Theorie Des Poutres

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28/02/2011 1 THEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS 1 THEORIE DES POUTRES 1.1 Définition : Soit une surface plane Σ de centre de gravité G. Soit une courbe quelconque G 0 G 1. . La poutre G 0 G 1 est le solide engendré par la surface Σ lorsque G décrit la courbe G 0 G 1 , le plan de Σ restant en chaque point normal à la courbe G 0 G 1 . G 0 G 1 G Σ La courbe G 0 G 1 est appelée fibre moyenne de la poutre (c’est la courbe qui relie les centres de gravité des sections) n Σ n THEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS 1 THEORIE DES POUTRES 1.1 Définition : Soit une surface plane Σ de centre de gravité G. Si G 0 G 1. est une courbe plane, la poutre est dite plane. Si G 0 G 1 est une droite, la poutre est dite droite. Si les sections Σ qui forment la poutre présentent un axe de symétrie, la poutre est dite à plan moyen. La plupart des poutres étudiées ici seront droites, à plan moyen et chargées dans le plan moyen.

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03 Theorie Des Poutres Sollicitations Compress

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    THEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS

    1 THEORIE DES POUTRES1.1 Dfinition :Soit une surface plane de centre de gravit G.Soit une courbe quelconque G0G1..La poutre G0G1 est le solide engendr par la surface lorsque G dcrit la courbe G0G1, le plan de restant en chaque point normal la courbe G0G1.

    G0

    G1

    G

    La courbe G0G1 est appele fibre moyenne de la poutre (cest la courbe qui relie les centres de gravit des sections)

    n

    n

    THEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS

    1 THEORIE DES POUTRES1.1 Dfinition :Soit une surface plane de centre de gravit G.Si G0G1.est une courbe plane, la poutre est dite plane.Si G0G1 est une droite, la poutre est dite droite.Si les sections qui forment la poutre prsentent un axe de symtrie, la poutre est dite plan moyen.

    La plupart des poutres tudies ici seront droites, plan moyen et charges dans le plan moyen.

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    1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Hypothse de llasticit du matriau : application de la loi de Hooke

    Comportement lastique => application du principe de superposition ( l effet de la somme est gal la somme des effets )

    E

    =

    ( ) ( ) ( )2121 +=+ Les dformes des poutres sont faibles devant les dimensions des poutres :

    E e (MPa) (MPa)

    Acier 200 000 500 0.0025 Soit 2,5 mm/m de raccourcissementBton 30 000 30 0.001 Soit 1 mm/m de raccourcissement

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    1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Hypothse de Navier-Bernouilli

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    1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Principe de Saint VenantLes rsultats* de la RDM Poutres ne seront valables que dans des sections suffisamment loignes des zones de chargement intense (en particulier charges ponctuelles et appuis).* Ces rsultats seront le calcul des contraintes et des dformations en fonction des sollicitations

    Fonctionnement en poutre :-Compression des fibres suprieures;-Traction des fibres infrieures

    1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Principe de Saint VenantLes rsultats* de la RDM Poutres ne seront valables que dans des sections suffisamment loignes des zones de chargement intense (en particulier charges ponctuelles et appuis).* Ces rsultats seront le calcul des contraintes et des dformations en fonction des sollicitations

    Fonctionnement en bielles

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    1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Principe de Saint Venant

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    Chargement ponctuel :1 MN sur une section S=1m

    Chargement rparti :1 MN/m

    Zone rgularise : = 1MPa

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    Zo

    ne

    de

    rgula

    risation

    de

    s co

    ntraintes

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    1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Principe de Saint Venant

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    Contrainte uniforme = 1 MPa

    1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Gomtrie des poutresLes rsultats* de la RDM Poutres sont dautant plus valables que :- les longueurs sont grandes devant les dimensions des section transversales ;- les rayons de courbures des fibres moyennes sont grandes devant les dimensions des section transversales ;- les sections transversales varient lentement;

    * Ces rsultats seront le calcul des contraintes et des dformations en fonction des sollicitations

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    1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Gomtrie des poutresLes rsultats de la RDM Poutres sont dautant plus valables que :- les longueurs sont grandes devant les dimensions des section transversales (L/H > 20) ;

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    mmEI

    FLfthor 73.0483

    == mmfmesure 90.0= Ecart = 23%Fonctionnement en poutre

    1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Gomtrie des poutresLes rsultats de la RDM Poutres sont dautant plus valables que :- les longueurs sont grandes devant les dimensions des section transversales (L/H > 20) ;

    THEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS

    mmEI

    FLfthor 36.0483

    ==

    Fonctionnement en bielles

    mmfmesure 62.0=

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    1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Gomtrie des poutresLes rsultats de la RDM Poutres sont dautant plus valables que :- les sections transversales varient lentement;

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    SOLLICITATIONS = EFFORTS INTERNES MIS EN EVIDENCE PAR UNE COUPURELes efforts appliqus la tour doivent descendre vers la base (fondation). Un petit tronon dx de la tour est non seulement soumis leffort w mais doit galement transmettre la base les efforts qui lui viennent de plus haut.

    x

    wH

    y

    z

    Efforts subis par une section la hauteur x.

    w

    x

    y

    )( xHwT =

    2)(21

    xHwM =

    21

    wHC =

    et transmis au reste de la tour

    wH

    21

    wHC =

    x

    y

    z

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    SOLLICITATIONS = EFFORTS INTERNES MIS EN EVIDENCE PAR UNE COUPURE

    La poutre G0G1 soumise un chargement quelconque est en quilibre. Donc toutes les parties qui composent la poutre sont en quilibre. Chacune des partie G et Ddlimite par la section est en quilibre. En particulier, D est en quilibre sous laction :

    - des efforts qui lui sont directement appliqus;- des efforts transmis par la section

    G D

    G0 G1G

    R1R0

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    SOLLICITATIONS = EFFORTS INTERNES MIS EN EVIDENCE PAR UNE COUPURE

    D est en quilibre sous laction :- des efforts extrieurs directement appliqus D :

    -des efforts de contact de G sur D dont le torseur rsultant, calcul en G, cdg de la section, est appel torseur de cohsion : ce torseur caractrise laction de G sur D transmise par

    [ ]DextF

    df

    y

    [ ]GcohT

    dS

    dSdSdf

    M

    G

    G D

    GxzdS

    Repre local

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    SOLLICITATIONS = EFFORTS INTERNES MIS EN EVIDENCE PAR UNE COUPURE

    [ ]DextF

    D

    dSdSdf

    M

    G

    G

    Gxz

    y

    Equilibre : [ ]GcohT+ = [ ]0Donc : [ ]GcohT = - [ ]DextFou : [ ]GcohT = + [ ]GextF

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    COMPOSANTES DU TORSEUR DE COHESION

    Les composantes sont exprimes dans un repre local :- laxe x est tangent la fibre moyenne et perpendiculaire la section de coupure,- les axes y et z sont dans le plan de la section de coupure

    [ ]GcohTGzz

    yy

    x

    MTMTMN

    = = [ ]GextF = - [ ]DextF

    y

    D

    G

    G

    Gxz

    N

    Ty

    Tz

    Mx

    My

    Mz

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    CONVENTIONS DE SIGNE DANS UN PROBLEME PLAN Caractrisation par les efforts de gaucheOn fait le bilan des actions extrieures appliques gauche de la coupure et on calcule leur torseur par rapport au cdg de la section de coupure avec les conventions de signe suivantes :

    x

    y

    z

    G

    N > 0

    Ty > 0

    Mz> 0

    = xFN

    = yy FT

    = Gextz FMM /)( ,G

    Caractrisation par les efforts de droiteOn fait le bilan des actions extrieures appliques droite de la coupure et on calcule leur torseur par rapport au cdg de la section de coupure avec les conventions de signe inverses :

    = xFN

    = yy FT

    = Gextz FMM /)( ,Dx

    y

    z

    GN > 0

    Ty > 0

    Mz> 0

    D , [ ]DextF

    G , [ ]GextF

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    EXEMPLES DE SOLLICITATIONSTHEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS

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    EXEMPLES DE SOLLICITATIONSTHEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS

    EXEMPLES DE SOLLICITATIONSTHEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS

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    RELATIONS ENTRE SOLLICITATIONS ET CONTRAINTES

    D

    dSdSdf

    L action locale de G sur D au point M est une petite force dfLa quantit est appele contrainte. Elle a pour composantes :

    dSdf

    M

    G

    G

    Gxz

    y

    dSdS

    Contrainte normale, projection de la contrainte sur la normale la section de coupure (repre local)

    Contrainte tangente, projection de la contrainte dans le plan de coupure (repre local), ayant 2 composantes y et z

    THEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS2 SOLLICITATIONS

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    RELATIONS ENTRE SOLLICITATIONS ET CONTRAINTES2 SOLLICITATIONS

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    NdSS

    = .Ces quations dquivalence donnent les relations entre contraintes et solliciations :

    yS

    y TdS =

    z

    S

    MdSy = ..

    yS

    MdSz = ..

    ( )x

    Syz MdSzy = ... z

    Sz TdS =

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    RELATIONS ENTRE SOLLICITATIONS ET CONTRAINTES2 SOLLICITATIONS