Aufgabenlösungen – Mechanische Wellen

I.2 Unterscheidung von Wellen

1. Querwellen / Längswellen � siehe Skript

2. siehe Skript

I.3 Querwellen

I.3.1 Kenngrößen

3. 5 512 10 2 10

mc f m

s sλ= ⋅ = ⋅ = ⋅

4.

320

8 800,5

m

c sf Hzmλ

= = =

5. 7,6 7,6

; 0,6312 12

cc f c f Hz

s s

λ λλλ λ

⋅ ⋅= ⋅ = ⇒ = = =⋅

6. 0,4 1

4 4 25 1000,1

m

c sf Hz n sm sλ

= = = ⇒ = ⋅ =

7. Wellen mit 60mλ ≈ , da dann Bug und Heck des Schiffes auf Wellenberg liegen könnten und

das Schiff Gefahr lauft, in der Mitte zu brechen.

8. In Festkörpern haben Longitudinalwellen eine höhere Ausbreitungsgeschwindigkeit als

Transversalwellen.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist abhängig von der Dichte ρ und vom Elastizitätsmodul E

(Longitudinalwellen) bzw. Schubmodul G (Transversalwellen). Diese beiden Größen stehen in

direkten Zusammenhang mit der Steife eines Gegenstands. D.h. Festkörper mit hohem

Elastizitätsmodul sind steifer, Festkörper mit niedrigem Elastizitätsmodul sind nachgiebiger.

Ähnlich verhält es sich mit dem Schubmodul (oft auch Schermodul genannt), ein Indikator für

die Steifheit gegenüber einer Querkraft.

Da 0,3...0,5 , istlong trans trans long

E Ec c G E c c

ρ ρ= = ⇒ ≈ ⋅ >

9. siehe Aufgabe 8.

I.3.2 Einschub: Gleichung einer fortschreitenden Welle

10.

( )

( )

max

1

sin 2 ( )

15 20 sin 2 ( )

sin 0,75 0,120,75 sin 2 ( ) 0,3135

12 10 0,4

xy y f t t

xf t

c

x mf t t s

mc

s s

π

π

ππ

−

= ⋅ −

= ⋅ −

= − ⇒ = + = ⋅

Aufgabenlösungen – Mechanische Wellen

11. Mit GTR Schnittpunkt von ( ) sin( )f x x= mit 1

( )3

g x = und1

( )3

h x = − :

1

2

' 2,8017557 2' 0,67967 6,8 62,86

' 3, 4814296 0,67967

xx m m

x

πλ=

∆ = ⇒ = ⋅ ==

12. a) Mit GTR Schnittpunkt von ( ) 20sin( )f x x= mit ( ) 10g x = :

1 1

2 2

2 1 2 1

' 0,5236 (Zeitpunkt ) '' 2,0944 0, 2

' 2,618 (Zeitpunkt ) 2

0, 2 11 15050 0,6

x t xx x m

x t

x x x mt t t t t s

c c fm

s

λπ

λ

= ∆∆ = ⇒ = ⋅ ==

= + ⇒ ∆ = − = = = =⋅ ⋅

b) Mit GTR Schnittpunkt von ( ) 20sin( )f x x= mit ( ) 5g x = :

1

2

' 0, 2527 '' 2,6362 0, 2517

' 2,8889 2

x xx x m

xλ

π= ∆∆ = ⇒ ∆ = ⋅ ==

13. a) 2

0,05 sin ( ) 0,05 sin 2 ( ) 0,05 sin 188,5 ( )30

x x xy t f t t

mT c c

s

π π = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ −

b) 30

301

m

c sf Hzmλ

= = =

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5

-1

-0.5

0.5

1

x

y

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5

-20

-10

10

20

x

y im m

Aufgabenlösungen – Mechanische Wellen

I.3.4 Überlagerung von Wellen / Interferenz

14.

a) b) c)

15. siehe Skript

16. 1 2

2 22 sin ( 1) 1 sin

7 7y x y x

π π = ⋅ − = ⋅

17. 1 2

2 21,5 sin 1 sin

4 5y x y x

π π = ⋅ = ⋅

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

x in cm

y im cm

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-2

-1

1

2

x in cm

y im cm

Aufgabenlösungen – Mechanische Wellen

18.

1 1 2 2

1 2

1 2

1 2 1 1

1 2 2 2

mit

5bzw.

4

340 3405 4 5,6

1 1300 240

5,60,016

340

k k k

c ck k

f f

k k k f

f f k f

m m

s sx m

s s

x mt s

mc

s

λ λ⋅ = ⋅ ∈

⋅ = ⋅

= = =

⇒ = ⋅ = ⋅ =

⇒ = = =

ℕ

I.3.5 Reflexion

19. siehe Skript

20. siehe Skript

21. Der Wellenberg wird nach 6 m am festen Ende als Wellental reflektiert. Dieses wird nach

weiteren 6 m am losen Ende als Wellental reflektiert und läuft wieder 6 m zum festen Ende.

Dort wird das Wellental als Wellenberg reflektiert, so dass nach insgesamt 4 6 24m m⋅ =

Laufstrecke der Wellenberg zum losen Ende zurückkommt.

2412

2

s mt s

mc

s

= = =

I.3.6 Beugung

22.

Aufgabenlösungen – Mechanische Wellen

I.3.7 Brechung

23. Eine Welle ändert ihre Laufrichtung, wenn sie in ein gebiet mit unterschiedlicher

Ausbreitungsgeschwindigkeit eintritt. Dabei gilt:

1 1

2 2

sin

sin

c

c

λαβ λ

= =

24. siehe Skript

25.

11

1 1 22 1

2 2 1

131

113

201 1,54

13

cm

c s cmf

s

cm

c c s cm cmcmc c

s

λ

λ λ λλ

= = =

= ⇒ = ⋅ = ⋅ =

26.

1 21 2

2

1

6 412 8

0,5 0,5

sin sin 25,37

m m

c cs sm mf Hz f Hz

c

c

λ λ

β α β

= = = = = =

= ⋅ ⇒ = °

Gebiet 1 ist tiefer, da dort die Ausbreitungsgeschwindigkeit größer ist als in Gebiet 2.

I.3.8 Stehende Wellen

27. 1

2,8 5,6 4 22, 42

mm c f m

s s

λ λ= ⇒ = ⋅ = ⋅ =

34, 2

4L mλ= =

28.

Aufgabenlösungen – Mechanische Wellen

I.4 Längswellen (Schall)

I.4.1 Kenngrößen:

29.

1

1

2

2

3400,7727

440

3400,34

1000

m

c s mf Hz

m

c s mf Hz

λ

λ

= = =

= = =

30. 8 0,3

7,06340

s mt ms

mc

s

⋅= = =

I.4.2 Einschub: Schallgeschwindigkeit

31. Das Echolot ist ein Gerät zur akustischen Messung von Wassertiefen und Ortung von

Fischschwärmen. Dabei wird die Zeit zwischen dem Aussenden eines Schallimpulses und der

Ankunft der vom Gewässerboden bzw. vom Fischschwarm reflektierten Schallwellen

gemessen! Mit bekannter Schallgeschwindigkeit in Meerwasser (1500

mc

s≈

) lässt sich damit

z.B. die Wassertiefe bestimmen.

32.

( )

1

1

222

2 2

1000666,6

1,5

2 500465,77

666,6 2,05

s m mc

t s s

s d m

d mm

s c t ss

= = =

= ⋅ +

⇒ == ⋅ = ⋅

33. Der Arbeiter hört 3 Schläge:

1. Längswelle, hat die größte Ausbreitungsgeschwindigkeit

2. Querwelle

3. Luftschall, , hat die kleinste Ausbreitungsgeschwindigkeit

Aufgabenlösungen – Mechanische Wellen

I.4.3 Einschub: Schalldruck, Schallintensität und Dezibel

34. a) 1I : Schallstärke eines Motors

1

2

1

2

1 1

2 2

1 2

2 1

80 10 log

410 log

480 10 log 10 log

80 10 log4

180 10 log 86,02

4

I

I

Ix

I

I Ix

I I

I Ix

I I

x dB

= ⋅

= ⋅

− = ⋅ − ⋅

− = ⋅ ⋅

= − ⋅ =

1

2

1

2

1 1

2 2

1 2

2 1

80 10 log

1210 log

1280 10 log 10 log

80 10 log12

180 10 log 90,8

12

I

I

Ix

I

I Ix

I I

I Ix

I I

x dB

= ⋅

= ⋅

− = ⋅ − ⋅

− = ⋅ ⋅

= − ⋅ =

b)

( )

1

2

1

2

1 1

2 2

1 2

2 1

15

80 10 log

130 10 log

80 130 10 log 10 log

50 10 log

15 log 10 100000

I

I

x I

I

I x I

I I

I I

I xI

xx

−−

= ⋅

⋅= ⋅

⋅− = ⋅ − ⋅

− = ⋅ ⋅

− = ⇒ = =

I.4.4 Reflexion

35.

3400,00227

150000

4001,176

340

m

c s mf Hz

s mt s

mc

s

λ = = =

= = =

36.

150050

30

100000006666,7 1 51 6,7

1500

m

c s mf Hz

s mt s h m s

mc

s

λ = = =

= = = =

Aufgabenlösungen – Mechanische Wellen

I.4.5 Interferenz und stehende Wellen

37. a) b)

38. 1

1

3401 8,5

2 2 2 2 20k

m

c sL k mf Hz

λ λ= ⋅ = ⋅ = = =⋅

39. Im Bereich zwischen Wasseroberfläche und Glaskante bildet sich eine stehende Welle aus, die

an der Wasseroberfläche einen Knoten und an der Glasöffnung einen Bauch besitzt. Damit ist

der Abstand Wasseroberfläche – Glasöffnung immer 4

λ. Steigt die Wasseroberfläche, so wird

λ kleiner und wegen konstantc = die Frequenz f größer.

I.4.6 Brechung

40. a) Wellenlänge

b) Schallgeschwindigkeit verändert sich proportional zur Wellenlänge.

41. 1 2

2 1

sinsin sin 0,6038 37,14

sin

c c

c c

α β α ββ

= ⇒ = ⋅ = ⇒ = °

I.4.8 Doppler-Effekt

42. 2 1

18,851

3

s m mv

t ss

π ⋅= = =

1 2

1000 1000' 1058,7 ' 947,5

1 18,85 1 18,851 1

340 340

f Hz f Hzf Hz f Hz

v m v m

c s c sm m

s s

= = = = = =− − −

− −

Aufgabenlösungen – Mechanische Wellen

43. a) 1

1000' 1079,4

1 251

340

f Hzf Hz

v m

c sm

s

= = =−

−

Der Beobachter hört jeweils einen Ton von 1079,4 Hz (Reflexion ändert nicht die Tonhöhe).

b) Frequenz erhöht sich für den Beobachter „Wald“ auf 1079 Hz. Die mitreisende Person fährt

dem reflektierten Schall entgegen.

20' 1 1079,4 1 1158,8

340

m

v sf f Hz Hzmc

s

= ⋅ + = ⋅ + =

44. 1 2

420 420' 439, 4 ' 402,25

1 15 1 151 1

340 340

f Hz f Hzf Hz f Hz

v m v m

c s c sm m

s s

= = = = = =− − −

− −