Estudo do Plano em R3

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UNIDADE VI – O PLANO EM R3 1

O PLANO em R3

1.1 . EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Seja A(x1,y1,z1) um ponto pertencente a um plano π e

)0,0,0( , ≠++=→→→→→

nkcjbian um vetor normal (ortogonal) ao plano. O plano π pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos P(x,y,z) do espaço tais que o vetor →

AP é ortogonal a →

n . O ponto P pertence a π se, e somente se : 0. =→→

APn

Tendo em vista que:

0),,).(,,(: ),,,( ),,( 111111 =−−−−−−==→→

zzyyxxcbaficaequaçãoazzyyxxAPecban

ou: 0)()()( 111 =−+−+− zzcyybxxa

ou, ainda: 0111 =−−−++ czbyaxczbyax

Fazendo: :,111 vemdczbyax =−−− 0=+++ dczbyax . Esta é a equação

geral ou cartesiana do plano ππππ.

♦ Observações: a) Da forma com que definimos o planoπ, vimos que ele fica perfeitamente identificado por um de seus pontos A e por um vetor normal

cbacomacban ,, , ),,( π=→

não simultaneamente nulos. Qualquer vetor

,0, ≠→

knk é também vetor normal ao plano.

b) Sendo →

n um vetor ortogonal ao plano π, ele será ortogonal a

qualquer vetor representado no plano. Em particular, se →→

21 vev são vetores não

colineares, e paralelos ao plano, em virtude de →

n ser ortogonal, ao mesmo tempo, a →→

21 vev , tem-se: →→→

= 21 vxvn .

A B

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c) É importante observar que os três coeficientes a, b e c da equação geral 0=+++ dczbyax representam as componentes de um vetor normal ao plano.

Por exemplo, se um plano π é dado por: ,05423: =+−+ zyxπ um de seus vetores

normais é: ).4,2,3( −=→

n Este mesmo vetor →

n é também normal a qualquer plano

paralelo a π. Assim, todos os infinitos planos paralelos a π têm equação geral do tipo:

,0423 =+−+ dzyx na qual d é o elemento que diferencia um plano de outro. O valor de d está identificado quando se conhece um ponto do plano.

⇒Exemplos: 1º) Determinar a equação geral do plano π que passa pelo ponto

A(2,-1,3), sendo )4,2,3( −=→

n um vetor normal a π . 2º) Escrever a equação cartesiana do plano π que passa pelo ponto A(3,1,-4) e é paralelo ao plano: .0632:1 =−+− zyxπ 3º) Estabelecer a equação geral do plano mediador do segmento AB, dados A(2,-1,4) e B(4,-3,-2). 4º) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1,-2)

e é perpendicular à reta

=

+=

+−=

tz

ty

tx

r 21

34

: .

1.2 . DETERMINAÇÃO DE UM PLANO Vimos que um plano é determinado por um de seus pontos e por um vetor normal a ele. Existem outras formas de determinação de um plano nas quais estes dois elementos (ponto e vetor normal) ficam bem evidentes. Algumas destas formas serão a seguir apresentadas. Assim, existe apenas um plano que:

1.) passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores →→

21 vev não colineares.

Neste caso: →→→

= 21 vxvn .

2.) passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor →

v não colinear ao vetor →

AB .

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Neste caso: ;→→→

= ABxvn

3.) passa por três pontos A, B e C não em linha reta.

Neste caso:→→→

= ACxABn

4.) contém duas retas r1 e r2 concorrentes.

Neste caso: →→→

= 21 vxvn , sendo →→

21 vev vetores diretores de r1 e r2 ;

5.) contém duas retas r1 e r2 paralelas.

Neste caso: ,211

→→→

= AAxvn sendo 1

→

v um vetor diretor de r1 (ou r2) e A1 ∈ r1 e A2 ∈ r2.

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6.) contém uma reta r e um ponto .rB∉

Neste caso:→→→→

= vdoABxvn sen, um vetor diretor de r e A∈ r.

� Observação: Nos seis casos apresentados de determinação de planos, um vetor

normal →

n sempre é dado pelo produto vetorial de dois vetores representados no plano. Estes dois vetores são chamados vetores-base do plano.

⇒Exemplos: 1º.) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto

)4,3,1( −A e é paralelo aos vetores ).1,1,1( )2,1,3( 21 −=−=→→

vev 2º.) Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos

)1,2,1( )1,1,0();1,1,2( CeBA −− . 3º.) Estabelecer a equação cartesiana do plano que contém a reta

)1,2,3( 3

4: −

=

=Bpontooe

y

xr .

1.3 . PLANOS PARALELOS AOS E IXOS E AOS PLANOS COORDENADOS Casos Particulares

A equação 0=+++ dczbyax na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um

plano ππ ),,( sen, anormalvetorumcbando =→

. Quando uma ou duas das componentes

de →

n são nulas, ou quando d = 0, está-se em presença de casos particulares. 1 .3 .1 . Plano que passa pela origem Se o plano 0=+++ dczbyax passa pela origem: 0 ,00.0.0. ==+++ déistodcba Assim a equação: 0=++ czbyax representa a equação de um plano que passa pela origem. 1.3 .2 . Planos Parale los aos Eixos Coordenados

Se apenas uma das componentes do vetor ),,( cban =→

é nula, o vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, e, portanto, o plano π é paralelo ao mesmo eixo:

I) se xxcbna 0//0),,0(,0 π∴⊥==→

e a equação geral dos planos paralelos ao eixo 0x é: .0=++ dczby

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A figura mostra o plano de equação: .0632 =−+ zy Observemos que suas intersecções com os eixos 0y e 0z são A1 (0,3,0) e A2 (0,0,2), respectivamente, e que nenhum ponto da forma P(x,0,0) satisfaz a equação. Um vetor

normal ao plano é ),3,2,0(=→

n pois a equação deπ pode ser escrita na forma: .06320 =−++ zyx Com raciocínio análogo, vamos concluir que: II) os planos paralelos ao eixo 0y têm equação da forma: ;0=++ dczax III) os planos paralelos ao eixo Oz têm equação da forma: .0=++ dbyax Da análise feita sobre este caso particular, conclui-se que a variável ausente na equação indica que o plano é paralelo ao eixo desta variável. As figuras seguintes mostram os planos ,042: 03: 21 =−+=−+ yxezx ππ ♦ Observações: a) A equação 042 =−+ yx , como vimos, representa no espaço 3ℜ

um plano paralelo ao eixo 0z. Porém, esta mesma equação, interpretada no plano 2ℜ , representa uma reta.

b) Se na equação 0 ,0 0 =+==++ byaxequaçãoadfizemosdbyax representa um plano que passa pela origem e, portanto, contém o eixo 0z.

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1.3 .3 . Planos Parale los aos Planos Coordenados

Se duas das componentes do vetor normal ),,( cban =→

são nulas, →

n é colinear a um

dos vetores )1,0,0( )0,1,0( )0,0,1( ===→→→

koujoui ,e, portanto, o plano π é paralelo ao plano dos outros dois vetores:

I) se yxkcccnba 0//)1,0,0(),0,0(,0 π∴=====→→

e a equação geral dos planos

paralelos ao plano x0y é: . :,0 ,0c

dzvemccomodcz −=≠=+

Os planos cujas equações são da forma z = k são paralelos ao plano x0y. A figura abaixo mostra o plano de equação z = 4.

A equação z = 4 pode também ser apresentada sob a forma 0400 =−++ zyx na

qual vemos que qualquer ponto do tipo A (x,y,4) satisfaz esta equação e )1,0,0(=→

k é um vetor normal ao plano. Assim sendo, o plano paralelo ao plano x0y e que passa pelo ponto A(x1,y1,z1) tem por equação: z = z1. Por exemplo, o plano que passa pelo ponto A(-1,2,-3) e é paralelo ao plano x0y tem por equação: z = -3. Com raciocínio análogo, vamos concluir que: II) os planos paralelos ao plano x0z têm por equação: y = k; III) os planos paralelos ao plano y0z têm por equação: x = k. As figuras abaixo mostram os planos 2: ; 3: 21 == xy ππ respectivamente

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⇒Exemplos: 1º) Determinar a equação cartesiana do plano que contém o ponto

A(2,2,-1) e a reta

=

=

3

4:

y

xr .

2º) Determinar a equação geral do plano que passa por A(2,3,4) e é

paralelo aos vetores →→→→→→

−=+= kjvekjv 21 .

1.4 . ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS

Sejam os planos

0dzcybxa

e

0dzcybxa

22222

11111

=+++π

=+++π

:

:

Então, ( )1111 cban ,,= e ( )2222 cban ,,= são vetores normais a 1π e 2π , respectivamente (figura abaixo)

Chama-se ângulo de dois planos 1π e 2π o menor ângulo que um vetor normal

de 1π forma com um vetor normal de 2π . Sendo θ este ângulo, tem-se:

22

22

22

21

21

21

212121

cbacba

ccbbaa

++⋅++

++=θcos

Exemplo: Determinar o ângulo entre os planos:

04z5y2x3

e

08z5y3x2

2

1

=−++π

=−+−π

:

:

R: 48º51’

1.5 . POSIÇÕES DE PARALELISMO E PERPENDICULARISMO DE DOIS

PLANOS Sejam os planos

0dzcybxa

e

0dzcybxa

22222

11111

=+++π

=+++π

:

:

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Então, ( ) 11111 cban π⊥= ,, e ( ) 22222 cban π⊥= ,, As condições de paralelismo e de perpendicularismo de dois planos são as mesmas de seus respectivos vetores normais, isto é:

I) Se 2

1

2

1

2

12121

c

c

b

b

a

ann ==∴ππ //,//

Obs.:

a) Se além das igualdades anteriores se tiver também

2

1

2

1

2

1

2

1

d

d

c

c

b

b

a

a===

os planos 1π e 2π serão coincidentes porque, nesse caso, a equação de 2π é obtida de

1π mediante a multiplicação por um número, o que não altera a equação de 1π .

b) Em particular, se 21212121 ddeccbbaa ≠=== ,, , os planos 1π e 2π também são paralelos.

II) Se 0ccbbaann 2121212121 ===∴⊥π⊥π ,

Exemplos: 1) Calcular os valores de m e n para que o plano ( ) 03212:1 =−+−−π nzyxm seja

paralelo ao plano 044:2 =−+π zyx .

2) Calcular os valores de m e n para que o plano ( ) 03212:1 =−+−−π nzyxm seja

perpendicular ao plano 044:2 =−+π zyx .

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1.6. POSIÇÕES DE PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO Para a reta r e o plano π anteriores, temos:

I. Se nvr ⊥π,//

O paralelismo de r e π implica a

ortogonalidade dos vetores nev

II. Se nvr //,/ π⊥

O perpendicularismo de r e π implica o

paralelismo dos vetores nev .

Exemplo: Verificar se a reta 12

1

3

2:

−=

−

+=

− zyxr é perpendicular ao plano

05369: =+−−π zyx .

1.7 . CONDIÇÕES PARA QUE UMA RETA ESTEJA CONTIDA NUM PLANO Uma reta r esta contida num plano π se:

I. O vetor diretor v de r é ortogonal ao vetor n , normal ao plano π; II. Um ponto A pertencente a r pertence também ao plano.

Obs.: uma reta r está também contida num plano ππππ se dois pontos A e B pertencentes a r pertencem a esse plano.

Exemplo 1: Verificar se a reta

−−=

+=

+=

tz

ty

tx

r

23

1

2

:

está contida no plano 0123: =−++π zyx . Solução: (a) O ponto A (2, 1, -3) pertence à reta r, verificaremos se π∈A :

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( )

00

01616

013.212.3

0123

=

=−−+

=−−++

=−++ zyx

Logo A (2, 1, -3) também pertence ao plano π. Mas só essa condição não é suficiente para garantir que π∈r .

(b) Verificar se o ( )2,1,1 −=rv é ortogonal a ( )2,1,3=n (vetor normal ao

plano π).

( ) ( ) 04132,1,32,1,1 =−+=−= oo nvr . Logo, rv é ortogonal a n ;

Conclusão: Como rA∈ e π∈A , e rv é ortogonal a n , então podemos afirmar que

a reta r pertence ao plano π.

Exemplo 2: Determinar os valores de m e n para que a reta

−−=

+=

+=

tz

ty

tx

r

23

1

2

:

Esteja contida no plano 012: =−++π znymx .

1.8 . INTERSECÇÃO DE DOIS PLANOS A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. O nosso problema será determinar a equação que define esta reta. Sejam 1π e 2π planos não paralelos. Para determinar a reta intersecção de 1π e

2π resolveremos o sistema composto por suas equações. Exemplo: Determinar a equação da reta intersecção dos planos

0725:1 =++−π zyx e 0433:2 =++−π zyx . Solução: Montamos o seguinte sistema:

=++−

=++−

0433

0725

zyx

zyx

O sistema acima é indeterminado, ou seja, possuem infinitos valores para x, y e z

que atendem simultaneamente as duas equações. Isso é bastante claro quando entendemos que a intersecção de dois planos é uma reta e esta tem infinitos pontos. Para obtermos a equação da reta que representa os infinitos pontos de intersecção entre os dois planos procuramos escrever duas das variáveis em função de uma 3ª variável, que chamamos de variável livre. Como fazer então:

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( )

=++−

=++−

ambos. de somaa efetuamos seguidaem e 1- por

equações das uma ndomultiplicaz variável a oseliminaremzyx

zyx

0433

0725

y) caso (no variáveis das uma isolamosyx

zyx

zyx

→=−−−

=++−

=−−+−+

032

0433

0725

32 −−= xy

Agora substituímos 32 −−= xy na primeira ou na segunda equação do primeiro

sistema. Substituindo 32 −−= xy na equação 0725 =++− zyx , teremos:

( )07645

073225

=++++

=++−−⋅−

zxx

zxx

Agora isolando z, teremos: 139 −−= xz

As equações reduzidas da reta r intersecção dos planos 1π e 2π serão:

−−=

−−=

139

32:

xz

xyr

1.9 . INTERSEÇÃO DE RETA E PLANO A intersecção entre uma reta r e um plano π é um ponto, que chamaremos de I. Para determinar as coordenadas do ponto I resolvemos o sistema composto pelas equações REDUZIDAS da reta r e pela equação do plano π.

Exemplo: Determinar o ponto de intersecção da reta 3

4

2

3:

−=

−=

zyxr com o

plano 09253: =−−+π zyx . 1º passo: obter as equações reduzidas da reta r. Neste exemplo faremos y e z em função de x.

322

3

+=

=−

xy

xy

e

433

4

−=

=+

xz

xz

Logo as equações reduzidas de r são:

−=

+=

43

32:

xz

xyr

Se I (x, y, z) é ponto de intersecção de r e π, então suas coordenadas devem verificar as equações do sistema formado pelas equações de r e de π:

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=−−+

−=

+=

09253

43

32

zyx

xz

xy

Resolve-se este sistema substituindo 32 += xy e 43 −= xz na equação

09253 =−−+ zyx .

( ) ( )

0147

098615103

0943.232.5.3

=+

=−+−++

=−−−++

x

xxx

xxx

2−=x Para 2−=x ( ) 32.2 +−=y e ( ) 42.3 −−=z

1−=y 10−=z Logo I (-2, -1, -10) 1.9.1. Interseção de Plano com os eixos e Planos Coordenados (a) Seja o plano 0632: =−++π zyx

Como os pontos dos eixos são da forma (x, 0, 0), (0, y, 0) e (0, 0, z), basta fazer na equação do plano duas variáveis iguais a zero para se encontrar a terceira, e assim obter as interseções com os eixos. Assim: I) Se y = z = 0, 3062 =∴=− xx e ( )0,0,31A é a interseção do plano π com o

eixo dos x. II) Se x = z = 0, 2063 =∴=− yy e ( )0,2,01A é a interseção do plano π com o

eixo dos y. III) Se x = y = 0, 606 =∴=− zz e ( )6,0,01A é a interseção do plano π com o eixo

dos z.

(b) Como as equações dos planos coordenados são x = 0, y= 0 e z = 0, basta fazer, na

equação do plano, uma variável igual a zero para se encontrar uma equação nas

z

y

x

( )0,2,02A

( )6,0,03A

( )0,0,31A

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outras duas variáveis e, assim, obter as interseções com os planos coordenados. Então:

I) Se 063,0 =−+= zyx , a reta

+−=

=

63

0:1

yz

xr é a interseção de π com o plano

yOz.

II) Se 062,0 =−+= zxy , a reta

+−=

=

62

0:1

xz

yr é a interseção de π com o

plano xOz.

III) Se 0632,0 =−+= yxz , a reta

+−=

=

23

20

:1 xy

zr é a interseção de π com o

plano xOy.

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