FURIJEOVI REDOVI zadaci i deo · PDF file1 FURIJEOVI REDOVI – ZADACI ( I deo) Primer 1....
![download FURIJEOVI REDOVI zadaci i deo · PDF file1 FURIJEOVI REDOVI – ZADACI ( I deo) Primer 1. Funkciju y x= razviti u Furijeov red na intervalu [ , ]−π π Rešenje: Najpre ćemo nacrtati](https://fdocument.org/public/t1/desktop/images/details/download-thumbnail.png)
If you can't read please download the document
Transcript of FURIJEOVI REDOVI zadaci i deo · PDF file1 FURIJEOVI REDOVI – ZADACI ( I deo) Primer 1....
1
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( I deo)
Primer 1.
Funkciju y x= razviti u Furijeov red na intervalu [ , ]
Reenje:
Najpre emo nacrtati sliku da se podsetimo kako izgleda ova funkcija...
1
-1 0 x
y
1
y=xy=-x
y= x
Oigledno je funkcija parna ( grafik je simetrian u odnosu na y osu), pa koristimo formule:
0
0
2( )a f x dx
=
0
2( )cosna f x nxdx
= dok je 0nb =
01
1( ) cos
2n
n
f x a a nx
=
= +
2 2
0
0 0
2 2 2 2( ) ( ) / ( )
02 2
xa f x dx xdx
= = = = =
Dalje traimo:
2
0 0
2 2( )cos cosn na f x nxdx a x nxdx
= = = =
Ovaj integral emo reiti uz pomo parcijalne integracije, izvuimo ga na stranu , bez granica:
2
cos1 1 sin 1
cos sin sin sin1sin
sin 1 1 sin 1cos cos
x u nxdx dvx nx
x nxdx x nx nxdx nxdxn n n ndx du nx v
n
x nx x nxnx nx
n n n n n
= =
= = = == =
= + = +
Sad mu stavimo granicu:
2 2 2 1
0
2 2 2
sin 1 sin 1 0 sin 0 1cos / cos cos 0
0
1 1 1cos (cos 1)
ovo je
ovo je
x nx n nnx n n
n n n n n n
n nn n n
+ = + + =
= =
Onda je :
2 2
0
2 2 1 2( )cos (cos 1) (cos 1)na f x nxdx n n
n n
= = =
Naravno da n uzima vrednosti 1,2,3...
Izraz cosn neizmenino ima vrednosti :
za n=1 je cos =-1
za n=2 je cos =1
za n=3 je cos =-1
za n=4 je cos =1
itd.
Dakle , vai da je cos ( 1)nn =
Onda je 2
2(( 1) 1)nna
n=
Ako je n paran broj , imamo: 22 22
(( 1) 1) 0nnan
= =
Ako je n neparan broj , imamo: 2 12 1 2 2 22 2 4
(( 1) 1) ( 2)(2 1) (2 1) (2 1)
n
nan n n
= = =
3
Vratimo se sada u formulu za razvoj:
0 2 21 1 1
21
1 1 4 1 4 cos(2 1)( ) cos cos(2 1)
2 2 (2 1) 2 (2 1)
:
1 4 cos(2 1)( )
2 (2 1)
n
n n n
n
n xf x a a nx n x
n n
Dakle
n xf x x
n
= = =
=
= + = + = +
= =
Primer 2.
Razviti u Furijeov red funkciju ( ) sgnf x x= u intervalu [ , ]
Reenje:
Najpre malo objanjenje:
Funkcija sgnx se ita signum od x ili po naki znak od x .
Ona je ustvari:
1, 0
sgn 0, 0
1, 0
za x
x za x
za x
pogledajmo sliku:
Ako je 0x onda imamo sgnx
xx
=
Nama ova funkcija treba na intervalu [ , ] :
1
-1
0 x
y
-
1
-1
0x
y
4
Oigledno je data funkcija neparna, pa koristimo formule: 0
2( )sinnb f x nxdx
=
1
( ) sinnn
f x b nx
=
=
0 0
2 2 2 cos 2 cos cos 0( )sin sin /
0
2 ( 1) 1 2(1 ( 1) )
n
nn
nx n nb f x nxdx nxdx
n n n
n n n
= = = = + =
= + =
Opet emo razlikovati parne i neparne lanove:
2
2 1
Za n paran broj je b 0
2 4Za n neparan broj je b (1 1)
(2 1) (2 1)
n
nn n
=
= + =
Sada se vratimo u poetnu formulu za razvoj i imamo:
1 1 1
1
4 4 sin(2 1)( ) sin sin(2 1)
(2 1) 2 1
4 sin(2 1)sgn
2 1
n
n n n
n
n xf x b nx n x
n n
n xx
n
= = =
=
= = =
=
Primer 3.
Funkciju , 0
( ) {, 0
xf x
x x
