CINÉMATIQUE DES FLUIDES - corrigé des...

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1 CINÉMATIQUE DES FLUIDES - corrigé des exercices I. Liquide incompressible en rotation 1. • Chaque “particule” de fluide peut être repérée par un vecteur position OM (t) = r u r (θ(t)) avec un rayon r constant (dépendant de la particule dont on suit le mouvement) et θ(t) = θ 0 + Ω t (θ 0 dépendant de la particule). • La vitesse d'une telle particule peut s'écrire : v (t) = dOM dt = r du r dt = rθ u " , en tenant compte du fait que le u r considéré varie puisque c'est un vecteur de base local, dépendant de l'endroit où se trouve la particule. • De façon analogue, l'accélération peut s'écrire : a (t) = dv dt = - rθ •2 u r (compte tenu du fait que θ = Ω est constant). 2. • La description eulérienne décrit le mouvement du fluide qui se trouve en un point fixe M donné. Ceci conduit à considérer : v (M, t) = v (M) = " OM = rθ u " indépendant du temps (la base locale est celle en un point fixe). • On en déduit ensuite : a (M, t) = dv dt = "v "t + v " ( ) v avec "v "t = 0 pour une rotation à vitesse constante ; par ailleurs en coordonnées polaires : " = " "r u r + 1 r " "# u " . remarque : pour insister sur la différence de notations, on peut noter Dv Dt au lieu de dv dt . • Ceci donne : a (M, t) = a (M) = rθ 1 r " "# (rθ u " ) = rθ •2 "u # "# = -rθ •2 u r . remarque : on peut aussi utiliser la propriété mathématique : v " ( ) v = " v 2 2 # $ % & ' ( + " # v ( ) v avec en coordonnées cylindriques : " # v = rot v = 1 r "v z "# $ "v # "z % & ' ( ) * u r + "v r "z # "v z "r $ % & ' ( ) u " + 1 r " rv # ( ) "r $ 1 r "v r "# % & ' ( ) * u z ; ainsi : " v 2 2 # $ % & ' ( = " 2 2 " r 2 ( ) = " 2 2 2r u r = rθ •2 u r (analogue ici à l'accélération d'entraînement centrifuge associée à une base locale qui suivrait le fluide) ; " # v = 1 r " "r (r 2 θ ) u z = 2θ u z ; " # v ( ) v = -2rθ •2 u r (analogue ici à l'accélération complémentaire associée à une base locale qui suivrait le fluide). remarque : la notation du rotationnel avec le symbole " # est ambiguë car elle ne correspond à un produit vectoriel usuel qu'en coordonnées cartésiennes ; on peut considérer : v (M) = - y θ u x + x θ u y ; " # v = "v z "y # "v y "z $ % & ' ( ) u x + "v x "z # "v z "x $ % & ' ( ) u y + "v y "x # "v x "y $ % & ' ( ) u z = 2θ u z ; " # v ( ) v = -2θ •2 .( x u x + y u y ). II. Étalement radial d'un liquide incompressible 1. • Chaque “particule” de fluide peut être repérée par OM (t) = r(t) u r (θ) avec un angle θ constant (dépendant de la particule dont on suit le mouvement). La vitesse (radiale) d'une telle particule peut s'écrire : v (t) = dOM dt = r u r . • Le liquide contenu dans un anneau entre r et r+dr a pour volume : dV = 2πr dr e (en notant e l'épaisseur). Pour un liquide incompressible à débit D = dV dt = 2πr e v(r) constant, on obtient : v(r) = D 2"re .

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  • 1

    CINMATIQUE DES FLUIDES - corrig des exercices I. Liquide incompressible en rotation 1. Chaque particule de fluide peut tre repre par un vecteur position

    !

    OM (t) = r

    !

    ur ((t)) avec un rayon r constant (dpendant de la particule dont on suit le mouvement) et (t) = 0 + t (0 dpendant de la particule).

    La vitesse d'une telle particule peut s'crire :

    !

    v (t) =

    !

    dOMdt = r

    !

    durdt

    = r

    !

    u" , en tenant compte du fait

    que le

    !

    ur considr varie puisque c'est un vecteur de base local, dpendant de l'endroit o se trouve la particule.

    De faon analogue, l'acclration peut s'crire :

    !

    a (t) =

    !

    dvdt

    = - r2

    !

    ur (compte tenu du fait que

    = est constant). 2. La description eulrienne dcrit le mouvement du fluide qui se trouve en un point fixe M donn. Ceci conduit considrer :

    !

    v (M, t) =

    !

    v (M) =

    !

    "

    !

    OM = r

    !

    u" indpendant du temps (la base locale est celle en un point fixe).

    On en dduit ensuite :

    !

    a(M, t) =

    !

    dvdt

    =

    !

    "v"t

    +

    !

    v "( )

    !

    v avec

    !

    "v"t

    =

    !

    0 pour une rotation vitesse

    constante ; par ailleurs en coordonnes polaires :

    !

    " =

    !

    ""r

    !

    ur +

    !

    1r""#

    !

    u" .

    remarque : pour insister sur la diffrence de notations, on peut noter

    !

    DvDt

    au lieu de

    !

    dvdt

    .

    Ceci donne :

    !

    a(M, t) =

    !

    a(M) = r

    !

    1r""#

    (r

    !

    u" ) = r2

    !

    "u#"#

    = -r2

    !

    ur .

    remarque : on peut aussi utiliser la proprit mathmatique :

    !

    v "( )

    !

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    !

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    2#

    $ %

    &

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    !

    v avec

    en coordonnes cylindriques :

    !

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    !

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    !

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    !

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    $1r"vr"#

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    & '

    (

    ) *

    !

    uz ;

    ainsi :

    !

    "v2

    2#

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    &

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    !

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    2

    !

    " r2( ) =

    !

    "2

    2 2r

    !

    ur = r2

    !

    ur (analogue ici l'acclration d'entranement centrifuge

    associe une base locale qui suivrait le fluide) ;

    !

    "#v =

    !

    1r""r

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    !

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    !

    uz ;

    !

    "#v( )

    !

    v = -2r2

    !

    ur

    (analogue ici l'acclration complmentaire associe une base locale qui suivrait le fluide). remarque : la notation du rotationnel avec le symbole

    !

    "# est ambigu car elle ne correspond un produit vectoriel usuel qu'en coordonnes cartsiennes ; on peut considrer :

    !

    v (M) = - y

    !

    ux + x

    !

    uy ;

    !

    "# v =

    !

    "vz"y

    #"vy"z

    $

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    ( )

    !

    ux +

    !

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    #"vz"x

    $ % &

    ' ( )

    !

    uy +

    !

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    #"vx"y

    $

    % &

    '

    ( )

    !

    uz = 2

    !

    uz ;

    !

    "# v( )

    !

    v = -22.( x

    !

    ux + y

    !

    uy ).

    II. talement radial d'un liquide incompressible 1. Chaque particule de fluide peut tre repre par

    !

    OM (t) = r(t)

    !

    ur () avec un angle constant (dpendant de la particule dont on suit le mouvement). La vitesse (radiale) d'une telle particule peut s'crire :

    !

    v (t) =

    !

    dOMdt = r

    !

    ur .

    Le liquide contenu dans un anneau entre r et r+dr a pour volume : dV = 2r dr e (en notant e

    l'paisseur). Pour un liquide incompressible dbit D =

    !

    dVdt

    = 2r e v(r) constant, on obtient : v(r) =

    !

    D2"re

    .

  • 2

    Mais ceci s'crit aussi : 2r dr =

    !

    D"e

    dt, dont l'intgration donne : r(t) =

    !

    r02 +

    D"e

    t .

    De faon analogue, l'acclration peut s'crire :

    !

    a (t) =

    !

    dvdt

    = -

    !

    D2"r2e

    r

    !

    ur = -

    !

    D2

    4"2r3e2

    !

    ur , d'o en

    fonction du temps :

    !

    a(t) = -

    !

    D2

    4"2e2

    !

    1

    r02 +

    D"e

    t#

    $ %

    &

    ' (

    3/ 2

    !

    ur .

    2. La description eulrienne dcrit le mouvement du fluide qui se trouve en un point fixe M donn. Ceci conduit considrer :

    !

    v (M, t) =

    !

    v (M) =

    !

    D2"re

    !

    ur indpendant du temps (la base locale est celle en un point

    fixe).

    On en dduit ensuite :

    !

    a(M, t) =

    !

    dvdt

    =

    !

    "v"t

    +

    !

    v "( )

    !

    v avec

    !

    "v"t

    =

    !

    0 pour un fluide incompressible

    dbit constant ; par ailleurs en coordonnes polaires :

    !

    " =

    !

    ""r

    !

    ur +

    !

    1r""#

    !

    u" .

    remarque : pour insister sur la diffrence de notations, on peut noter

    !

    DvDt

    au lieu de

    !

    dvdt

    .

    Ceci donne :

    !

    a(M, t) =

    !

    a(M) =

    !

    D2"re

    !

    ""r

    !

    D2"re

    ur#

    $ %

    &

    ' ( = -

    !

    D2

    4"2r3e2

    !

    ur .

    remarque : on peut aussi utiliser la proprit mathmatique :

    !

    v "( )

    !

    v =

    !

    "v2

    2#

    $ %

    &

    ' ( +

    !

    "#v( )

    !

    v avec

    en coordonnes cylindriques :

    !

    "#v =

    !

    rot v =

    !

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    $"v#"z

    % & '

    ( ) *

    !

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    !

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    !

    u" +

    !

    1r" rv#( )"r

    $1r"vr"#

    %

    & '

    (

    ) *

    !

    uz ;

    ainsi :

    !

    "v2

    2#

    $ %

    &

    ' ( =

    !

    D2

    4"2e2

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    & ' ( = -

    !

    D2

    4"2r3e2

    !

    ur (dcrivant ici l'acclration d'entranement associe une

    base locale qui suivrait le fluide) ;

    !

    "#v =

    !

    0 ;

    !

    "#v( )

    !

    v =

    !

    0 (dcrivant ici l'acclration complmentaire associe une base locale qui suivrait le fluide).