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Technische Strmungslehre Formelsammlung

1 Kompressibilitt K von Flssigkeiten

0VV

Ep

FL

=

FlEK 1=

2 Kompressibil

00 VV

pp

=

3 Allgemeine Gasgleichung TRmVp i = ist konstant bei gleichbleibender Temperatur

....... Druck, Volumen, Masse des Gases mVp ,, ............... allgemeine Gaskonstante (Luft: ~iR KkgJ2,287 ) T ................ Temperatur in Kelvin auch in folgender Form:

1== mitTRp i

4 Viskositt von Fluiden 4.1 Dynamische Viskositt

dzdcx = [ ]sPa auch F

AF=

4.2 Kinematische Viskositt

= [ ]sm

die sog. kinemViskositt zu

................ Dynamische ................ Dichte des M

4.3 Newtonsches Fluid-Reibu

zcD x==

AF= .... Schubspannu ............... SchergradienD ................ dynamische V

Sei

...........Dichte des Gases ............spezifische Dichte des Gases

itt von Gasen

Bei Gasen entspricht GasEp =0bar01325

fr den Normzustand von pC ,1;0 00 ==

zc

A x= vgl. 4.3

Schubspannung, F ist Reibungskraft

atische Viskositt ist anschaulich als spezifische bezeichnen

Viskositt ediums

ngsgesetz

ng, ist Reibungskraft Ft iskositt siehe oben 4.1

te 1 von 14 07.03.02

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4.4 Schallgeschwindigkeit a4.4.1 Bei Flssigkeiten

0FLEa = [ , gem ]sm

0FLEp =

;

4.4.2 Bei Gasen TRa i = [ , gem ]sm TRvp i =

................ Issentropenexponent (Luft: ~1,4) (malos) ............... allgemeine Gaskonstante (Luft: ~iR KkgJ2,287 ) T ................ Temperatur in Kelvin

5 Fluidstatik 5.1 Flssigkeiten bei translatorischer Bewegung

ga

=tan

5.2 Flssigkeiten bei rotatorischer Bewegung

sZrgz +=

2

z ................ Funktion der Oberflche abhngig vom Radius )(rz r ............... Winkelgeschwindigkeit des Behlters .............. Scheitelhhe (tiefster Flssigkeitsstand) sZ Volumengleichheit in einem Zylinder:

+=+==

=

sR

s

RR

Par

ParaboloidZyl

ZRg

RdrZrdrrg

dVV

DrehungRuhebeiichheitVolumengleVV

42

)/(22

2

00

3

0.

)(.

4

22

21R

ghh ==

20

10

hHZhHZ

R

s

+==

............. Einfllhhe der Flssigkeit ber dem Boden 0H ......... Distanz zwischen niedrigstem/hchstem Fl.-Stand und Einfllhhe 21 / hh 0H R ................ Innendurchmesser des Zylinders

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6 Fluid-Druck 6.1 Druckkraft auf gekrmmte Flchen ohne Bercksichtigung des Gewichts

der Flssigkeit (nur fr Boden/Decke, keine Wnde )

.projz ApF =

.......... Projektionsflche des zu betrachtenden Elements .projA .............. resultierende Kraft auf dieses Element ZFBeispiel gem nebenstehender Abbildung: 1. 2F 0= WZ F 2. pFz = LDpAproj = . LsF zulW = . (entsprechend Kesselformel)

s

L

FZ

FW FW

6.2 Druck durch Gewichtskrfte 6.2.1 Druckverteilung in Flssigkeiten

zgpzp = 0)( z luft von unten nach oben! z=0 Flssigkeitsgrund (Boden)

zgpzp B += )( z luft von oben nach unten! z=0 Fssigkeitsoberflche

.............. barometrischer Druck an der Oberflche der Meflssigkeit Bp .............. Druck am Ursprung des z-Koordinatensystems (normalerweise Boden) 0p ................ Laufvariable im Koordinatensystem z ................ Dichte der Flssigkeit g ................ Erdbeschleunigung

6.2.1.1 Prandtl-Manometer zgpp FlBG +=

.............. Gasdruck im zu messenden Medium Gp .............. Hhendifferenz zwischen linkem und rechtem Stand der

Flssigkeitssule (z

21 zzz = )

6.2.1.2 Hydraulische Presse

2

2

1

1

AF

AF

= allgemein; Kreiskolben 22

2

1

1

DF

D 2F

=

............ Kraft auf Kolben 1 bzw. 2 2/1F , .. Flche, Durchmesser des Kolbens 1 bzw. 2 2/1A 2/1D

6.2.1.3 Hydraulischer Heber zgp = nur gltig solange Bpp

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6.2.2 Fluidkrfte auf ebene Wnde AtgF S = mit t SS y= cos

............... im Kraftangriffspunkt D auf die Wandung wirkende Kraft F ................ Dichte des Fluids g ................ Erdbeschleunigung ................ Tiefe des Schwerpunktes der Wandung von der Fluidoberflche aus St ................ Neigungswinkel der Wandung gegenber der Normalen zur Oberflche .............. Abstand des Schwerpunktes der Wandung von der Fluidoberflche

im Koordinatensystem der Wandung Sy

Kraftangriffspunkt D:

AyI

yyeyA

Iyy

AyI

xS

xSSD

S

xSSD

S

xyD

==

+=

= ,, ;;

....... Koordinaten des Kraftangriffpunkts D im KOS der Wandung DD yx , .............. Deviationsmoment der Wandung xyI ............. Flchenmoment 1. Grades bzgl. der x-Achse im Schwerpunkt S xSI , A ................ Flche der Wandung ................. Exzentrizitt, Abstand von Schwerpunkt zu Kraftangriffspunkt e

6.3 Hydrostatischer Auftrieb VgFa =

.............. Auftriebskraft aF ................ Dichte des umgebenden Fluids g ................ Erdbeschleunigung ................ Volumen des verdrngten Fluids (also nur das Volumen des

eintauchenden Krpers, das unterhalb er Flssigkeitsoberflche liegt) V

6.4 Barometrische Hhenformel

=zg

pb

b

b

epp 00

00

mit mkg225,0 3b 1=

(atmosphrische V

6.5 Arometer

= 102

r

Vt

.................. Tiefe dt ................ VolumV ................. Radiusr 0 .............. Dichte ................ Dichte

nur gltig fr mz 1000< , darber isentrope Zustandsnderung verwenden gem Zusatzbltter von Prof. Dr. V. Schrder

KTbarp bb 15,288;01325,1; 00 == erhltnisse am Boden gem ICAO-Norm)

er Eichmarkierung en des Arometers des Merhrchens des Arometers des Eichfluids des u messenden Fluids

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Formelsammlung Strmungslehre Seite 5 von 14

7 Fluiddynamik stationrer Strmungen 7.1 Laminare und turbulente Strmung

Dc =Re (Rohr)

............... Rohrdurchmesser D ................. Geschwindigkeit

des Fluidteilchens

c

Lc = Re (Platte, Tragflgel)

................Flgeltiefe L ...............Anstrmge-

schwindigkeit (relative Flgel-geschwindigkeit gegenber den Fluidteilchen)

c

................ kinematische Viskositt .............. Reynoldszahl Re laminare Strmung < 2320Re turbulente Strmung > 2320Re

7.2 Durchflussgleichung (Kontinuittsgleichung) eindimensionaler, stationrer Strmungen

7.2.1 Definition des Volumenstroms

fr gleichmige Geschwindigkeitsverteilung ber dem Querschnitt gem:

cAVAcfallsdtdsAV == && ;

................ Volumenstrom V& ........ Weg, Flche, Zeit tAs ,, c ................. mittlere Geschwindigkeit der Fluidteilchen ber den Querschnitt

fr ungleichmige Geschwindigkeitsverteilung ber dem Querschnitt gem:

==A

dArcVdV )(&& z.B. Kreisquerschnitt: V =R

drrrc0

)(2&

........... integrierbare Funktion der Geschwindigkeitsverteilung der Fluidteilchen ber den Querschnitt

)(rc

r ................. Laufvariable ber den Kreisquerschnitt von 0 (Mittelpunkt) bis R (Auenradius)

7.2.2 Definition des Massenstroms Vm && =

............... Massenstrom m& ................ Dichte des Fluids

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7.2.3 Kontinuittsgleichung

=

=n

iim

1

0& Die Summe aller einstrmenden und ausstrmenden Massenstrme ist Null.

auch:

222111 AcAc =

111 ,, Ac ..Dichte, Geschwindigkeit, Flche der zustrmenden Fluide 222 ,, Ac Dichte, Geschwindigkeit, Flche der abflieenden Fluide Im Fall inkompressibler Fluide verndert sich die Dichte nicht. Damit vereinfacht sich obige Gleichung zur Durchflugleichung: 221121 AcAcVV == && fr inkompressible Fluide ............ zu-/abflieender Volumenstrom V 2/1V& Ac =&

7.3 Bernoulli-Gleichung des ruhenden Systems

7.3.1 Bernoulli-Gleichungen ohne Bercksichtigung von Verlusten

.2

2

constCczgp ==++

spez

. Dru

cken

ergi

e sp

ez. L

agee

nerg

ie

spez

. Ges

chw

indi

gkei

t

C, C1, C2........Bernoullikonstanten

a) als Energiegleichung (durch Integration der Eulerschen Bewegungsgleichung)

.2 1

2 constCczg ==+p + b) als Druckgleichung

stat

isch

er D

ruck

geod

tis

cher

Dru

ck

dyna

mis

cher

Dru

ck

zu statischer Druck und dynamischer Druck vgl. auch Prandtl-Staurohr 7.4.2

.2 2

2

constCg

czg

==++p

c) als Hhengleichung

stat

isch

e D

ruck

hhe

geod

tis

cher

Hh

e

Ges

chw

indi

gkei

tsh

he

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Formelsammlung Strmungslehre Seite 7 von 14

7.3.2 Erweiterte Bernoulli-Gleichungen unter Bercksichtigung von Verlusten

a) als Energiegleichung: 2122

22

22

21

11

+++=++ VY

czgpczgp

............ spezifische Verlustenergie zwischen Punkt 1 und 2 21V

Y

b) als Druckgleichung : 21

2222

2111 22

+++=++ Vpczgpczgp

........... Druckverlust zwischen Punkt 1 und 2 21V

p

c) als Hhengleichung: 2122

22

22

21

11

+++

=++

VH

gcz

gp

gcz

gp

gH

pV =21YV =21

.......... Verlusthhe zwischen Punkt 1 und 2 21V

H

7.3.3 Gltigkeit der Bernoulli-Gleichungen Die Bernoulli-Gleichung gilt exakt grundstzlich nur entlang einer Ststationrer Strmung eines idealen Fluids, d.h. die Bernoullikonstante isStromlinie entlang konstant. Fr den Sonderfall paralleler Stromlinien und homogener Geschwindigkber den Querschnitt senkrecht zur Strmungsrichtung ist die Bernouallgemeingltig, d.h. die Bernoullikonstante ist ber den gesamten QuerschStromlinie gleich und konstant. Fr den Sonderfall einer Strmung entlang einer gekrmmten Bahn mu die Ddpn ber den Querschnitt bercksichtigt werden.

7.4 Folgerungen aus der Bernoulli-Gleichung fr ruhende Systeme

7.4.1 Torricellische Ausflugleichung (siehe auch 7.8.3 unten: Ausfluss aus Behltern)

)(2212

= VYzgc Annahme: Bppp == 21 und 01 c bei groem Quers

............ spezifische Verlustenergie zwischen Punkt 1 und 2 21V

Y .............. Hhendifferenz zwischen Punkt 1 und 2 z

7.4.2 Prandtl-Staurohr / umstrmtes Profil Grundsatz fr umstrmte Profile: die Gesamtenergie und damit der Gesamndert sich entlang einer Stromlinie nicht!

dynstg pppodercpp +=+=2

112 2

Annahme: z1=z2 (horizontal); (im02 =c

.................... Gesamtdruck 2ppg = .................... statischer Druck 1ppst =

212cpdyn

= ............. dynamischer Druck

Seite 7 von 14 07.03.0

V 21

romlinie bei t nur dieser

eitsverteilung lli-Gleichung nitt fr jede

rucknderung

chnitt A1

tdruck

Staupunkt)

2

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7.4.3 Horizontaler, gerader Diffusor

+=

2

2

12

112 12

'AAcpp (rein theoretisch) ohne Verluste

REALITT: VERLUSTBEHAFTETER DIFFUSOR MIT WIRKUNGSGRAD D

12

12

' pppp

D

= sehr guter Diffusor mit sehr kleinen Neigungswinkeln: 95,0D

22 '21 pppV = ............... tatschlicher (realer) Druck vor dem Diffusor 1p ............... tatschlicher (realer) Druck nach dem Diffusor 2p ............. theoretischer Druck (ohne Verluste, vgl. oben) nach Durchstrmen des

Diffusors '2p

( )

=

2

2

121 12

121 A

Acp DV

Druckverlust beim realen (verlustbehaftetem) Diffusor

GESCHWINDIGKEITSERHHUNG DURCH DEN KONFUSOR:

'2 21212

ppcc += (ohne Verluste; mit Verlusten: 'p2 durch 2p ersetzen)

7.4.4 Pitot-Rohr hgc = 2 nur fr offene Flssigkeitssysteme und offenes Rohr

................ Hhe der Flssigkeitssule im Pitot-Rohr h

7.5 Drucknderung normal zu Stromlinien (z.B. bei gekrmmter Bahn)

dnrcdpn =

2

(vgl. U#31) (Nherungsformel, gute Nherung nur bei Betrachtungen ber den gesamten Querschnitt)

c

rdnn

............. Drucknderung ber den Querschnitt der Lnge dn normal zur Strmungsrichtung

ndp

.............. Lnge des betrachteten Querschnitts dn c ................. mittlere Geschwindigkeit im Bereich des

betrachteten Querschnitts

r ................. mittlerer Radius des betrachteten Querschnitts ................ Dichte des Fluids Potentialwirbel:

.2211 konstcrcrdccdpn ===

Merke: in einem ungekrmmten durchflossenen Volum

statische Druck ber der Querschnittsflche konund unterschiedlichen Geschwindigkeiten ber

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damit:

2

+= 0 2

)( prp

en ist (bei statiostant, auch bei

diesem Querschn

2

020 1 r

rc

nrer Strmung) der abgelster Strmung itt (Einschnrung).

07.03.02

Formelsammlung Strmungslehre Seite 9 von 14

7.6 Bernoulli-Gleichung des rotierenden Systems

.22

22

konstzguwp =++

Energiegleichung ohne Verluste (mit Verlusten bzw. andere Gleichungsformen entsprechend 7.3)

ru = ..... Umfangsgeschwindigkeit bei Winkelgeschwindigkeit und Radius r des Absolutsystems

................ Relativgeschwindigkeit des Fluidteilchens zum rotierenden System (normalerweise tangential zur Stromlinie)

w

zp ,, ....... Druck, Dichte und Hhe des Fluids Drucknderung an Turbinenschaufeln allgemein (vgl. Zusatzbltter) Sonderfall: gerade Turbinenschaufeln:

nww += 2'

7.7 Impulssatz

7.7.1 Integration ber Kontrollvolumen

(=

=n

iIi ccmF

112& ) Vektorgleichung! Vorzeichen gem Koordinatensystem!

=

n

iIiF

1

........ Summe aller angreifenden Impulskrfte

............... Massenstrom durch das Volumenelement m& 2c ............... Summe aller abflieenden Stromgeschwindigkeiten 1c ................ Summe aller zuflieenden Stromgeschwindigkeiten

7.7.2 Unbestimmte Integration (Impulspotential) =Ii cmF i&

Vorzeichenregel: 1. am Eintritt in Kontrollvolumen 1IF in )1(c -Richtung

Grundstzlich: Druck- und Impulskrfte zeigen immer in den Kontrollraum hinein!

2. am Austritt entgegen )2(c -Richtung

7.8 Folgerungen aus dem Impulssatz

7.8.1 Krftegleichgewicht

( ) =

=m

kSkFccm

112

r& nur gltig fr stationren Fall (ohne Beschleunigung)

( ) =

n

jIjFccm

112

r& Summe aller Impulskrfte am Kontrollraum

........ Summe aller sonstigen angreifenden Krfte am Kontrollraum =

m

kSkF

1

r

7.8.2 Schiefer Sto gegen feststehende Wand sin2 = DDW cAF nur fr Anordnung gem:

( )(

cos1

cos1

121

3

121

2

+=

=

VV

VV&&

&&

) Sonderfall: = 90 , damit: 12132 VV &&& ==V

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Formelsammlung Strmungslehre Seite 10 von 14

7.8.3 Ausflu aus Behltern ins Freie (Siehe 7.4.1 oben: Torricellische Ausflussgleichung)

i

e

AA

= Kontraktionszahl

............... Querschnittsflche des tatschlichen Ausflustroms (Einschnrung, Ablsung!)

eA

............... Querschnittsflche des Eintrittsstroms iABeispiele: - scharfkantiges Loch, kreisfrmig: =0,58 - scharfkantiges Loch, rechteckig: =0,61 - Bordamndung, scharfkantig: =0,5

- abgerundete Dse: 1

8 Rohrstrmungen 8.1 Laminare Rohrstrmung Re

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8.2 Turbulente Rohrstrmung

8.2.1 Hydraulisch glattes Verhalten

4 Re3164,0

= fr 2320

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8.3.3 Hydraulischer Durchmesser am freien (offenen) Rechteckkanal

bhhbd hyd 5,0

2. +

= b,h.........Breite, Hhe des Rechteckkanals

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9 Sonstiges Wissenswertes

9.1 Verlustziffer Zeta ()

9.1.1 Grundstzlich ist das Ma fr den Verlust an spezifischer kinetischer Energie bezogen auf die spezifische Energie bei Geschwindigkeit c 2

2

21

cYV = oder ( )2

2

1

1 1m

Em

E kinkin =

............ spezifische Verlustenergie zwischen 1 und 2 21V

Y

1

1

mEkin .......... spezifische kinetische Energie am Punkt 1 (

2

21c= )

9.1.2 Verlustziffer einer pltzlichen Erweiterung 2

2

11 1

=

AA Bezogen auf spezifische kinetische Energie bei c1 : 2

21

121

cV = Y

2

1

22 1

=

AA Bezogen auf spezifische kinetische Energie bei c2 : 2

22

221

cV = Y

Sonderfall: (Austritt) 21 AA > 58,0= 5,052,0 = Ein 9.2 Winkelgeschwindigkeit

n= 2 mit Einheiten oder: Zahlenwertgleichung: [ ]1min602

=n fr [ ] [ ]1= s

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9.3 Einheitenumrechnungen Druck: 1,0100000100000 mmNmNPabar1 === Kraft: 211 s

mkgN =

Energie/Arbeit:...... sWmNJsmkg === 1111 2

2

Beschleunigung: kgNskgmkg

sm 11 22 ==

1

Leistung: 32

1111smkg

smN

sJW ===

10 Stichwortverzeichnis Arometer .............................................................. 4 Auftrieb .................................................................. 4 Ausflu aus Behltern.......................................... 10 Ausflugleichung................................................... 7 Bernoulli-Gleichung

des rotierenden Systems..................................... 9 des ruhenden Systems ........................................ 6 erweiterte, mit Verlusten.................................... 7 Folgerungen ....................................................... 7

Diffusor .................................................................. 8 Drehzahl............................................................... 13 Druck

auf gekrmmte Flchen...................................... 3 durch Gewichtskrfte ......................................... 3 dynamischer .................Vgl. Bernoulli-Gleichung Fluid-Druck........................................................ 3 geodtischer .................Vgl. Bernoulli-Gleichung -gleichung ....................Vgl. Bernoulli-Gleichung -hhe ............................Vgl. Bernoulli-Gleichung statischer ............................................................ 8 -verteilung .......................................................... 3

Drucknderung ber Querschnitt ........................... 8 Durchflugleichung ............................................... 6 Einheit .................................................................. 14 Energiegleichung .............Vgl. Bernoulli-Gleichung Fluiddynamik ......................................................... 5 Fluidkrfte.............................................Siehe Krfte Fluidstatik .............................................................. 2 Gasgleichung.......................................................... 1 Gaskonstante ...................................................... 1, 2 geodtische.......................Vgl. Bernoulli-Gleichung Gesamtdruck .......................................................... 7 Geschwindigkeitsenergie .Vgl. Bernoulli-Gleichung Geschwindigkeitshhe .....Vgl. Bernoulli-Gleichung Heber, hydraulischer .............................................. 3 Hhenformel .......................................................... 4 Hhengleichung ...............Vgl. Bernoulli-Gleichung Hydraulischer Durchmesser ................................. 11 Impulssatz .............................................................. 9 Kompressibilitt

von Flssigkeiten ............................................... 1 von Gasen........................................................... 1

Konfusor ................................................................ 8 Kontinuittsgleichung ............................................ 6 Kontraktionszahl .................................................. 10 Krfte

Angriffspunkt ..................................................... 4

auf ebene Wnde................................................ 4 Lageenergie...................... Vgl. Bernoulli-Gleichung Massenstrom .......................................................... 5 Newtonsches Fluid-Reibungsgesetz....................... 1 Normalendrucknderung........................................ 8 Pitot-Rohr .............................................................. 8 pltzliche Erweiterung ......................................... 13 pltzliche Verengung........................................... 13 Prandtl

-Manometer........................................................ 3 -Staurohr ............................................................ 7

Presse, hydraulische............................................... 3 Reynoldszahl.......................................................... 5 Rohrstrmung

laminare ........................................................... 10 Rohrverlustziffer .............................................. 10 turbulente ......................................................... 11

Rotatorischer Bewegung........................................ 2 Schallgeschwindigkeit ........................................... 2 Schiefer Sto.......................................................... 9 Stationre Strmungen........................................... 5 Staurohr.................................................................. 7 Strmung

laminare ............................................................. 5 turbulente ........................................................... 5

Torricelli ................................................................ 7 Translatorische Bewegung..................................... 2 Turbinenschaufeln.................................................. 9 Umrechnung

Einheiten .......................................................... 14 Winkelgeschwindigkeit in Drehzahl ................ 13

Verlustziffer ......................................................... 13 des Rohres........................................................ 10

Viskositt dynamische ........................................................ 1 kinematische ...................................................... 1 von Fluiden ........................................................ 1

Volumengleichheit Zylinderrotation ................................................. 2

Volumenstrom ....................................................... 5 Winkelgeschwindigkeit........................................ 13 Wirkungsgrad

des Diffusors ...................................................... 8 Zhigkeit .........................................Siehe Viskositt Zeta ()........................................ Siehe Verlustziffer

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Technische Strmungslehre FormelsammlungKompressibilitt K von FlssigkeitenKompressibilitt von GasenAllgemeine GasgleichungViskositt von FluidenDynamische ViskosittKinematische ViskosittNewtonsches Fluid-ReibungsgesetzSchallgeschwindigkeitBei FlssigkeitenBei Gasen

FluidstatikFlssigkeiten bei translatorischer BewegungFlssigkeiten bei rotatorischer Bewegung

Fluid-DruckDruckkraft auf gekrmmte Flchen ohne BercksicDruck durch GewichtskrfteDruckverteilung in FlssigkeitenPrandtl-ManometerHydraulische PresseHydraulischer Heber

Fluidkrfte auf ebene Wnde

Hydrostatischer AuftriebBarometrische HhenformelArometer

Fluiddynamik stationrer StrmungenLaminare und turbulente StrmungDurchflussgleichung \(Kontinuittsgleichung\) Definition des VolumenstromsDefinition des MassenstromsKontinuittsgleichung

Bernoulli-Gleichung des ruhenden SystemsBernoulli-Gleichungen ohne Bercksichtigung von Erweiterte Bernoulli-Gleichungen unter BercksicGltigkeit der Bernoulli-Gleichungen

Folgerungen aus der Bernoulli-Gleichung fr ruheTorricellische Ausflugleichung\(siehe auch 7.8.3 unten: Ausfluss aus BehlterPrandtl-Staurohr / umstrmtes ProfilHorizontaler, gerader DiffusorPitot-Rohr

Drucknderung normal zu Stromlinien \(z.B. bei Bernoulli-Gleichung des rotierenden SystemsImpulssatzIntegration ber KontrollvolumenUnbestimmte Integration \(Impulspotential\)

Folgerungen aus dem ImpulssatzKrftegleichgewichtSchiefer Sto gegen feststehende WandAusflu aus Behltern ins Freie

RohrstrmungenLaminare Rohrstrmung Re