Estudo do Plano em R3

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Frum PiR2O PLANO em R3

1.1. EQUAO

GERAL DO PLANO

Seja A(x1,y1,z1) um ponto pertencente a um plano e n = a i + b j + c k , n (0,0,0) um vetor normal (ortogonal) ao plano. O plano pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos P(x,y,z) do espao tais que o vetor AP ortogonal a n . O ponto P pertence a se, e somente se : n . AP = 0

A

B

Tendo em vista que:n = (a, b, c) e AP = ( x x1 , y y1 , z z1 ), a equao fica : (a, b, c).( x x1 , y y1 , z z1 ) = 0 ou: a( x x 1 ) + b( y y 1 ) + c( z z 1 ) = 0 ou, ainda: ax + by + cz ax 1 by 1 cz 1 = 0 Fazendo: ax 1 by 1 cz 1 = d , vem : ax + by + cz + d = 0 . Esta a equao geral ou cartesiana do plano . Observaes: a) Da forma com que definimos o plano, vimos que ele fica perfeitamente identificado por um de seus pontos A e por um vetor normal

n = (a, b, c) a , com a, b, c no simultaneamente nulos. Qualquer vetor

k n , k 0, tambm vetor normal ao plano. b) Sendo n um vetor ortogonal ao plano , ele ser ortogonal a

qualquer vetor representado no plano. Em particular, se v1 e v2 so vetores no colineares, e paralelos ao plano, em virtude de n ser ortogonal, ao mesmo tempo, a v1 e v2 , tem-se: n = v1 x v2 .

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Frum PiR2

c) importante observar que os trs coeficientes a, b e c da equao geral ax + by + cz + d = 0 representam as componentes de um vetor normal ao plano. Por exemplo, se um plano dado por: : 3 x + 2 y 4 z + 5 = 0, um de seus vetores normais : n = (3,2,4). Este mesmo vetor n tambm normal a qualquer plano paralelo a . Assim, todos os infinitos planos paralelos a tm equao geral do tipo: 3 x + 2 y 4 z + d = 0, na qual d o elemento que diferencia um plano de outro. O valor de d est identificado quando se conhece um ponto do plano. Exemplos: 1) Determinar a equao geral do plano que passa pelo ponto A(2,-1,3), sendo n = (3,2,4) um vetor normal a . 2) Escrever a equao cartesiana do plano que passa pelo ponto A(3,1,-4) e paralelo ao plano: 1 : 2 x 3 y + z 6 = 0. 3) Estabelecer a equao geral do plano mediador do segmento AB, dados A(2,-1,4) e B(4,-3,-2). 4) Determinar a equao geral do plano que passa pelo ponto A(2,1,-2) x = 4 + 3t e perpendicular reta r : y = 1 + 2t . z = t

1.2. DETERMINAO

DE UM PLANO

Vimos que um plano determinado por um de seus pontos e por um vetor normal a ele. Existem outras formas de determinao de um plano nas quais estes dois elementos (ponto e vetor normal) ficam bem evidentes. Algumas destas formas sero a seguir apresentadas. Assim, existe apenas um plano que:

1.) passa por um ponto A e paralelo a dois vetores v1 e v2 no colineares. Neste caso: n = v1 x v2 .

2.) passa por dois pontos A e B e paralelo a um vetor v no colinear ao vetor AB .UNIDADE VI O PLANO EM R3 2

Frum PiR2Neste caso: n = v x AB;

3.) passa por trs pontos A, B e C no em linha reta. Neste caso: n = AB x AC

4.) contm duas retas r1 e r2 concorrentes. Neste caso: n = v1 x v2 , sendo v1 e v2 vetores diretores de r1 e r2 ;

5.) contm duas retas r1 e r2 paralelas. Neste caso: n = v1 x A1 A2 , sendo v 1 um vetor diretor de r1 (ou r2) e A1 r1 e A2 r2.

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Frum PiR26.) contm uma reta r e um ponto B r.Neste caso: n = v x AB, sen do v um vetor diretor de r e A r.

Observao: Nos seis casos apresentados de determinao de planos, um vetor

normal n sempre dado pelo produto vetorial de dois vetores representados no plano. Estes dois vetores so chamados vetores-base do plano. Exemplos: 1.) Determinar a equao geral do plano que passa pelo ponto A(1,3,4) e paralelo aos vetores v1 = (3,1,2) e v2 = (1,1,1). 2.) Estabelecer a equao geral do plano determinado pelos pontos A(2,1,1); B (0,1,1) e C (1,2,1) . 3.) Estabelecer a equao cartesiana do plano que contm a reta x = 4 r: e o ponto B (3,2,1) . y = 3

1.3. PLANOS PARALELOS

AOS

EIXOS E AOS PLANOS COORDENADOS Casos Particulares

A equao ax + by + cz + d = 0 na qual a, b e c no so nulos, a equao de um plano , sen do n = (a, b, c) um vetor normal a . Quando uma ou duas das componentes

de n so nulas, ou quando d = 0, est-se em presena de casos particulares.

1 . 3 . 1 . Pl a n o q u e p a s s a p el a o r i g e mSe o plano ax + by + cz + d = 0 passa pela origem: a.0 + b.0 + c.0 + d = 0, isto d = 0 Assim a equao: ax + by + cz = 0 representa a equao de um plano que passa pela origem.

1 . 3 . 2 . Pl a n o s Pa r a l e l o s a o s E i x o s C o o r d e n a d o sSe apenas uma das componentes do vetor n = (a, b, c ) nula, o vetor ortogonal a um dos eixos coordenados, e, portanto, o plano paralelo ao mesmo eixo: I) se a = 0, n = (0, b, c)0 x // 0 x e a equao geral dos planos paralelos ao eixo 0x : by + cz + d = 0.R3 4

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Frum PiR2A figura mostra o plano de equao: 2 y + 3 z 6 = 0.

Observemos que suas interseces com os eixos 0y e 0z so A1 (0,3,0) e A2 (0,0,2), respectivamente, e que nenhum ponto da forma P(x,0,0) satisfaz a equao. Um vetor normal ao plano n = (0,2,3), pois a equao de pode ser escrita na forma: 0 x + 2 y + 3 z 6 = 0. Com raciocnio anlogo, vamos concluir que: os planos paralelos ao eixo 0y tm equao da forma: ax + cz + d = 0; os planos paralelos ao eixo Oz tm equao da forma: ax + by + d = 0.

II) III)

Da anlise feita sobre este caso particular, conclui-se que a varivel ausente na equao indica que o plano paralelo ao eixo desta varivel. As figuras seguintes mostram os planos 1 : x + z 3 = 0 e 2 : x + 2 y 4 = 0,

Observaes: a) A equao x + 2 y 4 = 0 , como vimos, representa no espao 3 um plano paralelo ao eixo 0z. Porm, esta mesma equao, interpretada no plano 2 , representa uma reta. b) Se na equao ax + by + d = 0 fizemos d = 0, a equao ax + by = 0 representa um plano que passa pela origem e, portanto, contm o eixo 0z.

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Frum PiR21 . 3 . 3 . Pl a n o s Pa r a l e l o s a o s Pl a n o s C o o r d e n a d o sSe duas das componentes do vetor normal n = (a, b, c ) so nulas, n colinear a um dos vetores i = (1,0,0) ou j = (0,1,0) ou k = (0,0,1) ,e, portanto, o plano paralelo ao plano dos outros dois vetores: se a = b = 0, n = (0,0, c) = c(0,0,1) = c k // x0 y e a equao geral dos planos d paralelos ao plano x0y : cz + d = 0, como c 0, vem : z = . c Os planos cujas equaes so da forma z = k so paralelos ao plano x0y. A figura abaixo mostra o plano de equao z = 4. I)

A equao z = 4 pode tambm ser apresentada sob a forma 0 x + 0 y + z 4 = 0 na qual vemos que qualquer ponto do tipo A (x,y,4) satisfaz esta equao e k = (0,0,1) um vetor normal ao plano. Assim sendo, o plano paralelo ao plano x0y e que passa pelo ponto A(x1,y1,z1) tem por equao: z = z1. Por exemplo, o plano que passa pelo ponto A(-1,2,-3) e paralelo ao plano x0y tem por equao: z = -3. Com raciocnio anlogo, vamos concluir que: os planos paralelos ao plano x0z tm por equao: y = k; II) III) os planos paralelos ao plano y0z tm por equao: x = k. As figuras abaixo mostram os planos 1 : y = 3 ; 2 : x = 2 respectivamente

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Frum PiR2 Exemplos: 1) Determinar a equao cartesiana do plano que contm o ponto x = 4 A(2,2,-1) e a reta r : . y =3 2) Determinar a equao geral do plano que passa por A(2,3,4) e paralelo aos vetores v1 = j + k e v2 = j k .

1.4. NGULO

ENTRE DOIS PLANOS

Sejam os planos1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 e 2 : a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0

Ento, n1 = (a1, b1, c1 ) e n2 = (a2 , b2 , c2 ) so vetores normais a 1 e 2 , respectivamente (figura abaixo)

Chama-se ngulo de dois planos 1 e 2 o menor ngulo que um vetor normal de 1 forma com um vetor normal de 2 . Sendo este ngulo, tem-se:cos = a1a2 + b1b2 + c1c2 a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c22 2 2 2 2 2

Exemplo:

Determinar o ngulo entre os planos:1 : 2 x 3 y + 5 z 8 = 0 e 2 : 3 x + 2 y + 5 z 4 = 0

R: 4851

1.5. POSIESPLANOS

DE

PARALELISMO

E

PERPENDICULARISMO

DE DOIS

Sejam os planos1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 e 2 : a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0

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Frum PiR2Ento, n1 = (a1, b1, c1 ) 1 e n2 = (a2 , b2 , c2 ) 2 As condies de paralelismo e de perpendicularismo de dois planos so as mesmas de seus respectivos vetores normais, isto :

I)

Se 1 // 2 , n1 // n2

a1 b c = 1 = 1 a2 b2 c2

Obs.: a) Se alm das igualdades anteriores se tiver tambma1 b c d = 1 = 1 = 1 a2 b2 c2 d2

os planos 1 e 2 sero coincidentes porque, nesse caso, a equao de 2 obtida de

1 mediante a multiplicao por um nmero, o que no altera a equao de 1 .b) Em particular, se a1 = a2 , b1 = b2 , c1 = c2 e d1 d 2 , os planos 1 e 2 tambm so paralelos.

II)

Se 1 2 , n1 n2 a1a2 = b1b2 = c1c2 = 0

Exemplos: 1) Calcular os valores de m e n para que o plano 1 : (2m 1)x 2 y + nz 3 = 0 seja paralelo ao plano 2 : 4 x + 4 y z = 0 . 2) Calcular os valores de m e n para que o plano 1 : (2m 1)x 2 y + nz 3 = 0 seja perpendicular ao plano 2 : 4 x + 4 y z = 0 .UNIDADE VI O PLANO EM R3 8

Frum PiR21.6. P OSIES DE P ARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANOPara a reta r e o plano anteriores, temos:

I.

Se r // , vnO paralelismo de r e implica a ortogonalidade dos vetores v e n

II.

Se r / , v // nO perpendicularismo de r e implica o paralelismo dos vetores v e n .

Exemplo:

Verificar se a reta r :

x 2 y +1 z = = perpendicular ao plano 3 2 1

: 9 x 6 y 3z + 5 = 0 .

1.7. CONDIES

PARA QUE UMA RETA ESTEJA CONTIDA NUM PLANO