1

9 Rotation

Klausur zur VorlesungDienstag 10.2.2009

Alte Bibliothek

2

Bogenmaß und Raumwinkel

radrl 1=Θ⇒=

rad 0.1751rev 0.159rad 1

3.57 2

360rad 1

=°=

°≈°

=π

Eine Verschiebung entgegen dem Uhrzeigersinn ist positiv,

eine im Uhrzeigersinn negativ

Θr

dimensionslose Einheit Steradian (sr)

57.12²14²4gelEinheitskuder Oberfläche

=⋅= ππr

Zweidimensional l

Dreidimensional

3

Winkelgeschwindigkeit

mittlere Winkelgeschwindigkeit

00 , tΘ 0Θ−Θ=ΔΘ

t,Θ

tΔΔΘ

=ω

0ttt −=Δ

Θ=ΔΔΘ

=→Δ dt

dtt 0

limω

instantane Winkelgeschwindigkeit

Einheit der Winkelgeschwindigkeit[rad/s]

Da die Winkelgeschwindigkeit über die Änderung des Winkels bestimmt wird rotiert jeder Punkt auf dem Rad mit derselben Winkelgeschwindigkeit!ωFerrari = ωPink Panther

ΔΘ

4

WinkelgeschwindigkeitZusammenhang zur linearen Geschwindigkeit

P

xO

ωr

rdtdr

tr

dtdl

tr

tl

rl

t

=

Θ=Θ

→ΔΔΘ

==

ΔΔΘ

=ΔΔ

=

Θ=

→Δ

v

v

v

0&

lΔ

ΔΘ

r

vr

ωr

ω in Einheiten von rad

Θ=Θ

= &dtdω

Definition

Obwohl Winkelgeschwindigkeit für jeden Punkt auf dem Rad identisch ist, ändert sich

die lineare Geschwindigkeit mit dem Abstand zum Zentrum.

Das bestätigt unsere tägliche Erfahrung!

5

Graphische Darstellung

WinkelΘ(t)

Winkelgeschwindigkeitω(t)

ω>0Drehung im

Uhrzeigersinn

ω <0Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn

Zeit tZeit t

Rotation im Uhrzeigersinn

( ) ²25.06.00.1 ttt +−−=Θ

6

Winkelbeschleunigungkonstant

mittlere Winkelbeschleunigung

00 , tω0ωωω −=Δ

t,ω

tR ΔΔ

=ωα

0ttt −=Δ

ωωαdtd

ttR =ΔΔ

=→Δ 0

lim

instantane Winkelbeschleunigung

Einheit der Winkelbeschleunigung[rad/s²]

Da die Winkelbeschleunigung über die Änderung der Winkelgeschwindigkeit definiert ist, erfährt jeder

Punkt auf dem Rad derselbe Winkelbeschleunigung

7

Cargolifter

Justage des Schubs durch Änderung der Rotationsgeschwindigkeit der Rotoren

8

WinkelbeschleunigungZusammenhang zur linearen Beschleunigung

P

O

tana

Zentripedalbeschleunigungwächst mit dem Abstand r zur

Drehachse

R

t

ra

rdtdr

tr

ta

α

ωωω

=

=⇒ΔΔ

=ΔΔ

=→Δ

tan

0

tanv

&

tangentiale Komponente

radR aa rrr+= tanα

( ) rrrarad ²

rv² 2

ωω===

radiale Komponente Zentripedalbeschleunigung

Ra

Vektoraddition

Diese Gleichungen geben den Zusammenhang zwischen den Winkelgrößen und den linearen Größen an.

ωr=v Rra α=tanrarad ²ω=

ωω

ωω

&&&

&

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

=Θ

=Θ

=

dtd

dtd

dtd

dtd

dtd

2

2

Definition

konstant Rα

Betrag der Geschwindigkeit ändert sich

Richtung des Geschwindigkeitsvektor ändert sich

9

Zusammenhang zu linearer Bewegunggilt nur für konstante Winkelbeschleunigung

( )

2

²21

212²

²21

0

0

00

20

00

0

ωωω

αω

ωω

αωω

αω

αωω

+=

−=Θ−Θ

+=Θ−Θ

Θ+=

+=Θ−Θ

+=

tt

t

tt

t

R

R

R

( )

( )

2vvv

²21v

vv212v²v

²21v

vv

0

0

00

020

00

0

+=

−=−

+=−

−+=

+=−

+=

attxx

txx

xxa

attxx

at

RotationsbewegungLineare Bewegung αω

⇔⇔

Θ⇔

avx

ωωωωω

==Θ=

t0

0

0=Rα

0Θ−Θ

ω

Rα

t

0ω

unbekannte Variable

0xx −

v

a

t

0v

unbekannte Variable

vvvvv

0

0

===

tx0=a

ohne Beweis

10

Anglerglück

Winkelbeschleunigung 100 rad/ s² für 2 Sekunden (Radius 50 mm)

( )s

rad 200s 2s²

rad 1000

thwindigkeiWinkelgesc

0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

+=

ω

αωω tR

50 mm

( )sm 10

srad 200m 0.05v

vrAngelschnuder gkeit Geschwindi

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

= rω( )

rev 8.31rad 2

rev 1rad 200

rad 200s 2s²rad 100

210

21

Rolleder Drehungen der Anzahl

2

20

==Θ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=Θ

+=Θ

π

αω tt R

11

Diskuswurf

Diskobolos 450 v Chr.

( )

( )

gaa

ra

ra

radR

rad

R

10s²m98

sm800.8m

srad10

sm40

srad500.8m

22tan

22

2tan

≈=+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

α

ω

α

s²rad50

hleunigungWinkelbesc

=Rα

r=80 cm

srad10

thwindigkeiWinkelgesc gewählte

=ω

12

Air CanadaVince Carter‘s Windmill Slam Dunkies

270 Grad Rotation des Baseballs

Masse Baseball 0.624 kg

Armlänge 0.85 m

0.14 s für 3/4 Rotation

Zentripedalbeschleunigung des Baseballs

( )( )sm28.6

s 0.14m 0.8575.0 2v

Baseballs desRotation 270

2v

3/4 ==

°

=

π

tπ r

mittlere Geschwindigkeit des Baseballs

Kraft, die Vince Carter aufbringen muss, um den Baseball auf der Bahn zu halten

( ) N 600sm3.962kg 0.624 2 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=cF

gr

arad 10sm3.962

m 0.85sm28.6

v2

2

2

≈=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==

13

14

Propellerdesign

Geschwindigkeit der Flügelspitzen maximal 300 m/s (90 % Schallgeschwindigkeit)

srad250

s 60min 1

revrad 2

minrev2400

=

=

ω

πω

m 1.16s

rad251

sm75

sm300vv

vvvv

max

2F

2res

max

22max

2F

2P

2F

2res

=

−=

−=

⇓

+=+=

r

r

r

ω

ω

Maximaler Radius des Propellers

Winkelgeschwindigkeit

Beide Geschwindigkeitskomponenten müssen vektoriell addiert werden

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

! s²m107.2

m 1.16s

rad250

4

2

2

mFa

a

ra

rad

rad

rad ω

Beschleunigungswerte an der Flügelspitze

leichtes, stark belastbares Material gefragtz.B. Aluminiumlegierung

15

Informationspeicher

srad 2

s rev 1 π

= ff πωπ

ω 22

=⇔= Einheit der Frequenz f [1 Hz=1 rev/s=1s-1 ]

Frequenz

Periodef

T 1=

Festplatte 3,5 Zoll (=88.9 mm)

7200 rev/sTransfer 100 MB/s

srad740

60s/minrev/min 7200

rev rad 22

=

==

ω

ππω fr=3 cm

( )

( )

nm 222bit/s10

22.2m/ss²m16430

srad7400.03m²

sm22.2

srad7400.03mv

8

2

<=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

Bit

rad

l

ra

r

ω

ω

Soviel Platz braucht eine Informationseinheit auf der

Festplatte

16

Rechte-Hand-Regel

Die Drehachse einer rotierenden Scheibe definiert einen Vektor ω, der den Geschwindigkeitsvektor der Drehbewegung repräsentiert

Rechte Hand Regel

Drehrichtung Zeigt der Daumen der rechten Hand in

Richtung von ω, dann zeigen die Finger die

Drehrichtung an.

Richtung des GeschwindigkeitsvektorsDie Länge von ω ist ein

Maß für die Größenordnung der

Winkelgeschwindigkeit

Der Vektor zeigt nicht in Richtung der Bewegung. Deshalb ist die Notation

etwas gewöhnungsbedürftig. Statt dessen rotiert der Körper um die Vektorachse.

diese Achse ist ausgezeichnet

17

Sind die Winkelgrößen Vektoren?

xO

Θr

Sowohl der Vektor der Winkelgeschwindigkeit (ω) als auch der der Winkelbeschleunigung (α) erfüllen die

Regeln der Vektoraddition.

Richtung OK

Betrag OK

Dies gilt nicht für den Winkel Θ!

barr

+ ab rr+

abba rrrr+=/+

18

Kinetische Energie der Rotation

∑=

=n

iiiL mKE

1

2v21

( ) 2

1

2

1

2

21

21 ωω ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛== ∑∑

==

n

iii

n

iiiR rmrmKE

Dieser Term gibt an, wie die Masse des Rotationskörpers verteilt ist

Definition

Trägheitsmoment

∑=

=n

iiirmI

1

2

2

21 ωIKER =

Rotationsenergie eines massiven Körpers

2riii mm ⇒

²v2i ω⇒

∫= dmrI ²

Kinetische Energie der Translationeines massiven Körpers

kontinuierliche Massenverteilungz.B. Bumerang

Zusammenhang zu den linearen Größen

Ansatz: Man ersetze die linearen Größen durch die entsprechenden Größen bei der Beschreibung der Rotation

rω=vRotation

etwas anders sortiert

System von Massenpunkten

19

Rotation

Masse in der Nähe der Rotationsachsegeringes Trägheitsmoment

leicht in Rotation zu versetzten

Masse weiter entfernt von Rotationsachsegrößeres Trägheitsmoment

schwerer in Rotation zu versetzten

20

Berechnung von Trägheitsmomenten

Homogener Ring mit Masse M auf dem Radius R

Drehachse z

Drehachse z

∫∫ === 22² MRdmRdmrI

Scheibe mit Masse M gleichmässig verteilt bis Radius RErwartung: das Trägheitsmoment is geringer

Wähle Ringe mit Masse dm auf dem Ring mit Radius r mit Dicke dr

Fläche eines Ringsegments

rdrdA π2=

Fläche der Scheibe2RA π=

rdrAMdA

AMdm π2==

242020 2

1412³22²² MRR

RMdrr

RMrdr

AMrdmrI

RR=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==== ∫∫∫ π

ππ

!!!

21

TrägheitsmomenteRotation unterschiedlicher Körper

22

121

41 MLMRID +=

2

2

2

2

2

2

621

21121

2141

RL

MR

ML

MR

MR

II

C

D +=+=

LR

RL

RL

31

621

6211

2

2

2

2

=

=

+=

Gleiches Trägheitsmoment für beide DrehachsenWie ist dann das R/L Verhältnis ?

22

Noch mehr TrägheitsmomenteFliehkraftregler

Beim Fliehkraftregler nutzt man aus, dass durch die schnellere Drehung die Gegengewichte auf einen größeren

Radius gebracht werdenResultat: Das Trägheitsmoment vergrößert wird.

Beispiel Astrophysik

23

Kosmische Leuchttürme

( )m² kg 105.76

m10kg0144.152

52

m³kg10

km 01

37

2430

2

15

⋅=

⋅⋅=

=

=

=

NS

NS

NS

NS

NS

I

I

MRI

R

ρ

Pulsare sind schnell rotierende Neutronensterne 1.44 bis 3 Sonnenmassen

Durchmesser 10 km, 1000 rev/s

Durch Abstrahlung on Energie in Form von Licht verliert der Stern Rotationsenergie

Pulsar im Krebsnebel

vom Pulsar beleuchtetes Gas

24

JoJoMaxwellsches Rad

Maxwellsches RadPotentielle Energie

Translationsenergie und Rotationsenergie

Elastische EnergieTranslationsenergie und RotationsenergiePotentielle Energie... etc ...

2CM

2

CM22CM

22CM

v23

v21

21v

21

21v

21

MKE

RMRMKE

IMKE

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

+= ω

MghPE =

2

CM

21

Rv

MRI =

=ω

gh

MMgh

KEPE fi

34v

v43

CM

2CM

=

=

=Geschwindigkeit am tiefsten Punkt

Zum Vergleich fallender Stein

gh2vCM =

1/3 der potentiellen Energie wird in Rotationsenergie umgewandelt

25

Körper auf schiefer Ebene

Welche Beschleunigung erfahren die beiden Körper?

Θh

RD 2=

s

2

2222 v

21v

21

21v

21

RImImmgh +=+= ω

⇒+

=

⇓

²

2²v

RIm

mgh

( )020

2 2vv xxa −+=

²

sin

²

22

RIm

mga

RIm

mghas

+

Θ=

⇓

+=

Θ=

=

sin21

²

ga

mRI

R

R

Zylinder

Θ=

=

sin32

²21

ga

mRI

S

S

Rohr

Lösung unabhängig von Masse und Radius

geringere Beschleunigung, da Masse auf dem Mantel

Rv

=ω

Zylinder

26

Bremsen

Drehbewegung obwohl Reibungskräfte nur in der Ebene angreifen?