Strömungslehre –...

Wie verhält sich das Fluid bei:

a) Umströmung von Körpern (Kraftwirkung Medium-Körper, Tragfläche, Rührer, Begasen, Sedimentation, ..) b) Durchströmen von Apparaten und Anlagen (Energiebedarf, Kosten,)

Grundlegende Gleichungen (Beziehungen)

•Zustandsgleichung: ρρρρ = ρρρρ(p,T)

1

Erhaltungssätze: Massenerhaltung 0

Energieerhaltung 0

n

i

n

i

m

E

=

=

∑

∑

�

Strömungslehre – Fragestellungen

Prof. Dr. Hartmut WesenfeldStrömungslehre

1

1

1

Energieerhaltung 0

Impulserhaltung 0

i

n

i

E

J

=

=

∑

∑

•Bilanzgleichung:

zeitliche Änderung der Menge

Mengenstrom EIN Erzeugung Verbrauch

Mengenstrom AUS= - -+

Quelle: Vorlesungsskript „Verfahrenstechnik - mechanische Grundverfahren“ VT-PCT von Dipl.-Phys. Dipl.-Ing Uwe Gronowski, BHT Berlin WS 2014/15

Dichte ρρρρ Für reinen Stoff (1 Komponente):

Gemisch: i = Komponenten

ii

m m=∑

3

m kg

V mρ

=

Im Allgemeinen gilt: wegen V = V(p,T)

ρρρρ = ρρρρ(p,T)mittl. Dichte

n

i ni

ii

mm

V Vρ ρ= = =

∑∑

Partialdichte: ii

m

Vρ =

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten (I) - Dichtem

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


2

Flüssigkeiten

wegen V = V(p,T)

A1 Temperaturabhängigkeit ρρρρ = ρρρρ(T), p = konst. (isobare Zustandsänderung)

Wenn T steigt ⇒ V(T) steigt ⇒ ρ(T) wird kleiner (Ausnahme H2O bei 4 °C)�

Temperaturänderung: ∆T = T – T0 T0 Bezugs-, Arbeitstemperatur

Linearer Zusammenhang zwischen Temperatur- und Volumenänderung

Gültig für kleine Volumen-(Temperatur-)änderungen

ββββp: isobarer Wärmeausdeh-nungskoeffizient

dadurch Volumenänderung�

V0:Bezugsvolumen

∆V(T) = βp. V0

. ∆T∆V(T) ∼ V0. ∆T �

iV V

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Dampfdruck und Dichte von Wasser

mec

hani

sche

Gru

ndve

rfah

ren“

In

g U

we

Gro

now

ski,

BH

T B

erlin

WS

201

4/15


3

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Rot: Ausgangsvolumen V0 mit T0 und ρ0

Temperatur: T = T0 + ∆T

Volumen: V(T) = V0 + ∆V(T) = V0 . (1 + βp

. ∆T )V0

Ansatz: Masse bleibt während der Zustandsänderung erhalten

� gesucht ρ(Τ)

� m = ρ0 .V0 = ρ(Τ) .... V(T) m = ρ0

.V0 = ρ(Τ) .... V(T) = ρ(Τ) V0 . (1 + βp

. ∆T )

Schwarz: verändertes Volumen V(T) mit T und ρ(Τ)

V(T)

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten (II) - Dichtem

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


4

0( )1 P

TT

ρρ

β=

+ ⋅ ∆�

∆T

1

0

βp

p = konst.

Gültigkeitsbereich

ρ/ρ0

Tafel Wärmeausdehnungs-koeffizient

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

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stec

hnik

-m

echa

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ahre

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VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Isobarer Wärmeausdehnungskoeffizient ββββp

x 10-3 1/K (Wasser)

mec

hani

sche

Gru

ndve

rfah

ren“

In

g U

we

Gro

now

ski,

BH

T B

erlin

WS

201

4/15


55

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

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hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

A2 Druckabhängigkeit ρρρρ = ρρρρ(p), T = konst. (isotherme Zustandsänderung)

Wenn p steigt ⇒ V(p) wird kleiner ⇒ ρ(p) steigt�

Druckänderung: ∆p = p – p0 p0 Bezugs-, Arbeitsdruck

βT isothermer Kompressibilitätskoeffizient

dadurch Volumenänderung ∆V(p) = - βT. V0

. ∆p p0 Bezugsdruck, �

Gültig für kleine Volumenänderungen�

Linearer Zusammenhang zwischen Druck- und Volumenänderung

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten (III) - Dichtem

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


6

Que

lle:

Vor

lesu

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t „V

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hren

stec

hnik

-m

echa

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rund

verf

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n“

VT

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T v

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Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

� gesucht ρ(p) Ansatz: Masse bleibt während der Zustandsänderung erhalten

� m = ρ0 .V0 = ρ(p) .... V(p) m = ρ0

.V0 = ρ(p) .... V(p) = ρ(p) V0 . (1 - βT

. ∆p )

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten (IV) - Dichte

mec

hani

sche

Gru

ndve

rfah

ren“

In

g U

we

Gro

now

ski,

BH

T B

erlin

WS

201

4/15


7

ρ /ρ0

∆p

1

0

T= konst.

βT

Gültigkeitsbereich

0( )1 T

pp

ρρ

β=

− ⋅ ∆�

0( , )(1 ) (1 )p T

p TT p

ρρ

β β=

+ ⋅ ∆ ⋅ − ⋅ ∆

Allgemeiner Zusammenhang ρ(T,p) :

Beispiel �Tabelle Kompressibilitäts-koeffizient

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

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hren

stec

hnik

-m

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rund

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ahre

n“

VT

-PC

T v

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ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Isothermer Kompressibilitätskoeffizient ββββT

Wasser

mec

hani

sche

Gru

ndve

rfah

ren“

In

g U

we

Gro

now

ski,

BH

T B

erlin

WS

201

4/15


88

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

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hren

stec

hnik

-m

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he G

rund

verf

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n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Grundlage ideales Gasgesetz: p . V = n . R . T R = allgem. Gaskonstante 8,314 J/mol K n = Stoffmenge [mol]

Gilt auch im Bezugspunkt:

00 0 0

0

( , )p M

p TR T

ρ ρ⋅

= =⋅ �

00

0

( , )Tp

p Tp T

ρ ρ

= ⋅ ⋅

� ( , )p M

p TR T

ρ⋅

=⋅

Zustandsgleichungm

ρ

m

M

molare Masse

Stoffeigenschaften von Gasen - Dichte

mec

hani

sche

Gru

ndve

rfah

ren“

In

g U

we

Gro

now

ski,

BH

T B

erlin

WS

201

4/15


9

0p T

( %)

100%i i

i

ges

n Volx

n= =

Ideale Gemische

m

m i

( , ) M = mittlere molare Masse

M x = Molenbruch

m

i ii

M pp T

R T

M x

ρ = ⋅

= ⋅∑

Reale Gase

1( , )

( , )

M pp T

R T Z p Tρ

= ⋅ ⋅

Z = Z(p,T) Realgasfaktor

Z(p,T) = 1 + a(T).p + b(T).p2 +....

Van der Waals Gleichung

( )2

ap + V-b =R T

V

⋅ ⋅

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

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hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Definition Schubspannung ττ = F/A

wPl

wPl = 0

Reibung durch innere Bindung der Moleküle, TeilchenVerschiebung der Molekül(Teilchen)-Ebenen;Scherung, Schubspannung τ, tangential wirkend (entgegen Geschwindigkeitsrichtung)

Flüssigkeit

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten (V) - Viskositätm

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


10

Aus Diagramm: Pl xw dw

h dz=

Zwischen ruhender und bewegter Platte ändert sich die Geschwindigkeit linear, ähnliche Dreiecke; Newton‘sche Flüssigkeit

η Proportionalitätskonstantedynamische ViskositätEinheit [Pa.s]

xx

dwF A

dzη= ⋅ ⋅�

konstantxdw

dz=

Geschwindigkeitsgradient

ην

ρ= ν kinematische Viskosität

Einheit [m2/s]

Aus der Erfahrung:Kraft Fx steigt linear mit der Geschwindigkeit wPl und Plattenfläche AKraft Fx ist umgekehrt proportional zum Abstand h

h soll klein gegen A/x sein A; h <<A/xnur die nächsten Ebenen werden betrachtet, „Grenzschicht“

h

wF Pl

x A~ ⋅

dz

dwF x

x A~ ⋅

Que

lle:

Vor

lesu

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krip

t „V

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VT

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Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Viskosität ist abhängig von Temperatur und Druck η = η(T,p) :

T

η(T) Gase und Dämpfe:erhöhte Molekülbewegung � vermehrte Zusammenstöße � größere Wechselwirkung untereinander

( )b

TT A eη = ⋅

Flüssigkeiten:innermolekulare Kräfte „weichen“ auf, Stoffe werden „flüssiger“

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten (VI) - Viskositätm

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


11

T

Reibung heißt VerlusteViskositäts-, Zähigkeitsverhaltenverhalten

η

τ

xdwF = η A τ = konst.

dz⋅ ⋅ →

Newton‘sche Fluide

τ

η

τ konst.≠

Nichtnewton‘sche Fluide

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

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stec

hnik

-m

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he G

rund

verf

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n“

VT

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T v

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Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Nicht-Newton‘sche Fluide

τ

η

1

2

2 Dilatante Stoffe (Druckfarben, Pasten, Silikone, ..) selten;

1 Strukturviskose Stoffe (Polymere, Suspensionen, Kautschuk,...)

mit zunehmenden Geschwindigkeitsgefälle orientieren sich die

Partikel in der Flüssigkeit in Fließrichtung, → geringere

Reibungsverluste

τ

η

Thixotrope Stoffe (zeitabhängiges Fließverhalten)

Viskosität nimmt der Zeitdauer der Scherbeanspruchung

ab, (Treibsand, Gelantinelösung, Kleister)

t = 0 Anfangszeitpunkt

tn Endwert

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten (VII) - Viskositätm

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


12

Reopexe Stoffe umgekehrtes Verhalten wie thixotrope Stoffe

bestimmte Schmierstoffe (Gips-Wasser-Suspension ab 40%)

τ

η

τ

η

t = 0 Anfangszeitpunkt

tn Endwert

Plastische Stoffe bis zu einem bestimmten τkritisch

Verhalten wie Feststoff und Ruhezustand, dann

Fließeigenschaft (Kitt, Dispersionen, Glas, ..)

τkritisch

Fließgrenze

fest

fließen

η → ∞

Tabelle kin. Viskosität

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

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hren

stec

hnik

-m

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verf

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VT

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Phy

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ipl.-

Ing

Uw

e

Daten kin. Viskositätp = 1 bar

mec

hani

sche

Gru

ndve

rfah

ren“

In

g U

we

Gro

now

ski,

BH

T B

erlin

WS

201

4/15


1313

ν Wasser

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

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hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Sättigungs-dampfdruck

isothermer Kompressibilitätskoef.

isobarer Kompressibilitätskoef. kinem. Viskosität dyn. Viskosität Dichte

T/°C pw s/mbar βT/10-6 bar-1βp/10-3 K-1

ν/10-6 m2/s η/10-6 Pa.s ρ/kg/m3

0 6,11 51,1 -0,0838 1,750 1750,0 999,8

10 12,27 48,3 0,0832 1,310 1302,0 999,7

20 23,37 46,8 0,2072 1,000 1000,0 998,3

Stoffdaten für Wasserm

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


1414

30 42,41 46,0 0,3056 0,805 799,0 995,7

40 73,75 44,9 0,3890 0,658 653,1 992,3

50 123,35 44,9 0,4622 0,550 545,0 988,0

60 199,20 45,5 0,5288 0,466 469,0 983,2

80 473,60 46,9 0,6473 0,348 354,5 971,6

100 1013,30 - 0,7531 0,291 278,2 958,1

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Hydrostatischer Druck - Auftrieb

Fläche

KraftDruck ====

A

Fp =

gungBeschleuniMasse ·Kraft ==== amF ⋅=

Im natürlichen Schwerefeld der Erde:a = Erdbeschleunigungsfaktor g = 9,81 N/kg

ρElement

ρUmgebung

A

FSchwer

rrrr

FAuftrieb

rrrr


15

VolumenDichte ·Masse ==== Vm ⋅= ρ

resultierende Dichte/Kraft: ρ = ρElement - ρUmgebung

ρElement > ρUmgebung � Element sinkt (z. B. Sedimentation)

ρElement < ρUmgebung � Element schwimmt (z. B. Flotation)

ρElement = ρUmgebung � Element schwebt

a = Erdbeschleunigungsfaktor g = 9,81 N/kg

Die Auftriebskraft ist „negative“ Schwer-kraft, sie wirkt der Schwerkraft genau entgegen

Hydrostatischer Druck - Schweredruck

aA

Vp ⋅⋅= ρ

A

p0

h

gungDichte ·Druck ==== Beschleuni·

FlächeVolumen

Druck einer Wassersäule im natürlichen


16

ρWasserh

A

pWS

hgpppppp SchwerestatWSB ⋅⋅+=+=+= ρ0.0

Resultierender Bodendruck am Behälterboden:

Druck einer Wassersäule im natürlichen Schwerefeld der Erde:ρ = ρWasser

= ha = Erdbeschleunigungsfaktor g = 9,81 N/kgAV

hgp WasserWS ⋅⋅= ρ

pB

Hydrostatischer Druck - Schweredruck

Umrechnung zwischen Druck und Höhe:

Herleitung der Druckeinheiten:g = 9,81 N/kg

hgp ⋅⋅= ρ pg

h ⋅⋅

=ρ

1

760 mm Quecksilber

Hg

10 mWasser

H2O


17

ρ = ρWasser (1000 kg/m³), h = 10 m �� p = 98.100 Pa = 0,981 bar

ρ = ρHg (13.590 kg/m³), h = 0,76 m�� p = 101.325 Pa = 1,013 bar

10 m WS ≙ 0,981 bar oder 98.100 Paannähernd gleicher Schweredruck ≈ 1bar

früher:1 techn.

Atmo-

sphäre

[at]früher:760 Torr

[Torr]

pB1 = p1 + ρ . g . h1

pB2 = p2 + ρ . g . h2

∆p macht ∆h

ρ

p1 + ρ . g . h1 = p2 + ρ . g . h2

p2 – p1 = ∆p = ρ . g . (h1- h2 ) = ρ . g . ∆h

Hydrostatischer Druck - kommunizierende Gefäßem

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


18

Bodendruck pB1 Bodendruck pB2

∆p macht ∆h

Hydrostatisches Paradoxen

Druck überall gleich pB = ρ . g . hB

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

ρρρρ3333

ρρρρ2222

ρρρρ1111h1

h2

h3

pL

Bodendruck pB

pB = pL + ρ1. g . h1 + ρ2

. g . h2 + ρ3. g . h3

Bodendruck pB

ρ1< ρ2< ρ3

Hydrostatischer Druck – Schichtung von Fluiden

mec

hani

sche

Gru

ndve

rfah

ren“

In

g U

we

Gro

now

ski,

BH

T B

erlin

WS

201

4/15


19

Relativdruck prel = p - p0 ist bezogen auf den barometrischen Druck p0 , positiv oder negativ

Überdruck: pÜ = p - p0 > 0Unterdruck: pU = p - p0 < 0

Absolutdruck pa ist bezogen auf das Vakuum (pVakuum = 0); immer positiv

Druckbegriffe:

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

stationäre Strömung = zeitunabhängige Strömung � ∂/∂t = 0Strömungsbild bleibt erhalten

instationäre Strömung = zeitabhängige Strömung � ∂/∂t ≠ 0Strömungsbild bleibt nicht erhalten

stationäre Strömungsfelder: eindimensionale Strömung

, , ,w m V ρr &&

Strömungsraum, -bündel, -röhre 2

A21

A1Stromfäden, -linien

2 2 2 2, , ,w m V ρr

&&dl1

dV1 = A1 .w1. dt

dV2 = A2. w2

. dt

dl2

22

dlw

dt=

Hydrodynamik – Kontinuitätsgleichungm

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


20

Beschreibung von Strömungsvorgängen mittels Massenbilanz; Massenerhaltung 1 2m m=& &

eindimensionale Strömung FadenströmungReibungsfrei η = 0

1 1 1 1, , ,w m V ρr && w

r

2( )r tr

1( )r tr

Geschwindigkeit w tangentialr

1 1 1m Vρ= ⋅ &&

Kontinuitätsgleichung, Stetigkeitsgleichung

Für inkompressible Strömungen gilt ρ1 = ρ2 : 1 1 2 2 .A w A w konst⋅ = ⋅ = 1 2V V=& & V A w= ⋅&

11

dlw

dt=

1 1 1 2 2 2A w A wρ ρ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

11

dV

dtρ= ⋅ 1 1 1 2A w mρ= ⋅ ⋅ = &

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Stromröhre

1

2Druckenergie

Kinetische Energie

Potentielle Energie 1 m g z⋅ ⋅ 2 m g z⋅ ⋅

1 1

mp V = p

ρ⋅ ⋅ 2 2

mp V = p

ρ⋅ ⋅

21

mw

2⋅ 2

2

mw

2⋅

1 2Energieformen

Hydrodynamik – Bernoulli-Gleichungm

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


21

schwere statischer dynamischer

Druck

Die innere Energie bleibt entlang der Stromlinie erhalten Energiebilanz:1 2E = E∑ ∑

Dimension: Energie/Masse [m2/s2]2p w

g z + + = konst.ρ 2

⋅

2p wz + + = konst'.

g ρ 2 g⋅ ⋅Dimension: Länge [m]

2ρρ g z + p + w = konst''.

2⋅ ⋅ ⋅ Dimension:

Druck [Pa]

ph + pst + pdyn = pges = konst.

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

w2 < w1 p2 > p1

Hydrodynamik – Bernoulli-Gleichung: graf. Darstellungm

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


22

potentielle Energie

kinetische Energie

Druckenergie

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

p0 Barometer- Luftdruck p0

ρρ

StromfadenStromfaden

Hydrodynamik – Ausfluss aus offenen Behälternm

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


23

Bernoulli Gleichung, Höhenformel

( )2 21 2 2 1 1 0 2 0 1 2

1, ,

2z z w w mit p p p p z z h

g− = ⋅ − = = − =

⋅

Annahme: d1>>d2 → w2 >> w1 → w1 gegenüber w2 vernachlässigen → w1 ≈ 0

22

2

wh

g=

⋅2 2w g h= ⋅ ⋅

„Torricelli“Ohne Berücksichtigung von Reibung, Strahleinschnürungen,Größe und Form der Ausflussöffnung

Vergleich zur Mechanik: Freier Fall

g

w

g

pz

g

w

g

pz

⋅+

⋅+=

⋅+

⋅+

22

222

2

211

1ρρ

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Hydrodynamik – Ausfluss aus einem zylindrischen Behälter, inkompressible stationäre Strömung

veränderl.

Bernoulli-Gleichung, Höhenformel:

.2221

22

21 konstzz g

wg

w =+=+ ⋅⋅ .2221

21 konstwdwd =⋅=⋅

Kontinuitätsgleichung:

1

)(24

2

1

211

−

−=

d

d

zzgwKombination:

zeitl. Änderung Spiegelniveau: )(

1

)(2214

1

211

1 zzd

zzg

dt

dz bw −=

−

−==− )( 21

1 zzdt

dz b −=−

dz b

w1


24

12

1

d

d−

Variablentrennung: dtzz

dz b−=− 21

1

Integration: ∫ ∫−=−

2

1 0

1

21

1z

z

tA

dtdzzz

b

Lösung:Atzz b ⋅−=−− 212

bt zzA

212 −=

1

4

2

1

2

2 21

−

−=

d

d

g

zzA

t

Resubstitution von b �

Abflusszeit:

1 2

2 21 2

1 1 2 2

potentielle Energie m g z m g z

m mkinetische Energie w w

2 2

m mDruckenergie p V = p p V = p

ρ ρ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 2Energieformen

mp ∆ ⋅

Hydrodynamik – Reibungsbehaftete inkompressible Strömungm

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


25

Frage: in welcher Energieform äußern sich die Reibungsverluste?

Potentielle Energie:

kinetische Energie:

Druckenergie:

V

mp

ρ∆ ⋅

Höhe z unabhängig von der Reibung

Reibungsverluste äußern als Druckabfall ∆pV, p2 an Stelle 2 ist um ∆pV geringer als an Stelle 1

V& und A ebenfalls unabhängig von der Reibung, inkompressible StrömungV

wA

=&

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

1 2

2 21 2

1 1 2 2

potentielle Energie m g z m g z

m mkinetische Energie w w

2 2

m mDruckenergie p V = p p V = p

ρ ρ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 2Energieformen

mp ∆ ⋅

Hydrodynamik – Reibungsbehaftete inkompressible Strömungm

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


26

Schwere- statischer- dynamischer- reibungs-

Druck

Die innere Energie bleibt entlang der Stromlinie erhalten1 2E = E∑ ∑

Reibungsverlust äußern sich als Druckverlust ∆pV

V

mp

ρ∆ ⋅

2 2 V1 1 1 2 2 2

∆p mm m m m+ w = m g z +p + w + = konst.

ρ 2 ρ 2 ρm g z p

⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Reibungs-, Verlustglied

2Vpp w

g z + + + = konst.ρ 2 ρ

∆⋅

2Vp w p

z + + + = konst'.g ρ 2 g gρ

∆

⋅ ⋅ ⋅

2V

ρρ g z + p + w + p = konst''.

2⋅ ⋅ ⋅ ∆

ph + pst + pdyn + ∆pV = pges = konst‘‘.

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

w2 < w1 p2 > p1

Druckenergie

Hydrodynamik – Reibungsbehaftete inkompressible Strömung: graf. Darstellungm

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


27

potentielle Energie

kinetische Energie

„Energieverlust“ durch Reibung

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Wie sieht der Übergang von einer zur anderen Strömungsform aus?

Es gibt einen unstetigen Übergang (Sprung) zwischen beiden Strömungszuständen:

Laminare Strömung:

Stromlinien bleiben zeitlich konstant Stromlinien verwirbeln sich mit der Zeit

Turbulente Strömung

Strömungsformen


28

Für Rohrströmung gilt:

Re < Rekr = 2320

Re > Rekr = 2320

laminare Strömung

turbulente Strömung

Rohr liegt waagerecht, nur Druck- und Reibungskräfte wirken

Im Gleichgewicht gilt: Druckkraft = Reibungskraftoder Reibungsverlust = Druckverlust

b) Reibungskraft

AM

a) Druckkraft

FD = (p1 - p2) . r2 . π = ∆p . A

A

w

laminare, inkompressible Strömung, kreisförmiger Querschnitt

Druckabfall in Rohrleitungen, Berechnung von ∆pV


29

FR = -AM. η . dw/dr = -2 π . l . r . η . dw/dr

Mantelfläche AM

Kräftegleichgewicht bei RohrströmungKräfte in Strömungsraum +, aus Strömungsraum -

(p1 - p2) . r2 . π = -2 π . l . r . η . dw/dr�

( )2 21 20

p pw(r) r - r

4 η l

−= ⋅

⋅ ⋅

Geschwindigkeitsprofil, -verteilungparabolisch, symmetrisch um Achse

W = 0

wmax

W

1 2p pdw = - r dr

2 lη

−⋅ ⋅ →

⋅ ⋅C aus Randbedingung: r = r0 → w = 0 21 2p p

w(r) - r4

Clη

−= ⋅ +

⋅ ⋅1 2p p

w(r) - r dr2 lη

−= ⋅ ⋅ →

⋅ ⋅ ∫

Druckabfall in Rohrleitungen, Berechnung von ∆pVm

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


30

parabolisch, symmetrisch um Achse

21 2max 0

p pw = w(r = 0) r

4 η l

−= ⋅

⋅ ⋅

maximale Geschwindigkeit

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

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he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Druckabfall in Rohrleitungen, Berechnung von ∆pVIg

nato

witz

, Ver

lag

Eur

opa-

Lehr

mitt

el


31

mittlere Geschwindigkeit,maßgebende Größe,ab jetzt w = w

20r

V

A

Vw

⋅==

π

&&

Que

lle:

Che

mie

tech

nik

von

E. I

gnat

owitz

( )40 1 2r p -p

V = 8 l

π

η

⋅ ⋅

⋅ ⋅&

Hagen - Poiseuillesches Gesetz

Für technische Zwecke ist häufig (p1 - p2) = ∆pV zu bestimmen, r0 → d/2, η → ν . ρ , → V = A w⋅&

Druckabfall bei laminarer Rohrströmungm

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15

maxww =

2


32

21 2 V

νp - p = p = 64 w

d 2 d w

l ρ∆ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

Strömungsform

kin. Energie

Geometrie

2Vp = w

d 2

l ρλ∆ ⋅ ⋅ ⋅ λ= Rohrreibungszahl, Tabellen

laminare Strömung

d wRe =

ν

⋅ Renoldzahl beiRohrströmung

→

Für technische Zwecke ist häufig (p1 - p2) = ∆pV zu bestimmen, r0 → d/2, η → ν . ρ , → V = A w⋅&

64λ =

Re

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

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stec

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VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Gesetzmäßigkeiten sind theoretisch nicht in geschlossener Form ableitbar, da mehrere Faktoren (Wandrauhigkeit) berücksichtigt werden müssen

Es muß ein empirischer Ansatz für die Geschwindigkeitsverteilung gefunden werden:

1

n0

max

0

r - rw(r) = w

r

⋅

n = n(Re)

k Wandrauhigkeit

Rohrreibungszahl:

Druckabfall bei turbulenter Rohrströmung

mec

hani

sche

Gru

ndve

rfah

ren“

In

g U

we

Gro

now

ski,

BH

T B

erlin

WS

201

4/15


33

Rohr Rohrinnenfläche

Strömung

k

wd

Stromfäden können der Kontur nicht folgen, reißen Wirbel, Turbulenzen

Wmax

Rohrreibungszahl:λ = λ(Re, d/k)

Wandrauhigkeit

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Daten Wandrauhigkeit k

mec

hani

sche

Gru

ndve

rfah

ren“

In

g U

we

Gro

now

ski,

BH

T B

erlin

WS

201

4/15


34

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

ReibungsfreieStrömung

Recheckprofil

Reibungsbehaftete, laminareStrömung parabolförmiges Profil

Reibungsbehaftete, turbulenteStrömung abgeflachtes parabolförmiges Profil

w w w

Strömungsprofile


35

2Vp = w

d 2

l ρλ∆ ⋅ ⋅ ⋅

64λ =

Re λ = λ(Re, d/k)

Laminare Strömung Turbulente Strömung

Re < Rekr = 2320 Re > Rekr = 2320

Was bedeutet das für den Druckverlust durch Reibung?

→ Diagramm

Rohrreibungszahl λλλλ


3636

Empirischer Ansatz: ζ = Widerstandszahl (Zeta), dimensionslos, je nach Art der Einbauten, Re, .. Sind die Werte aus Tabellen zu entnehmen

2

v

ρ wp

2ς

⋅∆ = ⋅

2

2

1

A1

Aς

= −

Beispiele:

Druckverlust durch Einbauten (Ventile, Krümmer, ...)m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

Ing

Uw

e G

rono

wsk

i, B

HT

Ber

lin W

S 2

014/

15


37

Der Gesamtdruckverlust ∆pV setzt sich additiv aus den Bestandteilen Reibungsverluste, Einbauten und Höhenverluste zusammen

∆pV = ∆pV,Reibung + ∆pV,Einbauten + ∆pV,Höhe

w,p

w,p

w1 < w⇒ p1 > p

w2 > w⇒ p2 < p

d

dQuer- Sekundärströmung

AblösegebieteRohrkrümmer: 45°.....90°ζ : 0,1....0,2..........0,5

hydraulisch

glatt rauh Tabelle Einzelwiderstände Bauteile

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Koeffizienten der Einzelwiderstände ζ für verschieden Bauteile (aus K. F. Pawlow, P. C. Romankow, A. A. Noskow: Beispiele und Übungsaufgaben zur chemischen Verfahrenstechnik,

VEB Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, 1979)


38

2 21 1 2 2

2 10,2 2

p w p ww w w

ρ ρ+ = + = =

Bernoulli-Gleichung für Stromlinie durch Staupunkt,Energieerhaltung, waagerecht → z1 = z2

Staupunkt w2 = 021

ww

p1 p2

d

Stromfäden

22 1 2 12 dynp p w p p p p

ρ− = ⋅ = − = ∆

Durchsatzmessungen – Prandtl-Staurohr

Durchsatzmessung:

Q = F1w1mec

hani

sche

Gru

ndve

rfah

ren“

In

g U

we

Gro

now

ski,

BH

T B

erlin

WS

201

4/15


39

p1 = statischer Druckp2 = Gesamtdruck

∆p = (ρM-ρ)·g·∆h(ρM: Dichte Manometerflüssigkeit)

ρ

ppw ∆⋅= 2)(

Q = F1w1

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

d1

w1

d2; w2

d verkleinern

Durchsatzmessungen – Venturi Düse

Durchsatzmessung:

mec

hani

sche

Gru

ndve

rfah

ren“

In

g U

we

Gro

now

ski,

BH

T B

erlin

WS

201

4/15


40

p1 p2

d2 verkleinern

2 21 1 2 2

ρ ρ+ w = p + w = konst.

2 2p ⋅ ⋅ 2 2

1 1 2 2d w = d w = konst.⋅ ⋅Bernoulli-Gleichung Kontinuitätsgleichung

−

∆⋅=1

21 4

2

1

d

d

pwρ

Durchsatzmessung:

Q = F1w1

Que

lle:

Vor

lesu

ngss

krip

t „V

erfa

hren

stec

hnik

-m

echa

nisc

he G

rund

verf

ahre

n“

VT

-PC

T v

on D

ipl.-

Phy

s. D

ipl.-

Ing

Uw

e

Durchsatzmessungen – Schwebekörper-Durchflussmesser

Ber

echn

unge

n zu

r C

hem

iete

chni

k vo

n E

. Ign

atow

itz, G

. Fas

tert

und

H. R

app,


41

Que

lle:

Ber

echn

unge

n zu

r C

hem

iete

chni

k vo

n E

. V

erla

g E

urop

a-Le

hrm

ittel

201

4

Pumpen – Übersicht Zentrifugal-/VerdrängertypIg

nato

witz

, Ver

lag

Eur

opa-

Lehr

mitt

el


42

Que

lle:

Che

mie

tech

nik

von

E. I

gnat

owitz

Pumpen – Übersicht Sonstige AuslegungP

umpe

n un

d P

umpe

nanl

agen

von

W. B

ohl u

nd H

. Bau

ernf

eind

, Überschlägige Berechnung der Pumpenleistung:

η

gHQP ⋅⋅=

P: Pumpenleistung [W bzw. Nm/s]


43

Que

lle:

Pum

pen

und

Pum

pena

nlag

en v

on W

. Boh

l und

H. B

auer

nfei

nd,

Gra

fena

u, 1

979

Q: Massenstrom [kg/s]

H: Förderhöhe [m]

g: Erdbeschleuni-gungsfaktor 9,81 N/kg

η: Wirkungsgrad [-]

Pumpen – KennlinienIg

nato

witz

, Ver

lag

Eur

opa-

Lehr

mitt

el

Zentrifugalpumpen: Verdrängerpumpen:

Anlagenkennlinie:Hgeo: Schweredruckhöhe [m]

HP: statische Druckhöhe [m]

ΣHJ: dynamische Druckhöhe [m]


44

Que

lle:

Che

mie

tech

nik

von

E. I

gnat

owitz

Verdichter - ÜbersichtArbeitsbereiche von Verdichtertypen:

a

b

a


45

Quelle: Chemietechnik von E. Ignatowitz, Verlag Europa-Lehrmittel

c d

b

c d

Schüttschichten - Wirbelschichten


46

Ruheschüttung Wirbelschicht expandierende Wirbelschicht

Schüttschichten - Wirbelschichten - Druckverlust

dp: Druckverlust

w: Fließ-geschwindigkeit

wL: Lockerungs-geschwindigkeit


47

A: Festbett

B: Fließbett

C: Förderung

Schüttung – Berechnung Druckverlust

Volumen:

gsges VVV +=

Leerraumanteil:

ges

gg

V

V=ε

Vges: Gesamtvolumen

Vs: Feststoffvolumen

Vg: Gasvolumen

εg: Leerraumanteil

dÄq: Äquivalentdurchmesser

VP: Teilchenvolumen

Vg

Feststoff

Vs


48

Durchmesser kugelförmiger Teilchen:

P

PÄq A

Vd

6=

Spezifische Oberfläche:

Äq

gg

P

Pg

S

S

ges

SV

dNV

NA

V

A

V

Aa

)1(6)1()1(

εεε

−=−=−==

P

AP: Teilchenoberfläche

AS: Feststoffoberfläche

aV: spezifische Oberfläche

N: Teilchenanzahl

Schüttung – Berechnung Druckverlust

Leerrohrgeschwindigkeit:

uu g ⋅= ε0

Druckabfall in der Schüttung:

202

(Re) ud

Lp g

Äq

⋅⋅⋅=∆ρ

λ

Analogie zur reibungsbehafteten freien Rohrströmung � Einführung der Leerrohrgeschwindigkeit und des Äquivalentdurchmessers


49

Widerstandsbeiwert (Ergun-Gleichung):

][ 5,3Re

1300

1(Re)

3+

−−= g

g

g ε

ε

ελ

Reynolds-Zahl:

g

gÄq ud

η

ρ⋅⋅=

0Re

empirische Gleichung unter Berücksichtigung theoretischer Überlegungen

(Geschwindigkeit w = u

aus Analogie zum Praktikumsskript)

Strömungslehre –...

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