CINÉMATIQUE DES FLUIDES - corrigé des...
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CINÉMATIQUE DES FLUIDES - corrigé des exercices I. Liquide incompressible en rotation 1. • Chaque “particule” de fluide peut être repérée par un vecteur position
!
OM (t) = r
!
ur (θ(t)) avec un rayon r constant (dépendant de la particule dont on suit le mouvement) et θ(t) = θ0 + Ω t (θ0 dépendant de la particule).
• La vitesse d'une telle particule peut s'écrire :
!
v (t) =
!
dOMdt = r
!
durdt
= rθ•
!
u" , en tenant compte du fait
que le
!
ur considéré varie puisque c'est un vecteur de base local, dépendant de l'endroit où se trouve la particule.
• De façon analogue, l'accélération peut s'écrire :
!
a (t) =
!
dvdt
= - rθ•2
!
ur (compte tenu du fait que
θ• = Ω est constant). 2. • La description eulérienne décrit le mouvement du fluide qui se trouve en un point fixe M donné. Ceci conduit à considérer :
!
v (M, t) =
!
v (M) =
!
"✕
!
OM = rθ•
!
u" indépendant du temps (la base locale est celle en un point fixe).
• On en déduit ensuite :
!
a(M, t) =
!
dvdt
=
!
"v"t
+
!
v • "( )
!
v avec
!
"v"t
=
!
0 pour une rotation à vitesse
constante ; par ailleurs en coordonnées polaires :
!
" =
!
""r
!
ur +
!
1r""#
!
u" .
◊ remarque : pour insister sur la différence de notations, on peut noter
!
DvDt
au lieu de
!
dvdt
.
• Ceci donne :
!
a(M, t) =
!
a(M) = rθ•
!
1r""#
(rθ•
!
u" ) = rθ•2
!
"u#"#
= -rθ•2
!
ur .
◊ remarque : on peut aussi utiliser la propriété mathématique :
!
v • "( )
!
v =
!
"v2
2#
$ %
&
' ( +
!
"#v( )✕
!
v avec
en coordonnées cylindriques :
!
"#v =
!
rot v =
!
1r"vz"#
$"v#"z
% & '
( ) *
!
ur +
!
"vr"z
#"vz"r
$ % &
' ( )
!
u" +
!
1r" rv#( )"r
$1r"vr"#
%
& '
(
) *
!
uz ;
ainsi :
!
"v2
2#
$ %
&
' ( =
!
"•2
2
!
" r2( ) =
!
"•2
2 2r
!
ur = rθ•2
!
ur (analogue ici à l'accélération d'entraînement centrifuge
associée à une base locale qui suivrait le fluide) ;
!
"#v =
!
1r""r
(r2θ•)
!
uz = 2θ•
!
uz ;
!
"#v( )✕
!
v = -2rθ•2
!
ur
(analogue ici à l'accélération complémentaire associée à une base locale qui suivrait le fluide). ◊ remarque : la notation du rotationnel avec le symbole
!
"# est ambiguë car elle ne correspond à un produit vectoriel usuel qu'en coordonnées cartésiennes ; on peut considérer :
!
v (M) = - y θ•
!
ux + x θ•
!
uy ;
!
"# v =
!
"vz"y
#"vy"z
$
% &
'
( )
!
ux +
!
"vx"z
#"vz"x
$ % &
' ( )
!
uy +
!
"vy"x
#"vx"y
$
% &
'
( )
!
uz = 2θ•
!
uz ;
!
"# v( )✕
!
v = -2θ•2.( x
!
ux + y
!
uy ).
II. Étalement radial d'un liquide incompressible 1. • Chaque “particule” de fluide peut être repérée par
!
OM (t) = r(t)
!
ur (θ) avec un angle θ constant (dépendant de la particule dont on suit le mouvement). La vitesse (radiale) d'une telle particule peut s'écrire :
!
v (t) =
!
dOMdt = r•
!
ur .
• Le liquide contenu dans un anneau entre r et r+dr a pour volume : dV = 2πr dr e (en notant e
l'épaisseur). Pour un liquide incompressible à débit D =
!
dVdt
= 2πr e v(r) constant, on obtient : v(r) =
!
D2"re
.
2
• Mais ceci s'écrit aussi : 2r dr =
!
D"e
dt, dont l'intégration donne : r(t) =
!
r02 +
D"e
t .
• De façon analogue, l'accélération peut s'écrire :
!
a (t) =
!
dvdt
= -
!
D2"r2e
r•
!
ur = -
!
D2
4"2r3e2
!
ur , d'où en
fonction du temps :
!
a(t) = -
!
D2
4"2e2
!
1
r02 +
D"e
t#
$ %
&
' (
3/ 2
!
ur .
2. • La description eulérienne décrit le mouvement du fluide qui se trouve en un point fixe M donné. Ceci
conduit à considérer :
!
v (M, t) =
!
v (M) =
!
D2"re
!
ur indépendant du temps (la base locale est celle en un point
fixe).
• On en déduit ensuite :
!
a(M, t) =
!
dvdt
=
!
"v"t
+
!
v • "( )
!
v avec
!
"v"t
=
!
0 pour un fluide incompressible à
débit constant ; par ailleurs en coordonnées polaires :
!
" =
!
""r
!
ur +
!
1r""#
!
u" .
◊ remarque : pour insister sur la différence de notations, on peut noter
!
DvDt
au lieu de
!
dvdt
.
• Ceci donne :
!
a(M, t) =
!
a(M) =
!
D2"re
!
""r
!
D2"re
ur#
$ %
&
' ( = -
!
D2
4"2r3e2
!
ur .
◊ remarque : on peut aussi utiliser la propriété mathématique :
!
v • "( )
!
v =
!
"v2
2#
$ %
&
' ( +
!
"#v( )✕
!
v avec
en coordonnées cylindriques :
!
"#v =
!
rot v =
!
1r"vz"#
$"v#"z
% & '
( ) *
!
ur +
!
"vr"z
#"vz"r
$ % &
' ( )
!
u" +
!
1r" rv#( )"r
$1r"vr"#
%
& '
(
) *
!
uz ;
ainsi :
!
"v2
2#
$ %
&
' ( =
!
D2
4"2e2
!
"1r2# $ %
& ' ( = -
!
D2
4"2r3e2
!
ur (décrivant ici l'accélération d'entraînement associée à une
base locale qui suivrait le fluide) ;
!
"#v =
!
0 ;
!
"#v( )✕
!
v =
!
0 (décrivant ici l'accélération complémentaire associée à une base locale qui suivrait le fluide).