.

§11.13 Wellen bei bewegten Quellen

Bewegt sich die Quelle relativ zum Medium, ändert sich für einen Beobachter die Schallfrequenz.

Doppler-Effekt

Bewegt sich die Quelle mit der Geschwindigkeit in z-Richtung auf den Beobachter zu, so ist der Abstand Flächen gleicher Phase demnach:

€

uQ = uz

€

λ = λ0 − uQ T =vPh − uQ

f0Dieser Abstand ist definitionsgemäß die Wellen- länge der sich im Medium ausbreitenden Welle.

Der ruhende Beobachter misst demnach die Frequenz f:

€

f =vPhλ

= f0vPh

vPh − uQ= f0

11 − uQ vPh

Entsprechend für eine sich entfernende Quelle:

€

f = f01

1 + uQ vPh

Während der Schwingungsdauer durchläuft die Welle in z-Richtung die Strecke

€

T = 1 f0

€

Δz = λ0 = vPhT

Doppler-Effekt

Bewegt Beobachter, ruhende Quelle:

€

f = f0 +uBλ0

= f0 + f0uBvPh

f0 = f0 1 +uBvPh

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

In der Zeit bewegt sich der Beobachter um die Strecke und misst deswegen zusätzliche Schwingungen. Die gemessene Frequenz erhöht sich damit um und wird : €

T = 1 f0

€

Δz = uB T

€

Δf = Δn T

€

Δn = Δz λ0

Entsprechend für eine Bewegung von der Quelle weg:

€

f = f0 1 −uBvPh

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Bewegen sich sowohl Quelle, als auchBeobachter, wird die gemessene Frequenz:

€

f = f01 ± uB vPh1 uQ vPh

Für beliebige Bewegungs- richtungen ergibt sich vektoriell:

€

ω = ω0

ω0 − k u B

ω0 + k u Q

Gaub 60

Doppler-Effekt

Die Bewegungsgleichung des Bewegten Beobachters ist:

€

r = u B t +

r 0

Einfach einsehbar ist dies aus der Wellendarstellung:

€

ξ = A cos ω0t − k r ( )

Damit wird die Wellendarstellung:

€

ξ = A cos ω0t − k u B t +

r 0( )( )

€

= A cos ωt − k r 0( )

mit:

€

ω = ω0 − k u B

analog für eine Bewegung der Quelle

Gaub 61 WS2014/15

Bewegt sich eine Schallquelle mit der Geschwindigkeit u in z-Richtung und sendet Kugelwellen mit der Frequenz aus, ist der Abstand λ zweier um 2π versetzter Phasenflächen vom Winkel α gegen die Bewegungsrichtung abhängig:

Wellenfronten bei bewegten Quellen

€

f0

€

λ α( ) =uf0

vPh − u cos α( )( )

Gaub 62 WS2014/15

Wellenfronten bei bewegten Quellen

Bewegt sich die Quelle mit der Phasengeschwindigkeit, wird

⇒ 

€

λ α = 0( ) = 0

Die Amplituden zu verschiedenen Zeiten ausgesandter Kugelwellen überlagern sich und es entsteht eine Welle mit sehr großer Amplitude (nicht mehr harmonisch!), die sogenannte Kopfwelle.

Bewegt sich die Quelle sogar schneller als die Phasengeschwindigkeit, ist

€

λ α = arccos vPhu

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0

Gaub 63

Wellenfronten bei bewegten Quellen

In diesem Fall sind die zu verschiedenen Zeiten ausgesandten Kugelwellen auf Kegeln mit dem Öffnungswinkel β in Phase. Es ist:

⇒ 

€

β = 90° − α

€

sin β( ) =vPhu

=1M

mit der Machzahl M

Der Kopfwellenkegel heißt dann Machscher Kegel.

Zu beobachten sind derartige Kegel zum Beispiel bei Schiffen, deren Geschwindigkeit größer ist als die Phasengeschwindigkeit der Oberflächenwellen des Wassers.

Man beachte aber die Dispersion der Wasserwellen!!! 64

Size doesn‘t matter! And speed neither!

65

Wellenfronten bei bewegten Quellen

Ein Schiff bewege sich mit der Geschwindigkeit u und befinde sich zum Zeitpunkt t = 0 am Punkt . Dabei sendet es Oberflächenwellen in einem breiten Spektrum aus. Hat das Schiff zum Zeitpunkt T den Punkt erreicht, habe die Welle mit der Mittenwellenlänge den Punkt erreicht.

€

Q1

€

Q2

€

λ0

€

W0

Da andere Teilwellen andere Phasengeschwindigkeiten und damit andere Phasen im Punkt haben, mittelt sich die Gesamtamplitude zu Null und es entsteht keine Kopfwelle.

€

W0

Das Maximum der Wellengruppe, das sich mit der Gruppenge-schwindigkeit

bewegt, ist zum Zeitpunkt T erst am Punkt , weshalb die Bugwelle entlang der Linie entsteht.

€

vGr =12vPh λ0( )

€

G0

€

Q2G0

66

Wellenfronten bei bewegten Quellen

⇒ 

€

tan β0( ) =2sd

Mit und ergibt sich für den Öffnungswinkel θ der Bugwelle:

€

Q2W0 = d

€

Q1G0 = s

€

tan β0 −θ( ) =sd

€

θ = arctan 2sd

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ − arctan s

d⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Weil Θ unabhängig von s ist sein muss gelten:

€

=> 0 =dθds

=dθ

d arg( )d arg( )ds

€

=2d

d2 + 4s2−

dd2 + s2

€

2d2 + 4s2

=1

d2 + s2

€

2d2 + 2s2 = d2 + 4s2

€

d2 = 2s2

€

s =d2

€

= arctan 22

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ − arctan 1/ 2( )

€

=> θ ≈ 19,5°

€

0 =1

1 +4s2

d2

2d−

1

1 +s2

d2

1d

und

Unabhängig von der Geschwindigkeit, solange u > vph!

67 WS2014/15

Wellenfronten bei bewegten Quellen

Bei einem mit Überschallgeschwindigkeit fliegenden Flugzeug ist die Kopfwelle als lauter Knall wahrnehmbar („Überschallknall“).

Die Krümmung der Wellenfronten hat mehrere Ursachen: Das Flugzeug ist keine Punktquelle, die Schallgeschwindigkeit hängt von der Höhe über dem Erdboden ab ( T(h), p(h) ).

Gaub 68 WS2014/15