CINÉMATIQUE DES FLUIDES - corrigé des...
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1
CINMATIQUE DES FLUIDES - corrig des exercices I. Liquide incompressible en rotation 1. Chaque particule de fluide peut tre repre par un vecteur position
!
OM (t) = r
!
ur ((t)) avec un rayon r constant (dpendant de la particule dont on suit le mouvement) et (t) = 0 + t (0 dpendant de la particule).
La vitesse d'une telle particule peut s'crire :
!
v (t) =
!
dOMdt = r
!
durdt
= r
!
u" , en tenant compte du fait
que le
!
ur considr varie puisque c'est un vecteur de base local, dpendant de l'endroit o se trouve la particule.
De faon analogue, l'acclration peut s'crire :
!
a (t) =
!
dvdt
= - r2
!
ur (compte tenu du fait que
= est constant). 2. La description eulrienne dcrit le mouvement du fluide qui se trouve en un point fixe M donn. Ceci conduit considrer :
!
v (M, t) =
!
v (M) =
!
"
!
OM = r
!
u" indpendant du temps (la base locale est celle en un point fixe).
On en dduit ensuite :
!
a(M, t) =
!
dvdt
=
!
"v"t
+
!
v "( )
!
v avec
!
"v"t
=
!
0 pour une rotation vitesse
constante ; par ailleurs en coordonnes polaires :
!
" =
!
""r
!
ur +
!
1r""#
!
u" .
remarque : pour insister sur la diffrence de notations, on peut noter
!
DvDt
au lieu de
!
dvdt
.
Ceci donne :
!
a(M, t) =
!
a(M) = r
!
1r""#
(r
!
u" ) = r2
!
"u#"#
= -r2
!
ur .
remarque : on peut aussi utiliser la proprit mathmatique :
!
v "( )
!
v =
!
"v2
2#
$ %
&
' ( +
!
"#v( )
!
v avec
en coordonnes cylindriques :
!
"#v =
!
rot v =
!
1r"vz"#
$"v#"z
% & '
( ) *
!
ur +
!
"vr"z
#"vz"r
$ % &
' ( )
!
u" +
!
1r" rv#( )"r
$1r"vr"#
%
& '
(
) *
!
uz ;
ainsi :
!
"v2
2#
$ %
&
' ( =
!
"2
2
!
" r2( ) =
!
"2
2 2r
!
ur = r2
!
ur (analogue ici l'acclration d'entranement centrifuge
associe une base locale qui suivrait le fluide) ;
!
"#v =
!
1r""r
(r2)
!
uz = 2
!
uz ;
!
"#v( )
!
v = -2r2
!
ur
(analogue ici l'acclration complmentaire associe une base locale qui suivrait le fluide). remarque : la notation du rotationnel avec le symbole
!
"# est ambigu car elle ne correspond un produit vectoriel usuel qu'en coordonnes cartsiennes ; on peut considrer :
!
v (M) = - y
!
ux + x
!
uy ;
!
"# v =
!
"vz"y
#"vy"z
$
% &
'
( )
!
ux +
!
"vx"z
#"vz"x
$ % &
' ( )
!
uy +
!
"vy"x
#"vx"y
$
% &
'
( )
!
uz = 2
!
uz ;
!
"# v( )
!
v = -22.( x
!
ux + y
!
uy ).
II. talement radial d'un liquide incompressible 1. Chaque particule de fluide peut tre repre par
!
OM (t) = r(t)
!
ur () avec un angle constant (dpendant de la particule dont on suit le mouvement). La vitesse (radiale) d'une telle particule peut s'crire :
!
v (t) =
!
dOMdt = r
!
ur .
Le liquide contenu dans un anneau entre r et r+dr a pour volume : dV = 2r dr e (en notant e
l'paisseur). Pour un liquide incompressible dbit D =
!
dVdt
= 2r e v(r) constant, on obtient : v(r) =
!
D2"re
.
-
2
Mais ceci s'crit aussi : 2r dr =
!
D"e
dt, dont l'intgration donne : r(t) =
!
r02 +
D"e
t .
De faon analogue, l'acclration peut s'crire :
!
a (t) =
!
dvdt
= -
!
D2"r2e
r
!
ur = -
!
D2
4"2r3e2
!
ur , d'o en
fonction du temps :
!
a(t) = -
!
D2
4"2e2
!
1
r02 +
D"e
t#
$ %
&
' (
3/ 2
!
ur .
2. La description eulrienne dcrit le mouvement du fluide qui se trouve en un point fixe M donn. Ceci conduit considrer :
!
v (M, t) =
!
v (M) =
!
D2"re
!
ur indpendant du temps (la base locale est celle en un point
fixe).
On en dduit ensuite :
!
a(M, t) =
!
dvdt
=
!
"v"t
+
!
v "( )
!
v avec
!
"v"t
=
!
0 pour un fluide incompressible
dbit constant ; par ailleurs en coordonnes polaires :
!
" =
!
""r
!
ur +
!
1r""#
!
u" .
remarque : pour insister sur la diffrence de notations, on peut noter
!
DvDt
au lieu de
!
dvdt
.
Ceci donne :
!
a(M, t) =
!
a(M) =
!
D2"re
!
""r
!
D2"re
ur#
$ %
&
' ( = -
!
D2
4"2r3e2
!
ur .
remarque : on peut aussi utiliser la proprit mathmatique :
!
v "( )
!
v =
!
"v2
2#
$ %
&
' ( +
!
"#v( )
!
v avec
en coordonnes cylindriques :
!
"#v =
!
rot v =
!
1r"vz"#
$"v#"z
% & '
( ) *
!
ur +
!
"vr"z
#"vz"r
$ % &
' ( )
!
u" +
!
1r" rv#( )"r
$1r"vr"#
%
& '
(
) *
!
uz ;
ainsi :
!
"v2
2#
$ %
&
' ( =
!
D2
4"2e2
!
"1r2# $ %
& ' ( = -
!
D2
4"2r3e2
!
ur (dcrivant ici l'acclration d'entranement associe une
base locale qui suivrait le fluide) ;
!
"#v =
!
0 ;
!
"#v( )
!
v =
!
0 (dcrivant ici l'acclration complmentaire associe une base locale qui suivrait le fluide).
