Mechanische Wellen

Tritt eine Störung ξ zum Zeitpunkt t = 0 an der Stelle z = z0 auf und breitet sich ungedämpft mit der Geschwindigkeit v aus, dann befindet sie sich zum Zeitpunkt t1 an der Stelle z1 .

ξ ist konstant für alle WerteÞ

z vt z0

Þ

z, t f z vt

: f u

z

dfdu

dudz

dfdu

1

vdudf

dtdu

dudf

t

2z2

d2 fd2u

2t 2

d2 fd2u

v2

2z2

1v 2

2t 2

Wellen-Gleichung

z1, t1 z0,0 z1 vt1,0 Þ

Gaub 1WS 2014/15

Mechanische Wellen

Wellengleichung:

2z2

1v 2

2t 2

Alle Lösungen dieser Gleichung sind Wellen mit der Geschwindigkeit v,die Randbedingungen selektieren daraus spezielle.

Z. B. harmonische ebene Welle in z-Richtung:

Beschreibt ξ eine mechanische Auslenkung, kann diese senkrecht (Transversalwelle) oder parallel (Longitudinalwelle) zur Ausbreitungsrichtung sein.

2z2 k 2 In beiden Fällen gilt:

2t 2 2

kztAtz sin),(

(z, t) C ei t kz oder

v vPh k

fPhasengeschwindigkeit

k 2

Wellenvektor:

Gaub 2WS 2014/15

WS 2014/15 3

Ebene Mechanische Wellen

Transversalwelle (ξ = Δx):

kztAx sin

Longitudinalwelle (ξ = Δx):

kztBz sin

vPh E

vPh G

Gaub

Transversale Wellen entlang einer gespannten SaiteRücktreibende Kraft auf ein Längenelement ds einer in z-Richtung gespannten Saite bei Auslenkung in x-Richtung:

zdzzx FFdF sinsin

zz

FdzFz

F sinsinsin

dzFz

sin

Für kleine dx gilt:

1 Þ

sin tan xz

Þ

dFx F 2xz2 dz

Mit der Saitenmasse μ pro Längeneinheit und der Näherung ds ≈ dz ergibt sich die Newtonsche Gleichung:

dz 2xt 2 F 2x

z2 dz

vPh F

Schallwellen in Gasen:

Der Schermodul in Gasen verschwindet, daher nur Longitudinalwellen. Läuft durch das Volumen V = A dz an der Stelle eine ebene Longitudinalwelle mit der Schwingungsamplitude ξ, dann ist an der Stelle

z z0

z z0 dz

z0 dz z0 z

dz

dV A z

dz

dp p dVV

p z

mit F = dV grad(p) ergibt sich die Nettokraft

dFz A dz z

dp

p A 2z2 dz

dm dV A dzauf die Masse

vPh p

2t 2

p

2z2

Newton:

K

v2

3

v2 3kTm

3p

vPh 3

p

p Vn m

n k Tn m

k Tm

weil

WS 2014/15 6

Schallwellen sind typischerweise Kugelwellen

(r,t) f (r)ei t kr

f (r) 0 / r

Durch jede Kugelfläche 4πr2 muss die selbe Leistung P ≈ transportiert werden

20

f 2 (r)4r2 const

(r, t) 0

rei t kr

Gaub

Elliptisch polarisierte Wellen

(z,t) (x0 y0ei )ei t kz

Ebene Wellen mit beliebiger Ausbreitungsrichtung

rktiebiatr

)(),(

= const für Phasenfläche

k r

k (r 1

r 2 ) 0

k

2

2

2

1),(tv

tr

0

Gaub 7WS 2014/15

8

Akustik:

u ddt

A sin t kz u0 sin t kz

pz

2t 2

kzt cos02

kztpppkztk

p sinsin10000

2

f0

vPh0

vPhu0

Druck-Amplitude

p0

2

0

Mittlere Energiedichte der Schallwelle:

dWdV

w 12 2 0

2

12

p02

vPh2

12 u0

2Ekin/V der durch die Schallwelle aus-gelenkten Teilchen

=> Intensität (Energieflussdichte)

I vPhdWdV

12

p02

vPh

12

vPh u02

Schall-druckpegel:

Lp 10log10 p pS 2 20 log10 p pS (Hörschwelle)∆ps= 2*10-5 Pa

=> Lautstärke (subjektiv!)

Lst 10 log10 I() Imin ()

Geschwindigkeitsamplitude oder Schallschnelle.

[Lst] : Phon

Z u0

Schallwellen-widerstand (Impedanz)

9WS 2014/15

Z2Z1

uein, pein

uref, pref

ut, pt

Randbedingungen in der Grenzfläche :

ut uein uref

pt pein pref

Z2 1 r Z1 Z1 r

Z2 r Z2 Z1 Z1 r

Schall-Reflexion an Grenzflächen

Z2 ut Z1 uein Z1 uref

refeinrefein uZuZuuZ 112

Z2 1uref

uein

Z1 Z1

uref

uein

Z2 r Z1 r Z1 Z2

Iein

Iref

It

R Iref

Iein

uref

2

uein2

uref

uein

2

r 2

r uref

uein

mit

Reflexionsgrad: R Z1 Z2

Z1 Z2

2

Transmissionsgrad: T =1-R Energiererhaltung!

r Z1 Z2

Z1 Z2

Gaub 11WS 2014/15

Kohärenz und Interferenz

§11.10 Überlagerung von Wellen

Gaub 12

Bei der Interferenz zweier phasenstarr gekoppelter Quellen gleicher Frequenz ist für einen festen Ort

P r r 0

Überlagerung zweier harmonischer Wellen

t 1 2

0202201011 coscos rktArktA

Þ

A1 cos t 1 A2 cos t 2

C cos t Koeffizientenvergleich:

C cos A1 cos 1 A2 cos 2 C sin A1 sin 1 A2 sin 2

tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2

1

2

Lineare Antwort!

C cos t cos C sin t sin

A1 cos t cos 1 A1 sin t sin 1

A2 cos t cos 2 A2 sin t sin 2

mit

1 2

Þ

C A12 A2

2 2 A1 A2 cos

Quadrieren und Addieren

14

Die Gesamtwelle ist ebenfalls harmonisch und ihre Amplitude hängt von der Phasendifferenz Δφ ab:

Überlagerung zweier harmonischer Wellen

Þ

Für ∆φ = 2m π wird die Amplitude (konstruktive Interferenz).

A1 A2

Für ∆φ = (2m+1) π ergibt sich (destruktive Interferenz).

A1 A2

2122

21

221 2 IIntensität:

2121

222

2122

1

coscos2

coscos

ttAA

tAtA

Additionstheorem: 2121 cos2cos t

cos21

2122

21 AAAAIWenn Messgerät über

viele Perioden mittelt

1/2 1/2

WS 2014/15 15

Überlagerung zweier harmonischer Wellen

Bei kohärenten Wellen ergibt sich deswegen eine sinusförmige Intensitätsfunktion:

Für inkohärente Wellen ändert sich die Phasendifferenz regellos und es tritt kein stationäres Interferenzmuster auf.

Gaub

WS 2014/15 16

Überlagerung zweier kohärenter Kugelwellen

krtrAtr sin,

Phasendifferenz in P

1 2 k(r1 r2 )

=> konstruktive Interferenz für

r1 r2 n 2k

=> Hyperbelschar

Interferenz in Ästen mit zunehmendem n weniger ausgeprägt, weil A mit 1/r abfällt

Gaub