnittgerade ist dasaxonometrische Bild f1der Fallrichtung.

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Fertigstellen des axonometrischen Bildes

5. Das axonometrischeBild wird fertiggestellt.

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Vorkurs Darstellende GeometrieWinkel zwischen zwei Ebenen






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Winkel zwischen zwei Ebenen

Konstruieren Sie denWinkel zwischen denEbenen ABC und ABD.

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Erster Seitenriss

In einem dem Aufrisszugeordneten Seitenriss(Seitenrissebene π3 par-allel zur SchnittgeradenAB der beiden Ebenen)erscheint AB in wahrerGröße.

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Zweiter Seitenriss

In einem zweiten Sei-tenriss erscheint dieGerade AB projizie-rend und der Winkelzwischen den beidenEbenen kann in wah-rer Größe abgelesenwerden.

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Vorkurs Darstellende GeometrieWinkel zwischen zwei Geraden






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Winkel zwischen zwei Geraden

B

A

C

Konstruieren Sie den Winkelzwischen den Geraden ABund BC.

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B''

C''

B'

A''

A'

C'

B

C

A

• Angabe in Grund- undAufriss.

• Erste Hauptgerade h1 derEbene ABC.

• Seitenriss, in dem h1

projizierend erscheint.• Drehen der Ebene ABC

parallel zu π1.• Übertragung der

gedrehten Punkte in denGrundriss. Ablesen desgesuchten Winkels.

• Gesamtkonstruktionohne Tschupik-Würfel.

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h ''1

h '1

A'

A''

C'

C''

B'

B''

B

C

A








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0

B'''

3

(B )'''

C'''=h '''1

π

π1'''

(A )'''

A'''

0

'

h ''1

1h '

C'

B''

A''

C''

A'

B'

A

B

C





parallel zu π1.

• Übertragung dergedrehten Punkte in denGrundriss. Ablesen desgesuchten Winkels.


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0

B'''

3

(B )'''

C'''=h '''1

π

π1'''

(A )'''

A'''

0

'

h ''1

1h '

C'

B''

A''

C''

A'

B'

A

B

C








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0B

0A

3

0(A )'''

1

(B )'''0'''

'π

1

B'''

π

C'''=h '''A'''

1h ''

h '1

C'

B''

A''

C''

A'

B'

A

B

C








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0

0B

A

'

''' (B )'''

1

B'''

1

π

A'''

π

C'''=h '''

3

(A )'''0

0

h ''

1h '

1

B''

C'

A''

C''

A'

B'








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Vorkurs Darstellende GeometrieVerebnung einer Pyramide






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Fallgeraden

Eine regeläßige fünfseitigePyramide mit der Basis in π1

(Mittelpunkt M, Eckpunkt A,Spitze S) ist mit der zweitpro-jizierenden Ebene durch diePunkte I und II zu schneiden.Der Restkörper ist in Grund-,Auf- und Kreuzriss darzustel-len. Weiters ist die Verebnungdes Mantels und der Schnitt-figur zu bestimmen.

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Pyramide in Grund-, Auf- und Kreuzriss

1. Einzeichnen der Pyramidein Grund-, Auf- und Kreuz-riss.

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Schnittpolygon

2. Einzeichnen des Schnittpo-lygons in Grund-, Auf- undKreuzriss.

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Ausführung von Grund-, Auf- und Kreuzriss

3. Ausführung der Pyramideunter Berücksichtigung derSichtbarkeit.

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Wahre Größe der Schnittfigur

4. Abwicklung der Gesamt-pyramide (ohne Berücksich-tigung des Schnittes). Diewahre Länge der Seitenkan-ten kann in diesem Beispieldirekt im Aufriss abgelesenwerden.

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Fertigstellen des axonometrischen Bildes

5. Die wahre Länge vonSeitenkanten kann – nacherfolgtem Paralelldrehen –im Aufriss abgelesen werden.Alternativ können die wah-ren Längen auch mit Hilfeder Standardkonstruktionermittelt werden.

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Wahre Länge der Seitenkanten

6. Die wahre Größe derSchnittfigur wird in einemSeitenriss bestimmt und indie Abwicklung übertragen.

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Ausführen der Abwicklung

7. Ausführen der Abwick-lung.

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Vorkurs Darstellende GeometrieRotation eines Punktes um eine Achse






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Rotation eines Punktes um eine Achse

Der Punkt P rotiert um dieAchse a. Stellen Sie den Bahn-kreis von P in Grund- undAufriss dar.

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Normalebene auf a durch P

1. Der gesuchte Kreis liegt inder Ebene ν, welche normalauf a steht und P enthält.Die Ebene ν wird durch zweiHauptgeraden h1 und h2

festgelegt:h′1 ⊥ a′, h′′2 ⊥ a′′.

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Mittelpunkt des Bahnkreises

2. Der Mittelpunkt M desBahnkreises von P ist derDurchstoßpunkt von a mit ν.

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Radius des Bahnkreises

3. Der Kreisradius r ist diewahre Länge der Strecke PM.

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Hauptachsen der Bildellipsen

4. Die Hauptachsen derBildellipsen sind Hauptgera-den der Ebene ν. Die halbeHauptachsenlänge entsprichtdem Kreisradius (a = r).

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Nebenachsen der Bildellipsen

5. Die Nebenscheitel wer-den in Grund- und Aufrissmit Hilfe der umgekehrtenPapierstreifenkonstruktionermittelt.

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Fertigstellen der Zeichnung

6. Schließlich kann das Kreis-bild und Grund- und Aufrissdargestellt werden.

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Vorkurs Darstellende GeometrieKugelschnitt






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Kugelschnitt

A'

A'

k''

Stellen Sie den im Aufrissgegeben Kleinkreis k (Schnitteiner Kugel und einer zweit-projizierenden Ebene) inGrundriss, verdrehtemGrundriss und dazugehö-rigen Aufriss dar!

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Kugelschnitt

M'

k'

M''

U''=V''

V'

U'

A'

A'

k''

Mittelpunkt und Radiusdes Schnittkreises könnenim Aufriss abgelesen wer-den.

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Kugelschnitt

M'

k'

M''

U''=V''

V'

U'

A'

A'

k''

Die Umrisspunkte U, V fürden Grundriss werden eben-falls im Aufriss ermittelt undin den Grundriss übertra-gen.

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Kugelschnitt

M'

k'

M''

U''=V''

V'

U'

A'

A'

k''

Im Grundriss kann k un-ter Berücksichtigung derSichtbarkeit eingezeichnetwerden.

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Kugelschnitt

M'

k'

M'

k'

V'

U''=V''

M''

U'

k''

A'

A'

Übertragung in den gedreh-ten Grundriss.

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Kugelschnitt

H''

N''

N'

N''

H'

N'

H'

H''

M''

k'

M'

M''

k'

M'

V'

U''=V''

U'

k''

A'

A'

• Mittelpunkt M deszweiten Aufrisses durchOrdner

• Übertragung einesPunktes N derKreisachse n in denzweiten Aufriss

• Das Bild von n imzweiten Aufriss ist dieNebenachse des Bildesvon k.

• Haupt- und Nebenachse,Hauptscheitel, höchsterPunkt H.

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Kugelschnitt

H''

N''

N'

N''

H'

N'

H'

H''

M''

k'

M'

M''

k'

M'

V'

U''=V''

U'

k''

A'

A'





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Kugelschnitt

H''

N''

N'

N''

H'

N'

H'

H''

M''

k'

M'

M''

k'

M'

V'

U''=V''

U'

k''

A'

A'





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Kugelschnitt

H''

N''

N'

N''

H'

N'

H'

H''

M''

k'

M'

M''

k'

M'

V'

U''=V''

U'

k''

A'

A'





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Kugelschnitt

H''

N''

N'

N''

H'

N'

H'

H''

M''

k'

M'

M''

k'

M'

V'

U''=V''

U'

k''

A'

A'

Umgekehrte Papierstreifen-konstruktion mit Hilfe desPunktes H.

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Kugelschnitt

u''

2

W '

u'

2

W ''1

1W 'u'

W ''

N'

N'

N''

H'' H''

H'

H'

M''

N''

k'

M'

V'

k'

U''=V''

M'

M''

U'

A'

A'

k''

Einzeichnen des zweitenUmrisses u im gedrehtenGrundriss =⇒ Umrisspunk-te W1 und W2 im gedrehtenGrundriss und im zugehöri-gen Aufriss.

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Kugelschnitt

u''

2

W '

u'

2

W ''1

1W 'u'

W ''

N'

N'

N''

H'' H''

H'

H'

M''

N''

k'

M'

V'

k'

U''=V''

M'

M''

U'

A'

A'

k''

Alternative: Übertragen deszweiten Umrisses u in denoriginalen Grundriss undErmittlung der Schnittge-raden der Trägerebene vonu mit der Trägerebene desKreises k.

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Kugelschnitt

k''

W 'W '

1

u'

1

W ''

2

2

W ''

u'

u''

N'

N'

N''N''

H'' H''

H'

H'

M''

k'

M'

U'

V'

U''=V''

M'

k'

M''

A'

A'

k''

Ausführen des fertigen Bil-des.

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Vorkurs Darstellende GeometrieEbener Schnitt eines Drehkegels






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Ebener Schnitt eines Drehkegels

An einer senkrechten Wand ist eine kegelförmige Wandleuch-te angebracht. Die im Aufriss gegebene Wandleuchte ist imKreuzriss darzustellen.

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Umrisserzeugende im Kreuzriss

1. Die Umrisserzeugenden des Kegels im Kreuzriss werdenals Tangenten einer dem Kegel berührend eingeschriebenenKugel konstruiert.

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Basiskreis

2. Der Basiskreis des Drehkegels wird im Kreuzriss darge-stellt.

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Schnittellipse

3. Die Schnittellipse von Kegel und Wand erscheint im Kreuz-riss in wahrer Größe. Ihre Nebenscheitellänge wird durch Par-alleldrehen eines am Kegel liegenden Kreises im Aufriss er-mittelt. Seite 5

Umrisspunkte

4. Mit Hilfe der Umrisspunkte U1, V1 am Basiskreis erhältman die Umrisserzeugenden u, v und in weiterer Folge dieUmrisspunkte U2, V2 auf der Schnittellipse.

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Fertigstellen des Kreuzrisses

5. Das fertige Objekt wird im Kreuzriss dargestellt.

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