http://www.youtube.com/watch?v=qGpfhqLP6j0

RichtungswinkelvonVektoren

1E1 Ma1LubovVassilevskaya

RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Aufgabe1Aufgabe1

Gegeben ist ein Vektor u. Gesucht sind die Winkel und ,die umit den Koordinatenachsen einschliet

Abb.11:DerVektoruim2DrechtwinkligenKoordinatensystem

a ) u = u x , u y , b ) u = 3, 2 , c ) u = 2, 2

d ) u = 4, 1 , e ) u = 2, 2 , f ) u = 2 3 , 21A Ma1LubovVassilevskaya

Abb.12:DerVektoruim2DrechtwinkligenKoordinatensystem,dieEinheitsvektoren

u = ux , u y , ex = 1, 0 , e y = 0, 1 , u = u x2 u y2

cos =u e x

u e x =

ux 1 u y 0 u 1

=ux u

, = arccos ux u cos =

u e y u e y

=u x 0 u y 1

u 1=

u y u

, = arccos u y u

RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Lsung1aLsung1a

11 Ma1LubovVassilevskaya

Abb.13:DerVektoru=(3,2),dieEinheitsvektoren

u = 3, 2 , e x = 1, 0 , e y = 0, 1 , u = ux2 u y2 = 13cos =

u e x u ex

=u x u

= 313

, = arccos 313 = 33.69 cos =

u e y u e y

=u y u

= 213

, = arccos 213 = 56.31

RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Lsung1bLsung1b

12 Ma1LubovVassilevskaya

Abb.14:DerVektoru=(2,2),dieEinheitsvektoren

u = 2, 2 , e x = 1, 0 , e y = 0, 1 , u = 8

cos =ux u

= 28

= 12

, = arccos 12 = 4u x = u y = =

4

RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Lsung1cLsung1c

13 Ma1LubovVassilevskaya

Abb.15:DerVektoru=(4,1),dieEinheitsvektoren

u = 4, 1 , e x = 1, 0 , e y = 0, 1 , u = 17

cos =ux u

= 417

, = arccos 417 = 14.04cos =

u y u

= 117

, = arccos 117 = 104.04

RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Lsung1dLsung1d

14 Ma1LubovVassilevskaya

Abb.16:DerVektoru=(2,2),dieEinheitsvektoren

u = 2, 2 , ex = 1, 0 , e y = 0, 1 , u = 8

cos =ux u

= 28

= 12

, = arccos 12 = 4 = 34cos =

u y u

= 28

= 12

, = arccos 12 = 4

RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Lsung1eLsung1e

15 Ma1LubovVassilevskaya

Abb.17:DerVektoru=(23,2),dieEinheitsvektoren

u = 2 3 , 2 , ex = 1, 0 , e y = 0, 1 , u = 4

cos =ux u

= 32

, = arccos 32 = 6 = 56cos =

u y u

= 12, = arccos 12 = 3

RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Lsung1fLsung1f

16 Ma1LubovVassilevskaya

RichtungswinkelneinesVektorsRichtungswinkelneinesVektors

Abb.21:DerVektoru,seineRichtungswinkeln

21 Ma1LubovVassilevskaya

Ein Vektor ist eindeutig durch Betrag und Richtung festgelegt. DieRichtung bestimmen wir z.B. durch die Winkel, die der Vektor mitden drei Basisvektoren bildet.

ist der Winkel, den der Vektor mit der x-Achse bildet.

Die Richtungswinkel sind nicht unabhngig voneinander, sondernber die Beziehung

miteinander verknpft.

cos =a e x

a e x =

a x a 1

=ax a

cos =ax a

, cos =a y a

, cos =a z a

cos2 cos2 cos2 = 1

RichtungswinkelneinesVektorsRichtungswinkelneinesVektors

22 Ma1LubovVassilevskaya

Aufgabe 2: Berechnen Sie den Winkel, der von den Vektoren a und b eingeschlossen wird. Wie gro ist der Winkel, den der Vek- tor a mit der x-Achse bildet?

Aufgabe 3: Berechnen Sie die Lnge, den Einheitsvektor und die mit den Basisvektoren gebildeten Winkel des Vektors

Aufgabe 4: Bestimmen Sie die Richtungswinkel der folgenden Vektoren

RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Aufgaben24Aufgaben24

a ) a = 23 5 , b = 452 , b ) a =

211 , b =

0 11

v = 2 e x e y 2 e z

v1 = 514 , v2 = 3 58 , v3 =

112 10

3A Ma1LubovVassilevskaya

Lsung 2a):

Lsung 2b):

a ) a = 23 5 , b = 452 , a = 38 , b = 45 = 3 5

cos = a b

a b =

ax bx a y b y az bz

ax2a y2az2 bx2b y2bz2

cos = 13 38 45

0.314 , = 71.68

cos =a e x

a ex =

ax a

= 2 38

0.324 , = 71.07

b ) a = 211 , b = 0 11 , a = 6 , b = 2

cos = 0 , = 90

cos = 2 6

0.816 , = 35.26

RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Lsung2Lsung2

31 Ma1LubovVassilevskaya

Lsung 3:

Lsung 4:

v = 2 e x e y 2 e z = 212 , v = 22 12 22 = 3ev =

v| v |

= 23

e x 13

e y 23

e z

cos =a x

| a |= 2

3, cos =

a y| a |

= 13, cos =

az| a |

= 23

= 48.19 , = 109.47 , = 131.81

v1 : = 39,51 , = 81,12 , = 51,89

v2 : = 107,64 , = 59,66 , = 143,91

v3 : = 42,83 , = 97,66 , = 48,19

RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Lsung3,4Lsung3,4

32 Ma1LubovVassilevskaya