Wellen und Hochfrequenztechnik - Ruhr-Universität Bochum · am Schwarzen Brett des Lehrstuhls (IC...

Lfd. Nr.: Matrikelnr. Seite 1

Klausur Wellen und Hochfrequenztechnik Herbst 2003

Σ 80

Ruhr-Universität Bochum

Lehrstuhl für Hochfrequenztechnik

Prof. Dr.-Ing. H. Ermert

Fachprüfung, Freiwillige Selbstkontrolle und Leistungsnachweis im Fach

Wellen und Hochfrequenztechnik

Prüfungsperiode Herbst 2003 Datum: 08.09.2003

Uhrzeit: 14:00 − 18:00 Uhr (Fachprüfung und Freiwillige Selbstkontrolle)

14:00 − 17:00 Uhr (Leistungsnachweis)

Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise:

1. Dauer der Fachprüfung/FSK bzw. des Leistungsnachweises: 240 bzw. 180 Minuten. 2. Bitte laufende Nummer (Lfd. Nr.). und Matrikelnummer auf dieser Seite, auf jedem der

beiliegenden freien Blätter und auf dem Smith-Chart eintragen. Die Klausur enthält 12 Aufgaben und hat einen Umfang von insgesamt 15 Seiten (inklusive dieser Seite).

3. Zulässige Hilfsmittel: • (Nicht programmierter) Taschenrechner • Formelsammlung in Form von 8 zusammengehefteten, beidseitig handbeschriebenen DIN-A4-

Blättern • Die vom Lehrstuhl für Hochfrequenztechnik herausgegebenen Hilfsblätter zur Vorlesung

4. Die Benutzung unerlaubter Hilfsmittel führt zur Bewertung der Prüfung mit nicht ausreichend bzw. des Leistungstests mit nicht bestanden. Weitere Konsequenzen sind vorbehalten.

5. Benutzen Sie für Ihre Berechnungen und für die Angabe der Endergebnisse ausschließlich die beiliegenden freien Blätter. Legen Sie am Ende der Bearbeitungszeit die freien Blätter gemeinsam mit den Aufgabenblättern in den Mantelbogen und geben Sie diesen ab.

6. Die Endergebnisse sind einzurahmen. 7. Sofern möglich sind die Ergebnisse mit Zahlenwert und Einheit anzugeben. Ansonsten sind die

Ergebnisse entsprechend der jeweiligen Aufgabenstellung anzugeben. 8. Die auf den freien Blättern abgelieferten Berechnungen werden bei eindeutigen, fehlerhaften

Endergebnissen mit zur Bewertung herangezogen. 9. Taschen, Jacken/Mäntel müssen Sie in den Schließfächern der Ruhr-Universität unterbringen. Sie

können diese auch unter Ausschluss jeglicher Haftung bei der Klausuraufsicht hinterlegen. 10. Das Verlassen des Raumes ist nur einzeln gegen Hinterlegung des Studentenausweises bei der

Klausuraufsicht gestattet. 11. Die Ergebnisse werden gemeinsam mit den Terminen für die mündlichen Ergänzungsprüfungen

am Schwarzen Brett des Lehrstuhls (IC 6, Lichthof Nord) ausgehängt.



1 Vektorpotential 11

Im unendlich ausgedehnten Vakuum liege eine kreisförmige Stromschleife in der Ebene 0z = mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Ansonsten sei das Vakuum quellenfrei ( 0, 0J = ρ = ). Bekannt ist der Phasor des magnetischen Vektorpotentials in Kugelkoordinaten für Abstände r, die wesentlich größer sind als der Schleifenradius:

j2

j 1e sin e4π

krIF kAr r

−ϕ

µ ⎛ ⎞= + ϑ⎜ ⎟⎝ ⎠

Hierbei ist I der in der Schleife fließende Strom und F die von der Schleife eingeschlossene Fläche.

a) Berechnen Sie mit Hilfe der Lorenzeichung den Phasor des Skalarpotentials ( )rΦ .

2

b) Berechnen Sie aus dem magnetischen Vektorpotential A den Phasor der magnetischen Feldstärke H in Kugelkoordinaten.

3

c) Berechnen Sie aus der magnetischen Feldstärke H den Phasor der elektrischen Feldstärke E in Kugelkoordinaten.

3

d) Berechnen Sie den Poynting-Vektor S in Kugelkoordinaten.

3



2 Wellenformen 9

Eine Welle mit der elektrischen Feldstärke

( ) ( ) ( ) ( )0, cos e 3sin e cos ex y zE r t E t kr t kr t kr⎡ ⎤= ω − + ω − − ω −⎣ ⎦

E0 reell und konstant

breitet sich in einem homogenen, isotropen, linearen und verlustlosen Medium 1 ( )1 r1 r10, 1, 4κ = µ = ε = aus. Alle Komponenten des Wellenzahlvektors k sind reell und seine x-Komponente ist positiv.

a) Geben Sie den Phasor E der elektrischen Feldstärke an.

1b) Beschreibt ( ),E r t eine homogene ebene Welle? Begründen Sie Ihre Antwort.

1c) Berechnen Sie den Wellenzahlvektor k in Abhängigkeit von der Wellenzahl im

Vakuum 0k .

2

d) Wie ist die Welle mit der elektrischen Feldstärke ( ),E r t polarisiert?

2

In der Ebene 0x = grenzt das Medium 1 ( )0x < nun an ein weiteres homogenes, isotropes, lineares und verlustloses Medium (Medium 2: 2 r2 r20, 0, 1, 1x > κ = µ = ε > ). Durch die Ausbreitung der oben beschriebenen Welle im Medium 1 entsteht in Medium 2 eine evaneszente Welle.

e) Wodurch entsteht die evaneszente Welle? (Stichwort)

1f) In welchem Wertebereich kann r2ε liegen?

1g) In welche Richtung wird im Medium 2 Leistung transportiert?

1



3 Reflexion und Brechung I 6

r1

r1

εµ 1=

r2

r2

εµ 1=

eΘ

tk

y

z x

ek

Skizze nicht maßstäblich!

Betrachtet wird eine homogene, ebene elektromagnetische Welle, die sich im Halbraum 0y > ausbreitet und unter dem Winkel o

e 60Θ = auf die Grenzschicht zweier Medien mit unterschiedlichen Dielektrizitätszahlen ( r1 r2ε ε≠ ), beschrieben durch die Ebene 0y = , trifft

(siehe Skizze). Der Phasor der elektrischen Feldstärke dieser Welle sei 0 ej2 ee e0

kk rE E e−= ⋅ , wobei

eek der Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung der Welle ist. Der Betrag der

elektrischen Feldstärke sei e0V2 mE = . Die Medien seien ideal (linear, isotrop, homogen und

verlustfrei). An der Grenzschicht finde keine Reflexion statt.

a) Bestimmen Sie den Wellenzahlvektor ek der Welle im Halbraum 0y > in kartesischen Koordinaten.

1b) Bestimmen Sie die Dielektrizitätszahl r1ε des Halbraums 0y > .

1c) Bestimmen Sie die Dielektrizitätszahl r2ε des Halbraums 0y < .

1

d) Bestimmen Sie den Wellenzahlvektor tk der in den Halbraum 0y < transmittierten Welle in kartesischen Koordinaten.

1e) Ist die betrachtete einfallende Welle im Halbraum 0y > parallel oder senkrecht zur

Einfallsebene polarisiert? Begründen Sie Ihre Antwort.

1f) Geben Sie für die unter Aufgabenteil e) gewählte Polarisation alle möglichen

Vektoren e0E der einfallenden Welle an.

1



4 Reflexion und Brechung II 3

Grenzschicht 2

Grenzschicht 3Grenzschicht 1

β

x

y z

ek

o90 -0.5 β⋅

o90 -0.5 β⋅

r1

r1

εµ 1=

r2

r2

=ε 4µ =1

In einem unendlich ausgedehnten Raum mit unbekannter Dielektrizitätszahl r1ε breite sich eine monofrequente, elektromagnetische Welle aus. Im Bereich der Grenzschicht 1 des skizzierten, in y-Richtung unendlich ausgedehnten Prismas (Dielektrizitätszahl r2ε 4= ) kann diese Welle als homogene, ebene Welle aufgefasst werden, die in positiver z-Richtung senkrecht auf die Grenzschicht 1 treffe (siehe Skizze). Beugungseffekte an den Kanten des Prismas seien vernachlässigbar. Beide Medien seien ideal (linear, isotrop, homogen und verlustfrei). Weiterhin gelte r1 r2µ µ 1= = .

Nach dem Eintritt der Welle in das Prisma soll diese innerhalb des Prismas verlustlos um o180 umgelenkt werden.

a) Wie groß muss der Winkel β sein, damit die Welle verlustlos um o180 umgelenkt werden kann?

1b) Geben Sie die größtmögliche Dielektrizitätszahl r1, maxε des umgebenden Raumes an,

damit die Welle verlustlos um o180 umgelenkt werden kann.

1

c) Es sei nun r13ε2

= . Geben Sie die Beträge der Reflexionsfaktoren 1 2 3, ,r r r an den drei

skizzierten Grenzschichten für diesen Fall an.

1



5 Hohlleitung 11

Die Aufgabenteile a), b) sowie c) sind unabhängig voneinander lösbar!

a) Es sei folgende Verteilung des Phasors der elektrischen Feldstärke in einer Hohlleitung mit ideal leitenden Wänden gemäß der Skizze gegeben:

( )

( )

( )

0

0

0

sin ej

sin e

cos e

zx y

y

zy y

y

zz y

y

HE k yk

HH k yk

H H k y

kb

−γ

−γ

−γ

ωµ=

γ=

=

π=

0

0

0

y

z

x

E

E

H

=

=

=

0H Amplitude der magnetischen Feldstärke

ω Kreisfrequenz der Hohleiterwelle

yk Ausbreitungsfaktor der Hohleiterwelle in -Richtungy

γ Ausbreitungsmaß der Hohleiterwelle

Um welchen Typ (TEM, Hmn, Emn) von Hohlleitungswelle handelt es sich dabei (mit Begründung)? Geben sie, falls es sich um eine Hmn oder Emn handelt, die Zahlenwerte für m und n an.

2b) Eine homogene ebene Welle mit dem Wellenzahlvektor 31

0 02 2e ex zk k k= − breite sich im Halbraum z d> aus und treffe auf eine Anordnung aus zwei Metallplatten ( κ → ∞ , bei

0z = und z d= ). Hierbei auftretende Beugungseffekte an Kanten seien vernachlässigbar. Die Platte bei 0z = erstrecke sich über die gesamte x-y-Ebene; die Platte bei z d=

y b=

x a=z

y

x


z

Fall 1: Fall 2:y x

d

k

kk

E ESkizze nicht maßstäblich!

0x =



erstrecke sich nur über die Halbebene 0x > (siehe Skizze). Der gesamte Raum sei luftgefüllt ( r r 1ε = µ = ). Die elektrische Feldstärke der HEW sei in y-Richtung (Fall 1) bzw. in x-z-Richtung (Fall 2) linear polarisiert. Die Betriebsfrequenz der Welle sei

5 GHzf = und der Plattenabstand sei 1 cmd = .

Bildet sich durch die einfallende homogene ebene Welle zwischen den Platten eine ausbreitungsfähige Welle aus (Fall 1 und Fall 2, jeweils mit Begründung)?

Falls für einen der beiden oder beide Fälle keine ausbreitungsfähige Welle entstehen sollte, geben Sie eine Veränderung der Geometrie an, durch die eine Ausbreitung zwischen den Platten ermöglicht würde.

5c) Gegeben sei eine luftgefüllte

Hohlleitung ( r 1ε = ) mit den Abmessungen 4 cma = und 3 cmb = . In dieser Leitung soll sich eine Welle mit der Betriebsfrequenz 12 GHzf = ausbreiten. Geben Sie alle ausbreitungsfähigen Wellentypen mnH und mnE mit deren Indizes m und n an und berechnen Sie die zugehörigen cut-off-Frequenzen.

4

y b=

x a=z

y

x




Leitungen

6 Pulsförmige Anregung 7

Gegeben ist die nachfolgende Anordnung, bestehend aus einer dispersionsfreien Leitung (Leitungswellenwiderstand L 50Z = Ω , Phasengeschwindigkeit 8

phv 2 10 m s= ⋅ , Länge 50cm= ), die am Ende mit einem ohmschen Widerstand A 25R = Ω und einem unbekannten

Bauelement (Induktivität L bzw. Kapazität C ) abgeschlossen ist. Eingangsseitig wird die Anordnung von einer Spannungsquelle (Spannungssprung ( ) ( )Q 0~U t U s t= ⋅ , 0 2VU = ,

Innenwiderstand Q 50R = Ω ) angeregt. Am Tor 1|1′ wird die zeitabhängige Spannung ( )1~U t über der Zeit t gemessen:

t

QR bzw. L C

L ph, vZAR

0U

1′

1

0

( )Q~U t

( )Q~U t ( )1~U t

02′

2

a) Zu welchem Zeitpunkt 0 0t > erreicht der am Leitungsende (Tor 2 | 2′ ) reflektierte Spannungssprung erstmalig das Tor 1|1′?

1

Die Spannung ( )tU1~ erreicht zum Zeitpunkt 0t t= ihren Maximalwert 1,maxU :

b) Handelt es sich bei dem unbekannten Bauelement um eine Induktivität L oder um eine Kapazität C ? (Begründung!)

2

Im Folgenden handelt es sich bei dem unbekannten Bauelement um eine Induktivität L . Die Spannung ( )tU1~ weist einen Maximalwert 1,maxU auf:

c) Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf der Spannung ( )tU1~ ! Geben Sie die Spannungen

1,maxU und ( )1~U t → ∞ an (Zahlenwerte)!

2d) Geben Sie einen Ausdruck für die Zeitkonstante τ , mit der sich die Spannung ( )tU1~

ändert, in Abhängigkeit von L, AR und LZ an!

2



7 Sinusförmige Anregung 7

Gegeben ist die folgende Schaltung (Abb. 1), die aus zwei verlustlosen, dispersionsfreien Leitungen (Längen 1 bzw. 2 , Phasengeschwindigkeiten 8

ph1 ph2v v 2 10 m/s= = ⋅ , Leitungswellenwiderstände L1 L2 L 50Z Z Z= = = Ω ), den Widerständen 1R und 2R und der Induktivität 1L besteht. Im Smith-Diagramm in Abb. 3 ist der Verlauf des Reflektionsfaktors r (Bezugswiderstand L 50Z = Ω ) über der Ortskoordinate dargestellt. Die Anordnung wird bei der Frequenz 200MHzf = betrieben:

L2 ph2, vZ

1R

1 2

L1 ph1, vZ1r

⇒1L

2R

1

1′

Abb. 1

a) Wie groß ist der Reflektionsfaktor 1r (Bezugswiderstand L 50Z = Ω ) am Tor 1|1′ nach Betrag und Phase?

1b) Wie groß ist die Länge 1 der Leitung 1?

1c) Wie groß ist der Widerstand 1R ?

1d) Wie groß sind der Widerstand 2R und die Induktivität 1L ?

2

Die Schaltung wird nun durch ein Anpassungsnetzwerk, bestehend aus den Kapazitäten 1C und 2C , erweitert (Abb. 2):

L2 ph2, vZ

1R

1 2

L1 ph1, vZ1r

⇒ 1L

2R

1

1′

Abb. 2

2

2′

2r⇒

2C

1C



e) Wie groß müssen die Kapazitäten 1C und 2C sein, damit am Tor 2 | 2′ Anpassung ( 2 0r = , Bezugswiderstand L 50Z = Ω ) erzielt wird?

2



Schaltungstheoretische Grundlagen und Wellengrößen

8 Streuparameter 7

Gegeben ist die nachfolgende Verschaltung einer Wellenquelle (Quellwellengröße

Q 0,2 Wb = , Reflexionsfaktor Q 0r = ), eines reziproken, verlustlosen Richtkopplers (Streumatrix RKS ), einer verlustlosen Leitung (Leitungswellenwiderstand L 50Z = Ω , Streumatrix LTGS ) und eines Eintores mit dem Reflexionsfaktor jr = − (Torwiderstand

0 50Z = Ω an allen Toren):

Die Streumatrizen sind wie folgt gegeben und mit den Wellengrößen verknüpft:

12 121 1

21 232 2RK RK

3 3 34

4 4 41 43 43

0 0 j 30 0

, mit: 0 j 3 0

0 0

S Sb aS Sb a

b a Sb a S S S

⎛ ⎞=⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

S S

j / 23 3

LTG LTG j / 24 4

0 emit:

e 0a ba b

− π

− π

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠S S

a) Bestimmen Sie die Eingangsimpedanz 2Z in das Eintor an Tor 2! (Zahlenwert!)

1b) Geben Sie die komplette Streumatrix RKS des Richtkopplers an! (Zahlenwerte!)

2c) Geben Sie eine Gleichung (keinen Zahlenwert) für die von der Wellenquelle am Tor 1

abgegebene Wirkleistung 1P in Abhängigkeit von der Wellengröße 1a und dem Reflexionsfaktor 1 1 1r b a= (Torwiderstand 0 50Z = Ω ) an!

1d) Bestimmen Sie den Reflexionsfaktor 1 1 1r b a= (Torwiderstand 0 50Z = Ω ) an Tor 1 in der

obigen Schaltung! (Zahlenwert!)

3

bQ, rQ r

a1b1

r1

P1 1(Z0)

2(Z0)

a2b2

3(Z0)

4(Z0)

b3 b4

a3 a4

Z2

SRK

SLTG



Antennen und Funkfelder

9 Funkübertragungsstrecke 5

Gegeben ist die folgende Antennenanordnung bestehend aus einer Parabolantenne (Sendeantenne, Antennengewinn S 21,8dBG = ) und einem 2λ -Dipol (Empfangsantenne). Beide Antennen sind leitungsseitig angepasst und arbeiten auf der festen Wellenlänge 0λ :

R

Parabolantenne(Sendeantenne) (Empfangsantenne)

2 - Dipolλ

SP ⇒ EP ⇒

Zunächst stehen sich die Antennen im Abstand 0 700mR R= = (Fernfeld) gegenüber und sind optimal zueinander ausgerichtet (Hauptstrahlrichtung!):

a) Wie groß ist die Wellenlänge 0λ , bei der die Anordnung betrieben wird, wenn eine Funkfelddämpfung ( )F 0 63,5dBa R = gemessen wird?

2b) Wie groß ist bei dieser Wellenlänge 0λ die Antennenwirkfläche SA der Sendeantenne?

1

Im Folgenden sendet die Parabolantenne mit einer Leistung S 80 WP = . Der Abstand R zwischen den Antennen wird nun geändert. Die Ausrichtung der Antennen zueinander bleibt optimal; die Anordnung wird weiterhin bei der Wellenlänge 0λ betrieben:

c) Die Empfangsantenne nimmt in einem Abstand 1R R= von der Sendeantenne die Leistung E 1( ) 20 WP R = µ und in einem Abstand 2R R= die Leistung E 2( ) 12 WP R = µ auf. Wie groß ist die Differenz 2 1R R R∆ = − der Abstände 1R und 2R ?

2



Resonatoren

10 Resonatoren 5

Gegeben ist ein Resonator bestehend aus der Parallelschaltung einer Induktivität L , eines Widerstandes R und einer Kapazität C . Das Koppelmaß beträgt 20κ = , die Eigengüte

0 100Q = ⋅π und die Resonanzfrequenz 0 500MHzf = :

RL C

1

1′

Eintorresonator Zweitorresonator

RL C

1

1′

2

( )0 50Z = Ω ( )0 50Z = Ω ( )0 50Z = Ω2′

Die Schaltung wird zunächst als Eintorresonator bezüglich des Tores 1|1′ (Bezugswiderstand

0 L 50Z Z= = Ω ) betrieben. :

a) Berechnen Sie die Bauelemente L , R und C ! (Zahlenwerte!)

2

Nun wird dieselbe Parallelschaltung als Zweitorresonator bezüglich der Tore 1|1′ und 2 | 2′ eingesetzt. (Bezugswiderstand 0 L 50Z Z= = Ω , Symmetrische Kopplung!):

b) Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf von ( )21S f über der Frequenz f , sodass das

typische Verhalten des Zweitorresonators bei der Resonanzfrequenz 0f , in der Nähe der Resonanzfrequenz und weit ab von der Resonanzfrequenz ersichtlich wird! Kennzeichnen Sie ( )21 0S f und geben Sie an, ob ( )21 0S f kleiner, größer oder gleich 1 ist!

1,5c) Bestimmen Sie ( )21 0S f bei der Resonanzfrequenz 0f ! (Zahlenwert!)

1,5



Rauschen

11 Rauschen 5

Gegeben ist die nachfolgende Verschaltung einer Antenne (Antennenrauschtemperatur A 200KT = ), eines Verstärkers (Leistungsverstärkung V 6dBG = , Rauschzahl V 3F = ,

Bezugstemperatur 0 300KT = ), einer Leitung (Länge 10m= , Dämpfungsmaß L 1dB mα = , Temperatur L 300 KT = ) und eines Bandpasses (Bandbreite 500MHzf∆ = , Dämpfung

BP 0,6dBa = , Temperatur BP 300KT = ). An allen Toren herrscht Leistungsanpassung. Für alle Rauschleistungsbetrachtungen ist die Bandbreite des Bandpasses entscheidend (Boltzmann-Konstante 231,38 10 J Kk −= ⋅ ):

BP1 3 42

R1P ⇒ R2P ⇒ R3P ⇒ R4P ⇒

V 6dBG =

V 3F =

0für 300KT =

10 m=

L 1dB mα =

L 300KT =

500 MHzf∆ =

BP 0,6dBa =

BP 300 KT =

A 200 KT =

S1P ⇒ S4P ⇒

R 4T

a) Bestimmen Sie die Rauschleistung R1P an Tor 1.

1b) Bestimmen Sie die Rauschleistung R2P an Tor 2.

2c) Bestimmen Sie die Rauschtemperatur R 4T an Tor 4.

2



Elektronische Bauelemente und Schaltungen

12 Mischer 4

Gegeben ist die nachfolgende Mischerstufe mit idealisierten Bandpässen BP1 und BP2 (rechteckförmige Durchlassbereiche von 100MHz bis 300MHz bzw. von 500MHz bis 600MHz ) und dem Lokaloszillator LO mit der einstellbaren Frequenz LOf , mit 1 Lo 2f f f< < . Am Eingang des Mischers liegt ein bandpassbegrenztes Eingangssignal Ex (Spektralanteile bei Frequenzen Ef , mit E370MHz 380MHzf< < ) an, das an die Ausgänge der Bandpässe BP1 und BP2 gemischt wird:

BP2

f1 < fLO < f2

LO

370 MHz < fE < 380 MHz

BP1

500..600 MHz

100..300 MHzEx

a) Innerhalb welcher Grenzen 1f und 2f der Lokaloszillatorfrequenz wird das gesamte Eingangssignal Ex in Gleichlage zum Ausgang von BP1 gemischt?

b) Innerhalb welcher Grenzen 1f und 2f der Lokaloszillatorfrequenz wird das gesamte Eingangssignal Ex in Gleichlage zum Ausgang von BP2 gemischt?

2

2

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