Die Standardnormalverteilung

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

0,1

0,2

0,3

0,4

z

p(z)

Stichproben - 1

z-Standardisierung

• Mit der z-Standardisierung wird eine Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung umgewandelt.

• Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung, für die gilt:– μ = 0– σ = 1

• Die z-Standardisierung erfolgt in zwei Schritten:

(1)Zunächst wird von jedem Messwert der Mittelwert subtrahiert.

(2)Dann wird das Ergebnis durch die Standardabweichung geteilt.

05_stichprobentheorie 2

xx

z ii

z Fläche z Fläche z Fläche z Fläche-3.00 0.00 -1.50 0.07 0.00 0.50 1.50 0.93-2.90 0.00 -1.40 0.08 0.10 0.54 1.60 0.95-2.80 0.00 -1.30 0.10 0.20 0.58 1.70 0.96-2.70 0.00 -1.20 0.12 0.30 0.62 1.80 0.96-2.60 0.00 -1.10 0.14 0.40 0.66 1.90 0.97-2.50 0.01 -1.00 0.16 0.50 0.69 2.00 0.98-2.40 0.01 -0.90 0.18 0.60 0.73 2.10 0.98-2.30 0.01 -0.80 0.21 0.70 0.76 2.20 0.99-2.20 0.01 -0.70 0.24 0.80 0.79 2.30 0.99-2.10 0.02 -0.60 0.27 0.90 0.82 2.40 0.99-2.00 0.02 -0.50 0.31 1.00 0.84 2.50 0.99-1.90 0.03 -0.40 0.34 1.10 0.86 2.60 1.00-1.80 0.04 -0.30 0.38 1.20 0.88 2.70 1.00-1.70 0.04 -0.20 0.42 1.30 0.90 2.80 1.00-1.60 0.05 -0.10 0.46 1.40 0.92 2.90 1.00

Die Standardnormalverteilung

Stichproben - 3

Schätzung von Prozenträngen

Ein Prozentrang gibt an, wie viel Prozent der Population Werte kleiner oder gleich einem kritischen Wert haben.

Wenn man Mittelwert und Standardabweichung einer eines Merkmals kennt, und dieses normalverteilt ist, kann man den Prozentrang aus der z-Tabelle ablesen.

Der z-Wert entspricht der Abweichung vom Mittelwert in „Standardabweichungs-Einheiten“ (z.B. bei 1,5 Sdt--Abweichungen über dem Mittelwert z = 1.50)

Stichproben - 4

Schätzung von Prozenträngen und Wahrscheinlichkeiten

Beispiel: Der Intelligenzquotient ist immer so skaliert, dass er einen Mittelwert von 100 und eine Streuung von 15 hat.

Damit können Sie folgende Fragen beantworten:

Welchem Prozentrang entspricht ein Testwert von(a) 115; (b) 94.5; (c) 75; (d) 100; (e) 140?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Wert(a) von 85 bis 130 (b) von 70 bis 115

Stichproben - 5

z Fläche z Fläche z Fläche z Fläche-3.00 0.00 -1.50 0.07 0.00 0.50 1.50 0.93-2.90 0.00 -1.40 0.08 0.10 0.54 1.60 0.95-2.80 0.00 -1.30 0.10 0.20 0.58 1.70 0.96-2.70 0.00 -1.20 0.12 0.30 0.62 1.80 0.96-2.60 0.00 -1.10 0.14 0.40 0.66 1.90 0.97-2.50 0.01 -1.00 0.16 0.50 0.69 2.00 0.98-2.40 0.01 -0.90 0.18 0.60 0.73 2.10 0.98-2.30 0.01 -0.80 0.21 0.70 0.76 2.20 0.99-2.20 0.01 -0.70 0.24 0.80 0.79 2.30 0.99-2.10 0.02 -0.60 0.27 0.90 0.82 2.40 0.99-2.00 0.02 -0.50 0.31 1.00 0.84 2.50 0.99-1.90 0.03 -0.40 0.34 1.10 0.86 2.60 1.00-1.80 0.04 -0.30 0.38 1.20 0.88 2.70 1.00-1.70 0.04 -0.20 0.42 1.30 0.90 2.80 1.00-1.60 0.05 -0.10 0.46 1.40 0.92 2.90 1.00

Die Standardnormalverteilung

Stichproben - 6

Der Standardfehler des Mittelwertes

Die Streuung der Verteilung der Mittelwerte wird auch als Standardfehler des Mittelwertes bezeichnet.

Der Standardfehler gibt an, wie nah ein empirischer Stichprobenmittelwert am wahren Populationsmittelwert liegt.

Dieser Standardfehler des Mittelwertes kann direkt berechnet werden, ohne dass man mehrere Stichproben erheben muss:

NNxx

x

2

Stichproben - 7

Der Standardfehler des Mittelwertes

Beispiel: In einer bestimmten Population, z.B. in einer Hochbegabten-Klasse, soll für ein Forschungsprojekt der mittlere IQ bestimmt werden. Es werden 10 Kinder getestet.

Es ergibt sich Mittelwert von 125 bei einer geschätzten Populationsvarianz von 90.

Wie groß ist der Standardfehlerdieses Mittelwertes?

Wie groß wäre der Standardfehlerbei einer Varianz von 250?

Und wie groß, wenn 90 Kindergetestet worden wären?

3910

90x

52510

250x

1190

90x

Stichproben - 8

Interpretation des Standardfehlers

Der Standardfehler ist die Standardabweichung der Stichprobenkennwerteverteilung. Da diese normalverteilt ist, kann die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass der Mittelwert in einem bestimmten Intervall liegt.

118 121 124 =127 130 133 136

0

0,1

0,2

0,3

0,4

M=125

Mit p=.68 ist der Populations-mittelwert höchstens einen Std.-Fehler vom Stichproben-mittelwert entfernt

Stichproben - 9

Wichtig!

Standardfehler Standardabweichung Standardabweichung

der Stichprobenkennwert-

Verteilung

Standardfehler des Mittel-

wertes

NNxx

x

2

Streuung der

Stichprobenkennwerte

um den Mittelwert

Populationsschätzer

1

)(ˆ 1_

2

2

N

xxN

i i

x

Konfidenzintervalle

Da der Populationsmittelwert unbekannt ist, wird ein Intervall um den Stichprobenmittelwert angegeben, in dem der Populationsmittelwert mit einer bestimmten Wahr-scheinlichkeit liegt.

)ˆ1ˆ1( xx xxp

)ˆ2ˆ2( xx xxp

)ˆ96.1ˆ96.1( xx xxp

)ˆ57.2ˆ57.2( xx xxp

Stichproben - 11

Standardfehler für andere Kennwerte

Kennwert Standardfehler

Relative Häufigkeit (p)

Median

Arithmetisches Mittel

Standardabweichung

N

ppp

)1(

Nx

Md

253.1

Nx

x

N2

Stichproben - 12

Standardfehler für relative Häufigkeiten

N

ppp

)1(

Wie groß ist der Standardfehler der relativen Häufigkeit von Frauen unter Psychologiestudierenden (p=.74)?

05.002.78

26.74.

78

)74.1(74.

p

Wie groß dann das 95% Konfidenzintervall?

84.64.

05.96.174.05.96.174.

Stichproben - 13

Standardfehler des Medians

Wie groß ist der Standardfehler des Medians der subjektiven Ängstlichkeit (Md = 43.5; σ = 19.95)?

Wie groß dann das 95% Konfidenzintervall?

05.4995.37

83.296.15.4383.296.15.43

pop

pop

Md

Md

Nx

Md

253.1

83.283.8

00.25

78

95.19253.1

Md

Stichproben - 14

Standardfehler der Standardabweichung

Wie groß ist der Standardfehler der Standardabweichung der subjektiven Ängstlichkeit (σx = 19.95)?

Wie groß dann das 95% Konfidenzintervall?

09.2381.16

60.196.195.1960.196.195.19

N2

ˆˆ

60.149.12

95.19

156

95.19

782

95.19

x

Stichproben - 15

Vorraussetzungen für dieBerechnung des Standardfehlers

Es gibt 2 Vorraussetzungen dafür, dass der Standardfehler nach den bisher genannten Formeln berechnet werden kann:

(1) Die Stichprobe muss repräsentativ für die Population sein

(2) Das Merkmal muss normalverteilt sein

Stichproben - 16

Auswahlverfahren

Es gibt unterschiedliche Verfahren, wie Personen für eine Stichprobe ausgewählt werden.

Grundsätzlich unterscheidet man zufallsgesteuerte und nicht-zufallsgesteuerte Auswahlverfahren.

In aller Regel sind zufallsgesteuerte Verfahren vorzuziehen, da sie repräsentative Stichprobenzusammensetzungen gewährleisten.

Stichproben - 17

Uneingeschränkte Zufallsauswahl

In diesem Verfahren hat jedes Mitglied einer Population die gleiche Chance, in die Stichprobe aufgenommen zu werden.

Vorraussetzung: Man braucht hierfür ein Register, das alle Personen der Population umfasst.

Beispiel: Einwohnermelderegister.

Vorgehen: Meist wird ein Computerverfahren verwendet, dass eine bestimmte Anzahl von Probanden aus dem Register auswählt.

Stichproben - 18

Geschichtete Zufallsauswahl

Eine Zufallsauswahl wird innerhalb bestimmter Teil-populationen gebildet. Das Verhältnis der Teilpopulationen wird dann in der Stichprobe berücksichtigt.

Beispiel: Für eine Untersuchung der Studienmotivation an Universitäten stehen unterschiedliche Gruppen von Studierenden zur Verfügung. Die Gruppe der Molekularmediziner ist sicherlich kleiner als die Gruppe der angehenden Juristen und es wird angenommen, dass sich diese Gruppe hinsichtlich der Motivation unterscheiden. Diese Unterschiede im Gruppenumfang sind „Schichtung“ der Stichprobe zu berücksichtigen, indem das Verhältnis der Studierendenzahl in den

jeweiligen Fächern auf die Stichprobe übertragen wird.

Vorteil: Geringere Varianz innerhalb der Teilpopulationen.Stichproben - 19

Mehrstufige Zufallsauswahl

In mehreren Schritten wird jeweils eine Teilpopulation zufällig ausgewählt.

Beispiel: Untersuchung über das Coping eines Herz-infarktes.Zufällige Auswahl einer Stadt Zufällige Auswahl einer Klinik Zufällige Auswahl einer Patientenstichprobe.

Nachteil: Die Repräsentativität der Stichprobe (und damit die Generalisierbarkeit der Ergebnisse) ist problematisch.

Stichproben - 20

„Klumpenauswahl“

Als „Klumpen“ wird eine Teilpopulation bezeichnet, die voll-ständig erhoben wird.

Damit ist die Klumpenauswahl ein Spezialfall der mehr-stufigen Zufallsauswahl.

Beispiel: Für eine Untersuchung über die Berufziele von Psychologiestudierenden wird zufällig das erste Semester der Uni Freiburg gewählt. Dann werden alle 84 Erst-semester befragt.

Nachteil: Die Repräsentativität der Stichprobe (und damit die Generalisierbarkeit der Ergebnisse) ist problematisch.

Besser: Mehrere „Klumpen“ verwenden.

Stichproben - 21

Nichtzufallsgesteuerte Auswahlverfahren

Bei Nicht-Zufallsgesteuerten Auswahlverfahren ist die Repräsentativität immer fraglich.

Daher kann es zu Fehlern bei der Schätzung des Standard-fehlers kommen.

Beispiel: Wenn für eine Umfrage eine Gruppe von Freunden befragt wird (z.B. weil der Interviewer diese gleichzeitig antrifft), dann haben diese in aller Regel ähnliche Einstellungen, Ansichten und Eigenschaften.

Daher werden sie auch die Fragen in ähnlicher Weise beantworten (geringe Varianz!).

Dadurch wird der Standardfehler unterschätzt.

Stichproben - 22

Quotenauswahl

Bei der Quotenauswahl werden Personen so ausgewählt, dass bestimmte Quoten erfüllt sind (Geschlecht, Alter, Sozialer Status, etc.).

Dies ist dann problematisch, wenn (a) die Quoten nicht den Anteilen an der Population entsprechen, oder (b) wenn innerhalb der Quoten keine Zufallsauswahl erfolgt.

Stichproben - 23

Ad hoc Auswahl (Gelegenheitsstichprobe)

Bei der „ad hoc“ Auswahl werden die Personen aus-gewählt, die zum Untersuchungszeitpunkt einfach zu erreichen sind.

Beispiel. Ein Dozent will ein kurzes Experiment machen, und beauftragt die Hilfskräfte der Abteilung, daran teilzunehmen, da diese direkt im Nebenraum sitzen.

Stichproben - 24

Theoriegeleitete Auswahl

Die Auswahl der Stichprobe erfolgt nach theoretischen Gesichtspunkten.

Beispiel: Zur Evaluation einer neuen Therapieform werden Patienten mit einer besonders schweren Zwangs-erkrankung ausgewählt.

Stichproben - 25

Übung

Zur Untersuchung der

Einkommensverhältnisse in Organisationen in

Deutschland wird eine Zufallsauswahl von 8

Bundesländern getroffen. In diesen Ländern

werden jeweils 10% der Organisationen

erfasst. Um welches Verfahren der

Stichprobenauswahl handelt es sich?

=> Mehrstufige Zufallsauswahl