Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 1. ANALITICKA GEOMETRIJA 1.1 Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: 0Opci oblik pravca:

dje je : koeficijent smjera pravca, tan odsjecak pravca na osi 0 pravac je nagnut u smjeru osi 90 00 pravac je

ax by cy kx l

g k kl yk xk

α

α

+ + == +⇒ =⇒

> ⇒ + > >

< ⇒

( ) ( )1 1 1 1

nagnut u smjeru osi 180 90

Segmentni oblik jednadzbe pravca: 1

gdje je: odsjecak pravca na osi odsjecak pravca na osi

Jednadzba pravca kroz tocku , uz poznati :

Jednadzb

xx ym nm xn y

A x y k y y k x x

α− > <

+ =

⇒⇒

− = −

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 22

2 2

a pravca kroz dvije tocke , , , :

, tan

Udajenost izmedju dviju tocaka , , , :

Udaljenost tocke , od pravca:a

Uvje

A A B B

B A B AA A

B A B A

A A B B B A B A

T TT T

A x y B x yy y y y

y y x x kx x x x

A x y B x y d x x y y

ax by cT x y d

b

α− −

− = − = =− −

= − + −

+ +=

+

( )1 1 22

1 2

1 2 1 22 1

2 2 2 21 2 1 1 2 2

1t da su dva pravca okomita: ili 1

Uvjet da su dva pravca paralelna:

Kut izmedju dva pravca: tan ili implicitno cos1

Pravac-simetrala kuta ko

k k kk

k ka a b bk k

k k a b a bϕ ϕ

= − ⋅ = −

=

+−= =

+ + +

( )

1 1 1 2 2 2

2 2 2 21 1 2 2

1 1 1 2 2 2

ji cine dva pravca:

Pramen pravaca danih sa dva neparalelna pravca:

a x b y c a x b y c

a b a b

a x b y c a x b y cλ

+ + + +=

+ +

+ + = + +

Analiticka Geometrija - Pravac 1

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

( )

( ) ( )

2 1

1 1 1

1. Odredi jednadzbu pravca koji prolazi tockom 1,2 i paralelan je sa prvcem 3 2 6 0

3 33 2 6 0 2 3 6 62 2

32 12

2 4 3 3 3 2 1 0

Ax y

x y y x y x k k k

y y k x x y x

y x x y

−

+ − =

+ − = ⇒ = − + ⇒ = − + ⇒ = − ⇒ =

− = − ⇒ − = − +

− = − − ⇒ + − =

2

( )( ) ( )1 1

2. Odredi jednadzbu pravca koji prolazi tockom 3,8 i ima koeficijent smjera 4.

- 8 4 3 4 12 4 20 0

A k

y y k x x y x x x y

− =

− = − = + = + ⇒ − + =

3. Izracunaj jednadzbu pravca okomice iz tocke ( 3, 4) na pravac koji prolazi tockama ( 5, 2) i (4, 1).

1 2 3 1Koeficijent smjera pravca:4 5 9 3

Koeficijent smjera pravca-okomice mora bi

C Bp

C B

AB C

y yk

x x

− −− −

− − −= = = − = −

− +

( ) ( )

1 1ti: 313

Okomica ima jednadzbu: 4 3 3 3 5

op

A o A

kk

y y k x x y x y x

= − = − =−

− = − ⇒ + = + ⇒ = +

Vidi sliku na slijedecoj stranici.



( )

( ) ( )

( )

1 1 1 1

2 2 1 11

4. Odredi jednadzbu pravca, koji je okomit na pravac koji prolazi tockom 1, 2 i ima koeficijent smjera 4.

2 4 1 4 2

1 1 1 1Uvjet okomitosti: 24 4 4

Ak

p y y k x x y x p y x

k p y y k x x yk

−

= −

≡ − = − ⇒ + = − − ⇒ ≡ = − +

= − = − = ⇒ ≡ − = − ⇒ + = −−

( )x

2

1

1 94 4

p x≡ −

( )

2 1

2 1

5. Izracunaj jednadzbu pravca koji prolazi kroz A 3,2 i sa pravcem 2 3 6 0 cini

kut od .4

Koeficijent smjera zadanog pravca: 2 3 6 0 2

Kut izmedju dva pravca: tan tan 14

2

11

x y

x y y x

kk kk k

πϕ

πϕ

+ + =

=

+ + = ⇒ = −

= =

= ± =−−

+

11 11

11 1 1

2 21 53 32 2 11 13 3 5

kk k

kk k k

− = − − ⇒ = − ⇒ − + = − − ⇒ =

3

23

−

−

23

−



( )

( )( )

( )

1

1

1Jednadzba pravca kroz tocku A 3,2 i koeficijentima smjera 5, :5

2 5 3 5 17 0

12 3 5 13 05

A A

k

y x x yy y k x x

y x x y

= −

− = − − ⇒ + − = − = − ⇒

− = − ⇒ − + =

( )6. Tockom A 3,3 polozi dva okomita pravca i izracunaj povrsinu trokuta kome je treca

stranica os . Povrsina trokuta je P . 2

Baza trokuta je odsjecak sto ga cine pravci na osi a visina je koordin

b vx

x

⋅=

( )( )

( )

ata 3.Jednadzba pravaca kroz tocku A 3,3 i kutem prema osi od

3 1 3 6 045 : tan 45 1 12 3 0

5Presjecista medjusobno okomitih pravaca, sa osi , su u tockama: 0 i 6

Ayx

y x x yk

y x x y

x x x

ϕ

=

− = − − ⇒ + − = = = = ± ⇒

− = − ⇒ − = = = .

6 3Duzina baze je znaci 6. Povrsina trokuta iznosi: P 92 2b v⋅ ⋅

= = =

( ) ( )

( )

( ) ( )

7. Izracunaj simetralu duzine AB zadane sa tockama A 1,5 i B 3,4 .

Pravac na kojem lezi duzina AB :

4 5 1 115 1 13 1 2 2 2

B AA A

B A

y yy y x x

x xxy x x y

−− = −

−−

− = − = − − ⇒ = − +−



1imetrala je okomita na zadani pravac i koeficijent smjera mora biti 2.

Simetrala prolazi kroz poloviste stranice AB, tocku sa koordinatama :1 3 4 5 92

2 2 2 2 2

Trazena simetrala:

S

B A B Ax y

S kk

x x y yS S

y S

= − =

+ ++ += = = = = =

− ( ) ( )9 2 2 2 9 42

122

y S xk x S y x y x

y x

= − ⇒ − = − ⇒ − = −

= +

8

8. Izracunaj jednadzbu pravca, simetricnog pravcu 7 2 obzirom na pravac 3 4 8 0.3 3Os simetrije je pravac: 3 4 8 0 2 ,4 4

374Kut izmedju simetrale i pravca:tan 1 1 tan31 1 74

7S Z

S

S

y x x y

x y y x k k

k kkk

ϕ ϕ

= + − + =

− + = ⇒ = − = =

−−= = = ± ⇒ =

+ −( )

( )

( ) ( )

1 1 = 45

1 1Simetricni pravac je okomit na zadani pravac: i prolazi kroz presjeciste 7

3pravca i simetrale: 2 7 24

3 2 7 2 0, 2 za 0,24

1 12 0 27 7

Z

T T

kk

y x y x

x x x y T

y y k x x y x y x

− ± ±

= − = −

= + ⇒ = +

+ = + ⇒ = =

− = − ⇒ − = − − ⇒ = − +



( )1 2

9. Izracunaj povrsinu kvadrata kome je stranica jednaka udaljenosti dva paralelna pravca:3 7 3 i 3.2 2 2

Izracunajmo udaljenost tocke od pravca. Promotrimo tocku 0, 3

Presjeciste pravca

p y x p y x

T

≡ = − + ≡ = − −

−

( )

( )

2 2 2

22

3 0 2 3 7 13 13 i osi : 1313 133 2

Povrsina kvadrata sa stranicom duzine 13 iznosi: 13 13

p y d

a P a

⋅ + − −= = ⋅ =

+

= = = =



1 2

10. Odredi tocke na pravcu 3 koje su jednako udaljene od pravaca7 11 i 5.

Potrebno je izracunati tocku presjecanja i poloziti pravce koji su simetrale dva zadana pravca, kroz toc

p y xp y x p y x

≡ = −≡ = − ≡ = − +

( )1 2 1 2

1 1 1 2 2 2

2 2 2 21 1 2 2

2 2 2 2

ke koje leze na zadanom pravcu :Tocka presjecanja i : 7 11 5 7 11 5 2,3

Jednadzba simetrale :

7 11 5 7 11 5

50 27 1 1 17 1

pp p p y x p y x x x P

a x b y c a x b y c

a b a b

x y x y x y x y

x y

≡ = − ≡ = − + ⇒ − = − + ⇒

+ + + +=

+ +

− − − + − − + −= ⇒ = =

+ += − −( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1

2

1

1

1 5 5

7 11 5 5 3 7 07 11 5 5 3 9 0

Trazene tocke su na presjecistu simetrala i zadanog pravca : 1. 32. 3 7 0 Rjesenje sistema d3. 3 7 0

x y

S x y x y x yS x y x y x y

pp y x

S x yS x y

= ± − + =

≡ − − = + − ⇒ − + = = ≡ − − = − + − ⇒ + − =

≡ = − ≡ − + = ⇒ ≡ − + =

( )

( )( ) ( )

aje rjesenja:

73 3 9 7 8 8 3 5 8,33 3

3 9 3 4 12 3 3 3 0 3,0

Trazene tocke su : 8,3 i 3,0

xx x x x y A

x x x x y B

A B

− = + ⇒ − = + ⇒ = = − =

− + = − ⇒ = ⇒ = = − =



1 2 3

1

11. Odredi jednadzbu pravca koji sadrzi visinu na stranicu a, trokuta zadanog pravcima: 2 3 4 0; 2 0 i 3 2 0.

Potrebno je poloziti pravac koji prolazi kroz vrh A i okomit je na p , korp x y p x y p x y≡ − + = ≡ + − = ≡ − + =

( )

1

1

1

2 3

isteci jednadzbu pramena pravaca.Visina na stranicu c je okomita na pravac sa koeficijentom smjera:

2 1 3 3 2

Pramena pravaca je predocen sa i :

2 3 2 0 31

p op

p

k kk

p p

x y x y y xλ λ λ λ

= ⇒ = − = −

+ − + − + = ⇒ − + ( )

( )

1 2 2 0 ili:3 1 13 9 2 2 i jednadzba ima oblik2 1 3 11

12 3 21112 2011 11 22 3 2 08 8

3 5Trazena jednadzba pravca ima oblik2

:

2:

x y x y

x y x y y x

y x

λ λ

λλ λ λ

λ

+ + − =

+− = ⇒ − = + ⇒ =

−

+ − = − +

+ − + − + = ⇒ = − +

= − +

( )2 3 2x y x yλ+ − = − +

( )2 3 2x y x yλ ⇒= − ++ −


Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 1.2 Kruznica

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

2 2 2

Implicitni oblik jednadzbe kruznice: 0Jednadzba kruznice sa sredistem u ishodistu: gdje je radijus kruznice

Jednadzba kruznice sa sredistem u tocki , :

Uvjet da pra

x y dx ey fx y r r

S p q x p y q r

+ + + + =

+ = ⇒

− + − =

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

22 2vac dodiruje kruznicu: 1

Jednadzba tangente u tocki kruznice , : 0Normala na kruznicu je pravac kroz diraliste tangente, okomit na tangentu kruznce.Polara tocke , o

T T T T

P P

r k q pk l

T x y x p x p y q y q

P x y

+ = − −

− − + − − =

( )( ) ( )( )2 2

bzirom na kruznicu, je pravac koji prolazi diralistima tangenata povucenih iz tocke P na kruznicu. Tocka se naziva tada pol za tu polaru.

Jednadzba polare: ili P P P P

Pxx yy r x p x p y q y q r+ = − − + − − =

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1. Odredi koordinate sredista kruznice i radijus ako je kruznica zadana jednadzbom:6 8 24 0

6 8 24 nadopunimo na potpuni kvadrat:

6 9 9 8 16 16 24

3 9 4 16 24

3 4 49Kruzn

x y x yx x y y

x x y y

x y

x y

+ − + − =

− + + =

− + − + + + − =

− − + + − =

− + + =

ica ima srediste u (3, 4) a radijus je 7S r− =

( ) ( )2 2 2

2. Odredi jednadzbu kruznice kojoj su tangente osi i te pravci 4 4 :

Promjer kruznice je 2 a srediste je u tocki (2, 2)2 2

Jednadzba kruznice glasi: 2 2 2

x y x i yx y S

x y

= =

= =

− + − =

Analiticka Geometrija - Kruznica 9


( ) ( )

2 2

2 2

22

2 2

1 121,2

2 2

3. Odredi tocke sjecista kruznice 3 0 i pravca 1.Uvrstimo 1 u jednadzbu 3 0 :

1 3 1 0

2 1 3 3 02 13 9 4 1 2 3 13 2 01 02 2

Sjecista kruz

x y x y y xy x x y x y

x x x x

x x x x xx y

x x xx y

+ − − = = −

= − + − − =

+ − − − − =

+ − + − − + =

= =± − ⋅ ⋅ ±− + = = = = = =

2 2

2 22 2

nice i pravca su u tockama: A(2,1) i B(1,0)Jednadzba kruznice daje slijedece podatke:

3 0

1 3 10 1 3 103 0 ( , ), 2 2 4 2 2 2

x y x y

x x y y x y S r

+ − − =

− + − = ⇒ − + − = ⇒ =

4. Odredi putanju tocke C, koja se krece tako da je njena udaljenost od tocke T(2,4) uvijek dva puta veca nego udaljenost od ishodista.

1 2Tocka na udaljenosti izmedju tocke T i ishodista je tocka A( ,3 3

( ) ( )2 2 2

2 22

4). 3

Ishodistu suprotna tocka mora biti srediste kruznice S.

2 4 Odredimo radijus kruznice; duzinu izmedju tocaka S i A3 3

x a y b r

x y r r

− + − =

− + − = ⇒



( ) ( )2 2

2 22 2 2 2 4 4 803 3 3 3 9S A S Ad r x x y y = = − + − = − − + − − =

2 2

2 2

2 4Jednadzba putanje je jednadzba kruznice koja glasi: 3 3

ili 3 3 4 8 20 0

x y

x y x y

− + − =

+ + + − =

809

1

2 3

1 2

5. Odredi jednadzbu kruznice kojoj je srediste u sjecistu pravaca 2 3 5 0 i 3 4 1 0 a dodiruje pravac 3 8 0.

Sjeciste pravaca i daje nam srediste kruznice:2 3 5 0 63 4 1 0

p x yp x y p x y

p px y xx y

≡ − + =≡ + − = ≡ + − =

− + = −⇒+ − =

( )

( ) ( )

( ) ( )

3

2 2

2 2

9 15 0 16 8 2 0 1

Srediste kruznice je u 1,1 .Tangenta, pravac je udaljen od sredista za radijus :

3 1 1 83 8 10 1010 103 1

Jednadzba kruznice glasi:

1

1 1 10

S S

y p xx y q y

Sp r

x yr d

x y

+ − = ≡ = − ⇒ + − = ≡ =

−

− + −+ −≡ = = = ⋅ =

+

+ + − =

010

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

2 2

2

6. Izrazi njenu jednadzbu tangente iz tocke 6, 2 na kruznici 2 1 25

Jednadzba tangente : T T

T x y

x p x p y q y q r

− − + −

− − + − − =

=



( )( ) ( )( ) ( ) ( )6 2 2 2 1 1 25 4 2 3 1 2544 8 3 3 25 0 103

x y x y

x y y x

− − + − − − = ⇒ − − − =

− − + − = ⇒ = −

( )

( ) ( ) ( )

2 2

22 2 2 2 2

1

1,2

7. Izrazi jednadzbe tangenta polozenih iz tocke 5, 1 na kruznicu 8 Jednadzbe tangenata iz tocke izvan kruznice:

1 5 5 1

1 8 1 5 1 17 10 7 0

10 2434

T T

T x

y kx l y kx l k l l k

r k l k k k k

kk

− − + =

= + ⇒ = + ⇒ − = − + ⇒ = −

+ = ⇒ + = − ⇒ − − =

=±

= =

y

1

2 2

1

2

1 5 1 1 47 7 525 1

17 17 17Nase tangente imaju oblik: 4 4

7 52 7 5217 17 17 17

l

k l

t y kx l x y x

t y kx l x y x

⇒ = ⋅ − = = − ⇒ = − − = −

≡ = + = + ⇒ = +

≡ = + = − − ⇒ = − −

( ) ( ) ( )2 28. Iz tocke 1, 1 izvan kruznice 2 3 4 polozene su tangente.

Izrazi njihove jednadzbe i njihova diralista te pravac (polara) na kome lezi duzina koja spaja diralista.Jednadzbe tangenata iz tock

T x y− − + + + =

e izvan kruznice:1 1T Ty kx l y kx l k l k l= + ⇒ = + ⇒ − = − + ⇒ = +



( ) ( ) ( )

( ) ( )

222 2

1 121,2

2 2

1

4 1 3 2 4 4 3 2 1

7 7 110 43 10 7 0 3 36 1 1 1

Nase tangente imaju oblik:4 4 71 13 3 4T T

k k l k l l

l kl l l

l k

t y y k x x y x y x

+ = − + − ⇒ + = − + + −

= − ⇒ = − + = −− ± + + = ⇒ = = = − ⇒ = − + =

≡ − = − ⇒ + = − + ⇒ = − −

43

0

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

2 2 2

22 2

1,2

22 2

1 2

1 0

Diralista tangenata:

1 2 1 3 4 2 0

4 7 4 7 25 20 4

2 3 4 03 4 3 4 9 9 9

2 642 3 4 3 45 25

6 2135 5

Dir

9

T Tt y y k x x y

y x x

y x x x x x

x

y y

y y y

≡ − = − ⇒ + = ⇒

= − ⇒ + + − + = ⇒ + =

= − − ⇒ + + − − + = ⇒ + + =

=

−

− + + + = ⇒ + = −

+ = ± = = −

( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

2 9alista su u: 2, 1 i ,5 5

Jednadzba pravca kroz diralista jednadzba polare:2 2 3 3 4

1 2 2 1 3 3 4 2 2 6 4 0 2 4 0P P

A B

x x y y

x y x y y x

− − − −

−

+ + + + + =

− + + + − + + = ⇒ + + + − = ⇒ + + =

1

2

25

5

y

x

= −

= −

−

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2 2

9. Kruznica 4 2 25 ima polaru oblika 1. Odredi koordinate pola P.

Koordinate presjecista polare i kruznice: 4 2 25; 1

4 1 2 25 8 16 2 1 25 0

x y y x

x y y x

x x x x x x

− + + = = −

− + + = = −

− + − + = ⇒ − + + + + − =



( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )

21 2

1 2

1 1

1 1

3 4 04,3 1, 2

Jednadzba polare: za 4; 3 :4 4 4 2 3 2 25 5 2 25 2 5 3

za 2; 2 :4 1 4 2 2 2 25 4 5 25 1

Koordinate pola su 1,3

43

P P P P

P P P P

x x x xy y A B

x yx y y y

x yx y x x

P

− − = ⇒ = =

⇒ = = − −

= =

− − + + + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

= − = −

− − − + + − + = ⇒ − − = ⇒ = −

−

12

−

−

2 22 3 9 2 5 25x x y− −+ ⋅ + + ⋅ +

Py

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2

2

10. Kruznica prolazi kroz tocke 3,0 , 1, 2 , 0, 1 .Odredi jednadzbu polare ako je pol ishodiste.Implicitni oblik jednadzbe kruznica: 0, kroz tri zadane tocke.

3 0 3 0 0 3 9

1

A B C

x y ax by c

a b c a c

− − −

+ + + + =

− + + − + + = ⇒ − + = −

+ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

2

2 2 2

2 1 2 0 2 5

0 1 0 1 0 1

Rjesenje sistema je slijedece: 6, 10, 9,odnosno:0 6 10 9 0 ili:

9 25 9 0

i jednadzba nase kruznice ima o

a b c a b c

a b c b c

a b cx y ax by c x y yx

y

− + + − + = ⇒ − + = −

+ − + + − + = ⇒ − + = −

= = =

+ + + + = ⇒ + + + + =

+ + =

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

2 2blik: 3 5 25

Odredimo sada jednadzbu polare iz pola P 0,0 :

0 3 3 0 5 5 25 3 9 5 25 25 3 5 9 0

x y

x y x y x y

+ + + =

+ + + + + = ⇒ + + + = ⇒ + + =



Analiticka Geometrija - Parabola 15

1.3 Parabola

2

Parabola je definirana kao skup tocaka koje su jednako udaljeni od stalnog pravca i stalne tocke , koja se naziva fokus ili zariste.Standardni oblik jednadzbe parabole: 4 Vrh parabole je u is

pF

y px= →

2

hodistu i jednadzba stalnog pravca paralelnog sa osi je Standardni oblik jednadzbe parabole: 4 Vrh parabole je u ishodistu i jednadzba stalnog jednadzba stalnog pravca paralelnog sa osi

y px py

x= →

( ) ( )1 1 1 1

je

Uvjet da pravac dira parabolu: 2 Diraliste je u tocki sa koordinatama , 2

Jednadzba tangente u tocki , parabole:

plp kl T lk

T x y yy p x x

= →

= +

2

22

1. Zadane su dvije parabole: Prva ima vrh u fokusu druge parabole i svoj fokus u vrhu druge parabole. Ako je druga parabola zadana jednadzbom 4 , odredi jednadzbu prve.

4 4 4 4 1:Fokus je u

y xy px x p p

=

= = ⇒ = =

( )( ) ( )2

121

F(1,0), 0 i parabola je otvorena u desno Prva parabola ima vrh u fokusu, tj. V (1,0) a fokus u vrhu, F(0,0):

Iz postave zadatka, mora biti 0 : 4 4 4 1 1

4 4V

p

p y px p x x x

xy

>

< = = − − = − ⋅ −

− + ⇒=

2 4 4 0y x+ − =

2. Mlaz vode iz hidranta ima oblik parabole. Izrazi jednadzbu parabole, ako mlaz postize visinu od 18m na horizontalnoj udaljenosti 28m od hidranta. Opci oblik vertikalne parabole, koja je otvorena pre

( ) ( )

2

2

ma dolje: 4

Hidrant je u ishodistu, pa imamo: 28 4 18

x py

x p y

= −

− = −



( ) ( )

( ) ( )

22

222

28Vrh je u V(28,18) 0 28 4 0 18 418

28Jednadzba parabole : 4 28 1818

p p

x py x y

− = − ⇒ = −

= − ⇒ − = − −

2

3. Tetiva parabole je dio pravca koji prolazi kroz fokus a paralelan je sa stalnim pravcem (direktrisom). Duzina se naziva i latus rectum. Izracunaj tu duzinu ako je jednadzba parabole 4 .Opci ob

y px=2lik parabole: 4 ; Direktrisa je na: 1, a Fokus na: F(1,0)

Tetiva je pravac: 1; koji sjece parabolu u tockama 2py px x

x= = −

= ±

2

2

4. Odredi jednadzbu kruznice koja prolazi kroz vrh i fokus parabole 8 .Opci oblik parabole: 4 4 8 2 0Parabola je otvorena prema gore; Direktrisa je na: 2, a Fokus na: F(0,2) Jednadzba k

x yx py p p

y

=

= ⇒ = = >= −

( )22

ruznice koja prolazi tockama F(0,2) i V(0,0):

1 1x y+ − =

5. Parabolicna antena je konstruirana tako da paralelne ulazne signale reflektira kroz fokus.Odredi jednadzbu parabole ako je jednadzba zrake kroz fokus: 12 3.6Fokus je u tocki presjeka pravca i osi

y x= − +

2

; 0: 0 12 3.6 0.3 Jednadzba parabole, sa fokusom u F(0.3, 0): 0.3

x y x xy x

= = − + ⇒ =

=


2 2

6. Suncev reflektor ima oblik parabole promjera 2.5 m, a ugib je 0.425 m. Odredi fokusnu udaljenost.

2.5Rubne tocke parabole imaju koordinate 0.425, 2

Jednadzba parabole: 4 1.25 4 0.4250.919

x y

y px pp

= = ±

= ==

F 0.919m=

2 2 ili 8 8 yy x x= =

7. Mali otok je udaljen 4 km od obale koja ima oblik pravca. Plovni put izmedju obale i otoka je

ekvidistantna krivulja izmedju otoka i obale. Odredi tu krivulju.Krivulja je parabola sa direktrisom u 2

2

:1 14 2 4 4 82 2

Plovni put je na pola puta, izmedju obale i otoka.

p p y xpx x= ⇒ = = = ⋅ = ⇒


Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 1.4 Elipsa

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2 2

2 21 1

1 1 2 2

Standardni oblik jednadzbe elipse: 1, velika poluos, mala poluos

Fokusna udaljenost :

Jednadzba elipse sa centrom u tocki , : 1

Ekscentricitet elipse:

U

x y a ba b

f f c a b

x x y yA x y

a bcea

+ = − −

= = −

− −+ =

=

( )

2 22 2 2 2

1 11 1 2 2

vjet da pravac dira elipsu: Koordinate diralista: ,

Jednadzba tangente iz tocke , : 1

ka ba k b l Tl l

xx yyT x y

a b

+ = − −

+ =

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

1. Odredi jednadzbu elipse koja ima fokus u F(9,0) i vrh u V(15,0).9 15 15 9 144

1 115 12

2. Odredi ekscentricitet elipse 9 81

Ekscentricitet je dan sa:

x xF c a b V a b a c

x y x ya b

x y

e

= = = − = = ⇒ = − = − =

+ = ⇒ + =

+ =2 2

2 22 2

2 2 2

9 819 3

81 9 72

72 3 8 2 29 381

c xx ya

c a b

cea

= ⇒ + = ⇒

= − = − =

= = = =

1y+ =

2 2

3. U gradjevinama sa specijalnim akustickim karakteristikama, moguce je cuti sapat ako se posjetioc nalazi u fokusima elipsastog svoda. Ako je presjek hale, elipsa jednadzbe 36 225 8100, odredi ux y+ =

2 2

22 22 2 2

2

daljenost sapatca i slusaca.36 225 8100

2251 225 36 189

225 36 36

Udaljenost izmedju fokusa: 2 2 189 27.495

x y

ax y c a bb

l c m

+ =

=+ = = − = − =

=

= = =

Analiticka Geometrija - Elipsa 18


2 2 2 2

2 2 2 2

4. Dvije koncentricne elipse cine prsten. Izracunaj obje debljine prstena.Elipsa 1: 4 100 Elipsa 2: 2 5 500

1 1100 25 250 100

10, 5 15.8, 10Debljina iznosi: 15.8 10 5.8 10 5 5a b

x y x yx y x y

a b a bd d

+ = + =

+ = + =

= = = == − = = − =

2 2

2 22 2

c

5. Presjek cisterne je elipsa 6 6. Izracunaj volumen ako je duzina cisterne 6m a povrsina elipse se dobije iz:

6 6 1 6, 16 1

Povrsina elipse iznosi: 6

Volumen cisterne: V 6

e

e

e

x yP ab

x yx y a b

P

P

π

π

+ ==

+ = ⇒ + = = =

= ⋅

= = 36 6 46.172mπ⋅ =

1.5 Hiperbola

( ) ( )

2 2

2 2

11 1 2

Jednadzba hiperbole sa centrom u ishodistu: 1

transverzalna polu os, konjugirana polu os

Jednadzbe pravaca-asimptota hiperbole:

Jednadzba hiperbole sa centrom u tocki , :

x ya b

a bby xax x

A x ya

− =

− −

= ±

− ( )

( )

2 21

2

2 2 2 2

2 22 2 2 2

11 1

1

Fokusna udaljenost : Linearni ekscentricitet e:

Uvjet da pravac dira hiperbolu: Koordinate diralista: ,

Jednadzba tangente u tocki , hiperbole:

y yb

cf f c a b eaka ba k b l Tl l

xxT x y

−− =

= = + =

− = − −

12 2 1

yya b

− =

Analiticka Geometrija - Elipsa 19


( ) ( )

2 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

22 2 2 2

2 2 2 4

1. Odredi jednadzbu hiperbole koja prolazi tockom A(2,3) i ima fokus u F(2,0).

2 31 1 4 9 0

2 4 uvrstimo u gornju jednadzbu:

4 9 4 4 0

4 36 9 4

A Ax yb a a b

a b a bc a b a b

b b b b

b b b b

− = ⇒ − = ⇒ − − =

= = − ⇒ = −

− − − − =

− + − +4 2

121,2

2

2

2

2 22

09 36 0 zamijenimo

129 81 4 369 36 02

4 4 3 1

Jednadzba hiperbole: 1 3 31 3

b bk

k k k

ay x y

bx

=

+ − =

= −− ± − ⋅+ − = = =

= − = − =

− ⇒ −= =

32.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5-3

5

4

3

2

10

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

2

22

:

3

b k

k b= ≡

=

( )2 2 22 2 22 2

2. Koncentricne hiperbole su one koje imaju zamjenjene poluosi. Zadana je hiperbola sa vrhom

u V(0,1) i fokusom u F(0, 3). Odredi zadanoj hiperboli koncentricnu hiperbolu.

1 1; 3V Vy xa c a b

a b− = ⇒ = = = + = 2 21 3 1 2b b+ ⇒ = − =

( )

2 22 2

2 2

2 2

22 2 2 2 2

2 22 2

Jednadzba hiperbole je: 1 2 21 2

Jednadzba koncentricne hiperbole: 1 (1,0) ( 3,0)

3 1 3

1 2 21 2

y x y x

x y V Fa b

c a b b b

x y x y

− = ⇒ − =

− = ⇒

= = + = + ⇒ = −

− = ⇒ − =

1 2=

Analiticka Geometrija - Hiperbola 20


( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2

2 22 2

3. Nadji centar hiperbole: 2 4 4 4 0

2 4 4 4 2 2 4 4

2 2 1 1 4 4 4 4

1 22 1 2 2 : 2 1 (1, 2

1 2

x y x y

x x y y x x y y

x y y

x yx y S

− − − − =

− − − = ⇒ − − + =

− + − − + + − =

− +− − + = ⇒ − = − )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 2

4. Odredi jednadzbu hiperbole ako je vrh u ( 1,1), fokus u ( 1,4) i srediste u ( 1, 2) :( 1,1) daje 1 ( 1, 4) daje c 4 4 1 3

2 11

1 33 2 12 10 0

V F SV a F b c a

y x

x y x y

− −

− = − = = − = − =

− +− =

− + + + =

−



1

2

5. Odredi jednadzbu hiperbole koja ima asimptote 1 3 i vrh u V(3,1)

1 Asimptota ima jednadzbu:

3 Sjeciste pravaca daje srediste hiperbole:

2 2 1 2 ( 2, 1)I

x y i x yba y x y x a ba

a y x

y y x S

− = − + = −

≡ = + = ± ⇒ =

≡ = − −

= − ⇒ = − = − − −

( ) ( )x

2 2

z koordinate vrha: V 3 i 2 odredjujemo transferzalnu poluos

2 12 3 5 5 Jednadzba hiperbole je: 1

25 25

xS

x xa a b

= = −

+ += − + = = = − =



Analiticka Geometrija – Razni zadaci 23

1.6.1 Razni zadaci

( )

2

2

22 2

1,2

1. Zadani su pravac 3 11 i parabola 4 5 0. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku.

3 11 Supstitucija u drugu jednadzbu : 4 5 0

44 3 11 5 0 7 6 02

y x x x y

y x x x y

b b acx x x x x x

= − − − − =

= − → − − − =

− ± −− − − − = ⇒ − + = ⇒ = 1

2

1

2

61

3 11 3 6 11 73 1 11 8 Trazene tocke su:

xxa

y x yy

== =

= − ⇒ = ⋅ − =⇒ = ⋅ − = − ⇒

(6,7) (1, -8)i A B

( 0, 2) (7,5) A B−

( )

2 2

2 2

22 2

2. Zadani su pravac 2 i kruznica 10 24 0. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku.

2 Supstitucija u drugu jednadzbu 10 24 0 daje:

Jednadzba kruznice: 5 49

y x x y y

y x x y y

x y x

= − + − − =

= − + − − =

+ − = ⇒ + ( ) ( )

( )

2

12

2

1 2

2 10 2 24 0

07 0 7 0 2

70 2 2 7 2 5

Trazene tocke su: i

x x

xx x x x y x

xy y

− − − − =

=− = ⇒ − = ⇒ ⇒ = − == − = − = − =



23. Zadani su pravac 5 i parabola 2 5 5. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku.

y x y x x= + = − +

( ) 12 2

2

1 1 2 2

05 5 2 5 5 2 6 0 3 0

35 0 5 5; 5 3 5 8

Trazene tocke su

xy x x x x x x x x

xy x y x

== + ⇒ + = − + ⇒ − = ⇒ − = == + = + = = + = + =

( ) ( )0,5 3,8,A B

( ) ( ) 4, 3,0,5A B − −

( )

( )

2 2

22

12 2

2

1 1

4. Zadani su pravac 2 5 i kruznica x 25. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku.

2 5 zamijenimo u drugoj jednadzbi 2 5 25

04 20 25 25 4 0

42 5 0

y x y

y x y x x

xx x x x x

xy x

= + + =

= + + + =

=+ + + = ⇒ + = = −= + = + 2 25 5; 2 5 8 5 3

Trazene tocke suy x= = + = − = −+

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2 22

5. Zadani su pravac 1 i kruznica 4 2 1 0. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku.

1 zamijenimo u drugoj jednadzbi 4 2 1 0

2 1 4 1 4 1 2 1 0

y x x y x y

y x y x y x y

x y x x x y

= − + + − − + =

= − + + − − + =

− + − = ⇒ + − + − − + =



( ) 12 2

2

1 1 2 2

01 2 2 1 0 2 0

21 0 1 1; 1 2 1 1

Trazene tocke su

xx x x x x x

xy x y x

=+ − + − − = ⇒ − = ⇒ == − + = + = = − + = + = −−

( ) ( )0,1 2,, 1 A B −

( ) ( )2,1 1,, 0A B

( ) ( )

2

2

212 2

1,22

6. Zadani su pravac 1 i parabola 4 3. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku.

1 zamijenimo u drugoj jednadzbi 1 2

241 4 3 3 2 012

y x y x x

y x y y x

xb b acx x x x x xxa

= − = − + −

= − ⇒ − = − −

=− ± −− = − + − ⇒ − + = ⇒ = = =

1 1 2 21 2 1 1 1 1 1 0Trazene tocke su y x y x

= − = − = = − = − =

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 22

2 2

2 2

7. Zadane su elipsa 2 6 3 i hiperbola 17 2 . Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku.2 6 3

17 2 1. 2.

2 6 32 34 4

x y x y

x yx y

x yx y

⋅ −

= + = −

= +

= − +

= +− = − +



2 2

1,2

2 2 21,2

0 28 7 4 2

17 2 17 2 4 9 3

Trazene tocke su

y y y

yx x x

= − + ⇒ = ⇒ = ±

= − ⇒ = = ±− ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )3,2 , 3, 2 , 3, 2 , 3, 2C DA B − −− −

( ) ( ) ( ) ( )2,2 , 2, 2 , 2, 2 , 2,2A B C D− − − −

( )

2 2 2 2

2 2

2 24

2 2

21,2

2 2 21,2

8. Zadane su dvije elipse 4 =20 i 4 20. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku.4 =20

4 20

4 16 80

0 15 60 2

4 20 20 16 4 2

Trazene tocke su

x y x y

x yx y

x y

y y

x y x x

⋅ −

+ + =

+

+ =

− − = −

− = − ⇒ = ±

+ = ⇒ = − = = ±

2 2 2

22

1,2

9. Zadane su kruznica =4 i parabola 5. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku.

4 1Rjesenje sistema daje rezultat: 1 02 2

Rezultat je imaginarana velicina,

x y x y

b b ac iy y ya

+ + =

− ± − ±− − = ⇒ = =

krivulje nemaju zajednickih tocaka.

3



2 2 2

2 2 2

212

1,22

2

10. Zadane su hiperbola =16 i parabola 2 1. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku.Rjesenje sistema daje: 2 15

54 2 82 15 032 2

2 1

x y y x

x y y x

xb b acx x xxa

y x

− + = −

− + + =

= −− ± − − ±+ − = ⇒ = = = =

+ = − ( )

( )

( )

121

2

322

4

32 1 2 5 1 9

3

72 1 2 3 1 7

7

Krivulje se sjeku u samo dvije to A ,3 B(-5,-cke: 3 ,

yy x

y

y iy x

y i

= −⇒ = − − = − − − = ⇒ =

= −= − − = − −

= − ⇒ =

5 )−

( )A 6,6 ,( 6 6)B − −

2 2

22 4 2 2 2

2 21,2 1,2

11. Zadane su hiperbola 36 i kruznica 72. Izracunaj koordinate tocaka u kojimase krivulje sjeku.

36Tjesenje sistema daje: 72 72 36 0

72 36 0 36 6

36

xy x y

y y y y ky

k k k y k

xy x

= + =

+ = ⇒ − + = =

− + = ⇒ = = ± = ±

= ⇒ 1,21,2

36 36 66

Krivulje se sjeku u samo dvije tocke: ,

y= = = ±

±



2 2 2 2 2 2

1 2

2 2 2 2

1

12. Kroz ishodiste su polozena dva okomita pravca, koji sijeku elipsu ,svaki u dvije tocke i tako cine tetive: 2 2

1 1 1 1Dokazi da vrijedi:

pravci su okomiti:

b x a y a bp AB u p CD v

u v a b

p y kx

+ =

→ = → =

+ = +

≡ =

( )

( )

1

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

,

2 2 2 2 2

1 Odredimo tocke presjeka:

Za :

1Za :

Ay

p y xk

p b x a y a b b x a kx a b

b x a k x a b x b a k a b

y kx

p b x a y a b b x a x a bk

b k x a x a

≡ = −

+ = ⇒ + =

+ = ⇒ + =

= ⇒

+ = ⇒ + − =

+ = ( )2 2 2 2 2 2 2,

2 2 2 2

1

C Dxb k x a b k a b k

y xk

⇒ + == ⇒

= − ⇒

2 22

, 2 2 2

2 2

2 2 2

A B

B

a bxb a k

ka bb a k

=+

=+

2 2 2

2 2 2

2 22

, 2 2 2C D

k a ba b k

a bya b k

+

=+

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

Nase cetiri tocke imaju koordinate:

, ,

, ,

Duzina tetive 2

4

B A B A

ab kab ab kabA Bb a k b a k b a k b a k

kab ab kab abC Da b k a b k a b k a b k

AB u x x y y

ab abub a k b

−

+ + + + − −

+ + + +

= = − + −

= ++

( )

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 22

2 2 2

1

kab kab

a k b a k b a kk a b

ub a k

+ +

+ + +

+=

+



( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 22

2 2 2

Duzina tetive 2

4

1

D C D CCD v x x y y

kab ab kab kabva b k a b k a b k a b kk a b

va b k

= = − + −

= + + +

+ + + +

+=

+

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2 2

Postavimo uvjete koje moramo dokazati:

1 11 1 1 11 1

1 11 1 1 11

k a b k a b

u v k a b k a b a b kb a k a b kk a k b a b

u v a b a bk a b

+ + ++ = + =

+ + ++ +

+ + + ++ = = = +

+

( )( )

2 2

22 2 2 2 2

13. Odredi geometrijsko mjesto svih kruznica koje diraju kruznicu 8 84 0 i prolaze tockom 4,0 .

8 84 0 2 4 16 16 84 0 4 100

Sredista kruznica moraju biti uvijek jednako udalje

x y xA

x y x x x y x y

+ + − =

+ + − = ⇒ + ⋅ + − + − = ⇒ + + =

( )( )

ne od dviju tocaka: Tocke 4,0

i sredista zadane kruznice 4,0 . Takve karakteristike ima samo elipsa. U tom slucaju su tocke i , fokusi elipse. Ekscentricitet elipse jednaka je polovici udaljenost

A

SA S

−

( ) ( )

2 2 2 2 2

i i : 4.

Krajnja tocka zadane kruznice je: 10 4 6 Jedna od kruznica mora proci tockama i , cime je definirana velika os elipse: 5.

Mala os elipse se izracuna iz: 5 4 9Traz

k x

k

A Se

x r Sx A a

b a e

=

= − = − =

=

= − = − =ena elipsa, geometrijsko mjesto srediste svih kruznica koje prolaze kroz A i diraju

zadanu kruznicu ima jednadzbu: 5, 3 xa b += ⇒=

2 2

125 3

y=



1 2 1 2

2

14. Odredi skup tocaka T ravnine, za koje vrijedi: Produkt udaljenosti tocke T od zadanih 144pravaca 4 3 11 0 i 4 3 5 0 iznosi 25

Udaljenost tocke od pravca dana je sa: T T

p x y p x y d d

ax by cd

a

≡ − + = ≡ + + = ⋅ =

+ +=

+

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

2

1 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

pa pisemo:

4 3 11 4 3 5144 4 3 11 4 3 5 14425 4 3 4 3

16 12 20 12 9 15 44 33 55 144 0

16 64 9 18 89 0 Nadopunimo na potpuni kvadrat:

4 8 3 3 144 16 2 9 1 14

T T T T

b

x y x yd d x y x y

x xy x xy y y x y

x x y y

x y x y

− + + += = ⋅ ⇒ − + + + =

+ ++ + − − − − + + − =

+ − − − =

+ − − = ⇒ + − − =

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

4

2 1Odnosno: 1. Pazljivim promatranjem, mozemo

9 162 1

doci do zakljucka da uvjete zadovoljava i hiperbola: 116 9

x y

x y

+ −− =

+ −− =



( )( ) ( )

( )

( ) ( )

15. Odredi koordinatu tocke B, tako da pravac prolazi kroz sve tri zadana tocke: 1, 2 ,

, 4 , 5,6

Jednadzba pravca kroz A i C:

6 2 2 2 8 22 1 2 15 1 3 3 3 3

Za tocku B vrij

B

C AA A

C A

x A

B x Cy y

y y x x xy y

y x x y x y x k

−

−− = + −

−

−− = + + ⇒ − = + ⇒ = + =

+2 8edi: 4 12 2 8 23 3B B B B By kx l x x x= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =

( ) ( ) ( )2 2

2 2

2 2

16. Odredi jednadzbu kruznice koja prolazi kroz tocke 5,0 , 0,0 , 0,3 .

Jednadzba kruznice ima oblik: 0Za tocku A imamo: 5 0 5 0 0 25 5 0 5

Za tocku A imamo: 0 0 0 0 0 0

Za t

A B C

x y cx dy ec d e c e c

c d e e

−

+ + + + =

+ + + + = ⇒ − + = ⇒ =

+ + + + = ⇒ =

2

2

2 2

2 2 2

2

2 2

ocku C imamo: 0 3 0 3 0 9 3 0 3

Nasa jednadzba glasi: 5 3 0 ili d5 25 3 92 2

rukcije:25 95 3 04 4

5 3 172 2 2

c d e d d

x y x y

x y x y

x y

x x y y

+ + + + = ⇒ + = ⇒ = −

+ + + =

+ + − + + − += − + − =

+ + − =

2 4 2 4



1 2

1 2

2

17. Izracunaj koeficijent tako, da sjeciste zadanih pravaca bude na pravcu 3.2 1 0 2 3 0

61 2 312 2 42 2

2 3 2 1 32 2

a xp ax y p x ay

aaa xx xp y xa a aap y x y y

a a a a

− =≡ + − = ≡ + + =

+ =− + = − −≡ = − + −= ⇒ ≡ = − − − + = − −

y

2

22 2

3 24

3 2 6Uvrstimo u jednadzbu pravca 3 : 3 3 4 20 04 4

aya

a ay x a aa a

+ = − −

+ += − − = − ⇒ − − =

− −

1

1

1 2 1

1 1

2 2

10 10, 2 : Nasi pravci imaju za slijedece jednadzbe:3 3

10 10 12 1 0 2 1 03 6

10 6 92 3 0 2 3 03 10

Njihovo presjeciste je u tocki:10 1 6 9 50 156 2 10 10

a

a

a a a

p ax y p x y y x

p x ay p x y y x

x x x

= = − =

≡ + − = ⇒ ≡ + − = ⇒ = − +

≡ + + = ⇒ ≡ + + = ⇒ = − −

− + = − − ⇒ − +

2

10

2

42 2118 2732 16

10 1 10 21 1 35 1 27 21 27,6 2 6 16 2 16 2 16 16 16

Za 2 dobijemo:

x x

y x T

a

= − − ⇒ = =

= − + = − ⋅ + = − + = − −

= −

2

1

1 1

2 2

2 1 0 2 2 1 0

2 3 0 2 2 3 0

Pravci su paralelni!

a

a

p ax y p x y y x

p x ay p x y y x

≡ + − = ⇒ ≡ − + − = ⇒ = +

≡ + + = ⇒ ≡ − + = ⇒ = +

1

3

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

18. Dijagonala kvadrata dana je sa tockama 3, 4 , 7,0 . Odredi jednadzbe upisane i opisane kruznice tom kvadratu.

Duzina je ujedno i promjer opisane kruznice.

7 3 0 4 32B A B A

A B

AB

D AB x x y y

−

= = − + − = − + + =



( ) ( ) ( )

2

2 2

32 32 8 82 2 4

7 3 4 0Srediste je u polovistu dijagonale: , ,2 2 2 2

5, 2 ; Opisana kruznica ima jednadzbu: 5 2 8

Upisan kruznica ima isto srediste i

B A B A

Dr r

x x y yS

S x

= = = = ⇒ =

+ + + − + =

− − + y

+ =

( ) ( )2 2radijus jednak 2 5 2 4yr S x y= = ⇒ − + + =

( )19. Pravac prolazi tockom 3,3 . Odsjecan na osi , tri puta je vici od odsjecka na osi .

Odredi njegovu jednadzbu.1, 3 3 Imamo znaci dva rjesenja:

3 3 Za tocku A i 3 : 1 1 4 123

A A

A y

m n n mx y

n m m nm n m m

= = ⇒ = ± ⇒

= + = ⇒ + = = ⇒ = ⇒

x

14 12

12 4 48 3 12

x y

x y y x

+ =

+ = ⇒ = − +

3 3Za tocku A i 3 : 1 1 2 6 1

3 26 2 12 3 6

A Ax y x yn m m nm n m m

x y y x

= − + = ⇒ + = = ⇒ = − ⇒ − =−

− = ⇒ = −6



( )

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2 2

20. Odredi jednadzbu kruznice radijusa 5, koja prolazi tockom 6,9 a srediste ima na pravcu 3 18 0.

Jednadzba kruznice kroz tocku A: 25

6 9 25 36 12 81 18 25

12 18 9

A A

r Ax y

x p y q

p q p p q q

p q p q

=

+ − =

− + − =

− + − = ⇒ − + + − + =

+ − − + 2 0

Srediste kruznice je na pravcu: 3 18 0 6 3 18 03xx y y p q

=

+ − = ⇒ = − + → + − =

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

112

12

2 2 2 2

18 3 12 18 3 18 92 0 Imamo dva rjesenja:

9 1 5 18 3 5 329 20 018 3 4 69 1 4

2Trazene jednadzbe jesu: 3 5 25 i 6 4 25

q q q q

q pq q

pq

x y yx

+ − − − + =

+ = = = − ⋅ = − + = ⇒ ⇒ = − ⋅ =− = =

− + − = − + − =

18 3p q⇒ −= −

( )

( )

2 221. Odredi jednadzbu hiperbole, koja ima u jednom zaristu srediste kruznice 3 4, koja dira asimptote hiperbole. Nacrtajmo kruznicu sa sredistem u 3,0 . Odredimo diralista tangente na poznatu

kr

x y

S

+ + =

−

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )

2

22 2 2 2

uznicu iz ishodista O 0,0 : 50 3 3 0 0 0 4 3 9 4 odnosno koorinate :3

5 16 203 4 3 4 43 9 3

5 20 5 20Diralista su: , , , Asimptote prolaze3 3 3 3

o ox p x p y q y q r

x y x x y

x y y y y

A B

− − + − − =

+ + + − − = ⇒ + = ⇒ = −

+ + = ⇒ − + + = ⇒ = − ⇒ = ±

− − −

kroz , i imaju A B O



2 2 2 2

2 2

200 203koeficijent smjera: : 5 503

20 4 5 2 5 2 5 2 2, 55 5 5 5 5 5

Trazena jednadzba ima oblik: 1 14

5

5

o A

o A

y yb bka a x x

b a

x y x ya b

−−± = ± = ± = ± = ±

− −

⋅ ⋅= = = = ⇒ = =

− = ⇒ − =

5

( ) ( ) ( )

2 2

2 22 2

22. Odredi jednadzbu kruznice, koja prolazi ishodistem te velikim i malim tjemenom elipse 4 9 144.

4 9 144 1 Nase tocke su: A 6,0 , 0,4 , 0,036 16

x yx yx y B C

+ =

+ = ⇒ + = ⇒

2 2

2 2 2 2

2 2

6 0 6 0 0 36 6 00 0 4 0 4 0 16 4 0

0 0 0 0 0 0

a b c a cx y ax by c a b c b c

a b c c

+ + + + = + + = + + + + = ⇒ + + + + = ⇒ + + = + + + + = =

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 21

2 3 4

Rjesenje sistema je: 6, 4, 06 4 0 2 3 9 9 2 2 4 4 0

3 2 13 3,2 , 13

Zadatak ima u stvari 4 rjesenja. Sredista ostalih kruznica nalaze se u tockama:3,2 , 3, 2 , 3,

a b cx y x y x x y y

x y S r

S S S

= − = − =

+ − − = ⇒ − ⋅ + − + − ⋅ + − =

− + − = =

− − − ( )2−



23. Odredi jednadzbu pravca, koji prolazi ishodistem i sa pravcem 3 4 18 0 i osi , cinitrokut povrsine 9.

3 18 3 183 4 18 0 . Presjeciste je za 0 0 64 4 4 4

Trazeni trokut ima bazu sa krajnj

x y x

x y y x y x x

− + =

− + = ⇒ = + = ⇒ + = ⇒ = −

( ) ( )im tockama 6,0 i 0,0 . Duzina baze je 6.6 18Povrsina trokuta je P 9 3 3

2 2 6Visina trokuta je 3 i to je koordinata nase trece tocke C, kroz koju mora proci trazeni pravac. Vrijednost moC

A B bb v v v v

y

− =

⋅ ⋅= = = ⇒ = = =

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

+3 3

3 3

ze biti 3 pa imamo dva rjesenja:1. 3 4 18 0 3 4 3 18 0 2

C 2,3

3 0 30 02 0 2

2. 3 4 18 0 3 4 3 18 0 10

10,3

3 0010 0

C C C C

C BB B

C B

C C C C

C BB B

C B

x y x xy y

p y y x xx x

y x y x

x y x x

y yC p y y x x

x x

y x

+

− −

±

− + = ⇒ − ⋅ + + = ⇒ = −

−− ⇒ ≡ − = −

−−

− = − ⇒ = −− −

− + = ⇒ − ⋅ − + = ⇒ = −

−− ⇒ ≡ − = −

−− −

− =− −

( ) 3010

y x− ⇒ =

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

2 2 22

22 2 2

2 2

24. Kruznice 4 20 i 2 2 20 imaju zajednicku tetivu, koja je ujedno i promjer trece kruznice. Odredi njenu jednadzbu.Nadjimo presjecne tocke kruznica:

4 20 8

2 2 20

x y x y

x y x y

x y

+ − = − + + =

+ − = + − ⇒ − + + =

( ) ( )

( ) ( )

2 2

22 2 2

1 1

2 2

4 02

4 4 12 0

Jednadzbe smo oduzeli i rjesenje za uvrstili u jednu od jednadzbi:

8 4 0 2 8 4 0 6 00 2 0 2 26 2 6 2 4 2,0 4, 2

yx y

x y x y

x

x y y y y y y yy x yy x y A B

− =⇒ = −

+ − + − =

+ − − = ⇒ − + − − = ⇒ − =

= ⇒ = − = − = −

= ⇒ = − = − = −



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2

2 2 2

Tetiva, duzina ima poloviste u:2 4 0 2 1; 1

2 2 2 2

Duzina tetive, promjer kruznice iznosi:

404 2 2 0 40 10 102 4

Trazena kruznica ima jednadzbu:

A B A B

B A B A

ABx x y y

S

d x x y y

dd r

x p y q r

x

+ +− + + = = = =

= − + −

= + + − = = = = =

− + − =

−( ) ( )

r

2 21 1 10y+ − =

2 2

2 22 2

2

25. Izracunaj povrsinu pravokutnog trokuta koji ima dva vrha u fokusima hiperbole 4 4 a treci vrh lezi na asimptoti.

1 4 4 1 2, 1; Asimptote su: 4 1 2

Koordinate fokusa su:

x yx y bx y a b y x x

ae

− =

− = ⇒ − = ⇒ = ± = ± = ± = ±

( )

2 2 4 1 5 5 1 1 1Treci vrh trokuta ima koordinate 5, : 5 5, 52 2 2

2 5 5Povrsina trokuta iznosi: P 52 2 2 2

C c c

c

b a e

C y y x C

e yb v

= + = + = =

= = →

⋅⋅= = = =



( )

2 2

2 2

22 2 2 2 2 2 2 2

1,2 1,2

26. Izracunaj povrsinu pravokutnika koji ima vrhove u sjecistima zadanih krivulja: 9i 3 12 36

9 9 3 9 12 36 27 3 12 36 0

1 8 2 2

Stranica pravokutnika ima duzinu

x yx y

x y x y y y y y

y x

+ =

+ =

+ = ⇒ = − − + = ⇒ − + − =

= ± = ± = ±

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 222 1 2 1

2 222

2 2 22

:

2 2 2 2 1 1 4 2 4 2

2 2 2 2 1 1 2 2

Povrsina pravokutnika: P 4 2 2 8 2

d x x y y

a a

b b

a b

= − + −

= − − + − = ⇒ =

= − + − − = ⇒ =

= ⋅ = ⋅ =

1 2 3

1 2

27. Stranice trokuta leze na zadanim pravcima. Odredi jednadzbu najveceg kuta trokuta.5 12 27 0; 4 3 5 0; 3 4 2 0

Najveci kut je izmedju pravaca i : Jednadzba simetrale koja zadovoljavap x y p x y p x y

p p≡ + + = ≡ − − = ≡ − − =

( ) ( )

1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 31 1 2 2

uvjet:27 5 5 12 27 4 3 5

5 12 4 3

5 12 27 4 3 5 135 12 27 4 3 513 5 5

Imamo dva rjesenja:1. 25 60 135 52 39 65 27 99 200 0

2. 25 60 135 52 39 65 11 3

a x b y a x b y x y x y

a b a b

x y x yx y x y

x y x y x y

x y x y x

+ + − − + + − −= ⇒ =

+ + + +

+ + − −= ⇒ + + = − −

+ + = − − ⇒ − − =

− − − = − − ⇒ + 10 0

Trazeno rjesenje je: 11 3 10 0

y

x y

+ =

+ + =

±



( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2

28. Kroz tocke presjeka kruznice 2 2 26 i pravca 2 0 prolaze tangente

povucene iz tocke , . Odredi koordinate tocke T.Odredimo presjecne tocke: 2 0 2

2 2 26 2 2 2 26

T T

x y x y

T x yx y y x

x y x x x

+ + − = − − =

− − = ⇒ = −

+ + − = ⇒ + + − − = ⇒

( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

1 1

2 2

21 1

2 3 03 3 2 1

1 1 2 3 3,1 ; 1, 3Tangente iz tocaka na kruznici imaju jednadzbe:

3 2 2 1 2 2 26 5 14

1 2 2 3 2 2 26 5 14

Presjeciste je u tocki T: 5 14

xx yx y A B

x p x p y q y q r

A x y x y

B x y x y

x y

− − =

= ⇒ = − =

= − ⇒ = − − = − − −

− − + − − =

≡ + + + − − = ⇒ − =

≡ − + + + − − − = ⇒ − =

− = ⇒7 7 7 724 56 ; ,3 3 3 3

x x y T = ⇒ = = − −

2 2 229. Na parabolu, 16 povucene su tangente iz stedista kruznice 4 4 8 0. Izracunaj povrsinu trokuta kojeg cine tangente i pravac koji spaja diralista tangenata.

Uvjet da pravac dira parabolu:

y x x y x y= + + + − =

( ) ( ) ( )

2

2 2

2 22 2

2

1 2 1 2 1

2 16 2 8

Pravac prolazi kroz srediste S: 4 4 8 0

4 4 4 4 4 4 8 0 2 2 16 2, 2

1; Rjesenja su: 2 8 02

4; 2 4; 2 Tangente su: 2

2

p kl y x kl

x y x y

x x y y x y S

ly kx l k l l

l l

k

k k t y x

= ⇒ = ⇒ = ⇒

+ + + − =

+ + − + + + − − = ⇒ + + +

−

= − −

= + ⇒ = + + − =

= − = ⇒ = − = ≡ =

( ) ( )

( )

2

1 1

2 2

2; 4

4Diralista tangenata na paraboli: , 2 4,2 4 8 4, 81

2 1,2 2 4 1,4 ;2

t y x

lD l D Dk

D D

+ ≡ = − −

− ⇒ = ⋅ − = − ⇒ − − = ⋅ = ⇒

4

2

l

k l

=

= − + ⇒



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 1

2 1

2 22 1 2 1

2 2

Odredimo pravac i duzinu sekante parabole, koja je ujedno i osnovica

trazenog trokuta: 8 4 8 4 4 4 8 :

Duzina sekante iznosi: :

1 4 4 8 153; Visina troku

D D

D D

D D D D

y yy x y x y

x x

d x x y y

d

−+ = − ⇒ + = − − ⇒ = − +

−

= − + −

= − + + =

x

( )

( ) ( )2 2

2 2

ta, prolazi kroz S i ima duzinu :

1 1 1 1 3; 2 24 4 4 4 2

1 3 38 16Presjecna tocka sekante i visine: 4 8 ;4 2 17 17

38 16 55062 217 17 17

Povrsine trokuta

N

N N

N N

N S N S N

d

k y x y x

x x x y

d v x x y y

= − = + = + ⇒ = −−

− = − + ⇒ = = −

= = − + − = − − + − + =

153 5506 842418: 26.995 272 2 2 17 34b v d vP ⋅ ⋅

= = = = =⋅

∼

2 2

2 22 2

32. Odredi jednadzbe tangenata na elipsu 16 64 tako, da udaljenost diralista od

ishodista bude 10.

16 64 1 Tocke koje su jednako udaljene od ishodista moraju 64 4

biti na kruznici, koja

x y

x yx y

+ =

+ = ⇒ + =

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

mora imati radijus 10 10 10Odredimo presjecne tocke:

1816 64 10 16 64 15 545

18 32 4 10 3 1010 10 ;5 5 5 5

32 32 16 2 5 4 2 5 4 105 5 55 5 5

r x y x y

x y y y y y

x y x y

x x

= ⇒ + = ⇒ = −

+ = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ =

= − = − = ⇒ = ± = ±

⋅= ⇒ = ± = ± = =



4 10 3 10 4 10 3 10Trazene tocke su: , , , ,5 5 5 5

4 10 3 10 4 10 3 10, , ,5 5 5 5

A B

C D

−

− − −

2 2 2 2 231. Pravac 2 4 je zajednicka tangenta parabole 2 i elipse sa

ekscentricitetom 6. Diralista zajednickih tangenti tvore cetverokut. Odredi njegov opseg i povrsinu.

Uvjet da pravac

x y y px b x a y a b

e

− + = + =

=

2 2

( )

2

22 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

dira parabolu: 2 2 4 22

12 2 2 Jednadzba parabole: 2 2 2 42

1Uvjet da pravac dira elipsu: 22

4 4 6 6 rijesimo sistem:

10 2 5

xp kl x y y

p y px x x

a k b l a b

a b e a b a b

b a e b

= ⇔ − + ⇒ = +

= ⋅ ⋅ = = = ⋅ =

+ = ⇒ + =

+ = = = − ⇒ − =

= = = + =

2 2 2 2

2 2

6 2 8

Trazena elipsa ima jednadzbu: 1 18 2

x y x ya b

+ =

+ = ⇒ + =

( )

( )2 2

Diralista tangente i parabole: 4, 2 4 4,4

1 8 2Diralista tangente i elipse: 2, 1 2,12 2 2

Krivulje imaju dvije tangente i tocke dodira su simetricne obzirom na os.Traz

p

e

lD l Dk

ka bD Dl l

x

= = ⇒

⋅− = − = − = = ⇒ − ⋅

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2 3 4ene tocke cetverokuta su: 4,4 ; 4, 4 ; 2,1 ; 2, 14 1 1Druga tangenta ima jednadzbu: 1 2 2

4 2 2Odredimo duzinu stranica trapeza, lika ciji opseg i povrsinu trazimo:

D D D D

y x y x

− − − −

− ++ = + ⇒ = − −

+



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 21 2 1 2

2 2 23 4 3 4

2 2 2 23 1 3 1

23 1

baza: 4 4 4 4 8

kraca stranica: 2 2 1 1 2

bocna: 2 4 1 4 45

Opseg trapeza: 2 8 2 2 45 10 2 9 5 10 6 5

Visina trapeza: 2

D D D D

D D D D

D D D D

D D

b x x y y

p x x y y

k x x y y

O b p k

v x x

= − + − = − + + =

= − + − = − + + +

= − + − = − − + − − =

= + + ⋅ = + + = + ⋅ = +

= − = −( )

2 =

24 6

8 2Povrsina trapeza: 6 302 2

b pP v

− =

+ + = ⋅ = =

2

2

32. U fokusu parabole 16 , je srediste kruznice koja dira ravnalicu. Izracunaj pod kojim se kutem sijeku krivulje.

2 16 2 16 88Ravnalica je na 4. Fokus ima koordinatu: 4

2 2 2Trazena kru

y x

y px x p pp p

=

= = ⇒ = ⇒ =

− = − = − =

( )( )

( )

2 2 2

22 2 2 2 2

21,2 1 2 1,2

znica ima jednadzbu: 4 8 ; Kruznica i parabola se sijeku u:

16 4 8 8 16 16 64 0 8 48 0

8 16 12; 4 16 4 64 82

Tangenta u tocki 4,8 ima jednadzbu:

Za kruznicu:

x y

y x x y x x x x x

x x x y y

A

x

− + =

= ⇒ − + = ⇒ − + + − = ⇒ + − =

− ±= ⇒ = − = = ⋅ = ⇒ = ±

( )( ) ( )( ) 64A Ap x p y q y q− − + − − =

( )( ) ( )( )( ) ( )

4 4 4 8 0 0 64 8 64 8

Za parabolu: 8 8 4 8 8 32 4

Tangenta na parabolu ima tan 1 45Tangenta na kruznicu je horizontalna, pa se nase krivulje sijeku pod kutem od 45 .

A A

x y y y x

y y p x x y x y x y x

k ϕ ϕ

− − + − − = ⇒ = ⇒ =

= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = +

= = ⇒ =



2 2 2 2 2 2 2 233. Hiperbola i elipsa 3 4 84, imaju fokuse u istoj tocki a pravac

3 je asimptota hiperbole. Povuci tangente u presjecnim tockama krivulja tako, 2

da u tockama I i IV kvadranta

b x a y a b x y

y x

− = + =

=

2 22 2 2 2 2 2 2

budu tangente hiperbole a II i III kvadranta tangente elipse. Izracunaj povrsinu tako nastalog cetverokuta.

3 4 84 1 28; 21; 728 21

3Asimptota hiperbole ima jednadzbu:2

Hip

x yx y a b e a b

by x xa

+ = ⇒ + = = = = − =

= ± = ±

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 21,2

erbola ima osi: 3 3 2 4 i jednadzbu:3 4 12

Presjecista dobijemo kada rijesimo sistem:3 4 123 4 84

6 96 16 4 4 36 3

Povucimo tangente iz sada poznatih

b b a ab x a y a b x y

x yx y

x x x y y

= ⇒ = = ⇒ =

− = ⇒ − =

− =

+ =

= ⇒ = ⇒ = ± ⇔ = ⇒ = ±

( )( )

( )( )

2 21 1 1

4

2 22 1 1

2 23 1 1

tocaka:t na hiperbolu u 4,3 : 3 4 4 3 12 1

t na hiperbolu u 4, 3 : 3 4 4 3 12 1

t na elipsu u 4,3 : 3 4 4 3 84 7

t na elipsu u C 4, 3 : 3 4 4 3 8

A b x x a y y x y y x

D x y y x

B b x x a y y x y y x

b x x a y y x y

≡ − = ⋅ − ⋅ = ⇒ = −

≡ − ⋅ + ⋅ = ⇒ = − +

≡ − + = − ⋅ + ⋅ = ⇒ = +

≡ − − + = ⋅ − ⋅ =

( )( )

1 4 1

1 3 2

4 7

Odredimo vrhove cetverokuta rjesenjem gornjeg sistema jednadzbi:t : 1 1 2 2 1, 0 1,0

t : 1 7 2 6 3, 4 3, 4

y x

t x x x x y V

t x x x x y V

⇒ = − −

↔ − = − + ⇒ = ⇒ = = ⇒

↔ − = − − ⇒ = − ⇒ = − = − ⇒ − −

( )( )

2 3 3

2 4 4

t : 7 7 2 14 7, 0 7,0

t : 7 1 2 6 3, 4 3,4

t x x x x y V

t x x x x y V

↔ + = − − ⇒ = − ⇒ = − = ⇒ −

↔ + = − + ⇒ = − ⇒ = − = ⇒ −



( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 222 1 2 1

Povrsinu cetverokuta, u ovom slucaju kvadrata, dobijemo iz:

7 1 0 0 64 322 2 2 2

x x y ydP− + − − − + −

= = = = =

Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Documents

Transcript of Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu