1

GEOMETRIA ANALÍTICA

PROF. ENZO MARCON TAKARA

EDIÇÃO 2016

2

1- PLANO CARTESIANO ORTOGONAL

Considere num plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos x (Ox), eixo das abscissas, e y (Oy),

eixo das ordenadas, chama-se sistema cartesiano ortogonal, onde o plano α é o plano cartesiano e o ponto O é a

origem do sistema.

IMPORTANTE

Localizações notáveis do plano cartesiano ortogonal 1) Origem (0,0) 2) Um ponto do eixo x ( a,0) 3) Um ponto do eixo y ( 0,a) 4) Um ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares ( a , a) ou ( -a , -a) 5) Um ponto da bissetriz dos quadrantes pares ( -a , a ) ou ( a , -a)

EXERCÍCIO BÁSICO 01-(Unifesp 2002) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y, - x - y) e

também por (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, yx é

igual a a) -8. b) -6. c) 1. d) 8. e) 9.

GABARITO

1)A

2-DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema

cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distância entre A e B por meio do Teorema de Pitágoras.

3

EXERCÍCIOS BÁSICOS

01-Calcule a distância entre os pontos A( 1 , 3 ) e B( -1,4) 02-Calcular a distância entre o ponto P (-6,8) à

origem.

03-(PUCCAMP) Sabe-se que os pontos A = (0;

0), B = (1; 4) e C = (3; 6) são vértices

consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas

condições, o comprimento da BD é

a) 2 b) 3 c) 2 2 d) 5 e) 5 04-(UFRG) Sendo os pontos A = (- 1, 5) e B = (2,

1) vértices consecutivos de um quadrado, o

comprimento da diagonal desse quadrado é

a) 2.b) 22 . c) 23 . d) 5. e) 25 05-Dados A (x,5) , B (-2,3) e C ( 4,1), obtenha x para

que A seja equidistante de B e C.

06-Determine P, pertencente ao eixo x, sabendo que é

equidistante aos pontos A(1,3) e B (-3,5)

07-Determine P, pertencente a bissetriz dos

quadrantes pares, equidistante de A (8,-8) e B( 12,-2)

08-(UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é

a) 4 b) 4 2 c) 8 d)8 2 e) 16 09-(PUC) O ponto B = (3, b) é eqüidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo o ponto B é: a) (3, 1) b) (3, 6) c) (3, 3). d) (3, 2) e) (3, 0) 10-(CESGRANRIO) A distância entre os pontos

M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale: a) 14. b) 13. c) 12. d) 9. e) 8.

GABARITO

1) 5 2)10 3)D 4) E 5) x=2 6)P (-3,0) 7) (-5,5)

8)A 9)C 10)B

3- PONTO MÉDIO

Sejam os pontos A, B, e um ponto M, que divide AB ao meio, podemos dizer que as coordenadas XM e YM do ponto

médio M são obtidos por meio da média aritmética das abscissas e ordenadas, respectivamente, dos pontos dos quais

M é ponto médio.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1)Calcular o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0,0), B(3,7) e C( 5,-1). 2) Dados os vértices consecutivos , A(-2,1) e B(4,4), de um paralelogramo, e o ponto E (3,-1), intersecção de suas diagonais, determinar os outros dois vértices. 3-(IBMEC) Considere o triângulo ABC, onde A (2, 3), B (10, 9) e C (10, 3) representam as coordenadas dos seus vértices no plano cartesiano. Se M é o ponto médio do lado AB, então, a medida de MC vale:

a) 2 3 b) 3 c) 5 d) 3 2 e) 6

4-(FEI) O simétrico do ponto A=(1,3) em relação ao ponto P=(3,1) é: a) B = (5, -1) b) B = (1, -1) c) B = (-1, 3) d) B = (2, 2) e) B = (4, 0)

5-(PUCMG) Os catetos AC e AB de um triângulo

retângulo estão sobre os eixos de um sistema

cartesiano. Se M = (-1, 3) for o ponto médio da

hipotenusaBC , é correto afirmar que a soma das

coordenadas dos vértices desse triângulo é igual

a:

4

a) - 4 b) - 1 c) 1 d) 4

06- (Puc-rio) Os pontos (-1, 6), (0, 0) e (3, 1) são

três vértices consecutivos de um paralelogramo.

Assinale a opção que apresenta o ponto

correspondente ao quarto vértice.

a) (2, 7). b) (4, -5). c) (1, -6). d) (-4, 5). e) (6, 3).

GABARITO 1)5 2) C (8,-3) e D (2,-6) 3)C 4)A 5) D 6)A

4-BARICENTRO

Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3

medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto

ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo).

Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde

A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) é dado por :

Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias

aritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C.

Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC

onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1) O baricentro de um triângulo é G( 1,6) e dois de seus vértices são A(2,5) e B (4,7). Determinar o terceiro vértice 2) Calcule a distância do baricentro do triângulo A ( 1,4), B( 2,7) e C (3,1) à origem. 3)- (Fei) Dado um triângulo de vértices (1,1);

(3,1); (-1,3) o baricentro (ponto de encontro das

medianas) é: a) (1, 3/2) b) (3/2, 1) c) (3/2, 3/2)

d) (1, 5/3) e) (0, 3/2)

GABARITO

1) C( -3,6) 2) 2 5 3)D

5

5-ÁREA DE TRIÂNGULO / ALINHAMENTO DE 3 PONTOS

5.1 - Área de um triângulo

Seja o triângulo ABC de vértices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc) . A área S desse triângulo é dada por

S = D2

1onde D é o módulo do determinante formado pelas coordenadas dos vértices A , B e C .

Temos portanto:

A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área)

Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prática regra de Sarrus.

5.2 - Condição de alinhamento de três pontos

Três pontos estão alinhados se são colineares , isto é , se pertencem a uma mesma reta .

É óbvio que se os pontos A , B e C estão alinhados , então o triângulo ABC não existe , e podemos pois

considerar que sua área é nula ( S = 0 ) .

Fazendo S = 0 na fórmula de área do item 1.1 , concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é

que o determinante D seja nulo , ou seja : D = 0 .

Exercício resolvido: Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é : a) 4 b) 3 c) 3,5 d) 4,5 e) 2

Solução:

Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter:

6

Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos:

- 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0 y = 9/2 = 4,5.

Portanto a alternativa correta é a letra D.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

01-Para que valores de x os pontos A (x,x), B(3,1) e C ( 7,-3), são colineares ? 02-Para que valores de a os pontos A (0,a) , B (a, -4) e C (1 , 2) são vértices de um triângulo ? 03-Dados A(3,1) e B (5,5), obter o ponto em que a reta AB intercepta o eixo das ordenadas. 04-Dados A ( 2,-3) e B ( 8,1), obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares. 05-Dados A (7,4) e B( -4,2) , obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes pares. 06-(UERJ) A área do triângulo, cujos vértices são (1, 2), (3, 4) e (4, -1), é igual a: a) 6. b) 8 c) 9. d) 10. e) 12

07-(PUC) O valor de x para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é: a) 8. b) 9 c) 11 d) 10 e) 5 08-(UNESP) Um triângulo tem vértices P = (2, 1), Q = (2, 5) e R = (x, 4), com x > 0. Sabendo-se que a área do triângulo é 20, a abscissa x do ponto R é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 09-(PUC) Calcule a área do triângulo de vértices A = (1,2), B = (2,4) e C = (4,1). a) 5/2 b) 3 c) 7/2 d) 4 e) 9/2 10-(PUCRIO) Os pontos (0,8), (3,1) e (1,y) do

plano são colineares. O valor de y é igual a: a) 5 b) 6 c) 17/3 d) 11/2 e) 5,3 GABARITO 1) x=2 2) a≠-1 e a ≠ 4 3) (0,-5) 4) ( -13,-13) 5) (-30/13 , 30/13) 6)A 7)D 8)E 09)C 10)C

6- INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE

UMA RETA

6.1- COEFICENTE ANGULAR DA RETA CONHECENDO O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO

Sabemos que em uma reta existem infinitos pontos, com apenas dois desses pontos podemos representar essa mesma reta no plano cartesiano, pois dois pontos distintos sempre serão colineares (pertencerão ou formarão uma reta). Com o estudo da geometria analítica aprendemos que não é necessário ter dois pontos distintos para formar uma reta, podemos construir uma reta no plano cartesiano conhecendo apenas um de seus infinitos pontos e sabendo o valor do ângulo formado com a reta e o eixo Ox. Essa outra forma de representarmos uma reta será feita levando em consideração a inclinação da reta e o seu coeficiente angular. Considere uma reta s que intercepta o eixo Ox no ponto M.

A reta s está formando com o eixo Ox um ângulo β. A medida desse ângulo é feita em sentido anti-horário a partir de um ponto pertencente ao eixo Ox. Assim, podemos dizer que a reta s tem inclinação β e o seu coeficiente angular (m) igual a: m = tg β. A inclinação da reta irá variar entre 0° ≤ β <180°. Veja os exemplos de algumas possibilidades de variação da inclinação da reta e seus respectivos coeficientes angulares:

7

Exemplo 1: Nesse exemplo o valor da inclinação é menor que 90º.

Inclinação igual a 45° e coeficiente angular igual a: m = tg 45° = 1. Exemplo 2: Nesse exemplo o valor da inclinação da reta é maior que 90° e menor que 180°.

Inclinação igual a 125° e coeficiente angular da reta igual a: m = tg 125° = -2. Exemplo 3: Quando a reta for paralela ao eixo Oy, ou seja, tiver uma inclinação igual a 90° o seu coeficiente angular não irá existir, pois não é possível calcular a tg 90°.

Exemplo 4: Nesse exemplo a reta s é paralela ao eixo Ox, ou seja, seu ângulo de inclinação é igual a 180°, portanto, o seu coeficiente angular será igual a: m = tg 180º = 0.

6.2-COEFICIENTE ANGULAR CONHECENDO AS COORDENADAS DE DOIS PONTOS

O coeficiente angular de uma reta ( m) é a tangente do ângulo de inclinação m = tgα

Porém em muitos casos não vamos conhecer o ângulo de inclinação, mas sim as coorcenadas de dois

pontos, A aa yx , e B bb yx ,

8

Prolongando-se a reta que passa por A e é paralela ao eixo x, formaremos um triângulo retângulo no ponto C.

AB

AB

BA

BA

xx

yy

xx

yytgm

adjacente cateto

oposto cateto

EXERCÍCIOS BÁSICOS

01- (Ufrs 2007) Considere os coeficientes

angulares das retas r, s e t que contêm os lados

do triângulo representado a seguir.

A sequência das retas r, s e t que corresponde à

ordenação crescente dos coeficientes angulares é a) r, s, t. b) r, t, s. c) s, r, t. d) s, t, r. e) t, s, r.

2- (Ufscar 2004) Considere a relação gráfica:

Podemos afirmar que a) o coeficiente linear de I é negativo. b) o coeficiente linear de II é positivo. c) ambos os gráficos possuem coeficiente linear

zero. d) o coeficiente angular do gráfico II é maior que o

do gráfico I. e) o coeficiente angular do gráfico I é maior que o

do gráfico II. GABARITO

1)C 2)D

9

7- EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA

Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(xA, yA) e do coeficiente angular m dessa reta.

Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(xA, yA). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠ A.

A equação fundamenta da reta é:

PARA FACILITAR A(xA, yA) =A 00 , yx

00

0

0 xxmyyxx

yym

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1) Determine a equação da reta de 135 de

inclinação e que passa pelo ponto A (1,4).

2) Determine a equação da reta que passa pelos

pontos A (2,3) e B( 1,5)

3) (Unitau) A equação da reta que passa pelos

pontos (3, 3) e (6, 6) é: a) y = x. b) y = 3x. c) y = 6x. d) 2y = x. e) 6y = x. 4- (Ufpe) A equação cartesiana da reta que

passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semieixo

positivo ox um ângulo de 60° é:

a) 2 x - y = 2 - 1

b) 3 x + y = 1 - 3

c) 3 x - y = 3 - 1

d) 3

2x + y = 1 -

3

2

e) 3

2x - y =

3

3- 1

5-(Fei ) A equação da reta que intercepta o eixo

Ox no ponto x = 3 e o eixo Oy no ponto y = -1 é: a) x - 3y - 1 = 0 b) x - 3y - 3 = 0

c) x - 3y + 3 = 0 d) 3x - y - 1 = 0 e) 3x + y + 1 = 0 6-(Puccamp ) Na figura a seguir têm-se as retas r

e s, concorrentes no ponto (1;3).

Se os ângulos assinalados têm as medidas

indicadas, então a equação da reta

a) r é 3 x + 3y - 6 = 0

b) s é x + y + 4 = 0

c) r é - 3 x + 3y + 6 = 0

d) s é x + y - 4 = 0

e) r é - 3 x + 3y + 9 = 0

10

07-(Unirio )

A equação geral da reta anterior representada é:

a) 3x - 3 y + 6 = 0

b) 3x + 3 y + 6 = 0

c) 3 x - y - 2 = 0

d) y = 3 x + 2 3

e) y = 3

3(x+2)

8-(Puc-rio) A reta x + y = 1 no plano xy passa

pelos pontos a) (5, -4) e (1/2, 1/2). b) (0, 0) e (1/2, 1/2). c) (0, 0) e (1, 1). d) (1, 0) e (1, 1). e) (5, -4) e (4, -5).

9-(Ufrs ) Considere a figura a seguir.

Uma equação cartesiana da reta r é

a) y = 3

3- x b) y =

3

3(1-x)

c) y = 1 - 3 x d) y = 3 (1-x)

e) y = 3 (x-1)

10-(Fatec) No plano cartesiano, considere o

triângulo determinado pelo ponto A e pelos

pontos de abscissas -3 e 7, representado a

seguir.

A área desse triângulo é

a) 40 b) 35 c) 30 d) 25 e) 20 11- (Ufpi ) Se a reta de equação (k + 5)x - (4 -

k2)y + k2 - 6k + 9 = 0 passa pela origem, então

seu coeficiente angular é igual a: a) 0 b) 5/4 c) -1 d) -8/5 e) 1/2

12-(Ufmg ) Sejam A e B dois pontos da reta de

equação y = 2x + 2, que distam duas unidades

da origem. Nesse caso, a soma das abscissas

de A e B é a) 5/8. b) -8/5 c) -5/8. d) 8/5. 13- (Pucpr ) Para que a reta (k - 3)x - (4 - k2)y +

k2 - 7k + 6 = 0 passe pela origem dos eixos

coordenados, o valor da constante k deve ser: a) ± 2 b) ± 3 c) 1 e 6 d) -1 e -6 e) 2 e 3

14-(Ufpr ) Considere, no plano cartesiano, o

triângulo de vértices A = (0, 0), B = (3, 1) e

C = (1, 2) e avalie as afirmativas a seguir.

I. O triângulo ABC é isósceles.

II. O ponto D = (2, 1/2) pertence ao segmento

AB.

III. A equação da reta que passa pelos pontos B

e C é 2x + y = 5.

Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa I é verdadeira. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são

verdadeiras. d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.

15-(UFPR-12)Na figura abaixo estão representados, em um sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado cinza de área 4 unidades, um quadrado hachurado de área 9 unidades e a reta r que passa

11

por um vértice de cada quadrado. Nessas condições, a equação da reta r é:

a) x 2y 4 b) 4x 9y 0 c) 2x 3y 1

d) x y 3 e) 2x y 3

Gabarito 1) y= -x+5 2) y=-2x+7 3) A 4)C 5)B 6)D 7)A 8)A 9)B 10)E 11)D 12)B 13)C 14)A 15)A

8- TIPOS DE EQUAÇÃO DA RETA

8.1-Equação geral da reta

Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:

Em que: • a, b, e c são números reais; • a e b não são simultaneamente nulos.

Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:

Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.

12

8.2-Equação reduzida da reta

Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α):

Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0:

Onde:

8.3-Equação segmentária da reta

Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).

Vamos escrever a equação da reta r:

13

Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

Não é possível usar a equação segmentária da reta quando a reta for paralela a um dos eixos ou passa

pela origem.

8.4-Equação paramétrica da reta

As equações paramétricas são formas de representar as retas através de um parâmetro, ou seja, uma variável irá

fazer a ligação de duas equações que pertencem a uma mesma reta.

As equações x = t + 9 e y = 2t – 1 são as formas paramétricas de representar a reta s determinadas pelo parâmetro t.

Para representar essa reta na forma geral através dessas equações paramétricas, é preciso seguir os seguintes

passos:

Escolher uma das duas equações e isolar o t. E substituir na outra.

x = t + 9 x – 9 = t

y = 2t – 1 y = 2 (x – 9) – 1 y = 2x – 18 – 1 y = 2x – 19 2x – y – 19 = 0 é a equação geral da reta s.

8.5-Reta horizontal

É toda reta do tipo y=k.

8.6-Reta vertical.

É toda reta do tipo x=k . (ESTA RETA NÃO É FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU)

14

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(UNESP) Seja B (0, 0) o ponto da reta de equação y = 2x cuja distância ao ponto A = (1, 1) é igual a distância de A à origem. Então a abscissa de B é igual a: a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5 2-(UEL) São dados os pontos A = (-2, 1), B = (0, -3) e C = (2, 5). A equação da reta suporte da mediana do triângulo ABC, traçada pelo vértice A, é: a) y = 1 b) x = 1 c) x = y d) x - y = 1 e) x + y = 1 3-(PUC) Considere a parábola de equação y = -x²+ 2x + 4 e uma reta r. Se r é conduzida pelo vértice da parábola e tem uma inclinação de 135°, então a equação de r é a) x + y -6 = 0 b) x - y + 2 = 0 c) x + y - 2 = 0 d) x - y - 4 = 0 e) x + y - 4 = 0 4- (Cesgranrio ) A equação da reta mostrada na

figura a seguir é:

a) 3x + 4y - 12 = 0 b) 3x - 4y + 12 = 0 c) 4x + 3y + 12 = 0 d) 4x - 3y - 12 = 0 e) 4x - 3y + 12 = 0

5-(Ufmg ) Observe a figura a seguir.

Nessa figura, está representada a reta r de

equação y = ax + 6. Se A = (-a-4, -a-4) pertence

à reta r, o valor de a é

a) - 5 b) - 2 c) 6

5 d) 2 e) 5

6- (Ufrs) Um ponto P (x,y) descreve uma

trajetória no plano cartesiano, tendo sua posição

a cada instante t (t ≥ 0) dada pelas equações.

x 2t

y 3t 2.

A distância percorrida pelo ponto

P (x,y) para 0 ≤ t ≤ 3 é

a) 2 b) 3 c) 13 d) 3 13 e) 61

7-(Ufmg ) Um triângulo isósceles ABC tem como

vértices da base os pontos A = (4, 0) e B = (0, 6).

O vértice C está sobre a reta y = x - 4. Assim

sendo, a inclinação da reta que passa pelos

vértices B e C é a) 7/17 b) 10/23 c) 9/20 d) 12/25

08- (Fgv) O ponto da reta de equação

y = (1/2)x + 3, situado no 1 . quadrante e

equidistante dos eixos x e y, tem coordenadas

cuja soma é: a) menor que 11. b) maior que 25. c) um múltiplo de 6. d) um número primo. e) um divisor de 20.

GABARITO

1)D 2)A 3)A 4)B 5)A 6)D 7)A 8)C

15

9- POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS NO PLANO

Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma

dessas formas possui características e elementos que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano,

sem ser preciso construir o gráfico.

9.1-Retas paralelas

Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares

forem iguais ou não existirem.

As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não

irão existir.

As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares

ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir.

As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares serão iguais.

PORTANTO tu qq e tu mm

As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes

angulares serão iguais.

PORTANTO tu qq e tu mm

16

9.2-Retas concorrentes

Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares poderão ser

diferentes ou um existir e o outro não.

As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes de 90°. Assim, seus coeficientes angulares

serão diferentes.

As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90°, sendo assim seu coeficiente angular não irá existir,

mas o coeficiente da reta u existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

01-(Ufmg ) Observe a figura.

Nessa figura, os pontos B, C e D são colineares,

B = (2,3) e a área do triângulo OCD é o dobro da

área do paralelogramo OABC. Então, C é o

ponto de coordenadas

a) 3

2,5

b) 12

2,5

c) (2, 1)

d) (3, 2) e) (2, 2)

02-(Unaerp) A equação, no plano, x - 3 = 0,

representa: a) Um ponto do eixo das abcissas b) Uma reta perpendicular ao eixo das

ordenadas c) Uma reta perpendicular à reta x + y = 0 d) Uma reta concorrente à reta x + y = 0 e) Uma reta paralela à reta y - 3 = 0

03-(Cesgranrio ) As retas x + ay - 3 = 0 e 2x - y +

5 = 0 são paralelas, se a vale: a) - 2 b) - 0,5 c) 0,5 d) 2 e) 8

04- (Cesgranrio) Se as retas y + (x/2) + 4 = 0 e

my + 2x + 12 = 0 são paralelas, então o

coeficiente m vale: a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.

05-(Ufmg ) A reta r é paralela à reta de equação

3x-y-10=0. Um dos pontos de interseção de r

com a parábola de equação y=x2-4 tem abscissa

1. A equação de r é a) x + 3y + 8 = 0 b) 3x - y + 6 = 0 c) 3x - y - 6 = 0 d) x - 3y - 10 = 0

06 (Ufmg ) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e

NÃO intercepta a reta de equação y = (x/2) - 5. Considerando-se os seguintes

pontos, o ÚNICO que pertence à reta r é a) (7, 6) b) (7, 13/2) c) (7, 7) d) (7, 15/2)

07-(Fatec) Seja a reta r, de equação y=(x/2) +17.

Das equações a seguir, a que representa uma

reta paralela a r é a) 2y = (x/2) + 10 b) 2y = - 2x + 5 c) 2y = x + 12 d) y = - 2x + 5 e) y = x + 34

17

08- (cftmg ) As retas x + ky = 3 e 2x - y = - 5 são

paralelas; logo o valor de k é a) - 2 b) -1/2 c) 1/2 d) 2 09- (Ufrrj ) Sabendo que as retas mx + (m - 2)y =

m e (m + 3)x + (m + 5)y = m + 1 são paralelas, o

valor de m será: a) 1/2. b) - 1/2. c) 3/2. d) - 3/2. e) 5/2.

10- (Unemat 2010) Dada a equação de reta (s):

2x - y +1 = 0 , a equação de reta paralela a s

pelo ponto P(1,1) será: a) 2x - y = 0 b) 2x + y +1 = 0 c) 2x + y -1 = 0 d) 2x - y -1 = 0 e) 2x - y + 2 = 0

1)B 2)D 3)B 4)C 5)C 6)B 7)C 8)B 9)D 10)D

10-INTERSECÇÃO ENTRE RETAS / CURVAS

Relembrado a definição de retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se, somente se, possuírem um único

ponto em comum, ou seja, a intersecção das duas retas é o ponto em comum.

Considerando a reta t e u e as suas respectivas equações gerais das retas, atx + bty + ct = 0 e aux + buy + cu = 0.

Representando-as em um plano cartesiano, iremos perceber que são concorrentes, pois possui o ponto A em comum.

O sistema formado com as equações gerais das retas terá como solução o par ordenado (x0, y0) que representa o

ponto de intersecção.

Exemplo: As equações gerais das duas retas r e s são respectivamente, x + 4y – 7 = 0 e 3x + y + 1 = 0. Determine o

ponto P(x0, y0) comum às retas r e s.

Sabemos que o ponto de intersecção de duas retas concorrentes é a solução do sistema formado por elas. Assim,

veja a resolução do sistema abaixo:

x + 4y – 7 = 0

3x + y + 1 = 0

x + 4y = 7 (-3)

3x + y = -1

-3x – 12y = -21

3x + y = -1

-11y = -22

y = 2

Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações iremos obter o valor de x:

18

x + 4y = 7 x + 4 . 2 = 7 x + 8 = 7 x = 7 – 8 x = -1

Portanto, o ponto P(x0, y0) = (-1,2).

EXERCÍCIOS BÁSICOS

01-(Ufmg ) Sejam t e s as retas de equações 2x -

y - 3 = 0 e 3x - 2y + 1 = 0, respectivamente. A

reta r contém o ponto A = (5,1) e o ponto de

interseção de t e s. A equação de r é: a) 5x - y - 24 = 0 b) 5x + y - 26 = 0 c) x + 5y - 10 = 0 d) x - 5y = 0

02- (Puc-rio) O ponto de intersecção entre a reta

que passa por (4,4) e (2,5) e a reta que passa

por (2,7) e (4,3) é: a) (3, 5). b) (4, 4). c) (3, 4). d) (7/2, 4).

e) (10/3, 13/3).

03- (Fei) As retas representadas pelas equações

y = 2x + 1, y = x + 3 e y = b - x passam por um

mesmo ponto. O valor de b é: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

04-(Puc-rio) As retas dadas pelas equações x +

3y = 3 e 2x + y = 1 se interceptam: a) em nenhum ponto. b) num ponto da reta x = 0. c) num ponto da reta y = 0. d) no ponto (3, 0). e) no ponto (1/2, 0). 05-(Unifesp ) Se P é o ponto de intersecção das

retas de equações x - y - 2 = 0 e (1/2) x + y = 3, a

área do triângulo de vértices A(0, 3), B(2, 0) e P

é a) 1/3. b) 5/3. c) 8/3. d) 10/3. e) 20/3.

06- (Ufpr ) Sabe-se que a reta r passa pelos

pontos A = (-2, 0) e P = (0, 1) e que a reta s é

paralela ao eixo das ordenadas e passa pelo

ponto Q = (4, 2). Se B é o ponto em que a reta s

intercepta o eixo das abscissas e C é o ponto de

interseção das retas r e s, então o perímetro do

triângulo ABC é:

a) 3 (3 + 5 ) b) 3 (5 + 3 ) c) 5 (3 + 5 )

d) 3 (3 3 ) e) 5 ( 5 + 3 )

07- (Unifesp ) Dadas as retas r: 5x - 12y = 42, s:

5x + 16y = 56 e t: 5x + 20y = m, o valor de m

para que as três retas sejam concorrentes num

mesmo ponto é a) 14. b) 28. c) 36. d) 48. e) 58.

08-(UFMG) A reta de equação y = 3x + a tem um único ponto em comum com a parábola de equação y = x² + x + 2. O valor de a é a) - 2 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 2

GABARITO

1)A 2)E 3)D 4)B 5)D 6)A 7)E 8)D

11-CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO

Considere duas retas perpendiculares r e s .

Pelo teorema dos ângulos externos temos :

2 =90 + 1

19

1

0

1

0

290cos

90sentg

1

0

1

0

0

11

0

.90cos.90cos

90cos.cos.90

sensen

sensen=

1

1cos

sen=

1

1

tg

PORTANTO 1

2

1

tgtg

Portanto r

sm

m1

, ou seja, 1. sr mm

EXERCÍCIOS BÁSICOS

01-(FATEC) Se A=(-1,3) e B=(1,1), então a mediatriz do segmento AB encontra a bissetriz dos quadrantes pares no ponto: a) (-1,1) b) (-3/4, 3/4) c) (-6.6) d) (-1/2, 1/2) e) (-1/4, 1/4) 02-(Ufmg ) A reta r é perpendicular à reta de

equação 2x + y - 1 = 0 no ponto de abscissa -1.

A equação da reta r é a) x - 2y + 7 = 0 b) 2x + y - 7 = 0 c) -x + 2y + 7 = 0 d) 2x + y + 7 = 0 e) x + 2y - 1 = 0

03-(FEI) Se a reta r passa pelos pontos (3, 0) e

(0, 1), a reta s é perpendicular a r e passa pela

origem, então s contém o ponto: a) (5, 15) b) (5, 10) c) (5, 5) d) (5, 1) e) (5, 0)

04-(Cesgranrio) A equação da reta que contém o

ponto A (1, 2) e é perpendicular à reta y=2x+3 é: a) x + 2y - 5 = 0 b) 2x + y = 0 c) 2x + y - 4 = 0 d) x - 2y + 3 = 0 e) x + 3y - 7 = 0

05-(Ufmg ) O lado BC de um ângulo reto ABC

está sobre a reta de equação x - 2y + 1 = 0, e o

ponto de coordenadas (2,4) pertence à reta que

contém o lado BA. A equação da reta que

contém o lado BA é: a) 4x + 2y - 5 = 0 b) x - 2y + 6 = 0 c) x + 2y - 10 = 0 d) 2x + y - 8 = 0

06- (Ufrn ) Sobre as retas y = -x + 3 e y = x + 3,

podemos afirmar que elas a) se interceptam no ponto de coordenadas

(-1,2).

b) se interceptam formando um ângulo de 60°. c) são perpendiculares aos eixos OX e OY,

respectivamente. d) estão a uma mesma distância do ponto de

coordenadas (3, 3).

07-(Ufal) As retas de equações y + 3x - 1 = 0 e y

+ 3x + 9 = 0 são

a) coincidentes. b) paralelas entre si. c) perpendiculares entre si. d) concorrentes no ponto (1, -9). e) concorrentes no ponto (3, 0). 08-(Fgv ) A reta perpendicular à reta (r) 2x-y=5, e

passando pelo ponto P(1,2), intercepta o eixo

das abscissas no ponto: a) (9/2, 0) b) (5, 0) c) (11/2, 0) d) (6, 0) e) (13/2, 0)

09-(Fgv) No plano cartesiano, o ponto da reta (r)

3x-4y=5 mais próximo da origem tem

coordenadas cuja soma vale: a) -2/5 b) -1/5 c) 0 d) 1/5 e) 2/5

10 -(Fgv ) Considere os pontos A = (1, - 2);

B = (- 2, 4) e C = (3, 3). A altura do triângulo ABC

pelo vértice C tem equação: a) 2y - x - 3 = 0 b) y - 2x + 3 = 0 c) 2y + x + 3 = 0 d) y + 2x + 9 = 0 e) 2y + x - 9 = 0

11. (Fgv ) As retas de equações y = - x - 1 e y =

[(-a + 1)/(a - 2)] x + 12 são perpendiculares. O valor de a é: a) 2 b) 1/2 c) 1 d) -2 e) 3/2 12. ( cftmg ) A equação da reta s perpendicular à

reta r: y = 2x + 1, traçada pelo ponto P (4, -1) é a) y = - (1/2)x - 1 b) y = (1/2)x - 1 c) y = - (1/2)x + 1 d) y = (1/2) x + 1

13-(Pucmg ) Duas retas perpendiculares se

cortam no ponto (2, 5) e são definidas pelas

equações y = ax + 1 e y = bx + c. Com base

nessas informações, é correto afirmar que o

valor do coeficiente linear c é igual a: a) - 4 b) - 2 c) 4 d) 6 14- (Ufscar ) Considere P um ponto pertencente

à reta (r) de equação 3x + 5y - 10 = 0 e

20

equidistante dos eixos coordenados. A equação

da reta que passa por P e é perpendicular a (r) é a) 10x - 6y - 5 = 0. b) 6x - 10y + 5 = 0. c) 15x - 9y - 16 = 0. d) 5x + 3y - 10 = 0. e) 15x - 3y - 4 = 0.

15-(FEI) O ponto A', simétrico do ponto A = (1, 1) em relação à reta r: 2x + 2y - 1 = 0 é: a) (1, 1) b) (1/2, -3/2) c) (-1/2, -1/2) d) (-1/2, -3/2) e) (1/2, 3/2) GABARITO 1)A 2)A 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)B 9)B 10)A 11)E 12)C 13)D 14)A 15)C

12-DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

Dado um ponto P=(xo,yo) e uma reta na sua forma geral ax+by+c=0, pode-se obter a distância d deste

ponto P à reta através da expressão matemática:

DISTÂNCIA É SEMPRE PERPENDICULAR

A distância da origem (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é:

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(Fgv ) No plano cartesiano, existem dois valores de m de modo que a distância do ponto P(m,1) à reta

de equação 3x + 4y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores é: a) - 16/3 b) - 17/3 c) - 18/3 d) - 19/3 e) - 20/3

GABARITO

1)A

21

13-RESOLUÇÃO GEOMÉTRICA DE INEQUAÇÕES Uma inequação do 1o grau com duas variáveis admite infinitas soluções que podem ser representadas

num sistema de eixos coordenados por uma região limitada por uma reta, conforme mostra a figura.

22

Exemplo 1

Resolver graficamente

a) x + y - 2 > 0 e x - y < 0

b) x + y - 2 > 0 ou x - y < 0

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(Ufal) Seja R a região sombreada na figura a

seguir.

Essa região é o conjunto dos pontos (x, y) do

plano cartesiano, com y ≥ 0 e tais que

a) y ≤ 3

2x+ 3 e y ≤ -3x + 3

b) y ≤ 2

3x+ 3 e y ≤ -3x + 1

c) y ≤ 3

2x+ 3 e y ≥ -3x + 3

d) y ≤ 3x + 3 e y ≤3

2x+ 3

e) y ≥ 2x + 3 e y ≥ -3x -1

2-(Fgv) A região do plano cartesiano

determinada pelas inequações x + y ≤ 5 y ≤ 3

x ≥ 0 y ≥ 0 tem uma área A. O valor de A é: a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 12

23

3- (Pucrj ) A área delimitada pelos eixos x = 0, y

= 0 e pelas retas x + y = 1 e 2x + y = 4 é: a) 3 b) 2 c) 3,5 d) 2,5 e) 1,5

4- (Fgv) A área da região triangular limitada pelo

sistema de inequações

3x 5y 15 0

2x 5y 10 0

x 0

a) 2,5 b) 7,5 c) 5 d) 12,5 e) 3

5- (Puc-rio ) A área do triângulo determinado

pelas retas y = x, y = - x e y = 3 é: a) 8. b) 9. c) 5. d) 4. e) 1.

6-(Ufrs ) A área do triângulo que tem lados sobre

as retas de equações y = - 2 x + 9, x = 1 e y = 1

é a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.

GABARITO

1)A 2)B 3)D 4)A 5)B 6)D

14- EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA

A equação reduzida da circunferência é dada por (x-a)² + (y-b)² = r²,

Onde o centro da circunferência é o ponto C(a,b) e o raio é r.

A definição de uma equação de uma circunferência “ é a condição necessária para que um ponto de coordenadas P

(x,y) pertença a uma circunferência de centro C(a,b) e raio r “.

Ou seja rdCP

Usando a fórmula da distância entre dois pontos temos:

22

pcpcCP yyxxd =r

22byax =r

24

Elevando-se os dois lados ao quadrado temos:

(x-a)² + (y-b)² = r²,

Exemplo: Determine a equação reduzida da circunferência de centro C(-4,1) e R = 1/3. Basta substituirmos esses dados na equação R2 = (x – a)

2 + (y – b)

2.

(x – (-4))

2 + (y – 1)

2 = (1/3)

2

(x + 4)2 + (y – 1)

2 = 1/9

Exemplo: Obtenha o centro e o raio da circunferência cuja equação é (x – 1/2)

2 + (y + 5/2)

2 = 9.

É preciso que seja feito à comparação das equações: (x – 1/2)

2 + (y + 5/2)

2= 9

(x – a)2 + (y – b)

2 = R

2

- a = -1/2 a = 1/2

- b = 5/2 b = -5/2

R

2 = 9 R = 3

Portanto as coordenadas do centro da circunferência de equação (x – 1/2)2 + (y + 5/2) = 9 é igual a C(1/2, -5/2) e raio igual a R = 3

EXERCÍCIOS BÁSICOS 1- (Ufc ) O segmento que une os pontos de interseção da reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados determina um diâmetro de uma circunferência. A equação dessa circunferência é:

a) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 5

b) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 20

c) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25

d) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5

e) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 20 2- (Pucrs) Os pontos (3, 1) e (9, -7) são extremidades de um dos diâmetros da circunferência c. Então, a equação de c é

a) (x + 6)2 + (y - 3)2 = 5

b) (x + 6)2 + (y - 3)2 = 10

c) (x - 6)2 + (y + 3)2 = 10

d) (x - 6)2 + (y - 3)2 = 25

e) (x - 6)2 + (y + 3)2 = 25 3-(Fatec ) A área do quadrilátero determinado pelos pontos de intersecção da circunferência de

equação (x + 3)2 + (y - 3)2 = 10 com os eixos coordenados, em unidades de área, é igual a a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 4- (Pucrs ) A distância entre o centro da

circunferência de equação (x - 2)2 + (y + 5)2 = 9 e a reta de equação 2 y + 5 x = 0 é a) - 5 b) 0 c) 2 d) 5 e) 9

5-(Uft ) Considere no plano cartesiano xy, a

circunferência de equação (x - 2)2 + (y + 1)2 = 4 e o ponto P dado pela interseção das retas 2x - 3y + 5 = 0 e x - 2y + 4 = 0. Então a distância do ponto P ao centro da circunferência é: a) o dobro do raio da circunferência b) igual ao raio da circunferência. c) a metade do raio da circunferência. d) o triplo do raio da circunferência. 6-(Ufpel ) O gráfico a seguir representa a função:

f(x) = x2 - 5x + 6.

Com base nessas informações é CORRETO afirmar que a equação da circunferência que passa em B e tem centro em A é:

a) (x - 6)2 + y = 45 b) x2 + (y - 6)2 = 9

c) x2 + (y - 6)2 = 45 d) (x - 6)2 + y2 = 9

e) x2 + (y - 3)2 = 9

25

7- (Ufrgs ) Os pontos de interseção do círculo de

equação (x - 4)2 + (y - 3)2 = 25 com os eixos coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é

a) 22. b) 24. c) 25. d) 26. e) 28 GABARITO 1)A 2)E 3)B 4)B 5)A 6)C 7)B

15-EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA

A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos semelhantes. (x – a)² + (y – b)² = r² x² – 2xa + a² + y² – 2yb + b² – r² = 0 x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes: comparação e redução. Comparação Dada a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0, temos: –2a = –2 a = 1 –2b = 8 2b = –8 b = –4 a² + b² – r² = 8 1² + (–4)² – r² = 8 1 + 16 – r² = 8 17 – r² = 8 – r² = 8 – 17 – r² = – 9

r = 3 Portanto, a circunferência de equação igual a x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1,– 4) e raio igual a r = 3. Redução

Consiste em transformar a equação normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio.

Pegando como exemplo a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, iremos transformá-la em uma equação reduzida seguindo

os passos abaixo:

1º passo

É preciso agrupar os termos em x e os termos em y, e isolar o termo independente.

(x2 – 2x) + (y2 + 8y) = – 8

2º passo

Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito.

(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y) = – 8 +1

3º passo

Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em y um quadrado perfeito. (x

2 – 2x +1) + (y

2 + 8y + 16) = – 8 +1 + 16

26

(x

2 – 2x +1) + (y

2 + 8y + 16) = 9

(x – 1)

2 + (y + 4)

2 = 9

Comparando com a equação reduzida. (x – 1)

2 + (y + 4)

2 = 9

(x + a)

2 + (y + b)

2 = r

2

Portanto, o centro dessa equação da circunferência será C (1, –4) e R = 3.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(Udesc ) Para que a equação x2 + y2 - 4x + 8y

+ k = 0 represente uma circunferência, devemos

ter: a) K < 20 b) K > 13 c) K < 12

d) K > 12 e) K < 10

2- (Fatec) Sejam O a origem do sistema de eixos

cartesianos e A o centro da circunferência de

equação x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0. A equação de

reta que passa pelos pontos A e O é: a) y = 2x + 1 b) y = 2x -1 c) y = x/2 d) y = 2x e) y = x

3-(Cesgranrio) As circunferências x2 + y2 + 8x +

6y = 0 e x2 + y2 - 16x - 12y = 0 são: a) exteriores. b) secantes. c) tangentes internamente. d) tangentes externamente. e) concêntricas.

4. (Ufrs ) A equação x2 + y2 + 4x - 6y + m = 0

representa um círculo se e semente se a) m > 0 b) m < 0 c) m > 13

d) m > -13 e) m < 13 5-(Cesgranrio ) A equação da circunferência de

raio 5, cujo centro é o ponto comum às retas

x - y + 1 = 2 e x + y - 1 = 2 é:

a) x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0

b) x2 + y2 - 4x - 2y + 20 = 0

c) x2 + y2 - 4x + 2y + 20 = 0

d) x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0

e) x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = 0 6-(Unirio ) A equação x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0 é

de uma circunferência cuja soma do raio e das

coordenadas do centro é igual a: a) -2 b) 3 c) 5 d) 8 e) 15

7-(Unifesp ) A equação x2 + y2 + 6x + 4y + 12 =

0, em coordenadas cartesianas, representa uma

circunferência de raio 1 e centro a) (- 6, 4). b) (6, 4). c) (3, 2). d) (-3, -2). e) (6, -4).

8-(Ufv ) Considere a equação x2 + y2 - 6x + 4y +

p = 0. O maior valor inteiro p para que a equação

anterior represente uma circunferência é: a) 13 b) 12 c) 14 d) 8 e) 10

9- (Pucpr ) A distância do ponto P(1; 8) ao centro

da circunferência x2 + y2 - 8x - 8y + 24 = 0 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6

10-(Ufrs ) As extremidades de uma das diagonais

de um quadrado inscrito em um círculo são os

pontos (1, 3) e (-1, 1). Então, a equação do

círculo é

a) x2 + y2 + 4y - 2 = 0.

b) x2 + y2 - 4y + 2 = 0.

c) x2 + y2 - 2y + 2 = 0.

d) x2 + y2 + 2 = 0.

e) x2 + y2 - 4y = 0.

11 (Fatec) Num sistema de eixos cartesianos

ortogonais, considere a circunferência λ e a reta

r, de equações x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0 e 3x +

7y - 21 = 0. A reta s, que é paralela a r e contém

o centro de λ, tem equação a) 3x + 7y - 2 = 0 b) 3x - 7y - 2 = 0 c) 3x - 7y + 5 = 0 d) 3x + 7y - 16 = 0 e) 7x + 3y - 2 = 0

12- ( cftmg ) O lado do quadrado circunscrito à

circunferência de equação x2 + y2 - 4x - 5 = 0

mede a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 13- (Ufrs ) Na figura a seguir, o octógono regular

está inscrito no círculo de equação

x2 + y2 - 4 = 0.

27

A área do octógono é

a) 5 2 . b) 8 2 . c) 10. d) 10 2 . e) 20. 14- (Ufjf ) Considere uma circunferência c1 de

equação x2 + y2 + 8x - 2y - 83 = 0. Seja agora

uma circunferência c2 de centro em O(13, - 2)

que passa pelo ponto P(9, 0). A área da figura

plana formada pelos pontos internos à

circunferência c1 e externos à circunferência c2,

em unidades de área, é: a) 20π. b) 80π. c) 100π. d) 120π. e) 200π. 15-(GV) Dada a equação x² + y² = 14x + 6y + 6, se p é o maior valor possível de x, e q é o maior valor possível de y, então, 3p + 4q é igual a a) 73 b) 76 c) 85 d) 89 e) 92. 16- (Ufsm ) A massa utilizada para fazer pastéis

folheados, depois de esticada, é recortada em

círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que

a equação matemática da circunferência que

limita o círculo é x2 + y2 - 4x - 6y - 36 = 0 e

adotando π = 3,14, o diâmetro de cada disco e a

área da massa utilizada para confeccionar cada

pastel são, respectivamente, a) 7 e 113,04 b) 7 e 153,86 c) 12 e 113,04 d) 14 e 113,04 e) 14 e 153,86 17-(Fgv ) Dada a circunferência de equação

x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de

ordenada máxima. A soma das coordenadas de

P e: a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1

18-(Fgv 2011) No plano cartesiano, uma

circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se

a distância da origem ao centro da circunferência

é igual a 4, a equação da circunferência é:

a) 2 2x y 2 10 x 2 10 y 10 0

b) 2 2x y 2 8 x 2 8 y 8 0

c) 2 2x y 2 10 x 2 10 y 10 0

d) 2 2x y 2 8 x 2 8 y 8 0

e) 2 2x y 4x 4y 4 0

19-(Ueg 2012) Considere num plano cartesiano duas

retas r e s. perpendiculares. A reta r tem equação

y 2x e a reta s intercepta o eixo x no ponto B

(10,0). Encontre a equação da circunferência que

passa pelos pontos A (0,0), B (10,0) e C, que é o ponto

de interseção das retas r e s.

20) (Ufjf 2012) No plano cartesiano, considere os

pontos A( 1,2) e B(3,4).

a) Encontre a equação da reta r que passa por A e

forma com o eixo das abscissas um ângulo de 135º, medido do eixo para a reta no sentido anti-horário.

b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à reta r. Encontre as coordenadas do ponto P , determinado pela intersecção das retas r e s .

c) Determine a equação da circunferência que possui centro no ponto Q(2,1) e tangencia as retas r e s.

GABARITO

1) A 2) D 3)D 4)E 5)A 6)B 7)D 8)B 9)D

10)B 11)A 12)D 13)B 14)C 15)D 16)E 17)A

18)B 19) (x-5)² +y²=25 20)a) y=-x+1 b) y=x+1 c) (x-2)² +(y-1)² =2

28

16-POSIÇÕES RELATIVAS: RETA E CIRCUNFERÊNCIA

CASO 1 – RETA EXTERNA À CIRCUNFERÊNCIA

DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MAIOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA

A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ <0

CASO 2 – RETA TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA

DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É IGUAL AO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA

A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0

CASO 3 – RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA

DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MENOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA

A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0

Uma forma de encontrar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência é verificando a sua intersecção, ou seja, analisando se a reta e a circunferência terão dois pontos em comum, apenas um ponto em comum ou nenhum ponto em comum.

29

O valor dessa intersecção é a solução do sistema formado com a equação geral da reta e com a equação reduzida da circunferência. Considerando a equação geral da reta ax+by+c = 0 e a equação reduzida da circunferência

(x - a)2 + (y - b)

2 = R

2.

Resolvendo o sistema é possível encontrar uma equação do segundo grau, analisando o seu descriminante Δ é possível determinar a posição da reta em relação à circunferência: Δ > 0 reta secante à circunferência Δ = 0 reta tangente à circunferência Δ < 0 reta externa à circunferência. Se o discriminante Δ for maior ou igual à zero, para descobrir as coordenadas dos pontos é preciso terminar a resolução da equação do segundo grau. Exemplo: Verifique se a circunferência (x+1)

2 + y

2 = 25 e a reta x + y – 6 = 0 possui algum ponto de intersecção.

Resolução: x + y – 6 = 0 → equação 1 (x+1)

2 + y

2 = 25 → equação 2

Escolhemos uma das duas equações e isolamos uma das incógnitas. x + y – 6 = 0 x = 6 – y Substituímos o valor de x na equação 2. (6 – y +1)

2 + y

2 = 25

(-y + 7)2 + y

2 = 25

(-y)2 – 14y + 49 + y

2 = 25

y2 – 14y + 49 – 25 + y

2 = 0

2y2 – 14y + 24 = 0 (: 2)

y2 – 7y + 12 = 0

Δ = b

2 – 4ac

Δ = (-7)2 – 4 . 1 . 12

Δ = 49 – 48 Δ = 1 Como o descriminante Δ é maior que zero sabemos que essa reta é secante à circunferência, agora para descobrir o valor das coordenadas dos dois pontos pertencentes à circunferência é preciso terminar de resolver a equação.

Para y’= 4 x = 6 – y x = 6 – 4 x = 2

Para y’’ = 3

30

x = 6 – y x = 6 – 3 x = 3

Portanto, os dois pontos que interceptam a circunferência são: (2,4) e (3,3).

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1- (Fei ) O comprimento da corda que a reta

x + y = 3 determina na circunferência de centro

em (2,1) e raio 5

2 é:

a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 4 2 e) 5 2

2-(Fei ) Qual deve ser o raio da circunferência

com centro no ponto O = (0,0) para que a reta

x - 2y - 10 = 0 seja tangente a essa

circunferência?

a) 4 2 b) 2 5 c) 20 d) 5 2 e) 4 5

3-(Ufrs ) O centro O = (x, y) de uma

circunferência que passa pelos pontos (-1, 1) e

(1, 5), tem as coordenadas na relação a) 2y + x = 6 b) 5y + 2x = 15 c) 5y + 3x = 15 d) 8y + 3x = 25 e) 9y + 4x = 36 4- (Ufes ) Sabe-se que b > 0 e que a reta

5y + b(x - 5) = 0 é tangente à circunferência

x2 + y2 = 9. O valor de b é a) 15/4 b) 16/3 c) 6 d) 20/3 e) 7 5-(Ufsm ) Dada a circunferência β: x2 + y2 - 4x -

12 = 0, então a circunferência α, que é

concêntrica à circunferência β e tangente à reta

r: x + y = 0, é

a) x2 + (y + 2)2 = 4

b) y2 - 4x + y2 = 0

c) x2 + y2 + 4y + 2 = 0

d) x2 + y2 - 4x + 2 = 0

e) (x + 2)2 + y2 = 2 6-(Ufsm ) A equação da circunferência de centro

C(2,1) e tangente à reta 3x - 4y + 8 = 0 é

a) (x2 + 2)2 + (y - 1)2 = 8

b) (x2 - 2)2 + (y - 1)2 = 2

c) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 2

d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4

e) (x - 2)2- (x - 1)2 = 4

7- (Fgv ) A reta de equação y = x - 1 determina,

na circunferência de equação x2 + y2 = 13, uma

corda de comprimento:

a) 4 2 b) 5 2 c) 6 2 d) 7 2 e) 8 2 8-(Ufsm ) As retas r e s tangenciam a

circunferência de equação x2 + y2 - 4x + 3 = 0,

respectivamente, nos pontos P e Q e passam

pelo ponto O (0, 0). A medida do ângulo PÔQ

vale

a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90°

9- (Ufpi ) Se uma circunferência no segundo

quadrante, tangente a ambos os eixos, toca o

eixo y no ponto (0, 3), então o centro dessa

circunferência é o ponto: a) (-3, 0) b) (-3, 3) c) (3, 3) d) (-4, 3) e) (2, 3)

10-(Ufrrj ) Se a área de uma figura é

representada pela solução do sistema

2 2x y 9

x y 3 0, pode-se afirmar que esta área

corresponde a

a) 9

4

π b)

9 2

4

π. c)

3 3

2

π.

d) 3 3

4

π. e)

3

3

π.

11- (Ufrs ) Considere a região plana limitada

pelos gráficos das inequações y ≤ - x - 1 e x2 +

y2 ≤ 1, no sistema de coordenadas cartesianas.

A área dessa região é a) π/4 - 1/2 b) π/4 - 1/3 c) π/2 - 1 d) π/2 + 1 e) 3π/2 - 1

12-(Fgv ) No plano cartesiano, a reta de equação

x = k tangencia a circunferência de equação

(x - 2)2 + (y - 3)2 = 1. Os valores de k são: a) -2 ou 0 b) -1 ou 1 c) 0 ou 2 d) 1 ou 3 e) 2 ou 4

13- (Ufes) Em um sistema de coordenadas

cartesianas com origem O, considere a

circunferência C dada pela equação x2 + y2 - 4x

- 8y + 15 = 0, cujo centro indicamos por P. A reta

OP intersecta C em dois pontos A e B, onde A é

o mais próximo da origem.

A equação da reta que tangencia a

circunferência C no ponto A é a) x - 2y + 3 = 0 b) x + 2y - 5 = 0 c) 2x + y - 4 = 0 d) 2x + y - 5 = 0 e) 2x - y - 4 = 0

31

14- (Ufjf ) Sobre o conjunto de pontos de

interseção da circunferência x2 + (y - 2)2 = 2

com a reta mx - y + 2 = 0, onde m é real,

podemos afirmar que: a) contém um único ponto. b) é o conjunto vazio. c) contém dois pontos. d) contém três pontos. e) depende de m. 15- (Pucmg ) Considere a circunferência C de

equação (x + 1)2 + (y - 1)2 = 9 e a reta r de

equação x + y = 0. É CORRETO afirmar: a) r é tangente a C. b) r não corta C. c) r corta C no ponto (1, 1). d) r passa pelo centro de C. 16- (Pucrs) O raio da circunferência centrada na

origem que tangencia a reta de equação y = x -1

é

a) 1 b) 1

2 c) 2 d)

2

2e) 2 -1

17-(Fatec ) Considere que R é a região do plano

cartesiano cujos pontos satisfazem as sentenças

(x - 2)2+ (y - 2)2 ≤ 4 e x ≤ y.

A área de R, em unidades de superfície, é

a) π b) 2π c) π2 d) 4π e) 4π2

18-(Pucrs ) A área da região do plano limitada

pela curva de equação (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4 com

x ≥ 1 e y ≤ 2 é a) 4π b) 2π c) π d) π/2 e) π/4 19- ( cftmg ) Analisando a equação da reta r: x -

2y = 0 e da circunferência λ: x2 + y2 - 10y + 5 =

0, podemos afirmar que a) a reta é tangente à circunferência. b) a reta é secante à circunferência. c) a reta é exterior à circunferência. d) a reta está em plano distinto da circunferência. 20- (Uece ) A soma das coordenadas do centro

da circunferência que tem raio medindo 1 u.c.,

que está situada no primeiro quadrante e que

tangencia o eixo dos y e a reta 4x - 3y = 0, é a) 3 u.c. b) 5 u.c. c) 4 u.c. d) 6 u.c.

21-(Ufc ) Em um sistema Cartesiano de coordenadas, o valor positivo de b tal que a reta

y = x + b é tangente ao círculo de equação

x2 + y2 = 1 é:

a) 2 b) 1 c) 2 d) 1

2 e) 3

GABARITO

1)E 2)B 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)D 9)B

10)B11)A 12)D 13)B 14)C 15)D 16)D 17)B

18)C 19)A 20)C 21) C

17-CÔNICAS E RECONHECIMENTO DE CURVAS

1-ELIPSE

Entende-se por elipse o lugar geométrico de um plano onde a soma da distância de sua extremidade a dois pontos fixos, chamados de focos, F1 e F2, resulta em uma constante 2a, onde 2a > 2c.

32

Na ilustração da elipse acima temos: F1 e F2 são os focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (2c). O segmento A1A2 é o maior eixo da elipse e sua medida é a soma da definição 2a. O segmento B1B2 é o menor eixo da elipse e sua medida corresponde a 2b. O centro O é o ponto médio entre os eixos da elipse e os focos A1A2 e F1F2. A excentricidade da elipse é calculada pela razão entre c e a. Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas de a, b e c. Dessa forma, temos que:

a² = b² + c² Equação reduzida da elipse De acordo com a posição dos focos em relação aos eixos das abscissas e das ordenadas, a elipse possui as seguintes equações reduzidas:

Exemplo 1 Vamos determinar as equações das seguintes elipses: a)

a² = b² + c² a² = 6² + 8² a² = 100 a = 10

Equação:

33

b)

a² = b² + c² a² = 5² + 12² a² = 25 + 144 a² = 169 a = 13

Equação:

Exemplo 2 Vamos determinar os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 9x² + 36y² = 144.

Temos que 16 > 4, portanto, o eixo maior está na abscissa (x). Dessa forma: a² = 16 → a = 4 b² = 4 → a = 2 a² = b² + c² → 16 = 2 + c² → c² = 16 – 2 → c² = 14

Os focos são F1(14,0) e F2(–14,0) e as extremidades dos eixos maiores são A1(5,0) e A2(–5,0). A elipse possui uma importante aplicação na Astronomia, pois os planetas descrevem movimentos elípticos em órbita do sol, estando localizados nos focos da elipse. Essa teoria foi descoberta e comprovada por Johannes Kepler (1571 – 1630), grande astrônomo alemão.

2-HIPÉRBOLE

No estudo da geometria analítica, as diversas figuras geométricas são estudadas do ponto de vista algébrico. Ponto, retas, circunferências são esquematizadas com o auxílio da álgebra. As cônicas, que são figuras geométricas oriundas de secções transversais realizadas em um cone, também são muito exploradas. A própria circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são classificadas de cônicas. Vejamos como a hipérbole pode ser explorada do ponto de vista da geometria analítica. Definição de hipérbole: Considere F1 e F2 como sendo dois pontos distintos do plano e 2c a distância entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c). A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y e sua equação varia em cada um dos casos. Vamos deduzir sua equação para cada um dos casos citados. Hipérbole com focos sobre o eixo x.

34

Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:

Hipérbole com focos sobre o eixo y.

Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:

Elementos e propriedades da hipérbole: 2c → é a distância focal. c

2 = a

2 + b

2 → relação fundamental.

A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole. 2a → é a medida do eixo real. 2b → é a medida do eixo imaginário. c/a → é a excentricidade

Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades. Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10. Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que: 2a = 16 → a = 8 Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que: c

2 = a

2 + b

2

35

102 = 8

2 + b

2

b2 = 100 – 64

b2 = 36

b = 6 Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x:

Exemplo 2. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação:

Solução: Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y, logo terão coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c). Da equação da hipérbole obtemos que: a

2 = 16 → a = 4

b2 = 9 → b = 3

Utilizando a relação fundamental, teremos: c

2 = a

2 + b

2

c2 = 16 + 9

c2 = 25

c = 5 Portanto, os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5).

3- PARÁBOLA

2-Como traçar uma parábola.

Com pregos, barbante e um lápis, você consegue desenhar circunferência, elipse e também uma parábola. Parábola é

o lugar geométrico tal que distam igualmente de uma reta fixa d, chamada diretriz, e de um ponto fixo F, não

pertencente à diretriz, chamado foco.

Imagine uma reta d, um ponto F (foco) e o barbante preso ao prego no ponto F.

O comprimento do barbante tem que ser constante e a sua outra ponta deve correr livre sobre a reta d, o lápis deve se

deslocar, mas sempre o barbante, entre o lápis e a reta d, deve ser perpendicular à reta:

36

2-Definição

Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das

abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:

Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que

PF = Pd onde:

PF = distância entre os pontos P e F

PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).

Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2

3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem

Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto

qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'

Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:

Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da

parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:

y2 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.

3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)

Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica:

(y - y0)2 = 2p(x-x0)

3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origem

37

Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será:

x2 = 2py

3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)

Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima

fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)

Exercícios resolvidos

1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?

Solução: Temos p/2 = 2 p = 4

Daí, por substituição direta, vem:

y2 = 2.4.x y

2 = 8x ou y

2 - 8x = 0.

2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?

Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4.

Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)

2 y

2 = 8(x-2) y

2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.

3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8.

Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) y

2 - 6y + 9 = 16x - 32 y

2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.

4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo,

(x - 0)2 = 2.6(y - 1) x

2 = 12y - 12 x

2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.

Lógico que você já ouviu falar das antenas parabólicas. Se você observar a figura e a definição de

parábola, deve deduzir sua utilização.

Todas as retas que incidam perpendicularmente na parábola "refletem" e se concentram no foco. As antenas

parabólicas recebem raios paralelos e concentram estes raios no foco onde existe um receptor em que todos os sinais

fracos se concentram tornando-se um sinal forte.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(Ufv ) O gráfico da equação x3y + xy3 - xy = 0

consiste de: a) duas retas e uma parábola. b) duas parábolas e uma reta. c) dois círculos e uma reta. d) duas retas e um círculo. e) um círculo e uma parábola.

2. (Cesgranrio) A segunda lei de Kepler mostra que

os planetas se movem mais rapidamente quando

próximos ao sol do que quando afastados dele.

Lembrando que os planetas descrevem órbitas

elípticas nas quais o sol é um dos focos, podemos

afirmar que, dos pontos assinalados na figura,

38

aquele no qual a velocidade da Terra é maior é o

ponto:

a) A b) B c) C d) D e) E

3. (Uff ) As equações y - 2x = 0, y + x2 = 0 e

y2 - x2 + 1 = 0 representam no plano,

respectivamente: a) uma reta, uma hipérbole e uma parábola b) uma parábola, uma hipérbole e uma reta c) uma reta, uma parábola e uma elipse d) uma elipse, uma parábola e uma hipérbole e) uma reta, uma parábola e uma hipérbole 4. (Unirio) As equações x2 - 9y2 - 6x - 18y - 9 = 0,

x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 e x2 - 4x - 4y + 8 = 0

representam, respectivamente, uma: a) hipérbole, uma elipse e uma parábola. b) hipérbole, uma circunferência e uma reta. c) hipérbole, uma circunferência e uma parábola. d) elipse, uma circunferência e uma parábola. e) elipse, uma circunferência e uma reta. 5. (Cesgranrio ) O gráfico que melhor representa a

curva de equação x2 + 16y2 = 16 é:

6. (Unirio ) A área do triângulo PF1F2, onde P(2,-8)

e F1 e F2 são os focos da elipse de equação x2/25

+ y2/9 = 1, é igual a: a) 8 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64

7. (Cesgranrio) A equação 9x2 + 4y2 - 18x - 27 = 0

representa, no plano cartesiano, uma curva

fechada. A área do retângulo circunscrito a essa

curva, em unidades apropriadas, vale: a) 36 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12 8. (Uece) A área do quadrilátero cujos vértices são

as interseções da elipse 9x2+25y2=225 com os

eixos coordenados é igual, em unidades de área, a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 9. (Ufc ) Um segmento de reta desloca-se no plano

cartesiano de tal forma que uma de suas

extremidades permanece sempre no eixo y e o seu

ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a

sua outra extremidade desloca-se ao longo de

uma: a) circunferência. b) parábola. c) reta. d) elipse. e) hipérbole. 10. (Ufpi ) O gráfico da equação x2 - y2 = 4

representa uma hipérbole. Os focos dessa

hipérbole são:

a) 1

,02

e 1

,02

b) (2, 0) e (-2, 0)

c) (2 2 , 0) e (-2 2 , 0)

d) (0, 2 ) e (0, - 2 )

e) 1

0,2

e 1

0,2

11. (Ufc ) O número de pontos de interseção das

curvas x2 + y2 = 4 e (x2/15) + (y2/2) = 1 é igual a: a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 12. (Fgv) No plano cartesiano, a curva de equações

paramétricas x=2cost e y=5sent com t lR é: a) uma senoide b) uma cossenoide c) uma hipérbole d) uma circunferência e) uma elipse 13. (Cesgranrio 2002) Uma montagem comum em

laboratórios escolares de Ciências é constituída por

um plano inclinado, de altura aproximadamente

igual a 40cm, com 4 canaletas paralelas e apoiado

em uma mesa, forrada de feltro, cuja borda é

curvilínea. Sobre a mesa há um ponto marcado no

39

qual se coloca uma bola de gude. A experiência

consiste em largar, do alto do plano inclinado, outra

bola de gude, a qual, depois de rolar por uma das

canaletas, cai na mesa e colide sucessivamente

com a borda da mesa e com a primeira bola.

A borda da mesa tem a forma de um arco de: a) elipse, e o ponto marcado é um de seus focos. b) parábola, e o ponto marcado é seu foco. c) hipérbole, e o ponto marcado é um de seus

focos. d) hipérbole, e o ponto marcado é seu centro. e) circunferência, e o ponto marcado é seu centro. 14. (Ufrn ) O conjunto dos pontos P = (x,y), que

estão a uma mesma distância do ponto F = (0,2) e

do eixo ox, no plano cartesiano xy é

a) a parábola de equação y = (x2/2) + 4.

b) a parábola de equação y = (x2/4) + 1.

c) a parábola de equação y = 4x2 +1.

d) a parábola de equação y = 2x2 +1. 15. (Pucmg ) O gráfico da curva de equação (x2/4) -

(y2/9) = 1 é uma: a) circunferência. b) elipse. c) hipérbole. d) parábola. 16. (Unifesp ) A área sombreada na figura,

limitada pela elipse e pela reta indicadas, é: a) π. b) 2π. c) 3π. d) 4π. e) 6π. 17. (Uerj ) Um holofote situado na posição (-5,0)

ilumina uma região elíptica de contorno x2 + 4y2 =

5, projetando sua sombra numa parede

representada pela reta x = 3, conforme ilustra a

figura a seguir.

Considerando o metro a unidade dos eixos, o

comprimento da sombra projetada é de: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 18. (Ufc ) No plano cartesiano, x2 - y2 + 5x - 5y = 0

é uma equação de: a) um conjunto vazio. b) um conjunto unitário. c) uma hipérbole. d) duas retas paralelas. e) duas retas concorrentes.

19. (Unifesp ) A parábola y = x2 - nx + 2 tem vértice

no ponto (xn, yn).

O lugar geométrico dos vértices da parábola,

quando n varia no conjunto dos números reais, é a) uma parábola. b) uma elipse. c) um ramo de uma hipérbole. d) uma reta. e) duas retas concorrentes. 20. (Fatec) As intersecções das curvas de equações

x2 + y2 - 7x - 9 = 0 e y2 = x + 2 são vértices de um

polígono. A equação da reta traçada pela

intersecção das diagonais desse polígono, e

paralela à reta de equação

2x - y + 3 = 0, é a) x + 2y - 2 = 0 b) x + 2y + 2 = 0 c) 2x - y + 4 = 0 d) 2x - y - 2 = 0 e) 2x - y + 2 = 0 21. (Udesc ) Analise as afirmações dadas a seguir,

classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F).

( ) A equação x2 - 2x + y2 + 2y + 1 = 0

representa uma circunferência que é tangente,

tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das

ordenadas.

( ) A elipse de equação 9x2 + 4y2 = 36 intercepta

a hipérbole de equação x2 - 4y2 = 4 em apenas

40

dois pontos, que são os vértices da hipérbole.

( ) O semieixo maior da elipse 9x2 + 4y2 = 36 é

paralelo ao eixo real da hipérbole x2 - 4y2 = 4.

Assinale a alternativa que contém a sequência

correta, de cima para baixo. a) V - V - V b) V - V - F c) F - V - F d) F - F - V e) V - F - F 22. (Uft ) Considere IR o conjunto dos números

reais e b IR . Encontre os valores de b, tais que

no plano cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a

elipse 2

2xy 1

4em um único ponto. A soma dos

valores de b é:

a) 0 b) 2 c) 2 5 d) 5 e) 2 5

GABARITO

1) D 2)E 3)E 4)C 5)C 6)D 7)B 8)A 9)D 10)C

11)C 12)E 13)B 14)B 15)V 16)C 17)C 18)E

19)A 20)D 21)B 22)A

41

QUESTÕES PARA A PO

01-(FUVEST) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e é

perpendicular à reta AB onde A = (0, 0) e B é o

centro da circunferência x2 + y2 - 2x - 4y = 20.

Então a equação de s é: a) x - 2y = - 6 b) x + 2y = 6 c) x + y = 3

d) y - x = 3 e) 2x + y = 6 2. (FUVEST) Sejam A = (1, 2) e B = (3, 2) dois

pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o

segmento AC é obtido do segmento AB por uma

rotação de 60°, no sentido anti-horário, em torno do

ponto A. As coordenadas do ponto C são:

a) (2, 2 + 3 ). b) 5

1 3,2

c) (2, 1 + 3 ). d) (2, 2 - 3 ).

e) (1 + 3 , 2 + 3 ).

3. (FUVEST) Uma circunferência de raio 2,

localizada no primeiro quadrante, tangencia o eixo x

e a reta de equação 4x - 3y = 0.

Então a abscissa do centro dessa circunferência é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 ) 5 4. (FUVEST) A reta y = mx (m > 0) é tangente à

circunferência (x - 4)2 + y2 = 4. Determine o seno

do ângulo que a reta forma com o eixo x.

a) 1

5. b)

1

2. c)

3

2.

d) 2

2. e) 5 .

5. (FUVEST) A figura adiante mostra parte do

gráfico de uma função polinomial f(x) de grau 3. O

conjunto de todos os valores reais de m para os

quais a equação f(x)=m tem três raízes reais

distintas é:

a) -4 < m < 0 b) m > 0 c) m < 0

d) -1 < m < 1 e) m > - 4 6. (FUVEST) Considere o triângulo ABC, onde A =

(0, 4), B = (2, 3) e C é um ponto qualquer da

circunferência x2 + y2 = 5. A abcissa do ponto C

que torna a área do triângulo ABC a menor possível

é: a) - 1 b) - 3/4 c) 1 d) 3/4 e) 2 7. (FUVEST) Para cada número real n seja

Pn=(xn,yn) o ponto de intersecção das retas nx + y

= 1 e x - ny = 1. Sabendo-se que todos os pontos

Pn pertencem a uma mesma circunferência, qual é

o centro dessa circunferência? a) (1/2, 1/2) b) (0,0) c) (-1/2, 1/2)

d) (-1/2, -1/2) e) (1,1) 8. (FUVEST) O segmento AB é diâmetro da

circunferência de equação x2 + y2 = 10y. Se A é o

ponto (3, 1), então B é o ponto a) (-3, 9) b) (3, 9) c) (0, 10) d) (-3, 1) e) (1, 3) 9. (FUVEST) As retas r e s são perpendiculares e

interceptam-se no ponto (2, 4). A reta s passa pelo

ponto (0, 5). Uma equação da reta r é a) 2y + x = 10 b) y = x +2 c) 2y - x = 6

d) 2x + y = 8 e) y = 2x 10. (FUVEST) Na figura a seguir, A é um ponto do

plano cartesiano, com coordenadas (x, y). Sabendo

que A está localizado abaixo da reta r e acima da

reta s, tem-se

a) y < x

2e y < -x + 1 b) y <

x

2ou y > -x + 1

c) x

2< y e y > -x + 1 d) -x + 1 < y <

x

2

e) x

2< y < -x + 1

11. (FUVEST) Uma reta de coeficiente angular m >

0 passa pelo ponto (2,0) e é tangente à

42

circunferência inscrita no quadrado de vértices (1,1),

(5,1), (5,5) e (1,5). Então

a) 0 < m < 1

3 b) m =

1

3 c)

1

3 < m < 1

d) m = 1 e) 1 < m < 5

3

12. (FUVEST) Uma reta r determina, no primeiro

quadrante do plano cartesiano, um triângulo

isósceles, cujos vértices são a origem e os pontos

onde a reta intercepta os eixos 0x e 0y. Se a área

desse triângulo é 18, a equação de r é: a) x - y = 4 b) x - y = 16 c) x + y = 2

d) x + y = 4 e) x + y = 6 13. (FUVEST) Uma circunferência passa pelos

pontos (2,0), (2,4) e (0,4). Logo, a distância do

centro dessa circunferência à origem é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

14. (FUVEST) Das regiões hachuradas na

sequência, a que melhor representa o conjunto dos

pontos (x, y), do plano cartesiano, satisfazendo ao

conjunto de desigualdades

x ≥ 0; y ≥ 0; x - y + 1 ≥ 0; x2 + y2 ≤ 9,

é:

15. (FUVEST) Se (m + 2n, m - 4) e (2 - m, 2n)

representam o mesmo ponto do plano cartesiano,

então mn é igual a: a) -2 b) 0 c)2 d) 1 e) 1/2

16. (FUVEST) O conjunto dos pontos (x, y) do plano

cartesiano, cujas coordenadas satisfazem a

equação (x2 + y2 + 1) . (2x + 3y - 1) . (3x - 2y + 3) =

0, pode ser representado, graficamente, por:

17. (FUVEST) A elipse x2 + (y2/2) = 9/4 e a reta y =

2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos

pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto

médio do segmento AB é: a) (-2/3, -1/3) b) (2/3, -7/3) c) (1/3, -5/3) d) (-1/3, 1/3) e) (-1/4, 1/2) 18. (FUVEST) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são

vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD

situado no primeiro quadrante. O lado AD é

perpendicular à reta y = - 2x e o ponto D pertence à

circunferência de centro na origem e raio 5 .

Então, as coordenadas de C são: a) (6, 2) b) (6, 1) c) (5, 3) d) (5, 2) e) (5, 1) 19. (FUVEST) Duas retas s e t do plano cartesiano

se interceptam no ponto (2,2). O produto de seus

coeficientes angulares é 1 e a reta s intercepta o

eixo dos y no ponto (0,3). A área do triângulo

delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

20. (FUVEST) Duas irmãs receberam como herança

um terreno na forma do quadrilátero ABCD,

representado a seguir em um sistema de

43

coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo

uma cerca reta perpendicular ao lado AB e

passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para

que se obtenham dois lotes de mesma área é:

a) 5 - 1 b) 5 - 2 2 c) 5 - 2

d) 2 + 5 e) 5 + 2 2

21. (FUVEST) O conjunto dos pontos (x,y), do plano

cartesiano que satisfazem t2 - t - 6 = 0, onde t = │x

- y│, consiste de a) uma reta. b) duas retas. c) quatro retas. d) uma parábola. e) duas parábolas. 22. (FUVEST) A circunferência dada pela equação

x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos

coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a

figura.

O segmento MN é paralelo ao segmento AB e

contém o centro C da circunferência. É correto

afirmar que a área da região hachurada vale

a) π - 2 b) π + 2 c) π + 4 d) π + 6 e) π + 8 23. (FUVEST) Considere, no plano cartesiano Oxy,

a circunferência C de equação (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4

e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os

eixos Ox e Oy, respectivamente.

Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de

base PQ, e com o maior perímetro possível.

Então, a área de PQR é igual a:

a) 2 2 - 2 b) 2 2 - 1 c) 2 2

d) 2 2 + 2 e) 2 2 + 4

24. (FUVEST) No plano cartesiano x0y, a reta de

equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no

ponto (0,2). Além disso, o ponto (1,0) pertence a C.

Então, o raio de C é igual a

a) 3 2

2 b)

5 2

2 c)

7 2

2

d) 9 2

2 e)

11 2

2

25. (FUVEST) No plano cartesiano, os pontos (0, 3)

e (-1, 0) pertencem à circunferência C. Uma outra

circunferência, de centro em (-1/2,4) é tangente a C

no ponto (0,3). Então, o raio de C vale

a) 5

8 b)

5

4 c)

5

2 d)

3 5

4 e) 5

26.(FUVEST) No plano cartesiano Oxy , a

circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de

abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de C vale

a) 5 b) 2 5 c) 5 d) 3 5 e) 10

27.( FUVEST) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a circunferência C

de equação 22

x 1 y 2 1. Uma reta t passa

por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é

a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

28-(FUVEST) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A = (0, 0), B = (3, 4) e C = (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado A—B e o vértice P sobre o lado B —C. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é a) (4, 16/ 5 ) b) ( 17 /4 , 3) c) (5, 12 /5 ) d) ( 11/ 2 , 2) e) (6, 8 /5)

29-(FUVEST) A equação X² + 2x +y² + my =n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y= -x + 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto (23, 4). Os valores de m e n são, respectivamente, a) 24 e 3 b) 4 e 5 c) 24 e 2 d) 22 e 4 e) 2 e 3

44

30. (UNESP) Seja A a intersecção das retas r, de

equação y = 2x, e s, de equação y = 4x - 2. Se B e

C são as intersecções respectivas dessas retas

com o eixo das abscissas, a área do triângulo ABC

é: a) 1/2. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 31. ((UNESP) Dado um sistema de coordenadas

cartesianas no plano, considere os pontos A(2, 2),

B(4, -1) e C(m, 0). Para que AC + CB seja mínimo,

o valor de m deve ser: a) 7/3. b) 8/3. c) 10/3. d) 3,5. e) 11/3. 32. (UNESP) Seja B ≠ (0, 0) o ponto da reta de

equação y = 2x cuja distância ao ponto A = (1, 1) é

igual a distância de A à origem. Então a abscissa

de B é igual a: a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5 33. (UNESP) Considere uma circunferência de raio

r < 4, com centro na origem de um sistema de

coordenadas cartesianas. Se uma das tangentes à

circunferência pelo ponto (4, 0) forma com o eixo x

um ângulo de 30°, então o ponto de tangência

correspondente é:

a) (1, - 3 ) b) (1, - 2 ) c) (1

2, - 3 )

d) (1

2, - 2 ) e) (

1

2,

3

2)

34. (UNESP) A distância do vértice da parábola

y = (x - 2) (x - 6) à reta y = (4/3)x + 5 é: a) 72/25 b) 29/25 c) 43 d) 43/25 e) 43/5 35. (UNESP) Os pontos O, A e B, do plano

cartesiano da figura adiante, são os vértices de um

triângulo equilátero cuja medida dos lados é dada

por 3 . As equações das retas AB e OB são,

respectivamente,

a) y = ( 2 ) . x - 3 e y = (- 2 ) . x.

b) y = ( 3 ) . x - 2 e y = (- 3 ) . x.

c) y = ( 3 ) . x - 3 e y = (- 3 ) . x.

d) y = x + 3 e y = -x.

e) y = 3x + 3 e y = -3x.

36. ((UNESP) Quando "a" varia sobre todos os

números reais, as equações y = ax + 1

representam a) um feixe de retas paralelas. b) um feixe de retas passando por (1, 0). c) todas as retas passando pela origem. d) todas as retas passando por (0, 1). e) todas as retas passando por (0, 1), exceto uma. 37. ((UNESP) Num sistema de coordenadas

cartesianas ortogonais xOy, considere a reta r de

equação y=x+1 e o ponto P=(2, 1). O lugar

geométrico dos pontos do plano, simétricos dos

pontos de r em relação a P, é a reta de equação a) y = x - 1. b) y = - x + 1. c) y = x + 3. d) y = x - 3. e) y = - x + 2. 38. (UNESP) O comprimento da corda que a reta y

= x determina na circunferência de equação

(x + 2)2 + (y - 2)2 = 16 é

a) 4. b) 4 2 . c) 2. d) 2 2 . e) 2 . 39. (UNESP) Seja

S = {(x, y) e IR2: x2 + y2 ≤ 16 e x2 + (y - 1)2 ≥ 9}

uma região do plano. A área de S é:

a) 5. b) 7. c) 5π. d) 7π. e) 7π2. 40. (UNESP) A equação da circunferência com

centro no ponto C= (2,1) e que passa pelo ponto

P= (0,3) é dada por

a) x2 + (y - 3)2 = 0.

b) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4.

c) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 8.

d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 16.

e) x2 + (y - 3)2 = 8. 41. (UNESP) O triângulo PQR, no plano artesiano,

de vértices P=(0,0), Q=(6,0) e R=(3,5), é a) equilátero. b) isósceles, mas não equilátero. c) escaleno. d) retângulo. e) obtusângulo.

45

42. (UNESP) A figura representa uma elipse.

A partir dos dados disponíveis, a equação desta

elipse é

a)

2x

5 +

2y

7 = 1.

b)

2x 5

9 +

2y 7

16 = 1.

c) (x - 5)2 + (y - 7)2 = 1.

d)

2x 5

9 +

2y 7

16 = 1.

e)

2x 3

5 +

2y 4

7 = 1.

43. (UNESP) O conjunto de todos os pontos P(x, y)

do plano, com y ≠ 0, para os quais x e y

satisfazem a equação sen [y/(x2 + 1)] = 0 é uma a) família de parábolas. b) família de circunferências centradas na origem. c) família de retas. d) parábola passando pelo ponto Q(0,1). e) circunferência centrada na origem. 44. (UNESP) Num sistema de coordenadas

cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a

equação geral da reta que passa pelos pontos P e

Q, sendo P = (2, 1) e Q o simétrico, em relação ao

eixo y, do ponto Q' = (1, 2) são, respectivamente: a) 1/3; x - 3y - 5 = 0. b) 2/3; 2x - 3y -1 = 0. c) - 1/3; x + 3y - 5 = 0. d) 1/3; x + 3y - 5 = 0. e) - 1/3; x + 3y + 5 = 0.

45. (UNESP) Um triângulo tem vértices P = (2, 1), Q = (2, 5) e R = (x0, 4), com x0 > 0. Sabendo-se

que a área do triângulo é 20, a abscissa x0 do

ponto R é: a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12.

46. (UNESP) Suponha que um planeta P descreva

uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de

modo que, considerando um sistema de

coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a

estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser

descrita aproximadamente pela equação

2 2x y

100 25= 1, com x e y em milhões de

quilômetros.

A figura representa a estrela O, a órbita descrita

pelo planeta e sua posição no instante em que o

ângulo PÔA mede 4

π.

A distância, em milhões de km, do planeta P à

estrela O, no instante representado na figura, é:

a) 2 5 . b) 2 10 . c) 5 2 .

d) 10 2 . e) 5 10 .

47. (UNESP) A figura mostra a representação de

algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas

possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas

por uma pista de 7 m de largura. Vamos admitir

que:

I. os postes de iluminação projetam sobre a rua

uma área iluminada na forma de uma elipse de

excentricidade 0,943;

II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente

abaixo da lâmpada, no meio da rua;

III. o eixo menor da elipse, perpendicular à

calçada, tem exatamente a largura da rua

(calçadas e pista).

Se desejarmos que as elipses de luz se

tangenciem nas extremidades dos eixos maiores,

a distância, em metros, entre dois postes

consecutivos deverá ser de aproximadamente:

Dado: 0,9432 ≈ 0,889 e 0,111

46

a) 35. b) 30. c) 25. d) 20. e) 15.

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:

Uma fábrica utiliza dois tipos de processos, P1 e

P2, para produzir dois tipos de chocolates, C1 e

C2. Para produzir 1 000 unidades de C1 são

exigidas 3 horas de trabalho no processo P1 e 3

horas em P2. Para produzir 1 000 unidades de C2

são necessárias 1 hora de trabalho no processo

P1 e 6 horas em P2. Representando por x a

quantidade diária de lotes de 1 000 unidades de

chocolates produzidas pelo processo P1 e por y a

quantidade diária de lotes de 1000 unidades de

chocolates produzidas pelo processo P2, sabe-se

que o número de horas trabalhadas em um dia no

processo P1 é 3x + y, e que o número de horas

trabalhadas em um dia no processo P2 é 3x + 6y.

48. (Unesp 2010) Dado que no processo P1 pode-

se trabalhar no máximo 9 horas por dia e no

processo P2 pode-se trabalhar no máximo 24

horas por dia, a representação no plano cartesiano

do conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem,

simultaneamente, às duas restrições de número

de horas possíveis de serem trabalhadas nos

processos P1 e P2, em um dia, é:

a)

b)

c)

d)

e) 49. (UNESP) Dado que o lucro na venda de uma

unidade do chocolate produzido pelo processo P1

é de R$ 0,50, enquanto que o lucro na venda de

uma unidade do chocolate produzido pelo

processo P2 é de R$ 0,80, e se forem vendidas

todas as unidades produzidas em um dia nos dois

processos, no número máximo possíveis de horas,

o lucro obtido, em reais, será: a) 3.400,00. b) 3.900,00. c) 4.700,00. d) 6.400,00. e) 11.200,00.

47

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:

A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma

cidade, no qual estão identificadas a catedral, a

prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o

quadriculado não representa os quarteirões da cidade,

servindo apenas para a localização dos pontos e retas

no plano cartesiano.

Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos

equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a

Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa)

é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da

câmara de vereadores.

50. (Unicamp 2011) Sabendo que a distância real entre a

catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir

que a distância real, em linha reta, entre a catedral e a

câmara de vereadores é de

a) 1500 m. b) 500 5 m.

c) 1000 2 m. d) 500 + 500 2 m. 51. (UNICAMP) O ponto de interseção das avenidas

Brasil e Juscelino Kubitschek pertence à região definida

por

a) (x − 2)2 + (y − 6)2 ≤ 1.

b) (x − 1)2 + (y − 5)2 ≤ 2. c) x ]1, 3[, y ]4, 6[. d) x = 2, y [5, 7].

52. (UNICAMP) A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é

a) 21

4 b)

23

4 c)

25

4 d)

27

4

53- (UNICAMP) No plano cartesiano, a reta de equação 2x – 3y = 12 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas a) (4, 4/ 3). b) (3, 2). c) (4, – 4 /3). d) (3, –2). 54. (ITA) Três pontos de coordenadas, respectivamente,

(0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com

b > 0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do

quarto vértice são dadas por: a) (- b, - b) b) (2b, - b) c) (4b, - 2b)

d) (3b, - 2b) e) (2b, - 2b) 55. (ITA) Uma reta t do plano cartesiano xOy tem

coeficiente angular 2a e tangencia a parábola y = x2 - 1

no ponto de coordenadas (a, b). Se (c, 0) e (0, d) são as

coordenadas de dois pontos de t tais que c > 0 e c = -

2d, então a/b é igual a: a) - 4/15 b) - 5/16 c) - 3/16 d) - 6/15 e) - 7/15 56. (ITA) Tangenciando externamente a elipse ε1, tal

que ε1: 9x2 + 4y2 - 72x - 24y + 144 = 0, considere uma

elipse ε2, de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo

menor de ε1 e cujos eixos têm a mesma medida que os

eixos de ε1. Sabendo que ε2 está inteiramente contida

no primeiro quadrante, o centro de ε2 é:

a) (7, 3) b) (8, 2) c) (8, 3) d) (9, 3) e) (9, 2) 57- (ITA) São dadas as parábolas p1: y = - x2 - 4x - 1 e

p2: y = x2 - 3x + 11

4 cujos vértices são denotados,

respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta

que contém V1 e V2, então a distância de r até à origem

é:

a) 5

26 b)

7

26 c)

7

50d)

17

50 e)

11

74

58. (ITA) Sabendo que o ponto (2, 1) é o ponto médio de

uma corda AB da circunferência

(x - 1)2 + y2 = 4, então a equação da reta que contém A

e B é dada por: a) y = 2x - 3 b) y = x - 1 c) y = - x + 3 d) y = 3x/2 - 2 e) y = - (1/2)x + 2

48

59. (ITA) São dadas as retas (r ) x-y+1 + 2 =0 e

(s) x 3 +y-2+ 3 =0 e a circunferência (C )

X²+2y+y²=0. Sobre a posição relativa desses três elementos, podemos concluir que:

a) r e s são paralelas entre si e ambas são tangentes à

C. b) r e s são perpendiculares entre si e nenhuma delas é

tangente à C. c) r e s são concorrentes, r é tangente à C e s não é

tangente à C. d) r e s são concorrentes, s é tangente á C e r não é

tangente à C. e) r e s são concorrentes e ambas são tangentes à C.

60. (ITA) Seja A o ponto de intersecção das retas r e s

dadas, respectivamente, pelas equações x + y = 3 e x -

y = -3. Sejam B e C pontos situados no primeiro

quadrante com B ∈ r e C ∈ s. Sabendo que d(A, B) =

d(A, C) = 2 , então a reta passando por B e C é dada

pela equação a) 2x + 3y = 1 b) y = 1 c) y = 2 d) x = 1 e) x = 2 61. (ITA) Considere os pontos A:(0, 0), B:(2, 0) e C:(0,

3). Seja P:(x, y) o ponto de intersecção das bissetrizes

internas do triângulo ABC. Então x+y é igual a

a) 10 + 10.4 b) 32 c) 25

d) 5 e) 2

62. (ITA) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas

suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo

que estas diagonais medem 4 cm e 6 cm, então, a área

deste paralelogramo, em cm2, vale: a) 36/5 b) 27/4 c) 44/3 d) 48/3 e) 48/5 63. (ITA) Considere a hipérbole H e a parábola T, cujas

equações são, respectivamente,

5(x + 3)2 - 4(y - 2)2 = -20 e (y - 3)2 = 4(x - 1).

Então, o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma dos

quadrados das distâncias de P a cada um dos focos da

hipérbole H é igual ao triplo do quadrado da distância de

P ao vértice da parábola T, é:

a) A elipse de equação 2

2

(x 3)1

4 (y 2)

3

b) A hipérbole de equação 2

2

(y 1)1

5 (x 3)

4

c) O par de retas dadas por y = ± (3x - 1)

d) A parábola de equação y2 = 4x + 4

e) A circunferência centrada em (9, 5) e raio 120

84. (ITA) Considere o paralelogramo ABCD onde

A=(0,0), B=(-1,2) e C=(-3,-4). Os ângulos internos

distintos e o vértice D deste paralelogramo são,

respectivamente: a) π/4, 3π/4 e D = (-2,-5) b) π/3, 2π/3 e D = (-1,-5) c) π/3, 2π/3 e D = (-2,-6) d) π/4, 3π/4 e D = (-2,-6) e) π/3, 2π/3 e D = (-2,-5) 65. (ITA) Considere a circunferência C de equação x2 +

y2 + 2x + 2y + 1 = 0 e a elipse E de equação x2 + 4y2 -

4x + 8y + 4 = 0. Então: a) C e E interceptam-se em dois pontos distintos. b) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos. c) C e E são tangentes exteriormente. d) C e E são tangentes interiormente. e) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam. 66. (ITA) Pelo ponto C:(4, -4) são traçadas duas retas

que tangenciam a parábola y=(x-4)2+2 nos pontos A e

B. A distância do ponto C à reta determinada por A e B

é:

a)6 12 b) 12 c) 12 d) 8 e) 6

67. (ITA) A área de um triângulo é de 4 unidades de

superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A:(2,

1) e B:(3, -2). Sabendo que o terceiro vértice encontra-

se sobre o eixo das abscissas, pode-se afirmar que

suas coordenadas são a) (-1/2, 0) ou (5, 0). b) (-1/2, 0) ou (4, 0). c) (-1/3, 0) ou (5, 0). d) (-1/3, 0) ou (4, 0). e) (-1/5, 0) ou (3, 0). 68. (ITA) Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta

3x - y = 37 e tangentes à circunferência

x2 + y2 - 2x - y = 0. Se d1 é a distância de r1 até a

origem e d2 é a distância de r2 até a origem, então d1 +

d2 é igual a

a) 12 . b) 15 . c) 7 . d) 10 . e) 5 .

69. (ITA) Seja o ponto A=(r,0), r>0. O lugar geométrico

dos pontos P=(x,y) tais que é de 3r2 a diferença entre o

quadrado da distância de P a A e o dobro do quadrado

da distância de P à reta y=-r, é: a) uma circunferência centrada em (r, -2r) com raio r. b) uma elipse centrada em (r, -2r) com semi-eixos

valendo r e 2r. c) uma parábola com vértice em (r, -r). e) uma hipérbole centrada em (r, -2r) com semi-eixos

valendo r.

49

70. (ITA) O coeficiente angular da reta tangente à elipse 2 2x y

116 9

no primeiro quadrante e que corta o eixo

das abscissas no ponto P = (8,0) é

a) 3

3 b)

1

2 c)

2

3 d)

3

4 e)

2

4

71. (ITA) Num sistema de coordenadas cartesianas,

duas retas r e s, com coeficientes angulares 2 e 1/2,

respectivamente, se interceptam na origem 0. Se B ∈ r e

C ∈ s são dois pontos no primeiro quadrante tais que o

segmentoBC é perpendicular a r e a área do triângulo

OBC é igual a 12×10-1, então a distância de B ao eixo

das ordenadas vale a) 8/5. b) 4/5. c) 2/5. d) 1/5. e) 1. 72. (ITA) Considere a família de circunferências com

centros no segundo quadrante e tangentes ao eixo Oy.

Cada uma destas circunferências corta o eixo Ox em

dois pontos, distantes entre si de 4 cm. Então, o lugar

geométrico dos centros destas circunferências é parte: a) de uma elipse. b) de uma parábola. c) de uma hipérbole. d) de duas retas concorrentes. e) da reta y = - x. 73. (ITA) A área do polígono, situado no primeiro

quadrante, que é delimitado pelos eixos coordenados e

pelo conjunto

{(x, y) IR2: 3x2 + 2y2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, é igual

a: a)6 b) 5/2 c)2 d) 3 e) 10/3 74. (ITA) Uma circunferência passa pelos pontos

A = (0, 2), B = (0, 8) e C = (8, 8).

Então, o centro da circunferência e o valor de seu raio,

respectivamente, são a) (0, 5) e 6. b) (5, 4) e 5. c) (4, 8) e 5,5. d) (4, 5) e 5. e) (4, 6) e 5. 75.(ITA) Assinale a opção que representa o lugar

geométrico dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a

equação

a) Uma elipse. b) Uma parábola. c) Uma circunferência. d) Uma hipérbole. e) Uma reta.

76. (ITA) A distância focal e a excentricidade da elipse

com centro na origem e que passa pelos pontos (1,0) e

(0,-2) são, respectivamente,

a) 3 e 1

2. b)

1

2e 3 . c)

3

2 e

1

2.

d) 3 e3

2. e) 2 3 e

3

2.

77. (ITA) Sejam a reta s: 12x - 5y + 7 = 0 e a

circunferência C: x2 + y2 + 4x + 2y = 11. A reta p, que é

perpendicular a s e é secante a C, corta o eixo Oy num

ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo a) (- 91/12, - 81/12) b) (-81/12, - 74/12)

c) (- 74/12, 30/12) d) (30/12, 74/12)

e) (75/12, 91/12) 78. (ITA) Os focos de uma elipse são F1(0, - 6) e F2(0,

6). Os pontos A(0, 9) e B(x, 3), x > 0, estão na elipse. A

área do triângulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a

a) 22 10 b) 18 10 c) 15 10

d) 12 10 e) 6 10

79. (ITA) Considere no plano cartesiano xy o triângulo

delimitado pelas retas 2x = y, x = 2y e

x = - 2y + 10. A área desse triângulo mede a) 15/2. b) 13/4. c) 11/6. d) 9/4. e) 7/2. 80. (ITA) Sejam A : (a, 0), B : (0, a) e C : (a, a), pontos

do plano cartesiano, em que a é um número real não

nulo. Nas alternativas a seguir, assinale a equação do

lugar geométrico dos pontos P : (x, y) cuja distância à

reta que passa por A e B, é igual à distância de P ao

ponto C.

a) x2 + y2 - 2xy - 2ax - 2ay + 3a2 = 0

b) x2 + y2 + 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0

c) x2 + y2 - 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0

d) x2 + y2 - 2xy - 2ax - 2ay - 3a2 = 0

e) x2 + y2 + 2xy - 2ax - 2ay - 3a2 = 0 81. (ITA) Dada a cônica λ: x2 - y2 = 1, qual das retas

abaixo é perpendicular à λ no ponto

P = (2, 3 )?

a) y = 3 x - 1

b) y = 3

x2

c) y = 3

x 13

d) y = -3

x 75

e) y = -3

x 42

50

82. (ITA) Considere as circunferências

C1: (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4 e

C2: (x – 10)2 + (y – 11)2 = 9. Seja r uma reta tangente

interna a C1 e C2, isto e, r tangência C1 e C2 e

intercepta o segmento de reta 1 2O O definido pelos

centros O1 de C1 e C2 de C2. Os pontos de tangência

definem um segmento sobre r que mede

a) 5 3 . b) 4 5. c) 3 6. d) 25

.3

e) 9.

83. (ITA) Um triângulo equilátero tem os vértices nos

pontos A, B e C do plano xOy, sendo

B = (2,1) e C = (5,5). Das seguintes afirmações:

I. A se encontra sobre a reta y =3 11

x ,4 2

II. A esta na intersecção da reta y =3 45

x4 8

com a

circunferência (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25,

III. A pertence às circunferências (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25

e

227 75

x y 3 ,2 4

é (são) verdadeira(s) apenas a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III.

84. (ITA) Sejam m e n inteiros tais que m 2

n 3é a

equação 36x2 + 36y2 + mx + ny – 23 = 0 representa

uma circunferência de raio r = 1 cm e centro C

localizado no segundo quadrante. Se A e B são os

pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy, a área do

triângulo ABC, em cm2, é igual a

a) 8 2

3 b)

4 2

3 c)

2 2

3 d)

2 2

9 e)

2

9

85.(ITA) Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de um triângulo. A distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a

a) 5

3 b)

97

3 c)

109

3 d)

5

3 e)

10

3

86. (ITA) Sobre a parábola definida pela equação

2 2x 2xy y 2x 4y 1 0 pode-se afirmar que

a) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox. b) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo

Ox. c) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox.

d) a abscissa do vértice da parábola é x 1.

e) a abscissa do vértice da parábola é 2

x .3

87. (UEL) Considere, no plano cartesiano, o

paralelogramo de vértices (1, 1), (3, 3), (6, 1) e (8, 3). A

maior diagonal desse paralelogramo mede

a) 5 5 b) 71 c) 5 3 d) 53 e) 3 5

88. (UEL) São dados:

uma circunferência de centro C = (3/2,1);

um ponto T = (3/2, -1) que pertence à circunferência.

A reta que contém T e é paralela à reta de equação y =

x é dada por a) 3x - 2y +1 = 0 b) 3x - 3y - 1 = 0 c) 2x - 2y - 5 = 0 d) 3x - 3y - 5 = 0 e) 3x - y - 1 = 0 89. (UEL) São dados:

uma circunferência de centro C = (3/2,1);

um ponto T = (3/2, -1) que pertence à circunferência.

A equação da circunferência dada é

a) 4x2 + 4y2 - 12x - 8y - 3 = 0

b) 4x2 + 4y2 - 12x - 8y - 4 = 0

c) 3x2 + y2 - 6x - 4y - 2 = 0

d) 3x2 + y2 - 6x - 4y - 4 = 0

e) x2 + y2 - 3/2x - y = 0 90. (UEL) Considere os pontos A(0,0) , B(2,3) e C(4,1). A

equação da reta paralela a AC conduzida pelo ponto B é:

a) x - 4y + 10 = 0 b) x + 4y -11 = 0 c) x - 4y -10 = 0 d) 2x + y - 7 = 0 e) 2x - y -1 = 0 91. (UEL) Considere os pontos A(0;0), B(2;3) e C(4;1). O

comprimento da altura do triângulo ABC, relativa ao lado

BC , é

a) 2 b) 3 2

2 c) 2 2 d)

5 2

2 e) 5 2

92. (UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD.

Se A = (- 2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em

unidades de área, é

a) 4 b) 4 2 c) 8 d) 8 2 e) 16 93. (UEL) Seja P um ponto do eixo das ordenadas

pertencente à reta de equação 2x - 3y - 6 = 0. A

equação da circunferência de centro em P e tangente

ao eixo das abcissas é

a) x2 + y2 = 4 b) x2 + y2 + 4x = 0

c) x2 + y2 +4y = 0 d) x2 + y2 - 4x = 0

e) x2 + y2 - 4y = 0

51

94 (UEL) São dados os pontos A = (-2, 1), B = (0, -3) e C = (2, 5). A equação da reta suporte da

mediana do triângulo ABC, traçada pelo vértice A, é: a) y = 1 b) x = 1 c) x = y d) x - y = 1 e) x + y = 1

95. (UEL) Sejam os pontos A e B as intersecções da

reta r, de equação x + y = 0, com a circunferência λ, de

equação x2 + y2 - 4x = 0.

O comprimento da corda ABé

a) 2 b) 2 2 c) 4 d) 4 2 e) 8 96. (UEL) Sejam os pontos A e B as intersecções da

reta r, de equação x + y = 0, com a circunferência λ, de

equação x2 + y2 - 4x = 0.

A equação da reta paralela a r, conduzida pelo centro

de λ, é a) x - y = 0 b) x - y - 2 = 0 c) x - y + 2 = 0 d) x + y - 2 = 0 e) x + y + 2 = 0 97. (UEL) Sejam os pontos A e B as intersecções da

reta r, de equação x + y = 0, com a circunferência λ, de

equação x2 + y2 - 4x = 0.

Se A e B são tais que a abscissa de A é menor que a de

B, a equação da reta tangente a λ, traçada pelo ponto B,

é a) y = - 2 b) x = - 2 c) y = 2x d) x = 2 e) y = 2 98. (UEL) As retas de equações x - 2y + 1 = 0 e

-x - 2y - 1 = 0 são a) concorrentes e não perpendiculares entre si. b) paralelas e não coincidentes. c) perpendiculares entre si. d) coincidentes. e) ortogonais. 99. (UEL) Na figura a seguir têm-se a reta r, bissetriz do

primeiro e terceiro quadrantes, e as circunferências C1

e C2, de mesmo raio, tangentes entre si e com centros

sobre r. Se a equação de C1 é x2+y2=9, então o centro

de C2 é o ponto

a) (1; 2 ) b) (3; 3) c) (3 2 ; 3 2 )

d) (3; 6) e) (6; 6)

100. (UEL) A reta r intercepta o eixo das ordenadas em y

= 2 e a parábola p em seu vértice. Se a equação de p é

y = 3x2 - 6x + 8, então r intercepta o eixo das abcissas

no ponto a) (3/4; 0) b) (2/5; 0) c) (0; 0) d) (-1/2; 0) e) (-2/3; 0) 101. (UEL) A trajetória de um móvel no plano cartesiano

pode ser descrita, em função do tempo t, pelas

equações

x 2 t

y 3t

Essa trajetória determina uma reta a) que contém os pontos (3; 9) e (-2; 6). b) paralela à reta de equação 6x - 2y - 1 = 0. c) perpendicular à reta de equação 3x - y + 1 = 0. d) que contém os pontos (1; 3) e (7; 3). e) perpendicular à reta de equação 5x - y = 0. 102. (UEL) Considere, no plano cartesiano, todos os

pontos que distam 2 unidades da reta de equação x - y -

3 = 0. Esses pontos pertencem todos a) às retas de equações -x + y + 5 = 0 ou

-x + y + 1 = 0.

b) ao 10. ou 40. quadrantes.

d) à circunferência de equação x2 + y2 - 9 = 0. e) às retas de equações -x - y - 3/2 = 0 ou -x - y + 3/2 =

0. 103. (UEL) Uma circunferência de raio 2 tem centro na

origem do sistema cartesiano de coordenadas

ortogonais. Assim, é correto afirmar: a) Um dos pontos em que a circunferência intercepta o

eixo x é (0, 1). b) A reta de equação y = -2 é tangente à circunferência.

c) A equação da circunferência é x2 + y2 + 4 = 0. d) A reta de equação y = x + 2 não intercepta a

circunferência. e) O ponto (2, 2) está no interior da circunferência.

52

104. (UEL) No gráfico a seguir, os pontos

A(-1, -1) e B(3, -1) são vértices do quadrado ABCD. A

respeito da reta de equação y = x, é correto afirmar:

a) Contém o vértice D. b) Contém o lado BC. c) É paralela ao eixo x. d) Contém o centro do quadrado. e) É perpendicular à reta 2x - 2y + 1 = 0. 105. (UEL)

A equação da reta perpendicular a r, traçada pelo ponto

A, é a) x + y - 2 = 0 b) x + y + 2 = 0 c) x + y + 3 = 0 d) x - y + 3 = 0 e) x - y - 3 = 0 106. (UEL)

A distância do centro C da circunferência λ à reta r é

a) ( 2)

2 b) 2 c) 2 2 d) 3 2 e) 4 2

107 (UEL)

A equação da circunferência de centro em A e raio AB

é

a) x2 + y2 - 6y + 8 = 0 b) x2 + y2 - 6x + 8 = 0

c) x2 + y2 - 6y + 1 = 0 d) x2 + y2 - 6x + 1 = 0

e) x2 + y2 - 6y - 1 = 0 108. (UEL) Em uma praça dispõe-se de uma região

retangular de 20 m de comprimento por 16 m de largura

para construir um jardim. A exemplo de outros canteiros,

este deverá ter a forma elíptica e estar inscrito nessa

região retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois

aspersores nos pontos que correspondem aos focos da

elipse. Qual será a distância entre os aspersores? a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 10 m e) 12 m 109. (UEL) Na decoração de uma pré-escola são

usadas placas com formas de figuras geométricas. Uma

destas placas é formada por uma figura que pode ser

definida por x2 + y 2 - 8x - 8y + 28 ≤ 0 quando projetada

em um plano cartesiano xy, onde x e y são dados em

metros. Esta placa vai ser pintada usando duas cores,

cuja separação é definida pela reta y = x no plano xy.

Considerando o plano cartesiano xy como referência, a

região acima da reta será pintada de vermelho e a

região abaixo da reta, de verde. Sabendo que a escola

vai fazer 12 destas placas e que, é necessária uma lata

de tinta para pintar 3m2 de placa, serão necessárias, no

mínimo, quantas latas de tinta vermelha? a) 12 b) 24 c) 26 d) 32 e) 48

53

110. (UEL) Existem pessoas que nascem com

problemas de saúde relacionados ao consumo de leite

de vaca. A pequena Laura, filha do Sr. Antônio, nasceu

com este problema. Para solucioná-lo, o Sr. Antônio

adquiriu uma cabra que pasta em um campo retangular

medindo 20 m de comprimento e 16 m de largura.

Acontece que as cabras comem tudo o que aparece à

sua frente, invadindo hortas, jardins e chácaras

vizinhas. O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em

uma corda presa pelas extremidades nos pontos A e B

que estão 12 m afastados um do outro. A cabra tem

uma argola na coleira por onde é passada a corda, de

tal modo que ela possa deslizar livremente por toda a

extensão da corda. Observe a figura e responda a

questão a seguir.

Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra

possa pastar na maior área possível, dentro do campo

retangular? a) 10 m. b) 15 m. c) 20 m. d) 25 m. e) 30 m. 111. (UEL) Seja a parábola de equação

y = 3x2 + 4. As equações das retas tangentes ao gráfico

da parábola que passam pelo ponto

P = (0, 1) são: a) y = 5x +1 e y = - 5x + 1 b) y = 6x +1 e y = - 6x + 1 c) y = (3x/2) +1 e y = - (3x/2) + 1 d) y = (5x/4) +1 e y = - (5x/4) + 1 e) y = 5x - 1 e y = - 5x -1 112. (UEL) Considere a reta r de equação

y - 2x - 2 = 0. Com relação à representação geométrica

da reta r no plano cartesiano, pode-se afirmar:

I. A área do triângulo formado pela reta r e pelos eixos

coordenados tem o valor de 1 unidade quadrada.

II. A circunferência de equação x2 + y2 = 2 contém todo

o triângulo formado pela reta r e pelos eixos

coordenados.

III. A circunferência de equação x2 + y2 + 2x - 4y = 0

tangencia a reta r.

IV. A reta r é perpendicular à reta 2y + x + 10 = 0.

A alternativa que contém todas as afirmativas corretas

é: a) I e II b) I e III c) I e IV d) II e III e) II, III e IV 113. (UEL) O vértice, o foco e a reta diretriz da parábola

de equação y = x2 são dados por: a) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1/4); Reta diretriz

y = -1/4 b) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1/2); Reta diretriz

y = -1/2 c) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1); Reta diretriz y = -1 d) Vértice: (0, 0); Foco: (0, -1); Reta diretriz y = 1 e) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 2); Reta diretriz y = -2 114. (UEL) Os pontos A = (6, 2), B = (-2, 6) e

C = (2, 6) são representados no plano cartesiano no

qual O é a origem. Considere as afirmativas a seguir:

I. Os segmentos de reta OA e OB são perpendiculares.

II. O cosseno do ângulo entre os segmentos de reta OB

e OC é 1

5.

III. O ponto médio do segmento de reta AB é (4, -2).

IV. O ponto P = (3 - 3 , 1 + 3 3 ) é equidistante dos

pontos O e A.

A alternativa que contém todas as afirmativas corretas

é: a) I e II b) II e III c) I e IV d) III e IV e) II, III e IV 115. (UEL) Considere os pontos distintos A, B, C e D do

plano cartesiano. Sabendo que A = (2, 3), B = (5, 7) e os

pontos C e D pertencem ao eixo y de modo que as

áreas dos triângulos ∆ABC e ∆ABD sejam iguais a

(47/2) u2, onde u é a unidade de medida usada no

sistema. A distância d entre os pontos C e D é: a) d = (2/3) u.

b) d = 30 u. c) d = (94/3) u.

d) d = - 10 u. e) d = (47/5) u. 116. (UEL) Dois dos pontos A = (2,-1), B = (2,-3),

C = (1,4), D = (4,-3) estão numa das bissetrizes das

retas 3y - 4x - 3 = 0 e 4y - 3x - 4 = 0.

Nessas condições, a equação dessa bissetriz é: a) y + x - 1 = 0

b) y + 7x - 11 = 0 c) y - x - 1 = 0

d) x = 2 e) y + x - 5 = 0

54

117. (UEL) Considere o círculo x2 + y2 - r2 = 0 de raio r

e a hipérbole x2 - y2 = 1.

Nesse caso, pode-se afirmar que: a) Se r < 1, então as curvas se intersectam em quatro

pontos. b) Se r = 1, então as curvas tem quatro pontos em

comum. c) Se r = 1, as curvas se intersectam em (0,1) e

(0,-1)

d) Se r = 17 , então as curvas se intersectam apenas

nos pontos (3, 2 2 ) e (-3, -2 2 )

e) Se r > 17 , então as curvas se intersectam em

quatro pontos.

118. (MACK) Num triângulo ABC são conhecidos o

vértice A = (3, 5) e as retas y - 1 = 0 e x + y - 4 = 0,

suportes de duas medianas do triângulo. A reta que

passa pelos vértices B e C tem equação: a) 2x + 3y - 2 = 0. b) 3x + y - 1 = 0. c) x + 2y - 1 = 0. d) 2x + y - 1 = 0. e) x + 3y - 1 = 0. 119. (MACK) A curva x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 tem um

único ponto comum com a reta x + y = k,

k IR. A soma dos possíveis valores de k é: a) 4. b) -2 c) -4. d) 2. e) 0.

120. (MACK) Na figura a seguir, cotg α = 4, tg β = 2

3e M

(2, 3) é o ponto médio de AB .

Então o coeficiente angular da reta que passa pelos

pontos A e B é:

a) - 1. b) - 2. c) - 3

5. d) -

4

5. e) -

5

2.

121. (MACK) Um segmento de reta de comprimento 8

movimenta-se no plano mantendo suas extremidades P

e Q apoiadas nos eixos 0x e 0y, respectivamente. Entre

os pontos do lugar geométrico descrito pelo ponto

médio de PQ, o de maior ordenada possui abscissa: a) - 2. b) - 1. c) 0. d) 1. e) 2.

122.(PUC) Num plano cartesiano ortogonal, seja o triângulo ABC, em que A, B e C são as interseções das retas de equações: y=-1,5x+1, y=1,5x+1 e y=2 Considerando que a unidade das medidas nos eixos coordenados é o metro e π = 3,14, então a rotação do triângulo ABC em torno do eixo das ordenadas gera um recipiente cuja capacidade, em litros, é um número A) menor que 15000. B) compreendido entre 15000 e 18000. C) compreendido entre 18000 e 21000. D) compreendido entre 21000 e 24000.

E) maior que 24000 123. (MACK) Se P(x,y) é o ponto de maior ordenada do

plano tal que x2+y2=x, então x+y vale: a) -1 b) -1/2 c) 0 d) 1/2 e) 1 124. (MACK) Na figura a seguir, as retas r e s são dadas

pelos pontos (x,y) do plano tais que

2 24x 4xy y = 2. A equação da reta t é:

a) 2x - 2y + 1 = 0 b) 2x - y + 3 = 0 c) 2x - y + 2 = 0 d) x - 2y + 2 = 0 e) x - 2y + 3 = 0 125. (MACK) As retas (3k - 1)x - (2 - k)y - k = 0 e

x + (k + 1)y + (k + 2) = 0, onde k é um número real, são

suportes das diagonais de um quadrado. Deste modo, a

soma dos possíveis valores de k é: a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 126. (MACK) Supondo π = 3, então os pontos (x, y) do

plano tais que x2 + y2 - 16 ≤ 0, com x + y ≥ 4, definem

uma região de área: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 127. (MACK) Os pontos P(x, y) do plano tais que

y2 + xy - 2x2 ≥ 0, onde │ y │ ≤ 3, definem uma região

de área: a) 27/2 b) 18 c) 9/2 d) 27 e) 13/2

55

128. (MACK) A reta que passa pelo centro da

circunferência x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0 e é paralela à

bissetriz dos quadrantes pares tem equação: a) x + y + 5 = 0 b) x + y - 5 =0 c) 5x + 5y + 1 = 0 d) x + y - 1 = 0 e) x + y + 1 = 0 129. (MACK) Na figura adiante, as retas r e s são

paralelas e a reta s é tangente à parábola de vértice (0,

-2). Então a distância d entre r e s é:

a) 7 5

5 b)

8 5

5 c)

9 5

5

d) 11 5

5 e)

12 5

5

130. (MACK) Uma circunferência de centro C (a, b)

passa pelos pontos M (0, 0), N (4, 0) e P (k, k), M ≠ P.

Então a + b vale: a) k b) k/2 c) 3k/2 d) 2k e) 3k 131. (MACK) A reta de menor coeficiente angular, que

passa por um dos focos da elipse

5x2 + 4y2 = 20 e pelo centro da circunferência x2 + y2 -

4x - 6y = 3, tem equação: a) 3x - y - 3 = 0 b) 2x - y - 1 = 0 c) x - 3y - 7 = 0 d) x - 2y - 4 = 0 e) x - y + 1 = 0 132. (MACK) Na figura, a área do triângulo assinalado é

6. Então a distância entre as retas paralelas r e s é:

a) 2 b) 3

2 c)

6

5 d)

7

5 e)

8

5

133. (MACK) A circunferência que passa pelos pontos

(1, -3) e (1, 5), cujo centro pertence à reta 2x - 3y - 6 =

0, possui raio no intervalo: a) [ 2, 3 [ b) [ 3, 4 [ c) [ 4, 5 [ d) [ 5, 6 [ e) [ 6, 7 ]

134. (MACK) Na figura a seguir, as retas t e s são

paralelas e a circunferência tem equação x2 + y2 - 8x -

8y + 28 = 0. Deste modo, a área do triângulo que a reta

tangente s define com os eixos é igual a:

a) 2 b) 4 c) 3

2 d)

4

3 e)

1

2

135. (MACK) Dada a função real definida por f(x) =

2(4 x ) de [-2,2] em [0,2]. Considere uma reta t

tangente ao gráfico de f(x) e paralela à reta y = x + 509.

Se (x, y) é o ponto de tangência, então x + y vale:

a) 0 b) 2 c) 2 2 d) 2 e) -2 2 136. (MACK) Uma reta passa pelos pontos A(2, 1) e B(K

+ 2, K - 1), encontrando o eixo das abscissas num ponto

P(m, o), com m > 2. Assinale, dentre as alternativas

abaixo, um possível valor de K. a) - 5/4 b) 5/4 c) 9/4 d) 11/4 e) - 9/4 137. (MACK) A circunferência da figura, tangente ao eixo

e à reta r, tem equação

x2 + y2 - 3x - 2ky + k2 = 0. Se α = arctg3

4, então k

vale:

a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 5,0 e) 6,0

56

138. (MACK)

Na figura, a distância entre as retas paralelas r e s é

2 e o triângulo OAB é isósceles. Um ponto de s é: a) (17, -15) b) (-8, 6) c) (7, -3) d) (-9, 5) e) (3, 1) 139. (MACK) Os gráficos de y = x - 1 e y = 2 definem

com os eixos uma região de área: a) 6 b) 5/2 c) 4 d) 3 e) 7/2

140. (MACK) A reta x

k+

y

k 1= 1, k > 0, forma, no

primeiro quadrante, um triângulo de área 6 com os eixos

coordenados. O perímetro desse triângulo é:

a) 12 b) 18 c) 14 d) 10 2 e) 12 2 141. (MACK) Considere os triângulos, nos quais um dos

vértices é sempre o ponto (0, 2) e os outros dois

pertencem à reta r, como mostra a figura. Para x = 1, 2,

3, ..., n, a soma das áreas dos n triângulos é:

a)

2n

2. b) 3n. c ) 6n. d)

n 3

2. e)

n n 1

2.

142. (PUC) Os pontos A = (-1; 1), B = (2; -1) e C = (0; -4) são vértices consecutivos de um quadrado ABCD. A equação da reta suporte da diagonal BD, desse quadrado, é: a) x + 5y + 3 = 0. b) x - 2y - 4 = 0.

c) x - 5y - 7 = 0. d) x + 2y - 3 = 0.

e) x - 3y - 5 = 0.

143. (PUC) A reta de equação y = 2x - 4 intercepta os

eixos coordenados nos pontos A e B. Esses pontos são

os extremos de um diâmetro da circunferência λ. A

equação correspondente a λ é

a) x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0

b) x2 + y2 - 2x + 4y = 0

c) 2x2 + 4y2 + 2x + 4y + 5 = 0

d) x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0

e) x2 + y2 + 6x + 3y - 4 = 0

144. (PUC) Considere a parábola de equação

y = -x2 + 2x + 4 e uma reta r. Se r é conduzida pelo

vértice da parábola e tem uma inclinação de 135°, então

a equação de r é a) x + y + 2 = 0 b) x - y + 2 = 0 c) x + y - 2 = 0 d) x - y - 4 = 0 e) x + y - 4 = 0 145. (PUC) Na figura a seguir tem-se parte do gráfico da

função f, de IR em IR, definida por f(x) = cosx

2, no

qual estão destacados os pontos A e B.

Os pontos A e B pertencem à reta de equação a) x - 3πy - π = 0 b) x + 3πy - π = 0 c) x - 3πy + π = 0 d) 2x + 3πy - π = 0 e) 2x - 3πy - π = 0 146. (PUC) As equações das retas suportes dos lados

de um triângulo são: x + 3y - 3 = 0,

x - 3y - 3 = 0 e x = -1. Esse triângulo é a) escaleno. b) equilátero. c) isósceles e não retângulo. d) retângulo e não isósceles. e) retângulo e isósceles.

147. (PUC) Sejam A, B, C, D vértices consecutivos de

um quadrado tais que A = (1; 3) e B e D pertencem à

reta de equação x - y - 4 = 0. A área desse quadrado,

em unidades de superfície, é igual a

a) 36 2 b) 36 c) 32 2 d) 32 e) 24 2

57

148. (PUC) Seja x2 + y2 + 4x = 0 a equação da

circunferência de centro Q representada a seguir

Se o quadrado PQMN tem os vértices Q e M sobre o

eixo das abcissas e o vértice N pertence à

circunferência, o ponto N é dado por

a) ( 2 - 2; 2 ) b) (- 2 + 2; 2 )

c) ( 2 - 2; 2) d) (- 2 - 2; 2 - 2 )

e) (- 2 ; 2 - 2 ) 149. (PUC) Sejam x + 2y - 1 = 0 e 2x - y + 3 = 0 as

equações das retas suportes das diagonais de um

quadrado que tem um dos vértices no ponto

(- 5; 3). A equação da circunferência inscrita nesse

quadrado é

a) x2 + y2 + 2x - 2y - 8 = 0

b) x2 + y2 + 2x + 2y - 8 = 0

c) x2 + y2 - 2x - 2y - 8 = 0

d) x2 + y2 + 4x - 2y - 10 = 0

e) x2 + y2 - 4x + 2y - 10 = 0

150. (Epcar (Afa) 2016) Considere os pontos

A (4 , 2), B (2 , 0) e todos os pontos P (x , y), sendo

x e y números reais, tais que os segmentos PA e PB

são catetos de um mesmo triângulo retângulo. É correto afirmar que, no plano cartesiano, os pontos

P (x , y) são tais que

a) são equidistantes de C (2 , 1)

b) o maior valor de x é 3 2

c) o menor valor de y é 3

d) x pode ser nulo. 151. (Espcex (Aman) 2016) Considere as afirmações:

I. Uma elipse tem como focos os pontos 1F ( 3, 0),

2F (3, 0) e a medida do eixo maior é 8. Sua equação é

2 2x y1.

16 7

II. Os focos de uma hipérbole são 1F ( 10, 0), 2F (10, 0)

e sua excentricidade é 5

.3

Sua equação é

2 216x 9y 576.

III. A parábola 28x y 6y 9 tem como vértice o

ponto V(3, 0).

Com base nessas afirmações, assinale a alternativa correta. a) Todas as afirmações são falsas. b) Apenas as afirmações I e III são falsas. c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. d) Todas as afirmações são verdadeiras. e) Apenas a afirmação III é verdadeira. 152. (Ufu 2015) Em relação a um sistema de

coordenadas x0y (x e y em metros), o triângulo PQR

tem ângulo reto no vértice R (3, 5), base PQ paralela

ao eixo x e está inscrito no círculo de centro C(1,1). A

área desse triângulo, em metros quadrados, é igual a

a) 40. b) 8 20. c) 4 20. d) 80.

153. (Uece 2015) Em um sistema de coordenadas

cartesiano usual os pontos P (1, 2) e Q (4, 6) são

vértices do triângulo PQM. Se o vértice M está sobre a

reta paralela ao segmento PQ que contém o ponto

(8, 6), então a medida da área do triângulo PQM é

a) 7 u.a. b) 8 u.a. c) 9 u.a. d) 10 u.a.

154. (Fuvest 2015) A equação 2 2x 2x y my n,

em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta

y x 1 contém o centro da circunferência e a

intersecta no ponto ( 3, 4). Os valores de m e n são,

respectivamente,

a) 4 e 3 b) 4 e 5 c) 4 e 2

d) 2 e 4 e) 2 e 3

155. (Uece 2015) No referencial cartesiano ortogonal

usual com origem no ponto O, a reta r, paralela à reta

y 2x 1 intercepta os semieixos positivos OX e OY,

respectivamente, nos pontos P e Q formando o

triângulo POQ. Se a medida da área deste triângulo é

igual a 29 m , então a distância entre os pontos P e Q

é igual a

a) 5 m. b) 3 5 m. c) 4 5 m. d) 2 5 m.

156. (Espcex (Aman) 2015) O ponto simétrico do ponto

(1,5) em relação à reta de equação 2x 3y 4 0 é o

ponto

a) 3, 1 .

b) 1, 2 .

c) 4,4 .

d) 3,8 .

e) 3,2 .

58

157. (Ita 2015) Considere os pontos A (0, 1),

B (0,5) e a reta r : 2x 3y 6 0. Das afirmações a

seguir:

I. d(A,r) d(B,r).

II. B é simétrico de A em relação à reta r.

III. AB é base de um triângulo equilátero ABC, de

vértice C ( 3 3,2) ou C (3 3,2).

É (são) verdadeira(s) apenas a) I. b) II. c) I e II. d) I e III. e) II e III. 158. (Uece 2015) No referencial cartesiano ortogonal usual, a medida da área do quadrilátero convexo cujos vértices são as interseções de cada uma das retas

x y 1 0 e x y 1 0 com a circunferência

2 2x y 25, calculada com base na unidade de

comprimento (u.c) adotada no referencial cartesiano

considerado, é

a) 216(u.c) . b) 214(u.c) . c) 218(u.c) . d) 220(u.c) .

159. (Pucrj 2015) Sejam r e s as retas de equações

y x 2 e x 5

y ,2 2

respectivamente,

representadas no gráfico abaixo. Seja A o ponto de

interseção das retas r e s. Sejam B e C os pontos de

interseção de r e s com o eixo horizontal,

respectivamente.

A área do triângulo ABC vale:

a) 1,0 b) 1,5 c) 3,0 d) 4,5 e) 6,0

160. (Fgv 2015) Observe as coordenadas cartesianas de cinco pontos:

A(0,100), B(0, 100), C(10,100),

D(10, 100), E(100,0).

Se a reta de equação reduzida y mx n é tal que

mn 0, então, dos cinco pontos dados anteriormente, o

único que certamente não pertence ao gráfico dessa reta é

a) A. b) B. c) C. d) D. e) E.

161. (Unicamp 2015) No plano cartesiano, a equação

x y x y representa

a) um ponto. b) uma reta. c) um par de retas paralelas. d) um par de retas concorrentes.

162. (Ita 2015) Dados o ponto 25

A 4,6

e a reta

r : 3x 4y 12 0, considere o triângulo de vértices

ABC, cuja base BC está contida em r e a medida dos

lados AB e AC é igual a 25

.6

Então, a área e o

perímetro desse triângulo são, respectivamente, iguais a

a) 22

3 e

40.

3 b)

23

3 e

40.

3 c)

25

3 e

31.

3

d) 25

3 e

35.

3 e)

25

3 e

40.

3

163. (Udesc 2015) Seja f a função que representa a

área do triângulo ABC, representado na figura.

A expressão da função f(x), para 0 x 4, é:

a) 23f(x) x 6x 12

4 b) f(x) 3x 12

c) 3 2f(x) x 3x x 12 d) 3 2f(x) x 5x 4x 12

e) 2f(x) x 8x 16

164. (Ita 2015) Considere uma circunferência C, no

primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta

r : x y 0. Sabendo-se que a potência do ponto

O (0,0) em relação a essa circunferência é igual a 4,

então o centro e o raio de C são, respectivamente,

iguais a

a) (2, 2 2 2) e 2 2 2.

b) 2 1

2,2 2

e 2 1

.2 2

c) (2, 2 1) e 2 1.

d) (2, 2 2) e 2 2.

e) (2, 4 2 4) e 4 2 4.

59

165. (Upf 2015) Sabendo que o ponto P(4,1) é o ponto

médio de uma corda AB da circunferência 2 2x 6x y 4 0, então a equação da reta que passa

por A e B é dada por:

a) y x 5 b) y x 5 c) y x 3

d) y x 3 e) 1

y x 52

166. (Ueg 2015) Observe a figura a seguir.

Sabendo-se que a circunferência de maior raio passa pelo centro da circunferência de menor raio, a equação da circunferência de maior raio é

a) 2 2x y 4x 4y 18 0

b) 2 2x y 4x 4y 14 0

c) 2 2x y 8x 8y 14 0

d) 2 2x y 8x 8y 18 0

167. (Upe 2015) No sistema cartesiano, sendo a

circunferência C de equação 2 2x y 6x 2y 6.

Qual a equação da circunferência C' simétrica de C

em relação à origem do sistema?

a) 2 2x y 6x 2y 4 b) 2 2x y 6x 2y 4

c) 2 2x y 6x 2y 4 d) 2 2x y 6x 2y 6

e) 2 2x y 6x 2y 6

168. (Uece 2015) A interseção das curvas representadas no plano, com o sistema cartesiano

ortogonal usual, pelas equações 2 2x y 1 e

| x | | y | 2 é um conjunto

a) vazio. b) unitário (um ponto). c) com dois elementos (dois pontos). d) com quatro elementos (quatro pontos). 169. (Epcar (Afa) 2016) Analise as proporções abaixo e escreva V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) A distância entre o vértice e o foco da parábola

2y 4x 4 0 é igual a 1 unidade de comprimento.

II. ( ) Numa hipérbole equilátera, as assíntotas são perpendiculares entre si.

III. ( ) A equação 2 22x y 4x 4y 4 0

representa uma elipse que tem um dos focos no

ponto P (1, 4)

A sequência correta é a) F - F - V b) V - F - V c) F - V - F d) V - V - F 170. (Espcex (Aman) 2016) Considere a circunferência

que passa pelos pontos (0, 0), (0, 6) e (4, 0) em um

sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.

Sabendo que os pontos (0, 6) e (4, 0) pertencem a

uma reta que passa pelo centro dessa circunferência, uma das retas tangentes a essa circunferência, que

passa pelo ponto (3, 2), tem por equação

a) 3x 2y 13 0 b) 2x 3y 12 0

c) 2x y 8 0 d) x 5y 13 0

e) 8x 3y 18 0

171. (Unicamp 2016) Considere o círculo de equação

cartesiana 2 2x y ax by, onde a e b são números

reais não nulos. O número de pontos em que esse círculo intercepta os eixos coordenados é igual a

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4.

172.(Fuvest 2016) no plano cartesiano, um círculo de centro P=(a,b) tangencia as retas de equações y=x, x=0. Se P pertence à parábola de equação y=x² e a>0, a ordenada b do ponto P é igual a

a) 2+ 22 b) 3+ 22 c) 4+ 22

d) 5+ 22 e) 6+ 22

GABARITO 1) B 2)A 3)D 4)B 5)A 6)C 7)A 8)A 9)E 10)E 11)C 12)E 13)D 14)A 15)E 16)D 17)D 18)E 19)B 20)B 21)B 22)B 23)D 24)B 25)E 26)C 27)D 28)D 29)A 30)A 31)C 32)D 33)A 34)E 35)C 36)E 37)D 38)B 39)D 40)C 41)B 42)B 43)A 44)C 45)E 46)B 47)B 48)E 49)A 50) B 51) B 52)C 53)D 54) C 55)A 56)D 57)E 58)C 59)E 60)D 61)A 62)E 63)E 64)D 65)C 66)C 67)C 68)E 69)E 70)D 71)B 72)C 73)B 74)D 75)C 76)E 77)C 78)D 79)A 80)A 81)E 82)A 83)E 84)D 85)B 86)B 87)D 88)C 89)A 90)A 91)D 92)A 93)C 94)A 95)B 96)D 97)A 98)A 99) C 100)E 101)B 102)C 103)B 104)D 105)D 106)B 107)C 108)E 109)C 110)C 111)B 112)C 113)A 114)C 115)C 116)A 117)E 118)C 119)A 120)A 121)C 122)A 123)E 124)C 125)A 126)B 127)A 128)A 129)C 130)A 131)E 132)C 133)D 134)C 135)A 136)B 137)A 138)A 139)C 140)A 141)B 142)C 143)B 144)A 145)A 146)C 147)B 148)A 149)A 150)B 151)C 152)C 153)B 154)A 155)B 156)A 157)D 158)B 159)B 160)E 161)D 162)E 163)A 164)A 165)A 166)C 167)D 168)C 169)D 170)A 171)C

60