Circunferências -...

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Circunferências

1. (Espcex (Aman) 2014) Sejam dados a circunferência 2 2: x y 4x 10y 25 0λ e o

ponto P, que é simétrico de (–1, 1) em relação ao eixo das abscissas. Determine a equação da

circunferência concêntrica à λ e que passa pelo ponto P.

a) 2 2: x y 4x 10y 16 0λ

b) 2 2: x y 4x 10y 12 0λ

c) 2 2: x y 4x 5y 16 0λ

d) 2 2: x y 4x 5y 12 0λ

e) 2 2: x y 4x 10y 17 0λ

2. (Uerj 2014) Um disco metálico de centro O e diâmetro AB = 4 dm, utilizado na fabricação de

determinada peça, é representado pelo seguinte esquema:

PJcortes retilíneos

PK

M − ponto médio do raio OB N − ponto médio do raio AO P − ponto médio do raio OC J − intersecção da semirreta PM com a circunferência K − intersecção da semirreta PN com a circunferência Calcule a distância entre os pontos J e K.


3. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana 2 2x y 4y 0 e a

parábola α de equação 2y 4 x .

a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com .α

b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola .α

Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as

inequações 2 2x y 4y 0 e 2y 4 x .

4. (Fgv 2013) No plano cartesiano, há duas retas paralelas à reta de equação 3x 4y 60 0

e que tangenciam a circunferência 2 2x y 4.

Uma delas intercepta o eixo y no ponto de ordenada

a) 2,9 b) 2,8 c) 2,7 d) 2,6 e) 2,5 5. (Fuvest 2013) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a

circunferência C de equação 22

x 1 y 2 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em

um ponto Q. Então a distância de P a Q é

a) 15

b) 17

c) 18

d) 19

e) 20 6. (Uerj 2013) Um objeto de dimensões desprezíveis, preso por um fio inextensível, gira no sentido anti-horário em torno de um ponto O. Esse objeto percorre a trajetória T, cuja equação

é 2 2x y 25. Observe a figura:

Admita que o fio arrebente no instante em que o objeto se encontra no ponto P(4,3). A partir desse instante, o objeto segue na direção da reta tangente a T no ponto P. Determine a equação dessa reta.


7. (Espcex (Aman) 2013) Considere a circunferência 2 2x y 4x 0λ e o ponto P 1, 3 .

Se a reta t é tangente a λ no ponto P, então a abscissa do ponto de intersecção de t com o

eixo horizontal do sistema de coordenadas cartesianas é a) –2

b) 2 3 c) 3

d) 3 3

e) 3 3 3 8. (Uepg 2013) Dado o ponto C 2, 3 , assinale o que for correto.

01) 2 2x y 4x 6y 4 0 é a equação da circunferência de centro C e tangente ao eixo das

abscissas.

02) 2 2x y 4x 6y 9 0 é a equação da circunferência de centro C e tangente ao eixo das

ordenadas.

04) 2 2x y 4x 6y 13 0 é a equação da circunferência de centro C e passante pelo ponto

Q 1, 2 .

08) 2 2x y 13 0 é a equação da circunferência de centro na origem e passante em C.

16) 2 2x y 4x 6y 3 0 é a equação da circunferência de centro C e raio igual a 10 u.c.

9. (Ufpr 2013) Considerando a circunferência C de equação 22

x 3 y 4 5, avalie as

seguintes afirmativas: 1. O ponto P(4, 2) pertence a C. 2. O raio de C é 5.

3. A reta 4

y x3

passa pelo centro de C.

Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. c) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 10. (Unioeste 2013) A área da região do plano formada pelos pontos (x, y) tais que

2 2x y 4x 0 e x y 2 0, em unidades de área, é igual a

a) .2

π

b) .π c) 2 .π d) 3 .π e) 4 .π

11. (Ufsj 2013) A reta r : y 3x 3 e a circunferência 22: x y 2 5λ se interceptam nos

pontos A e B. O comprimento do segmento AB e as coordenadas do seu ponto médio são, respectivamente

a) unidades de comprimento e 0, 3 .

b) unidades de comprimento e 1, 0 .

c) 10 unidades de comprimento e 2, 3 .

d) unidades de comprimento e 3 2, 3 2 .


12. (Cefet MG 2013) Em um plano, uma reta que passa pelo ponto P(8,10) tangencia a

circunferência 2 2x y – 4x – 6y – 3 0 no ponto A. A medida do segmento PA, em unidades

de comprimento, é

a) 12 .

b) 34 .

c) 45 .

d) 69 .

e) 85 . 13. (Ufrgs 2013) Um círculo tangencia a reta r, como na figura abaixo.

O centro do círculo é o ponto 7, 2 e a reta r é definida pela equação 3x 4y 12 0.

A equação do círculo é

a) 2 2

x 7 y 2 25.

b) 2 2

x 7 y 2 25.

c) 2 2

x 7 y 2 36.

d) 2 2

x 7 y 2 36.

e) 2 2

x 7 y 2 36.

14. (Uespi 2012) Suponha que x e y são reais e satisfazem

2 2x y 6x 6y 10.

Qual o valor máximo de x + y? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10


15. (Ufpe 2012) Uma circunferência está circunscrita ao triângulo com lados sobre as retas

com equações x 0, y 0 e 4x 3y 24, conforme a ilustração abaixo. Encontre a equação

da circunferência e indique a soma das coordenadas de seu centro e de seu raio.

16. (Ufu 2012) Inúmeras pinturas e desenhos em tela fazem uso de sobreposição de formas circulares, conforme ilustra a figura abaixo.

Para a representação gráfica desses trabalhos artísticos, faz-se necessária a determinação de elementos geométricos associados. Suponha que, relativamente a um sistema de coordenadas cartesianas xOy, duas circunferências, presentes no desenho, sejam dadas pelas equações

2 2x y 6y 5 0 e 2 2x y 6x 2y 6.

Assim sendo, a reta que passa pelos centros dessas circunferências pode ser representada pela equação a) 2x 3y 9.

b) 2x 3y 9.

c) x 2y 4.

d) x 2y 4.

17. (Fgv 2012) No plano cartesiano, a circunferência que passa pelos pontos A(2, 0), B(0, 3) e pela origem O(0, 0) intercepta a reta y = x em dois pontos. Um deles tem coordenadas cuja soma é: a) 5 b) 4,5 c) 4 d) 3,5 e) 3


18. (Fuvest 2012) No plano cartesiano Oxy , a circunferência C é tangente ao eixo Ox no

ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de C vale

a) 5

b) 2 5 c) 5

d) 3 5 e) 10 19. (Uepa 2012) Pilates é um sistema de exercícios físicos que integra o corpo e a mente como um todo, desenvolvendo a estabilidade corporal necessária para uma vida mais saudável. A figura abaixo mostra um dos exercícios trabalhado no Pilates e é observado que o corpo da professora gera um arco AB. Supondo que o arco gerado pelo corpo da professora

seja um quarto de uma circunferência de equação 2 2100x 100y – 400x – 600y 1075 0, o

valor aproximado da altura da professora é:

a) 0,24 u.cπ

b) 0,5 u.cπ

c) 0,75 u.cπ

d) 0,95 u.cπ

e) 1,24 u.cπ

20. (Insper 2012) Os pontos A ( 1, 3) e B (6, 2) pertencem a uma circunferência do plano

cartesiano cujo centro é o ponto C. Se a área do triângulo ABC é 25

2, então a medida do raio

dessa circunferência é igual a a) 5

b) 5 2

c) 5 3 d) 10

e) 10 2 21. (Ufsj 2012) No plano cartesiano, a reta de equação 2y x 2 intercepta o eixo y no ponto

C. A equação da circunferência que tem centro em C e raio 2 é

a) 2 2x y – 2x – 3 0

b) 2 2x y – 2y – 3 0

c) 2 2x y 2y – 3 0

d) 2 2x y 2x – 3 0


22. (Unisc 2012) A equação 2 2x Ay Bxy 2x 4y C 0 representa uma circunferência

cujo diâmetro mede 10 unidades de distância. Esta afirmação nos permite determinar o valor

dos coeficientes reais A, B e C e também garantir que a expressão A B C é igual a a) – 20. b) – 10. c) 11. d) 21. e) 30. 23. (Ueg 2012) Considere num plano cartesiano duas retas r e s. perpendiculares. A reta r tem

equação y 2x e a reta s intercepta o eixo x no ponto B (10,0). Encontre a equação da

circunferência que passa pelos pontos A (0,0), B (10,0) e C, que é o ponto de interseção das retas r e s.

24. (Espcex (Aman) 2012) O ponto da circunferência 2 2x y 2x 6y 1 0 que tem

ordenada máxima é

a) 0, 6

b) 1, 3

c) 1,0

d) 2,3

e) 2, 3

25. (Ufsm 2012) O diagrama Taiji, da figura a seguir, representa, na filosofia chinesa, a integração entre Yin e Yang. Essa figura é encontrada em vários períodos da história da arte.

Sabendo que as coordenadas do diâmetro AB da circunferência externa ao diagrama Taiji são, respectivamente, A(13, 20) e B(1, 4), assinale verdadeira (V) ou falsa (F) nas afirmativas. ( ) A equação da reta que passa pelos pontos A e B é x – 3y – 11 = 0. ( ) O raio da circunferência é 10. ( ) A equação da circunferência é x

2 – 14x + y

2 – 14y + 93 = 0.

A sequência correta é a) F – F – F. b) F – F – V. c) F – V – F. d) V – F – V. e) V – V – V. 26. (Mackenzie 2012) Considere a região do plano dada pelos pontos (x,y) tais que

2 2x y 2x e 2 2x y 2y. Fazendo 3,π a área dessa região é

a) 1 b) 0,5 c) 2 d) 1,5 e) 2,5


27. (Epcar (Afa) 2012) No plano cartesiano, a circunferência λ de equação

2 2x y 6x 10y k 0, com k , determina no eixo das ordenadas uma corda de

comprimento 8.

Dessa forma, é correto afirmar que

a) λ é tangente ao eixo Ox

b) o raio de λ é igual a k c) P k , 1 λ

d) λ é secante à reta x k

28. (Ufrgs 2012) Observe, abaixo, o círculo representado no sistema de coordenadas

cartesianas.

Uma das alternativas a seguir apresenta a equação desse círculo. Essa alternativa é a) (x – 2)

2 + (y – 3)

2 = 10.

b) (x + 2)2 + (y + 3)

2 = 13.

c) (x – 2)2 + (y – 3)

2 = 13.

d) (x – 2)2 + y

2 = 10.

e) x2 +(y + 3)

2 = 13.

29. (Acafe 2012) O comprimento da corda determinada pela reta x y 2 sobre a

circunferência cujo centro é (2, 3) e o raio mede 3 cm é igual a:

a) 4 2 cm

b) 5 3 cm

c) 4 cm

d) 3 2 cm

30. (Espm 2012) Seja C a região do plano cartesiano definida pela desigualdade (x – 2)

2 + (y – 2)

2 4 e seja P a região definida por x 2 ou y 2. A área da região

intersecção entre C e P é: a) π b) 2π c) 3π d) 4π e) 5π


Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Determinando o centro C da circunferência dada: x

2 + 4x + 4 + y

2 + 10y + 25 = 25 + 4 + 25

(x + 2)

2 + (y + 5)

2 = 4

Logo, o centro é C(–2,–5). O ponto P simétrico do ponto (–1,1) em relação ao eixo x é P (–1, –1). Portanto, o raio R da circunferência pedida será a distância entre os pontos P e C. Temos, R

2 = (–1 – (–2))

2 + (–1 – (–5))

2 = 17

Logo, a equação da circunferência pedida será dada por :

(x + 2)2 + (y + 5)

2 = 17 x

2 + y

2 + 4x + 10y + 29 – 17 = 0 x

2 + y

2 + 4x + 10y + 12 = 0

Resposta da questão 2:

Equação da reta PJ: y x 1

Determinando a abscissa do ponto J: 2 2

y x 1

x y 4

Logo, 22

J1 7

x .2

x 1 4 x

Portanto, 1 71 7 dm.

2KJ 2


a) Resolvendo o sistema formado pelas equações de λ e ,α obtemos

2 2 2

2 2

2

2

2

x y 4y 0 x 4 y

y 4 x y 5y 4 0

x 4 y

y 5y 4 0

x 4 y

y 1 ou y 4

( 3,1) ou (0, 4).

b) Completando os quadrados, obtemos

2 2 2 2x y 4y 0 (x 0) (y 2) 4.

Logo, λ possui centro em (0, 2) e raio 2.


Por outro lado, a equação canônica de α é 2y (x 0) 4. Assim, o ponto de máximo do

gráfico de α é (0, 4). Além disso, de (a) sabemos que α intersecta λ em ( 3, 1) e

( 3, 1).

Portanto, o conjunto dos pontos (x, y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações

2 2x y 4y 0 e 2y 4 x pertencem à região sombreada da figura abaixo.

Resposta da questão 4: [E] Considere a figura.

Sejam s e t as retas paralelas à reta 3x 4y 60 0, e tangentes à circunferência

2 2x y 4.

Seja r a reta que passa pelos pontos de tangência P e Q.

Como r é perpendicular à reta 3x 4y 60 0, concluímos que seu coeficiente angular é igual

a 1 4

.3 4 3

Daí, como r passa pela origem, sua equação é 4

y x.3


Dado que as alternativas apresentam apenas valores positivos, queremos calcular o coeficiente

linear da reta t (ordenada do ponto M).

Resolvendo o sistema formado pelas equações da circunferência e da reta r, obtemos

2

2 2

P

4x 36x 4 x

3 25

6x

5

e

P

4 6 8y .

3 5 5

Logo, a equação da reta t é

8 3 6 3 25y x y x

5 4 5 4 10

e, portanto, o resultado pedido é 2,5.


[D]

A circunferência C tem centro no ponto A(1, 2) e raio igual a 1. Logo, de acordo com as

informações, considere a figura abaixo.

Como PQ PQ' e AQ AQ' 1, vem

2 2 2PA (3 1) (6 2) 20

e, portanto,

2 2 2 2PQ PA AQ PQ 20 1

PQ 19 u.c.



A equação da reta pedida é dada por

PP P

P

x 4y y (x x ) y 3 (x 4)

y 3

4 25y x .

3 3

Resposta da questão 7: [A] Completando os quadrados, obtemos

2 2 2 2x y 4x 0 (x 2) y 4.

Assim, o centro da circunferência é o ponto C(2, 0).

O coeficiente angular da reta t é dado por

C P

C P

x x 2 1 1 1 3 3.

y y 30 3 3 3 3

Desse modo, a equação de t é 3

y 3 (x 1)3

e, portanto, a abscissa do ponto de

interseção de t com o eixo x é tal que

3

0 3 (x 1) 3 x 1 x 2.3

Resposta da questão 8: 01 + 02 + 04 + 08 + 16 = 31.

[01] (Verdadeira). 2 22 2x y 4x 6y 4 0 x 2 x 3 9, como o raio é igual a3

(mesmo valor da ordenada do centro) a circunferência é tangente ao eixo x.

[02] (Verdadeira). 2 22 2x y 4x 6y 9 0 x 2 x 3 4, como o raio é igual a2 (

mesmo valor da abscissa do centro) a circunferência é tangente ao eixo y.

[04] (Verdadeira). 2 22 2x y 4x – 6y 13 0 x 2 x 3 26 e

2 2

1 2 2 – 3 26.

[08] (Verdadeira). 2 2x y 13, circunferência de centro 0,0 e 2 22 3 13.

[16] (Verdadeira). 2 22 2x y 4x – 6y 3 0 x 2 x 3 10, possui centro no ponto

2,3 e raio r 10.



[E]

1. Verdadeira, pois 224 3 2 4 5.

2. Falsa. O raio é 5.

3. Verdadeira, pois o centro C(3, 4) está na reta, pois 4

4 3.3

Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. Resposta da questão 10: [C] A região do plano representada simultaneamente pelas duas inequações está representada na figura a seguir, um semicírculo de raio R = 2.

Logo, sua área será dada por:

22A 2 .

2

ππ


[D] Resolvendo o sistema, encontramos os pontos de intersecção da reta com a circunferência:

2 2x (y 2) 5

y 3x 3

Temos as seguintes soluções A(1,0) e B(2,3). Logo, as coordenadas do ponto Médio M do segmento AB será dada por:

1 2 0 3 3 3M , ,

2 2 2 2



[D]

2 2

2 2

x y – 4x – 6y – 3 0

x 2 y 3 16

Centro C(2,3) e raio r = 4, então:

CA = 4 e PC = 2 2(8 2) (10 3) 85

Portanto: PA2 =

2 285 4 PA 69

Resposta da questão 13: [A] O raio da circunferência é dado por

2 2

| 3 7 4 2 12 |5.

3 ( 4)

Logo, a equação da circunferência é 2 2(x 7) (y 2) 25.

Resposta da questão 14: [E] Reescrevendo a equação, obtemos

2 2 2 2x y 6x 6y 10 (x 3) (y 3) 8,

que é a equação de uma circunferência centrada em (3,3) e raio 2 2. Desse modo, como o

centro pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, segue que a soma x y é máxima quando

y x. Logo,

22 (x 3) 8 x 3 2

x 5.

Portanto, o resultado pedido é x y 5 5 10.



12.

Reescrevendo a equação da reta 4x 3y 24, obtemos

4

4x 3y 24 y x 8.3

Logo, essa reta intersecta o eixo das ordenadas no ponto A (0, 8) e o eixo das abscissas no

ponto B (6, 0). Daí, como AB é diâmetro, temos que o centro da circunferência é o ponto M,

médio de AB, ou seja,

A B A Bx x y y 0 6 8 0M , , (3, 4).

2 2 2 2

O raio r da circunferência é a distância do ponto M ao ponto A, isto é,

2 2r (3 0) (4 8) 5.

Portanto, a soma pedida é igual a 3 4 5 12. Resposta da questão 16:

[A]

Sejam 2 2x y 6y 5 0 e 2 2x y 6x 2y 6, respectivamente, as equações das

circunferências 1λ e 2.λ

Completando os quadrados, obtemos

2 2 2 2 2x y 6y 5 0 x (y 3) 2 .

Logo, 1C (0, 3) é o centro da circunferência 1.λ

Analogamente, vem

2 2 2 2 2x y 6x 2y 6 (x 3) (y 1) 2 ,

ou seja, 2C (3,1) é o centro da circunferência 2.λ

Portanto, a equação da reta que passa por 1C e 2C é dada por

1 3y 3 (x 0) 3y 9 2x

3 0

2x 3y 9.



[A]

O segmento de Extremos A e B é o diâmetro, pois o ângulo ˆAOB é reto.

Determinando as coordenadas do centro pelo ponto médio do segmento AB.

2 0 0 3 3C , C 1 , .

2 2 2

Cálculo o raio r através da distância entre dois pontos:

2 2(2 0) (0 3) 13r .

2 2

Logo, a equação da circunferência será:

222 3 13

(x 1) y .2 2

Resolvendo o sistema, temos:

222 3 13

(x 1) y, portanto as soma das coordenadas será 5.2 2

y x

5 5x e y .

2 2


[C]


R = raio e o ponto (5, R) é o centro. Calculando a distância de (5, R) até (1,2) temos o raio.

22

2 2

(5 1) R 2 R

16 (R 2) R

Desenvolvendo, temos 4R = 20 R = 5. Resposta da questão 19: [C]

2 2

2 2

2 2

2 2100x 100y – 400x – 600y 1075 0( 100)

43x y 4x 6y 0

4

43x 4x 4 y 6y 9 4 9

4

9(x 2) (y 3)

4

9 3Logo, o raio será dado por: r =

4 2

Calculando o comprimento do arco (altura h da professora):

32

2h 0,75 u.c.4

ππ


[A]

2 2AB (6 ( 1)) ( 2 ( 3)) 50

50.h 25 25h

2 2 50


2

2 2

222

2

50R h

2

25 50R

250

25 25R

2 2

R 25

R 5


[B]

Determinando o ponto C (fazendo x 0) :

2y 0 2y 1, logo C 0,1.

Escrevendo a equação da circunferência com centro em C(0,1) e raio 2, temos:

22 2

2 2

2 2

x – 0 y – 1 2

x y 2y 1 4

x y 2y 3 0


[D]

Para que a equação represente uma circunferência, deve-se ter A 1 e B 0. Além disso,

sabendo que o raio da circunferência mede 10

5 u.c,2

vem:

2 2 2 2x y 2x 4y C 0 (x 1) (y 2) 5 C.

Logo, 25 C 5 C 20 e, portanto, A B C 1 0 ( 20) 21.


Se rm 2 , temos s1

m2

Determinando a equação da reta s que passa pelo ponto B(10,0)

1

y 0 x 10 x 2y 102


Determinando o ponto C resolvendo o sistema:

x 2y 10

y 2x

, temos C(2,4)

Sabemos que o triângulo ABC é retângulo. Logo, o centro da circunferência é o ponto M(5,0), ponto médio da hipotenusa, e seu raio é 5. Determinando sua equação temos:

2 2 2

2 2

x 5 y 0 5

x 5 y 0 25


[C] Completando os quadrados, obtemos

2 2 2 2

2 2

x 2x y 6y 1 0 (x 1) 1 (y 3) 9 1 0

(x 1) (y 3) 9.

Logo, segue que o centro da circunferência é o ponto C( 1, 3) e o seu raio é r 9 3.

O ponto de ordenada máxima é o ponto sobre a reta Cx 1, cuja ordenada é dada por

Cy r 3 3 0, ou seja, ( 1, 0).

Resposta da questão 25: [C] FALSA, pois o ponto B(1, 4) não verifica a equação apresentada: 1 – 3 4 – 11 0.

VERDADEIRA,

2 213 1 20 4

r 10.2

FALSA, o centro da circunferência é o ponto médio do segmento AB dado por

13 1 20 4

C , C 7,122 2

, já a equação apresentada mostra que o centro é o ponto (7, 7).



[B]

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

x y 2x x 2x 1 y 1 (x 1) y 1

x y 2y x y 2y 1 1 x (y 1) 1

Representado as duas regiões no plano cartesiano e destacando a região comum, cuja área é A.

Portanto, A = 2 A1

21 1 1 3 1A 2 2 0,5.

4 2 4 2

π


[A] Determinando o centro (a,b) da circunferência, temos que: –2a = –6, então a = 3 –2b = 10, então b = –5; logo, o centro da circunferência é o ponto C(3, –5). Esboçando a circunferência, temos:

Calculando o raio, tem-se: R

2 = 3

2 + 4

2

R = 5, como o raio mede 5 unidades, a reta é tangente ao eixo x.



[C] Como o centro possui coordenadas positivas pode-se admitir centro no ponto (2,3) e raio

2 2R 2 3 13 . Logo, a equação da circunferência será dada por: (x – 2)2 + (y – 3)

2 = 13.


[D]

A equação da circunferência é dada por 2 2(x 2) (y 3) 9.

Se a reta y x 2 determina uma corda na circunferência, então as abscissas das

extremidades dessa corda são tais que: 2 2 2 2

2

(x 2) (x 5) 9 x 4x 4 x 10x 25 9

x 7x 10 0

x 2 ou x 5.

Logo, (2, 0) e (5, 3) são as extremidades da corda e, portanto, o comprimento da mesma é

2 2(5 2) (3 0) 9 9 3 2 cm.


[C]

Observando as figuras, concluímos que a área pedida é:

A = 23. .2

3 .4

ππ

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