Kräfte bei der Kreisbewegung. Die Radialbeschleunigung Da ein Körper bei einer Kreisbewegung...

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Kräfte bei der Kreisbewegung

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  • Krfte bei der Kreisbewegung
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  • Die Radialbeschleunigung Da ein Krper bei einer Kreisbewegung permanent seine Richtung ndert, muss stndig eine Beschleunigung auf Ihn wirken. Allgemein gilt: a = v /t K
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  • Die Zentralkraft Wendet man das 2. Gesetz von Newton an, so erhlt man: F = m a = m 2 r = m v 2 / r Das kann man auch durch einen Versuch nachweisen:
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  • Beim Versuch misst man die Kraft F rad in Abhngigkeit von der Masse m, der Umlaufzeit T und dem Bahnradius r.
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  • Die Gravitationskraft Als Johannes Kepler seine Gesetze der Planetenbewegung formulierte, war Sir Isaac Newton noch nicht einmal geboren. Htte Kepler schon gewusst, was Newton erst spter herausfand, dann htte er seine Gesetze auch mathematisch begrnden knnen...
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  • Newton erkannte, dass die Kraft, die den Mond in seiner Umlaufbahn um die Erde hlt, im Prinzip dieselbe Kraft ist, die auch auf der Erde auf alle Krper wirkt - die Gravitationskraft (auch Gewichtskraft oder Schwerkraft genannt). Sie ist auch die Kraft, die z.B. einen Apfel vom Baum zur Erdoberflche fallen lst. Ob Newton dabei ein Apfel auf den Kopf fiel, wie oft behauptet wird, ist nicht gesichert.
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  • Die Gravitationskraft hngt von der Entfernung ab: Betrachten wir einmal einen kleinen Apfel, er mge die Masse 100g haben. An der Erdoberflche zieht ihn die Erde mit der Kraft von 1 N an. Diese Kraft ist die Schwerkraft des Apfels. Entfernt man einen Krper von der Erde, so wird diese Anziehungskraft kleiner. Streng genommen verndert sich die Schwerkraft auch schon auf der Fallstrecke des Apfels vom Baum zur Erdoberflche ganz geringfgig, aber davon sieht man meist ab. Bringt man aber den Apfel weit hinaus in den Weltraum so ist der Effekt deutlich!
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  • Der Apfel soll den Mond ersetzen: In Gedanken wollen wir den Apfel nun so weit von der Erde entfernen, dass er sich in der gleichen Entfernung vom Erdmittelpunkt befindet wie der Mond. Diese Entfernung ist etwa 384.000 km, was etwa 60 Erdradien entspricht.
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  • Wre dabei der Apfel auch in den Nhe des Mondes, wrde er natrlich auch noch vom Mond angezogen werden! Dann wirken zwei Anziehungskrfte auf den Apfel - eine die die Erde ausbt und eine die der Mond ausbt. Da wir uns nur mit der Kraft der Erde auf den Apfel beschftigen wollen, denken wir uns den Mond einfach weg! Der Apfel bernimmt nun praktisch die Rolle des Mondes.
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  • Wre der Apfel dort in Ruhe, wrde er immer noch von der Erde angezogen werden und nach einiger Zeit auf die Erdoberflche fallen (sofern er nicht in der Erdatmosphre verglht). Damit dies nicht passiert, muss der Apfel - genau wie der Mond - die Erde umkreisen und dabei die Erde einmal in 27,3 Tagen umrunden. Die Anziehungskraft der Erde auf den Apfel wirkt dann als Zentripetalkraft F z und hlt ihn auf seiner Umlaufbahn.
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  • Wir setzen in die Gleichung fr r die Mondentfernung ein. Sie ist 60 Erdradien (r = 60 R). Dabei ist der Erdradius etwa 6400 km = 6.4*10 6 m. Die Entfernung r ist also 3,84*10 8 m. Die Masse des Apfels ist 100 g = 0,1 kg und fr T setzen wir die Umlaufzeit 27,3 d = 2,359 *10 6 s. Berechne nun die Zentripetalkraft und vergleiche mit der Gewichtskraft des Apfels auf der Erde.
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  • [0,000272 N (2,724*10 -4 N); Diese Kraft ist gerade 1/3600 der Kraft, die die Erde auf der Erdoberflche auf den Apfel ausbt]. In60-facher Entfernung wirkt also nur noch 1/3600 der Kraft. Also nimmt der Betrag der Gravitationskraft mit dem Quadrat der Entfernung ab, es gilt: In 60-facher Entfernung wirkt also nur noch 1/3600 der Kraft. Also nimmt der Betrag der Gravitationskraft mit dem Quadrat der Entfernung ab, es gilt:
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  • Doppelte Krpermasse - doppelte Gewichtskraft: Htte der Apfel doppelte Masse, so wre auch die doppelte Zentripetalkraft ntig um ihn auf der Umlaufbahn zu halten. Also ist die Zentripetalkraft (und damit die Gravitationskraft) auch zur Masse m proportional. Das ist ja auch schon auf der Erde so, dass auf einen Krper doppelter Masse m eine doppelt so groe Schwerkraft wirkt.
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  • Auch die Gre / Masse des Zentralkrper spielt eine Rolle: In der 7. Klasse hat man schon gelernt, dass die Schwerkraft auf dem Mond kleiner ist als auf der Erde. Dies liegt daran, dass der Mond ein kleinerer Himmelskrper ist, der auch eine kleinere Masse hat. Die Masse des Krpers, der die Schwerkraft ausbt, spielt also auch noch eine Rolle. Htte unsere Erde die doppelte Masse M, dann wrde sie sowohl auf der Erde als auch in jeder anderen Entfernung auf jeden Krper die doppelt so groe Anziehungskraft ausben.
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  • Wenn wir alle drei Abhngigkeiten zusammenfassen, dann erhalten wir folgende Gleichung: Um ein Gleichheitszeichen setzen zu knnen bentigen wir noch einen Proportionalittsfaktor, er heit Gravitationskonstante. Dann ergibt sich Newtons Gravitationsgesetz:
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  • Durch Koeffizientenvergleich kann feststellen, dass die blau gefrbten Gren zusammen das sind, was wir immer den Ortsfaktor g genannt haben. Wenn wir die Masse der Erde M wissen, knnten wir die Gravitationskonstante Gamma angeben und umgekehrt.
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  • Bewegungen unter Einwirkung der Gravitationskraft: Zentrifugalkraft und Corioliskraft S. 98/99 Zentrifugalkraft und Corioliskraft S. 98/99 Ein geostationrer Satellit S. 104 Ein geostationrer Satellit S. 104 Gravitation Herrscherin ber das All S. 105 Gravitation Herrscherin ber das All S. 105 Anwendung der Zentralkraft: Kurvenfahrten S. 102