CINÉMATIQUE DES FLUIDES - corrigé des...

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1 CINÉMATIQUE DES FLUIDES - corrigé des exercices I. Liquide incompressible en rotation 1. • Chaque “particule” de fluide peut être repérée par un vecteur position OM (t) = r u r (θ(t)) avec un rayon r constant (dépendant de la particule dont on suit le mouvement) et θ(t) = θ 0 + Ω t (θ 0 dépendant de la particule). • La vitesse d'une telle particule peut s'écrire : v (t) = dOM dt = r du r dt = rθ u " , en tenant compte du fait que le u r considéré varie puisque c'est un vecteur de base local, dépendant de l'endroit où se trouve la particule. • De façon analogue, l'accélération peut s'écrire : a (t) = dv dt = - rθ •2 u r (compte tenu du fait que θ = Ω est constant). 2. • La description eulérienne décrit le mouvement du fluide qui se trouve en un point fixe M donné. Ceci conduit à considérer : v (M, t) = v (M) = " OM = rθ u " indépendant du temps (la base locale est celle en un point fixe). • On en déduit ensuite : a (M, t) = dv dt = "v "t + v " ( ) v avec "v "t = 0 pour une rotation à vitesse constante ; par ailleurs en coordonnées polaires : " = " "r u r + 1 r " "# u " . remarque : pour insister sur la différence de notations, on peut noter Dv Dt au lieu de dv dt . • Ceci donne : a (M, t) = a (M) = rθ 1 r " "# (rθ u " ) = rθ •2 "u # "# = -rθ •2 u r . remarque : on peut aussi utiliser la propriété mathématique : v " ( ) v = " v 2 2 # $ % & ' ( + " # v ( ) v avec en coordonnées cylindriques : " # v = rot v = 1 r "v z "# $ "v # "z % & ' ( ) * u r + "v r "z # "v z "r $ % & ' ( ) u " + 1 r " rv # ( ) "r $ 1 r "v r "# % & ' ( ) * u z ; ainsi : " v 2 2 # $ % & ' ( = " 2 2 " r 2 ( ) = " 2 2 2r u r = rθ •2 u r (analogue ici à l'accélération d'entraînement centrifuge associée à une base locale qui suivrait le fluide) ; " # v = 1 r " "r (r 2 θ ) u z = 2θ u z ; " # v ( ) v = -2rθ •2 u r (analogue ici à l'accélération complémentaire associée à une base locale qui suivrait le fluide). remarque : la notation du rotationnel avec le symbole " # est ambiguë car elle ne correspond à un produit vectoriel usuel qu'en coordonnées cartésiennes ; on peut considérer : v (M) = - y θ u x + x θ u y ; " # v = "v z "y # "v y "z $ % & ' ( ) u x + "v x "z # "v z "x $ % & ' ( ) u y + "v y "x # "v x "y $ % & ' ( ) u z = 2θ u z ; " # v ( ) v = -2θ •2 .( x u x + y u y ). II. Étalement radial d'un liquide incompressible 1. • Chaque “particule” de fluide peut être repérée par OM (t) = r(t) u r (θ) avec un angle θ constant (dépendant de la particule dont on suit le mouvement). La vitesse (radiale) d'une telle particule peut s'écrire : v (t) = dOM dt = r u r . • Le liquide contenu dans un anneau entre r et r+dr a pour volume : dV = 2πr dr e (en notant e l'épaisseur). Pour un liquide incompressible à débit D = dV dt = 2πr e v(r) constant, on obtient : v(r) = D 2"re .

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CINÉMATIQUE DES FLUIDES - corrigé des exercices I. Liquide incompressible en rotation 1. • Chaque “particule” de fluide peut être repérée par un vecteur position

!

OM (t) = r

!

ur (θ(t)) avec un rayon r constant (dépendant de la particule dont on suit le mouvement) et θ(t) = θ0 + Ω t (θ0 dépendant de la particule).

• La vitesse d'une telle particule peut s'écrire :

!

v (t) =

!

dOMdt = r

!

durdt

= rθ•

!

u" , en tenant compte du fait

que le

!

ur considéré varie puisque c'est un vecteur de base local, dépendant de l'endroit où se trouve la particule.

• De façon analogue, l'accélération peut s'écrire :

!

a (t) =

!

dvdt

= - rθ•2

!

ur (compte tenu du fait que

θ• = Ω est constant). 2. • La description eulérienne décrit le mouvement du fluide qui se trouve en un point fixe M donné. Ceci conduit à considérer :

!

v (M, t) =

!

v (M) =

!

"✕

!

OM = rθ•

!

u" indépendant du temps (la base locale est celle en un point fixe).

• On en déduit ensuite :

!

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!

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=

!

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+

!

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!

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0 pour une rotation à vitesse

constante ; par ailleurs en coordonnées polaires :

!

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!

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!

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!

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◊ remarque : pour insister sur la différence de notations, on peut noter

!

DvDt

au lieu de

!

dvdt

.

• Ceci donne :

!

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!

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!

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!

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!

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= -rθ•2

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◊ remarque : on peut aussi utiliser la propriété mathématique :

!

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associée à une base locale qui suivrait le fluide) ;

!

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!

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!

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!

uz ;

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!

v = -2rθ•2

!

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(analogue ici à l'accélération complémentaire associée à une base locale qui suivrait le fluide). ◊ remarque : la notation du rotationnel avec le symbole

!

"# est ambiguë car elle ne correspond à un produit vectoriel usuel qu'en coordonnées cartésiennes ; on peut considérer :

!

v (M) = - y θ•

!

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!

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!

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uz = 2θ•

!

uz ;

!

"# v( )✕

!

v = -2θ•2.( x

!

ux + y

!

uy ).

II. Étalement radial d'un liquide incompressible 1. • Chaque “particule” de fluide peut être repérée par

!

OM (t) = r(t)

!

ur (θ) avec un angle θ constant (dépendant de la particule dont on suit le mouvement). La vitesse (radiale) d'une telle particule peut s'écrire :

!

v (t) =

!

dOMdt = r•

!

ur .

• Le liquide contenu dans un anneau entre r et r+dr a pour volume : dV = 2πr dr e (en notant e

l'épaisseur). Pour un liquide incompressible à débit D =

!

dVdt

= 2πr e v(r) constant, on obtient : v(r) =

!

D2"re

.

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• Mais ceci s'écrit aussi : 2r dr =

!

D"e

dt, dont l'intégration donne : r(t) =

!

r02 +

D"e

t .

• De façon analogue, l'accélération peut s'écrire :

!

a (t) =

!

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= -

!

D2"r2e

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!

ur = -

!

D2

4"2r3e2

!

ur , d'où en

fonction du temps :

!

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!

D2

4"2e2

!

1

r02 +

D"e

t#

$ %

&

' (

3/ 2

!

ur .

2. • La description eulérienne décrit le mouvement du fluide qui se trouve en un point fixe M donné. Ceci

conduit à considérer :

!

v (M, t) =

!

v (M) =

!

D2"re

!

ur indépendant du temps (la base locale est celle en un point

fixe).

• On en déduit ensuite :

!

a(M, t) =

!

dvdt

=

!

"v"t

+

!

v • "( )

!

v avec

!

"v"t

=

!

0 pour un fluide incompressible à

débit constant ; par ailleurs en coordonnées polaires :

!

" =

!

""r

!

ur +

!

1r""#

!

u" .

◊ remarque : pour insister sur la différence de notations, on peut noter

!

DvDt

au lieu de

!

dvdt

.

• Ceci donne :

!

a(M, t) =

!

a(M) =

!

D2"re

!

""r

!

D2"re

ur#

$ %

&

' ( = -

!

D2

4"2r3e2

!

ur .

◊ remarque : on peut aussi utiliser la propriété mathématique :

!

v • "( )

!

v =

!

"v2

2#

$ %

&

' ( +

!

"#v( )✕

!

v avec

en coordonnées cylindriques :

!

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!

rot v =

!

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( ) *

!

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!

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#"vz"r

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!

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ainsi :

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"v2

2#

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' ( =

!

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!

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& ' ( = -

!

D2

4"2r3e2

!

ur (décrivant ici l'accélération d'entraînement associée à une

base locale qui suivrait le fluide) ;

!

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!

0 ;

!

"#v( )✕

!

v =

!

0 (décrivant ici l'accélération complémentaire associée à une base locale qui suivrait le fluide).