GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (POSICIONES RELATIVAS)

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Dos rectas en el espacio: (r ) {A (a1 , a2 , a3)v⃗ (v1, v1 , v3)

y ( s ) {B(b1 ,b2, b3)u⃗(u1 , u2 , u3)

, pueden presentar cuatro posiciones

relativas :

Para saber cuál de las posiciones descritas presentan nuestras dos rectas, nos fijaremos en sus

vectores directores v⃗ (v1 , v1 , v3) y u⃗(u1 , u2 ,u3) .

Si los vectores directores de las dos rectas no son proporcionales v⃗ ≠ k· u⃗ es decir, si las rectas no son ni paralelas ni coincidentes entonces, se cortarán o se cruzarán. Para averiguar cuál de las dos opciones es la correcta, calcularemos el valor del determinante

formado por los vectores A⃗B , v⃗ y u⃗ .

|A⃗Bv⃗u⃗ |=|b1−a1 b2−a2 b3−a3

v1 v2 v3u1 u2 u3 |

En el caso de que dicho determinante sea igual a cero, significará que los vectores son linealmente dependientes es decir, que alguno de los vectores es combinación lineal de los demás. En este caso, se tratará de dos rectas que se cortan en un punto.

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|b1−a1 b2−a2 b3−a3v1 v2 v3u1 u2 u3 |=0⟹ rectasque se cortan

Si por el contrario, el determinante es distinto de cero, significará que los vectores son linealmente independientes es decir, que no existe ninguna combinación lineal entre ellos. Se tratará entonces de dos rectas que se cruzan.

|b1−a1 b2−a2 b3−a3v1 v2 v3u1 u2 u3 |≠0⟹ rectasque secruzan

Si los vectores directores de las dos rectas son proporcionales v⃗=k· u⃗ , es porque son paralelos y por lo tanto, las rectas o son paralelas o son coincidentes.Para saber cuál de las dos posibilidades es la correcta, habrá que buscar dentro del determinante formado por las coordenadas de los tres vectores si hay algún menor de orden dos distinto de cero.

Si existe algún menor de orden dos distinto de cero, supondrá que los tres vectores no son paralelos y por lo tanto estamos ante dos rectas paralelas. Si observamos en la figura , vemos que efectivamente solo dos de los tres vectores son paralelos.

Desde un punto de vista práctico, y una vez que se ha comprobado que los dos vectores directores son proporcionales, lo más rápido para comprobar que las rectas son paralelas o coincidentes, es sustituir un punto de una de las rectas en la ecuación de la otra. En el caso de que verifique la

ecuación es porque son coincidentes y si no, es porque son

paralelas. En las rectas coincidentes cualquier punto de una de ellas, verifica a la otra. Dos rectas son coplanarias cuando generan un plano. Los dos casos en los que dos rectas

pueden generar un plano, es cuando las rectas se cortan en un punto o bien, son paralelas. En

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ambos casos la condición es la misma es decir, que el determinante formado por los vectores

y u⃗ vale cero, según se puede ver en las correspondientes figuras.

rectas coplanarias⟹|b1−a1 b2−a2 b3−a3v1 v2 v3u1 u2 u3 |=0

Cuatro puntos son coplanarios están en un mismo plano. Como se puede ver en la figura, si cuatro puntos están en un mismo plano, el determinante de los tres vectores que se forman uniéndolos entre sí vale cero, ya que el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

A⃗B=(b1−a1 , b2−a2 , b3−a3)

A⃗C=(c1−a1 , c2−a2 , c3−a3)

A⃗D=(d1−a1 , d2−a2 , d3−a3)

A , B , C y D coplanarios⟹| A⃗BA⃗CA⃗D|=0

Ejemplo. Comprobar si los puntos A=(−1 ,0 ,2 ) , B (2 ,1,0 ) ,C (−1 ,−2 ,1 ) y D (5 ,−2 ,−4 ) son coplanarios.

A⃗B=B−A= (2 ,1 ,0 )−(−1 ,0 ,2 )=(3 ,1 ,−2) A⃗C=C−A=¿ (−1 ,−2 ,1 )−(−1 ,0 ,2 )=(0 ,−2 ,−1 ) A⃗D=D−A=(5 ,−2 ,−4 )−(−1 ,0 ,2 )=(6 ,−2 ,−6)

| A⃗BA⃗CA⃗D|=|3 1 −2

0 −2 −16 −2 −6|=0⟹ A ,B , C y D soncoplanarios

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Ejemplo. Estudiar la posición relativa de las rectas siguientes y en su caso hallar el punto de corte P.

(r ) x−11

= y−21

= z−12

(s ){ x=3−2 ty=3−t

z=−1+2 t

En primer lugar entresacamos de las ecuaciones de las rectas un punto y un vector director:

(r ) x−11

= y−21

= z−12

⟹{A(1 ,2 ,1)v⃗ (1 ,1 ,2)

( s) { x=3−2ty=3−t

z=−1+2 t⟹ { B (3 ,3 ,−1)

u⃗(−2 ,−1,2)

Estudiamos si los vectores directores son proporcionales, o no lo son:

v⃗ (1 ,1 ,2 ) y u⃗ (−2 ,−1,2 )⟹ 1−2

≠ 1−1

≠ 22⟹noson proporcionales

por lo tanto, las dos rectas se cortan en un punto o se cruzan.

Calculamos las coordenadas del vector A⃗B y a continuación el valor del determinante que forman las coordenadas de A⃗B , v⃗ y u⃗ .

A⃗B=B−A= (3 ,3 ,−1 )−(1 ,2 ,1 )=(2 ,1 ,−2)

|A⃗Bv⃗u⃗ |=| 2 1 −2

1 1 2−2 −1 2 |=0⟹ (r ) y (s ) se cortan

Para calcular el punto de corte de ambas rectas, las expresamos en paramétricas y resolvemos el sistema por el método de Igualación:

(r ) { x=1+ py=2+ p

z=1+2 p

(s ) { x=3−2 ty=3−t

z=−1+2t}⟹ 1+ p=3−2 t

2+p=3−t1+2 p=−1+2 t }⟹

p+2t=2p+ t=1

2 p−2t=−2}⟹ p+2 t=2p+t=1 }

p+2t=2−p−t=−1}

¿¿ t=1⟹ p=2−2t=2−2·1=0⟹ p=0

t=1

Sustituyendo en cualquiera de las dos rectas se obtendrá el punto de corte.

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(r ) { x=1+ py=2+ p

z=1+2 p⟹

x=1+0=1y=2+0=2

z=1+2·0=1⟹

x=1y=2z=1

⟹P (1,2,1)

Ejemplo. Estudiar la posición relativa de las rectas :

(r ) x1= y−2

−1= z−1

3( s) {x=2+2t

y=−2 tz=7+6 t

En primer lugar entresacamos de las ecuaciones de las rectas un punto y un vector director:

(r ) x1= y−2

−1= z−1

3⟹ { A (0 ,2 ,1)

v⃗ (1 ,−1 ,3)( s) {x=2+2t

y=−2tz=7+6 t

⟹ { B(2 ,0 ,7)u⃗(2 ,−2 ,6)

Estudiamos si los vectores directores son proporcionales, o no lo son:

v⃗ (1 ,−1 ,3 ) y u⃗ (2 ,−2,6 )⟹ 12=−1

−2=36⟹ si son proporcionales

por lo tanto, las dos rectas o son paralelas , o son coincidentes.

Para comprobar qué posición relativa ocupan de las dos posibilidades, cogemos un punto de una de ellas y la sustituimos en la otra y vemos si la verifica o no.

Cogemos el punto B(2 ,0 ,7) de la recta ( s) y lo sustituimos en la ecuación de la otra recta.

Sustituimos B (2 ,0 ,7 ) en (r ) x1= y−2

−1= z−1

3⟹ 2

1=0−2

−1=7−1

3⟹2=2=2

Como al sustituir el punto B (2,0 ,7 )de la recta ( s) en la ecuación de la recta (r ) verifica dicha ecuación, significa que dicho punto pertenece a las dos rectas, por lo que

(r ) y (s ) son coincidentes .

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CÁLCULO DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA, QUE SE APOYA (CORTA) EN OTRAS DOS RECTAS DADAS.

Para calcular la ecuación

de la recta ( s) que pasa por un punto Pse apoya (corta ) en las rectas (r1) y (r2 ) ,existen varios

procedimientos. El procedimiento que vamos a describir a continuación, expresa la recta ( s) como intersección de dos planos, el plano (π1) y el plano (π2).

La recta (r1) está definida por el punto A y el vector director v⃗ . ⟹ (r1 )( A , v⃗)

La recta (r2) está definida por el punto B y el vector director u⃗ . ⟹ (r2 )(B , u⃗)

Los pasos que hay que dar son los siguientes:

1) Se calcula la ecuación general del plano (π1) que contiene a la recta (r1) y al punto P .

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El vector A⃗P es el que une el punto A de la recta (r1) con el punto P por el que

tiene que pasar la recta ( s ).

La determinación lineal del plano (π1) es:

( π1 )(P , v⃗ , A⃗P)

2) Se calcula la ecuación general del plano (π2) que contiene a la recta (r2) y al punto P .

El vector B⃗P es el que une el punto B de la recta (r2) con

el punto P por el que tiene

que pasar la recta ( s).

La determinación lineal del plano (π2) es:

( π2 )(P , u⃗ , B⃗P)

3) Se expresa la recta ( s) como intersección de los planos (π1) y (π2) .

( s ) {( π1 ) (P , v⃗ , A⃗P)

( π2 )(P , u⃗ , B⃗P)

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Ejemplo. Determinar la ecuación de la recta (s) que se apoya en las rectas (r1) y (r2) y pasa por el punto P(1 ,−1 ,2).

(r1 ) ≡ x−1−2

= y1= z+13

⟹ {A (1 ,0 ,−1)v⃗ (−2 ,1,3)

(r2 ) ≡x2= y−2

−1= z−2

3⟹{ B(0 ,2 ,2)

u⃗(2 ,−1 ,3)

( π1 ) ( P , v⃗ , A⃗P )⟹ A⃗P=P−A=(1 ,−1 ,2 )−(1 ,0 ,−1 )=(0 ,−1 ,3)

|x−1 y+1 z−2−2 1 30 −1 3 |=0⟹6x+6 y+2 z−4=0⟹3 x+3 y+ z−2=0

( π2 ) ( P , v⃗ , B⃗P )⟹ B⃗P=P−B=(1 ,−1 ,2 )−(0 ,2 ,2 )=(1 ,−3 ,0)

|x−1 y+1 z−22 −1 31 −3 0 |=0⟹9x+3 y−5 z+4=0

( s ) {( π1 ) (P , v⃗ , A⃗P)

( π2 )(P , u⃗ , B⃗P)⟹ ( s) ≡{ 3 x+3 y+z−2=0

9 x+3 y−5 z+4=0

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

Dos planos en el espacio ( π1 ) ax+by+cz+d=0 y ( π2 ) a' x+b ' y+c ' z+d '=0

pueden presentar tres posiciones relativas :

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El estudio sobre cuál de las tres posiciones adoptan dos planos, se hace analizando las soluciones del sistema formado por las ecuaciones de los dos planos dados en la forma general.

¿

Aplicando el teorema de Rouché, tenemos:

Si r=2 y r+¿=2¿ y como n=3 , tenemos que r=r+¿<n¿ es decir un Sistema Compatible Indeterminado (∞ puntos comunes). Se trata entonces de dos planos que se cortan en una recta. Al resolver el sistema aparecerá la ecuación de la recta en paramétricas.

Si r=1 y r+¿=2¿ , tenemos que r ≠ r+¿¿ es decir, un Sistema Incompatible

(sin puntos comunes). Se trata por lo tanto de dos planos paralelos.

Al ser r=1 , todos los menores de orden dos de la matriz A son iguales a cero.

r=1⟹|a ba ' b'|=|a c

a' c'|=|b cb' c'|=0⟹ a

a' =bb' =

cc'

Si r=1 y r+¿=1¿ y como n=3 , tenemos que r=r+¿<n¿ es decir un Sistema Compatible Indeterminado (∞ puntos comunes). En este caso, se trata entonces de dos planos coincidentes.

Al ser r+¿=1¿ , todos los menores de orden dos de la matriz A+¿ ¿ son iguales a cero.

r+¿=1⟹|a b

a' b'|=|a ca' c '|=|a d

a' d'|=0⟹ aa' =

bb' =

cc' =

dd' ¿

En definitiva, para saber qué posición relativa adoptan dos planos en el espacio, tan solo hay que analizar la proporcionalidad de los coeficientes de ambos planos y así tenemos:

PLANOS SECANTES⟹Coeficientes no proporcionales

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PLANOS PARALELOS⟹ aa' =

bb' =

cc'

PLANOSCOINCIDENTES⟹ aa' =

bb '=

cc ' =

dd'

Ejemplo. Determinar la posición relativa de los dos planos siguientes:

( π1 )2x− y+3 z−5=0 y ( π2 )−4 x+2 y−6 z−3=0

Como : 2−4

=−12

= 3−6

≠−5−3

, se trata dedos planos paralelos

Ejemplo. Determinar la posición relativa de los dos planos siguientes y en su caso calcular la ecuación de la recta intersección:

( π1 )2 x− y+3 z−5=0 y ( π2 ) x+ y−6 z+2=0

Como : 21

≠−11

≠ 3−6

, se trata de dos planos secantes

La ecuación de la recta intersección, se calcula resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de ambos planos.

(r ) ≡{2 x− y+3 z−5=0x+ y−6 z+2=0

z=t⟶ {2 x− y=5−3 t

x+ y=−2+6 t⟹

2x− y=5−3 tx+ y=−2+6 t¿¿3 x=3+3 t

⟹x=1+ t

1+t+ y=−2+6 t⟹ y=−3+5 t⟹ (r ) ≡{ x=1+ty=−3+5 t

z=t

Ejemplo. Determinar la posición relativa de los dos planos siguientes:

( π1 ) x−3 y+2 z−1=0 y ( π 2)−3 x+9 y−6 z+3=0

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Como : 1−3

=−39

= 2−6

=−13

, se trata dedos planos coincidentes

POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO

Una recta (r ) {x=a1+v1 ty=a2+v2 tz=a3+v3t

y un plano ( π ) ax+by+cz+d=0 pueden presentar

tres posiciones relativas en el espacio:

1) La recta corta al plano en un punto (secantes). 2) La recta es paralela al plano. 3) la recta está contenida en el plano.

El estudio de la posición relativa de una recta y un plano, se hace resolviendo el sistema formado por las ecuaciones paramétricas de la recta y la ecuación general del plano.

{ (r ) {x=a1+v1 ty=a2+v2 tz=a3+v3 t

(π ) ax+by+cz+d=0

⟹a (a1+v1t )+b ( a2+v2t )+c (a3+v3t )+d=0

Al sustituir la x, la y y la z de las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano,

aparece una ecuación cuya única variable es la t . Si despejamos dicha t, se pueden dar tres casos:

1. La t es un número real cualquiera, lo que significa que existe un único punto P(x , y , z) común a la recta y al plano. Por lo tanto, se trata de una recta y un plano secantes.

2. La t vale infinito (∞ ) , lo que significa que no existe solución o puntos comunes. Por lo tanto, se trata de una recta paralela a un plano.

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3. La t vale 00 , que es un valor indeterminado, por lo que existen infinitos puntos comunes

entre la recta y el plano. Por lo tanto se trata de un plano que contiene a una recta.

t=nº real⟹ RECTA Y PLANO SECANTES

t=∞⟹RECTA Y PLANO PARALELOS

t=00⟹ RECTA CONTENIDA EN EL PLANO.

Ejemplo. Estudiar la posición relativa de la recta y el plano siguientes:

(r ) x2= y−1

3= z1

( π )3 x+2 y−11 z−5=0

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones paramétricas de la recta y la ecuación del plano

x2= y−1

3= z1⟹ { x=2t

y=1+3 tz=t

{ { x=2 ty=1+3 t

z=t3x+2 y−11 z−5=0

⟹3 (2t )+2 (1+3 t )−11 ( t )−5=0⟹6 t+2+6 t−11t−5=0

despejando , queda⟹ t=3⟹ recta y planosecantes

Al sustituir en las ecuaciones paramétricas de la recta el valor de t=3, se obtiene el punto de corte de la recta y el plano:

{ x=2 ty=1+3 t

z=t

t=3⟶

x=2 ·3=6y=1+3 ·3=10

z=3⟹ P(6 ,10 ,3)

POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS

Tres planos en el espacio ( π1 ) ax+by+cz+d=0 , ( π2 ) a' x+b ' y+c ' z+d '=0 y

( π3 ) a' ' x+b' ' y+c' ' z+d ' '=0 pueden presentar ocho posiciones relativas :

El estudio sobre cuál de las ocho posiciones adoptan tres planos, se hace analizando las soluciones del sistema formado por las ecuaciones de los tres planos dados en la forma general.

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{ ( π1 ) ax+by+cz+d=0

( π2 ) a' x+b ' y+c ' z+d '=0

( π3 ) a' ' x+b' ' y+c ' ' z+d ' '=0 siendo:

A=( a b ca ' b' c '

a' ' b' ' c ' ' ) y A+¿=(a b c

a' b' c '

a' ' b' ' c ' '

dd'

d' ')¿

Aplicando el teorema de Rouché, tenemos las siguientes posibilidades:

1) r=3 r+¿=3⟹ r=r+¿=n¿ ¿ (Sistema Compatible Determinado)

Tres planos que se cortan en un punto

2/3) r=2r+¿=3⟹ r≠r +¿¿ ¿ (Sistema Incompatible)

Tres planos que se cortan dos a dos

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Tres planos que se cortan en dos rectas

(Los planos π1 y π3 son paralelos)

aa' '=

bb' ' =

cc' '

4/5) r=2r+¿=2⟹ r=r+¿<n ¿¿

(Sistema Compatible Indeterminado)

Tres planos que se cortan en una recta

Dos planos coincidentes y el tercero les corta

(Los planos π1 y π2 son coincidentes)

aa' =

bb'=

cc ' =

dd '

6/7) r=1r+¿=2⟹ r ≠r+¿¿ ¿ (Sistema Incompatible)

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Tres planos paralelos

(Los planos π1 , π2 , π3 son paralelos)

Dos planos coincidentes y el tercero paralelo a ellos

(Los planos π1 y π2 son coincidentes)

8) r=1r+¿=1⟹r=r+¿<n ¿¿ (Sistema Compatible Indeterminado)

Tres planos coincidentes

Ejemplo. Determinar la posición relativa de los planos ( π1 ) ≡2 x+3 y+mz−3=0 ,

( π2 ) ≡ x+my−z+1=0 y ( π3 ) ≡3 x+ y−3 z+m=0, para los distintos valores del parámetro m .

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Se discute el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos y se va determinando, en función del tipo de sistema, la posición relativa correspondiente..

{( π1 )≡2x+3 y+mz−3=0( π2 ) ≡ x+my−z+1=0

( π3 ) ≡3 x+ y−3 z+m=0

⟹ { 2x+3 y+mz=3x+my−z=−13 x+ y−3 z=−m

⟹ A=(2 3 m1 m −13 1 −3)

|A|=−3m2−5m+2⟹−3m2−5m+2=0⟹m=5±√25+24−6

=5±7−6

={m=−2

m=13

m=−2

m=13⟹ r=r+¿=n¿

(Sistema Compatible Determinado)

Tres planos que se cortan en un punto

m=−2

A=(2 3 −21 −2 −13 1 −3)⟹|2 3

1 −2|=−7≠0⟹ r=2

⟹ r=r+ ¿<n¿

A+¿=(2 3 −2

1 −2 −13 1 −3

3−12 )⟹|2 3 3

1 −2 −13 1 2 |=0⟹r +¿=2¿ ¿

(Sistema Compatible Indeterminado)

Tres planos que se cortan en una recta

m=13

A=(2 3 13

1 13

−1

3 1 −3)⟹|2 3

1 13|=−7

3≠0⟹ r=2

⟹ r ≠r+¿¿

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A

+¿=(2 3 13

1 13

−1

3 1 −3

3−1−13 )⟹|2 3 3

1 13

−1

3 1 −13

|≠ 0⟹r +¿=3¿ ¿

(Sistema Incompatible)

Como no hay planos que sean paralelos, en este caso tenemos:

Tres planos que se cortan dos a dos

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