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GEOMETRA ANALTICA EN EL ESPACIO (POSICIONES RELATIVAS)

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Dos rectas en el espacio: y , pueden presentar cuatro posiciones relativas :

Para saber cul de las posiciones descritas presentan nuestras dos rectas, nos fijaremos en sus vectores directores y .

Si los vectores directores de las dos rectas no son proporcionales es decir, si las rectas no son ni paralelas ni coincidentes entonces, se cortarn o se cruzarn.

Para averiguar cul de las dos opciones es la correcta, calcularemos el valor del determinante formado por los vectores y .

En el caso de que dicho determinante sea igual a cero, significar que los vectores son linealmente dependientes es decir, que alguno de los vectores es combinacin lineal de los dems. En este caso, se tratar de dos rectas que se cortan en un punto.

Si por el contrario, el determinante es distinto de cero, significar que los vectores son linealmente independientes es decir, que no existe ninguna combinacin lineal entre ellos. Se tratar entonces de dos rectas que se cruzan.

Si los vectores directores de las dos rectas son proporcionales , es porque son paralelos y por lo tanto, las rectas o son paralelas o son coincidentes.

Para saber cul de las dos posibilidades es la correcta, habr que buscar dentro del determinante formado por las coordenadas de los tres vectores si hay algn menor de orden dos distinto de cero.

Si existe algn menor de orden dos distinto de cero, supondr que los tres vectores no son paralelos y por lo tanto estamos ante dos rectas paralelas. Si observamos en la figura , vemos que efectivamente solo dos de los tres vectores son paralelos.

Desde un punto de vista prctico, y una vez que se ha comprobado que los dos vectores directores son proporcionales, lo ms rpido para comprobar que las rectas son paralelas o coincidentes, es sustituir un punto de una de las rectas en la ecuacin de la otra. En el caso de que verifique la ecuacin es porque son coincidentes y si no, es porque son

paralelas. En las rectas coincidentes cualquier punto de una de ellas, verifica a la otra.

Dos rectas son coplanarias cuando generan un plano. Los dos casos en los que dos rectas pueden generar un plano, es cuando las rectas se cortan en un punto o bien, son paralelas. En ambos casos la condicin es la misma es decir, que el determinante formado por los vectores y vale cero, segn se puede ver en las correspondientes figuras.

Cuatro puntos son coplanarios estn en un mismo plano. Como se puede ver en la figura, si cuatro puntos estn en un mismo plano, el determinante de los tres vectores que se forman unindolos entre s vale cero, ya que el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

Ejemplo. Comprobar si los puntos

son coplanarios.

Ejemplo. Estudiar la posicin relativa de las rectas siguientes y en su caso hallar el punto de corte P.

En primer lugar entresacamos de las ecuaciones de las rectas un punto y un vector director:

Estudiamos si los vectores directores son proporcionales, o no lo son:

por lo tanto, las dos rectas se cortan en un punto o se cruzan.

Calculamos las coordenadas del vector y a continuacin el valor del determinante que forman las coordenadas de y .

Para calcular el punto de corte de ambas rectas, las expresamos en paramtricas y resolvemos el sistema por el mtodo de Igualacin:

Sustituyendo en cualquiera de las dos rectas se obtendr el punto de corte.

Ejemplo. Estudiar la posicin relativa de las rectas :

En primer lugar entresacamos de las ecuaciones de las rectas un punto y un vector director:

Estudiamos si los vectores directores son proporcionales, o no lo son:

por lo tanto, las dos rectas o son paralelas , o son coincidentes.

Para comprobar qu posicin relativa ocupan de las dos posibilidades, cogemos un punto de una de ellas y la sustituimos en la otra y vemos si la verifica o no.

Cogemos el punto de la recta y lo sustituimos en la ecuacin de la otra recta.

Como al sustituir el punto de la recta en la ecuacin de la recta

verifica dicha ecuacin, significa que dicho punto pertenece a las dos rectas, por lo que

son coincidentes .

CLCULO DE LA ECUACIN DE UNA RECTA, QUE SE APOYA (CORTA) EN OTRAS DOS RECTAS DADAS.

Para calcular la ecuacin de la recta que pasa por un punto se apoya (corta ) en las rectas y existen varios procedimientos. El procedimiento que vamos a describir a continuacin, expresa la recta como interseccin de dos planos, el plano y el plano .

La recta est definida por el punto y el vector director

La recta est definida por el punto y el vector director

Los pasos que hay que dar son los siguientes:

1) Se calcula la ecuacin general del plano que contiene a la recta y al punto .

El vector es el que une el punto de

la recta con el punto por el que

tiene que pasar la recta .

La determinacin lineal del plano es:

2) Se calcula la ecuacin general del plano que contiene a la recta y al punto .

El vector es el que une el

punto de la recta con

el punto por el que tiene

que pasar la recta .

La determinacin lineal del

plano es:

3) Se expresa la recta como interseccin de los planos y .

Ejemplo. Determinar la ecuacin de la recta que se apoya en las rectas y y pasa por el punto .

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

Dos planos en el espacio y

pueden presentar tres posiciones relativas :

El estudio sobre cul de las tres posiciones adoptan dos planos, se hace analizando las soluciones del sistema formado por las ecuaciones de los dos planos dados en la forma general.

Aplicando el teorema de Rouch, tenemos:

Si y y como , tenemos que es decir un Sistema Compatible Indeterminado ( puntos comunes). Se trata entonces de dos planos que se cortan en una recta. Al resolver el sistema aparecer la ecuacin de la recta en paramtricas.

Si y , tenemos que es decir, un Sistema Incompatible

(sin puntos comunes). Se trata por lo tanto de dos planos paralelos.

Al ser , todos los menores de orden dos de la matriz son iguales a cero.

Si y y como , tenemos que es decir un Sistema Compatible Indeterminado ( puntos comunes). En este caso, se trata entonces de dos planos coincidentes.

Al ser , todos los menores de orden dos de la matriz son iguales a cero.

En definitiva, para saber qu posicin relativa adoptan dos planos en el espacio, tan solo hay que analizar la proporcionalidad de los coeficientes de ambos planos y as tenemos:

Ejemplo. Determinar la posicin relativa de los dos planos siguientes:

Ejemplo. Determinar la posicin relativa de los dos planos siguientes y en su caso calcular la

ecuacin de la recta interseccin:

La ecuacin de la recta interseccin, se calcula resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de ambos planos.

Ejemplo. Determinar la posicin relativa de los dos planos siguientes:

POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO

Una recta y un plano pueden presentar

tres posiciones relativas en el espacio:

1) La recta corta al plano en un punto (secantes).

2) La recta es paralela al plano.

3) la recta est contenida en el plano.

El estudio de la posicin relativa de una recta y un plano, se hace resolviendo el sistema formado por las ecuaciones paramtricas de la recta y la ecuacin general del plano.

Al sustituir la , la y la de las ecuaciones paramtricas de la recta en la ecuacin del plano, aparece una ecuacin cuya nica variable es la Si despejamos dicha , se pueden dar tres casos:

1. La es un nmero real cualquiera, lo que significa que existe un nico punto comn a la recta y al plano. Por lo tanto, se trata de una recta y un plano secantes.

2. La vale infinito , lo que significa que no existe solucin o puntos comunes. Por lo tanto, se trata de una recta paralela a un plano.

3. La vale , que es un valor indeterminado, por lo que existen infinitos puntos comunes entre la recta y el plano. Por lo tanto se trata de un plano que contiene a una recta.

Ejemplo. Estudiar la posicin relativa de la recta y el plano siguientes:

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones paramtricas de la recta y la ecuacin del plano

Al sustituir en las ecuaciones paramtricas de la recta el valor de , se obtiene el punto de corte de la recta y el plano:

POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS

Tres planos en el espacio , y

pueden presentar ocho posiciones relativas :

El estudio sobre cul de las ocho posiciones adoptan tres planos, se hace analizando las soluciones del sistema formado por las ecuaciones de los tres planos dados en la forma general.

siendo:

Aplicando el teorema de Rouch, tenemos las siguientes posibilidades:

1)