Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 3Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 3.1 Prije rijesavanja zadataka...

25
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 3.1 Prije rijesavanja zadataka prisjetimo se bitnih stvari koje ce nas pratiti tijekom njihovog promatranja. Tvrdnja : Adicijski teoremi sin (x ± y) = sin x · cos y ± cos x · sin y cos (x ± y) = cos x · cos y sin x · sin y tg (x ± y)= tg x ± tg y 1 tg x · tg y ctg (x ± y)= ctg x · ctg y 1 ctg y ± ctg x Tvrdnja : Formule redukcije sin π 2 + t = cos t cos π 2 + t = - sin t sin π 2 - t = cos t cos π 2 - t = sin t sin (π + t)= - sin t cos (π + t)= - cos t sin (π - t) = sin t cos (π - t)= - cos t sin 3π 2 + t = - cos t cos 3π 2 + t = sin t sin 3π 2 - t = - cos t cos 3π 2 - t = - sin t Prisjetim se jos vrijednosti trigonometrijskih funkcijca za istaknute kuteve: Kut π 6 π 4 π 3 π 2 π 3π 2 2π sin x 1 2 2 2 3 2 1 0 -1 0 cos x 3 2 2 2 1 2 0 -1 0 1 tg x 3 3 1 3 nedef. 0 nedef. 0 ctg x 3 1 3 3 0 nedef. 0 nedef. 1

Transcript of Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 3Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 3.1 Prije rijesavanja zadataka...

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 3.1

Prije rijesavanja zadataka prisjetimo se bitnih stvari koje ce nas pratiti tijekomnjihovog promatranja.

Tvrdnja: Adicijski teoremi

sin (x± y) = sinx · cos y ± cosx · sin y

cos (x± y) = cosx · cos y ∓ sinx · sin y

tg (x± y) = tg x± tg y

1∓ tg x · tg y

ctg (x± y) = ctg x · ctg y ∓ 1

ctg y ± ctg x

Tvrdnja: Formule redukcije

sin(π2+ t)= cos t cos

(π2+ t)= − sin t

sin(π2− t)= cos t cos

(π2− t)= sin t

sin (π + t) = − sin t cos (π + t) = − cos t

sin (π − t) = sin t cos (π − t) = − cos t

sin

(3π

2+ t

)= − cos t cos

(3π

2+ t

)= sin t

sin

(3π

2− t)

= − cos t cos

(3π

2− t)

= − sin t

Prisjetim se jos vrijednosti trigonometrijskih funkcijca za istaknute kuteve:

Kutπ

6

π

4

π

3

π

22π

sinx1

2

√2

2

√3

21 0 -1 0

cosx

√3

2

√2

2

1

20 -1 0 1

tg x

√3

31

√3 nedef. 0 nedef. 0

ctg x√3 1

√3

30 nedef. 0 nedef.

1

Zadatak 9: (str. 66) Koliko je sin (α+ β) i cos (α+ β) ako je tgα =8

15,

ctg β = − 7

24, te 0 < α <

π

2iπ

2< β < π?

Rjesenje: Uocimo prvo u kojim kvadrantima se nalaze dani kutevi na brojevnojkruznici kako bi kasnije znali odrediti predznake vrijednosti trigonometrijskihfunkcija:

Nadalje uocimo da je nas zadatak odrediti cemu je jednako sin (α+ β) i cos (α+ β).Raspisemo li te izraze po adicijskim teoremima:

sin (α+ β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ

cos (α+ β) = cosα · cosβ − sinα · sinβ

mogu uociti da je zadatak zapravo odrediti cemu su jednaki sinx, cosx, sin y i

cos y. Krenimo od onoga sto je zadano, a to za pocetak neka bude tgα =8

15.

Znamo da vrijedi tgα =sinα

cosα:

tgα =8

15

tgα =sinα

cosα

⇒ sinα

cosα=

8

15

Pomnozim izraz na desnoj strani s cosα:

sinα

cosα=

8

15/ · cosα

2

sinα =8

15· cosα

Prisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:

sin2 α+ cos2 α = 1

Primjenim cinjenicu da vrijedi sinα =8

15· cosα te dalje racunam:

sin2 α+ cos2 α = 1(8

15· cosα

)2

+ cos2 α = 1

64

225· cos2 α+ cos2 α = 1

64

225· cos2 α+

225

225· cos2 α = 1

289

225· cos2 α = 1 / · 225

289

cos2 α =225

289/√

cosα = ±15

17

Posto se kut α nalazi u prvom kvadrantu, a tamo su vrijednosti kosinusa poz-

itivne, slijedi da je cosα =15

17. Sada se lako iz izraza sinα =

8

15· cosα odredi

vrijednost od sinα, dakle racunam:

sinα =8

15· cosα

sinα =8

1��15·��151

17

sinα =8

17

Nadalje pogledajmo sto je jos zadano. To je ctg β = − 7

24. Znamo da vrijedi

ctg β =cosβ

sinβ:

ctg β = − 7

24

ctg β =cosβ

sinβ

⇒ cosβ

sinβ= − 7

24

3

Pomnozim izraz na desnoj strani s sinβ:

cosβ

sinβ= − 7

24/ · sinβ

cosβ = − 7

24· sinβ

Prisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:

sin2 β + cos2 β = 1

Primjenim cinjenicu da vrijedi cosβ = − 7

24· sinβ te dalje racunam:

sin2 β + cos2 β = 1

sin2 β +

(− 7

24· sinβ

)2

= 1

sin2 β +49

576· sin2 β = 1

576

576· sin2 β +

49

576· sin2 β = 1

625

576· sin2 β = 1 / · 576

625

sin2 β =576

625/√

sinβ = ±24

25

Posto se kut β nalazi u drugom kvadrantu, a tamo su vrijednosti sinusa pozi-

tivne, slijedi da je sinβ =24

25. Sada se lako iz izraza cosβ = − 7

24· sinβ odredi

vrijednost od cosβ, dakle racunam:

cosβ = − 7

24· sinβ

cosβ = − 7

1��24·��241

25

cosβ = − 7

25

Time smo odredili sve vrijedsnosti da bi mogli odrediti cemu je jednako sin (α+ β)i cos (α+ β), dakle prisjetim se da vrijedi:

sinα =8

17, cosα =

15

17, sinβ =

24

25, cosβ = − 7

25

4

Te vrijednosti uvrstim u na pocetku raspisane izraze za sin (α+ β) i cos (α+ β).Racunam:

sin (α+ β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ

sin (α+ β) =8

17·(− 7

25

)+

15

17· 2425

sin (α+ β) = − 56

425+

360

425

sin (α+ β) =304

425

cos (α+ β) = cosα · cosβ − sinα · sinβ

cos (α+ β) =15

17·(− 7

25

)− 8

17· 2425

cos (α+ β) = −105

425− 192

425

cos (α+ β) = −297

425

Dakle odredili smo da vrijedi sin (α+ β) =304

425i cos (α+ β) = −297

425i time je

zadatak rijesen.− ?−

Zadatak 10: (str. 66) Ako je cos(π2− α

)=

5

13i sin

(π2− β

)=

3

5, te

π

2< α < π

i 0 < β <π

2, koliko je sin (α+ β) i sin (α− β)?

Rjesenje: Uocimo prvo u kojim kvadrantima se nalaze dani kutevi na brojevnojkruznici kako bi kasnije znali odrediti predznake vrijednosti trigonometrijskihfunkcija:

5

Nadalje uocimo da je nas zadatak odrediti cemu je jednako sin (α+ β) i sin (α− β).Raspisemo li te izraze po adicijskim teoremima:

sin (α+ β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ

sin (α+ β) = sinα · cosβ − cosα · sinβ

mogu uociti da je zadatak zapravo odrediti cemu su jednaki sinx, cosx, sin y icos y.Krenimo od onoga sto je zadano, a to za pocetak neka bude

cos(π2− α

)=

5

13. Iskoristimo li formulu redukcije cos

(π2− t)= sin t vidim

da cos(π2− α

)prelazi u sin t. Dakle u nasem slucaju mora vrijediti:

sinα =5

13

Prisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:

sin2 α+ cos2 α = 1

Primjenim cinjenicu da vrijedi sinα =5

13te dalje racunam:

sin2 α+ cos2 α = 1(5

13

)2

+ cos2 α = 1

25

169+ cos2 α = 1

cos2 α = 1− 25

169

cos2 α =169

169− 25

169

cos2 α =144

169/√

cosα = ±12

13

Posto se kut α nalazi u drugom kvadrantu, a tamo su vrijednosti kosinusa

negativne, slijedi da je cosα = −12

13.

Nadalje pogledajmo sto je jos zadano. To je sin(π2− β

)=

3

5. Iskoristimo li

formulu redukcije sin(π2− t)

= cos t vidim da sin(π2− β

)prelazi u cosβ.

Dakle u nasem slucaju mora vrijediti:

cosβ =3

5

6

Prisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:

sin2 β + cos2 β = 1

Primjenim cinjenicu da vrijedi cosβ =3

5te dalje racunam:

sin2 β + cos2 β = 1

sin2 β +

(3

5

)2

= 1

sin2 β +9

25= 1

sin2 β = 1− 9

25

sin2 β =25

25− 9

25

sin2 β =16

25/√

sinβ = ±4

5

Posto se kut β nalazi u prvom kvadrantu, a tamo su vrijednosti sinusa pozi-

tivne, slijedi da je sinβ =4

5.

Time smo odredili sve vrijednosti da bi mogli odrediti cemu je jednako sin (α+ β)i sin (α− β), dakle prisjetim se da vrijedi:

sinα =5

13, cosα = −12

13, sinβ =

4

5, cosβ =

3

5

Te vrijednosti uvrstim u na pocetku raspisane izraze za sin (α+ β) i sin (α− β).Racunam:

sin (α+ β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ

sin (α+ β) =5

13· 35+

(−12

13

)· 45

sin (α+ β) =15

65− 48

65

sin (α+ β) = −33

65

sin (α− β) = sinα · cosβ − cosα · sinβ

sin (α− β) = 5

13· 35−(−12

13

)· 45

sin (α− β) = 15

65+

48

65

7

sin (α− β) = 63

65

Dakle odredili smo da vrijedi sin (α+ β) = −33

65i sin (α− β) =

63

65i time je

zadatak rijesen.− ?−

Zadatak 12: (str. 66) Koliko je sin(π3+ α

)i cos

(π3− α

), ako je sinα = − 8

17, te

2< α < 2π?

Rjesenje: Uocimo prvo u kojem kvadrantu se nalazi dani kut na brojevnojkruznici kako bi kasnije znali odrediti predznake vrijednosti trigonometrijskihfunkcija:

Nadalje uocimo da je nas zadatak odrediti cemu je jednako sin(π3+ α

)i cos

(π3− α

).

Raspisemo li te izraze po adicijskim teoremima:

sin (α+ β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ

cos (α− β) = cosα · cosβ + sinα · sinβvrijedi:

sin(π3+ α

)= sin

π

3· cosα+ cos

π

3· sinα

cos(π3− α

)= cos

π

3· cosα+ sin

π

3· cosα

Prisjetim se da iz tablice na pocetku dokumenta mogu iscitati da vrijedi

sinπ

3=

√3

2i cos

π

3=

1

2. Uvrstim li to u gornje izraze zajedno sa cinjenicom da

je u samom zadatku zadano sinπ

3=

√3

2dobijem:

sin(π3+ α

)=

√3

2· cosα+

1

2·(− 8

17

)

8

cos(π3− α

)=

1

2· cosα+

√3

2·(− 8

17

)Uocavam da jedina nepoznata stvar u gornjim izrazima jest cosα. No prisje-timo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:

sin2 α+ cos2 α = 1

Primjenim cinjenicu da vrijedi sinα = − 8

17te dalje racunam:

sin2 α+ cos2 α = 1(− 8

17

)2

+ cos2 α = 1

64

289+ cos2 α = 1

cos2 α = 1− 64

289

cos2 α =289

289− 64

289

cos2 α =225

289/√

cosα = ±15

17

Posto se kut α nalazi u cetvrtom kvadrantu, a tamo su vrijednosti kosinusa

pozitivne, slijedi da je cosβ =15

17.

Time smo odredili sve vrijednosti da bi mogli odrediti cemu je jednako sin(π3+ α

)i cos

(π3− α

), dakle racunam:

sin(π3+ α

)=

√3

2· cosα+

1

2·(− 8

17

)

sin(π3+ α

)=

√3

2· 1517

+1

2·(− 8

17

)sin(π3+ α

)=

15√3

34− 8

34

sin(π3+ α

)=

15√3− 8

34

cos(π3− α

)=

1

2· cosα+

√3

2·(− 8

17

)

9

cos(π3− α

)=

1

2· 1517

+

√3

2·(− 8

17

)cos(π3− α

)=

15

34− 8√3

34

cos(π3− α

)=

15− 8√3

17

Dakle odredili smo da vrijedi sin(π3+ α

)=

15√3− 8

34i cos

(π3− α

)=

15− 8√3

17i time je zadatak rijesen.

− ?−

Zadatak 16: (str. 66) Ako je α + β =3π

4, cosβ =

3√7

8, te

π

2< β < π, koliko je

sinα?

Napomena: Dakle zadatak je malo krivo postavljen u knjizi, umjesto uvjet na αuvjet mora biti postavljen na β, no tada se to kosi s cinjenicom da mora vrijediti

cosβ =3√7

8, jer za takav β vrijednost kosinusa bi trebala biti negativna, no to

je zanemareno kod rijesavanja zadataka!

Rjesenje: Uocimo prvo u kojem kvadrantu se nalazi dani kut na brojevnojkruznici kako bi kasnije znali odrediti predznake vrijednosti trigonometrijskihfunkcija:

Dakle ideja vodilja, posto nam je zadano α + β =3π

4, jest probati raspisati

pomocu adicijskih teorema cemu je jednako sin (α+ β) i cos (α+ β). Dakleracunam:

sin (α− β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ

cos (α− β) = cosα · cosβ − sinα · sinβ

10

Pokusajmo uvrstiti podatke iz zadatka, α − β =2π

3i sinα = −4

√3

7u gore

raspisane izraze, slijedi:

sin3π

4= sinα · 3

√7

8− cosα · sinβ

cos3π

4= cosα · 3

√7

8+ sinα · sinβ

Promotrim li dobivene izraze mogu uociti da lako odredim cemu je jednako

sin3π

4i cos

4, te takodjer mogu izracunati vrijednost kosinusa za kut α preko

temeljnog tirgonometrijskog identiteta. Probajmo dakle prvo odrediti vrijed-

nosti od sin3π

4i cos

4.

Prvo nacrtajmo brojevnu kruznicu i ucrtajmo kuteveπ

4i3π

4, te oznacimo vri-

jednosti sinusa i kosinusa tih kuteva na koordinatnim osima:

Ono sto mozemo zakljuciti gledajuci sliku jest:

sin3π

4= sin

π

4

cos3π

4= − cos

π

4

No na prvoj stranici dokumenta iz tablice mogu iscitati da vrijedi sinπ

4=

√2

2

i cosπ

4=

√2

2. Imajuci to na umu tada vrijedi:

sin3π

4=

√2

2

11

cos3π

4= −√2

2

Nadalje probajmo odrediti cemu je jednako sinβ. Da bih to napravio prisjetimse da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:

sin2 β + cos2 β = 1

Primjenim cinjenicu da vrijedi cosβ =3√7

8te dalje racunam:

sin2 β + cos2 β = 1

sin2 β +

(3√7

8

)2

= 1

sin2 β +32 ·

(√7)2

82= 1

sin2 β +63

64= 1

sin2 β = 1− 9

25

sin2 β =25

25− 63

64

sin2 β =1

64/√

sinβ = ±1

8

Posto se kut β nalazi u drugom kvadrantu, a tamo su vrijednosti sinusa pozi-

tivne, slijedi da je sinβ =1

8.

Sva ta saznanja sada uvrstim u raspisane izraze:

sin3π

4= sinα · 3

√7

8− cosα · sinβ

cos3π

4= cosα · 3

√7

8+ sinα · sinβ

Dakle slijedi: √2

2= sinα · 3

√7

8− cosα · 1

8

−√2

2= cosα · 3

√7

8+ sinα · 1

8

12

Promotrim li malo dobivene izraze mogu uociti da sam zaprao dobio sustavjednadzbi po nepoznanicama sinα i cosα. Posto trebam odrediti cemu je jed-nako sinα probat cu se rijesiti nepoznanice cosα. Da bih to postogao pomnoz-imo prvu jednadzbu s 3

√7. Dakle racunam:

√2

2= sinα · 3

√7

8− cosα · 1

8/ · 3√7

−√2

2= cosα · 3

√7

8+ sinα · 1

8√2

2· 3√7 = sinα · 3

√7

8· 3√7− cosα · 1

8· 3√7

−√2

2= cosα · 3

√7

8+ sinα · 1

83√2√7

2= sinα ·

(3√7)2

8− cosα · 1 · 3

√7

8

−√2

2= cosα · 3

√7

8+ sinα · 1

8

Lijevu stranu sredim imajuci na umu√a ·√b =√a · b

3√14

2= sinα · 63

8− cosα · 3

√7

8

−√2

2= cosα · 3

√7

8+ sinα · 1

8

Zbrojim jednadzbe te dobijem:

3√14

2+

(−√2

2

)= sinα · 63

8+(���

����

− cosα · 3√7

8

)+��

����

cosα · 3√7

8+ sinα · 1

8

3√14−

√2

2= sinα ·�

�864

�81

3√14−

√2

2= 8 · sinα / : 8

3√14−

√2

28

1

=1�8 · sinα�81

3√14−

√2

16= sinα

Dakle odredili smo da vrijedi sinα =3√14−

√2

16i time je zadatak rijesen.

− ?−

13

Zadatak 19: (str. 67) Ako je sinx =1√5

, sin y =1√10

, te 0 < x <π

2, 0 < y <

π

2,

onda je x+ y =π

4. Dokazi!

Rjesenje: Uocimo prvo u kojim kvadrantima se nalaze dani kutevi na brojevnojkruznici kako bi kasnije znali odrediti predznake vrijednosti trigonometrijskihfunkcija:

Ideja je sljedeca, probajmo raspisati sin (x+ y) te uvrstiti stvari koje su zadaneu zadatku. Ako dobijemo da je lijeva strana jednaka desnoj pokazali smo stosmo trebali. Racunam:

sin (x+ y) = sinx · cos y + cosx · sin y

Uvrstim poznate stvari, dakle x+ y =π

4, sinx =

1√5

i sin y =1√10

pa slijedi:

sinπ

4=

1√5· cos y + cosx · 1√

10

Prisjetim se da na prvoj stranici dokumenta postoji tablica iz koje iscitam cemuje jednako sin

π

4, vrijedi:

√2

2=

1√5· cos y + cosx · 1√

10

Promotrim li dobiveni izraz mogu uociti da kako bih zavrsio zapoceti racuntreban dorediti cemu je jednako cosx i cos y. No to znam kako uciniti naimeprisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:

sin2 x+ cos2 x = 1

14

Primjenim cinjenicu da vrijedi sinx =1√5

te dalje racunam:

sin2 x+ cos2 x = 1(1√5

)2

+ cos2 x = 1

1

5+ cos2 x = 1

cos2 x = 1− 1

5

cos2 x =5

5− 1

5

cos2 x =4

5/√

cosx = ± 2√5

Posto se kut x nalazi u prvom kvadrantu, a tamo su vrijednosti kosinusa pozi-

tivne, slijedi da je cosx =2√5

.

Isti postupak ponovim i kod odredjivanja cosy. Prisjetimo se da vrijedi temeljnitrigonometrijski identitet:

sin2 y + cos2 y = 1

Primjenim cinjenicu da vrijedi sin y =1√10

te dalje racunam:

sin2 y + cos2 y = 1(1√10

)2

+ cos2 y = 1

1

10+ cos2 y = 1

cos2 y = 1− 1

10

cos2 y =10

10− 1

10

cos2 y =9

10/√

cosx = ± 3√10

Posto se kut y nalazi u prvom kvadrantu, a tamo su vrijednosti kosinusa pozi-

tivne, slijedi da je cosx =3√10

.

15

Dakle sada kada sam odredio cemu je jednako cosx i cos y dovrsim zapocetiracun uvrstavajuci dobivene vrijesdnosti u izraz:

√2

2=

1√5· cos y + cosx · 1√

10

Racunam: √2

2=

1√5· 3√

10+

2√5· 1√

10√2

2=

1 · 3√5 ·√10

+2 · 1√5 ·√10

Imajuci na umu da vrijedi√a ·√b =√a · b dalje slijedi:

√2

2=

3√50

+2√50

√2

2=

5√50

=5√2 · 25

=5√

2 ·√25

=1�5√

2 · �51√2

2=

1√2

Izmonozim unakrsno ove razlomke te dobijem:√2 ·√2 = 2 · 1

2 = 2

Kako je lijeva strana jednaka desnoj jednakost je dokazana, cime je zadatakrijesen.

− ?−

Zadatak 27: (str. 67) Ako je x+ y =π

2, x 6= 0, koliko je

tg (x− y)tg x− tg y

?

Rjesenje: Za pocetak probajmo srediti trazeni izraztg (x− y)tg x− tg y

kako bi znali

sto zapravo trebamo odrediti kako bi izracunali cemu je on jednak. Pri tomekoristim adicijski teorem za tangens:

tg (x± y) = tg x± tg y

1∓ tg x · tg y

Racunam:

tg (x− y)tg x− tg y

=

tg x− tg y

1 + tg x · tg ytg x− tg y

=

1(((

((tg x− tg y

1 + tg x · tg y((((

(tg x− tg y11

=

1

1 + tg x · tg y1

1

16

tg (x− y)tg x− tg y

=1

1 + tg x · tg yDakle trebali bi odrediti cemu je jednako tg x i tg y. Probajmo se sada malopozbaviti s jednakoscu danoj u zadatku, x+ y =

π

2. Izrazimo y pomocu x iz te

jednakosti:x+ y =

π

2

y =π

2− x

Kako trebamo odrediti cemu je jednako tg y izmjedju ostaloga, imajuci na umuy =

π

2− x zapravo trebam odrediti cemu je jednako tg

(π2− x)

. No to mepodsjeca na formule redukcije. Promotrimo sljedecu sliku:

Napomena: Dakle posto su slike konstruirane pomocu Geogebre, a u njima nemogu definirati fukcije tg i ctg koristim oznaku tan za tangens i oznaku tan−1

za kotangens!

Dakle iz slike mogu zakljuciti da mora vrijediti:

tg(π2− x)= ctg x

Prisjetim se da vrijedi ctg x =1

tg x. Imajuci to na umu slijedi:

tg y = tg(π2− x)=

1

tg x

17

Dakle s tim se saznanjem vratim u izraz koji trebam odrediti, dakle slijedi:

tg (x− y)tg x− tg y

=1

1 + tg x · tg y

tg (x− y)tg x− tg y

=1

1 +1��tg x ·

1

��tg x 1

=1

1 +1

1

− 1

1 + 1=

1

2

Dakle dobili smo da vrijeditg (x− y)tg x− tg y

=1

2, cime je zadatak rijesen.

− ?−

Zadatak 28: (str. 67) Ako je α+ β =π

4, koliko je (1 + tgα) (1 + tg β)?

Rjesenje: Dakle ideja je prvo raspisati izraz koji trebamo odredit. Racunam:

(1 + tgα) (1 + tg β) = 1 + tg β + tgα+ tgα · tg β

Ono sto mogu uociti ako promotrim dobiveni izraz te adicijski teorem za tan-

gens, tg (α+ β) =tgα+ tg β

1− tgα · tg β, vidim da se neki izrazi podudaraju. Pobajmo

dakle odrediti cemu je jednako tg (α+ β) =tgα+ tg β

1− tgα · tg β. Racunam:

tg (α+ β) =tgα+ tg β

1− tgα · tg β

tgπ

4=

tgα+ tg β

1− tgα · tg β

Procitam vrijednost fukcije tangens za kutπ

4s prve stranice dokumenta, dakle

vrijedi tgπ

4= 1. Imajuci to na umu racunam dalje:

1 =tgα+ tg β

1− tgα · tg β/ · 1− tgα · tg β

1− tgα · tg β = tgα+ tg β

S tim saznanjem vratim se u izraz koji trebam izracunati:

(1 + tgα) (1 + tg β) = 1 + tgα+ tg β︸ ︷︷ ︸1−tgα·tg β

+tgα · tg β

(1 + tgα) (1 + tg β) = 1 + 1((((((− tgα · tg β +���

��tgα · tg β

(1 + tgα) (1 + tg β) = 1 + 1 = 2

18

Dakle izracunali smo da vrijedi (1 + tgα) (1 + tg β) = 2, cime je zadatak rije-sen.

− ?−

Zadatak 29: (str. 67) Ako je x+ y =3π

4, koliko je (1 + ctgα) (1 + ctg β)?

Rjesenje: Dakle ideja je prvo raspisati izraz koji trebamo odredit. Racunam:

(1 + ctgα) (1 + ctg β) = 1 + ctg β + ctgα+ ctgα · ctg β

Ono sto mogu uociti ako promotrim dobiveni izraz te adicijski teorem za tan-

gens, ctg (α+ β) =ctgα · ctg β − 1

ctgα+ ctg β, vidim da se neki izrazi podudaraju. Poba-

jmo dakle odrediti cemu je jednako ctg (α+ β) =ctgα · ctg β − 1

ctgα+ ctg β. Racunam:

ctg (α+ β) =ctgα · ctg β − 1

ctgα+ ctg β

ctg3π

4=

ctgα · ctg β − 1

ctgα+ ctg β

Probajmo dakle odrediti vrijednost od ctg3π

4. Prvo nacrtajmo brojevnu kruznicu

i ucrtajmo kuteveπ

4i3π

4, te oznacimo vrijednosti sinusa i kosinusa tih kuteva

na koordinatnim osima:

Napomena: Dakle posto su slike konstruirane pomocu Geogebre, a u njima nemogu definirati fukciju ctg koristim oznaku tan−1 za tangens.

19

Ono sto mozemo zakljuciti gledajuci sliku jest:

ctg3π

4= − ctg

π

4

No na prvoj stranici dokumenta iz tablice mogu iscitati da vrijedi ctgπ

4= 1.

Imajuci to na umu tada vrijedi:

ctg3π

4= −1

Imajuci to na umu racunam dalje:

−1 =ctgα · ctg β − 1

ctgα+ ctg β/ · ctgα+ ctg β

− (ctgα+ ctg β) = ctgα · ctg β − 1 / · (−1)

ctgα+ ctg β = − ctgα · ctg β + 1

S tim saznanjem vratim se u izraz koji trebam izracunati:

(1 + ctgα) (1 + ctg β) = 1 + ctgα+ ctg β︸ ︷︷ ︸− ctgα·ctg β+1

+ctgα · ctg β

(1 + ctgα) (1 + ctg β) = 1 +(((((((− ctgα · ctg β + 1 +((((

((ctgα · ctg β

(1 + ctgα) (1 + ctg β) = 1 + 1 = 2

Dakle izracunali smo da vrijedi (1 + ctgα) (1 + ctg β) = 2, cime je zadatak rije-sen.

− ?−

Zadatak 30: (str. 67) Ako je tg x + tg y = 25, ctg x + ctg y = 30 koliko jetg (x+ y)?

Rjesenje: Dakle ideja je prvo raspisati izraz koji trebamo odrediti. Racunam:

tg (x+ y) =tg x+ tg y

1− tg x · tg y

Dakle odmah prepoznajem da je vrijednost izraza u brojniku vec dana u za-dataku. Potrebno je samo odrediti cemu je jednako tg x · tg y. U tu svrhuprobajmo raspisati drugi podatak dan u zadatku, a to je ctg x + ctg y = 30.

Imajuci na umu da vrijedi ctg x =1

tg xracunam:

ctg x+ ctg y = 30

1

tg x+

1

tg y= 30

20

Svedemo na zajednicki nazivnik jednak tg x · tg y, dakle slijedi:

1 · tg y + 1 · tg xtg x · tg y

= 30

tg x+ tg y

tg x · tg y= 30

Prepoznajem da je vrijednost izraza u brojniku vec dana u zadataku, donosnoda vrijedi tg x+ tg y = 25. Imajuci to na umu dalje racunam:

25

tg x · tg y= 30 / : 25

1��25

tg x · tg y��2511

=6��30

��255

1

tg x · tg y=

6

5/−1

(1

tg x · tg y

)−1

=

(6

5

)−1

tg x · tg y =5

6

Sada kada sam to izracunao vratim se na izraz ciju vrijednost trebam odrediti:

tg (x+ y) =tg x+ tg y

1− tg x · tg y

Uvrstim stvari koje su zadane i koje sam odredio:

tg (x+ y) =tg x+ tg y

1− tg x · tg y=

25

1− 5

6

Svedem na zajdenicki nazivnik razlomke u nazivniku:

tg (x+ y) =25

6

6− 5

6

=

25

11

6

=25 · 61

=150

1= 150

Dakle odredili smo da je tg (x+ y) = 150, cime smo rijesili zadatak.

− ?−

Zadatak 32: (str. 67) Ako je cos (x+ y) =1

3, cos (x− y) = 1

5, koliko je tg x · tg y?

21

Rjesenje: Dakle ideja je prvo raspisati izraz koji trebamo odrediti. Imajuci na

umu da vrijedi tg x =sinx

cosxracunam:

tg x · tg y =sinx

cosx· sin ycos y

=sinx · sin ycosx · cos y

Uocavam da nam je cilj odrediti cemu su jednaki izrazi sinx·sin y i cosx·cos y. U

tu svrhu raspisimo izraze dane u zadatku i to cos (x+ y) =1

3i cos (x− y) = 1

5.

Raspisujem prema adicijsom teoremu za kosinus:

cos (x± y) = cosx · cos y ∓ sinx · sin y

Dakle slijedi:

cos (x+ y) =1

3

cosx · cos y − sinx · sin y =1

3

cos (x− y) = 1

5

cosx · cos y + sinx · sin y =1

5

Na taj nacin dobio sam sljedeci sustav jednadzbi:cosx · cos y − sinx · sin y =

1

3

cosx · cos y + sinx · sin y =1

5

Pokusajmo prvo zbrojiti te dvije jednadzbe, racunam:

cosx · cos y((((((− sinx · sin y + cosx · cos y +(((((sinx · sin y =

1

3+

1

5

Svedem razlomke na desnoj strani na zajednicki nazivnik:

cosx · cos y + cosx · cos y =1 · 5 + 1 · 3

15

2 · cosx · cos y =5 + 3

15=

8

15

2 · cosx · cos y =8

15/ : 2

1�2 · cosx · cos y

�21=

4�8

15

�211

/ : 2

22

cosx · cos y =4

15

Uocavam da smo odredili iznos jednog od izraza koji se pojavljuje u zadatku.Vratimo se natrag na sustav jednadzbi:

cosx · cos y − sinx · sin y =1

3

cosx · cos y + sinx · sin y =1

5

Pokusajmo sada oduzeti te dvije jednadzbe, racunam:

cosx · cos y − sinx · sin y − (cosx · cos y + sinx · sin y) = 1

3− 1

5

Svedem razlomke na desnoj strani na zajednicki nazivnik:

((((((cosx · cos y − sinx · sin y(((((

(− cosx · cos y − sinx · sin y =1 · 5− 1 · 3

15

−2 · sinx · sin y =5− 3

15=

2

15

−2 · sinx · sin y =2

15/ : (−2)

1��−2 · sinx · sin y��−21

=

1�2

15−�211

/ : 2

sinx · sin y = − 1

15

Uocavam da smo time odredili i drugi iznos izraza koji se pojavljuje u zadatku.Vratimo se na pocetni izraz imajuci na umu dobivene vrijednosti:

tg x · tg y =sinx · sin ycosx · cos y

=

41��15

− 1

��151

=4

−1= −4

Dakle vidimo da vrijedi tg x · tg y = −4, cime smo rijesili zadatak.

− ?−

Zadatak 33: (str. 67) Koliko je cos (a− b) ako je sin a+ sin b = 1 icos a+ cos b =

√2?

Rjesenje: Ideja je prvo raspisati izraz koji trebamo odrediti, dakle cos (a− b).Imajuci na umu adicijski teorem za kosinus:

cos (x± y) = cosx · cos y ∓ sinx · sin y

23

Slijedi:cos (a− b) = cos a · cos b− sin a · sin b

Uocavam da trebam odrediti cemu su jednaki izrazi cos a · cos b i sin a · sin b. Dabih to ucinio prisjetim se identiteta (a+ b)

2= a2 + 2ab + b2. To mi daje ideju

da pokusam kvadrirati izraze:

sin a+ sin b = 1

cos a+ cos b =√2

Racunam:sin a+ sin b = 1 /2

(sin a+ sin b)2= 12

sin2 a+ 2 · sin a · sin b+ sin2 b = 1

Nadalje kvadriram i drugi izraz:

cos a+ cos b =√2 /2

(cos a+ cos b)2=(√

2)2

cos2 a+ 2 · cos a · cos b+ cos2 b = 2

Time sam dobio sljedeci sustav jednadzbi:{sin2 a+ 2 · sin a · sin b+ sin2 b = 1cos2 a+ 2 · cos a · cos b+ cos2 b = 2

Pokusajmo zbrojiti te dvije jednadzbe:

sin2 a+ 2 · sin a · sin b+ sin2 b+ cos2 a+ 2 · cos a · cos b+ cos2 b = 1 + 2

Sredim malo dobiveni izraz imajuci na umu temeljni trigonometrijski identitetsin2 x+ cos2 x = 1:

sin2 a+ cos2 a︸ ︷︷ ︸1

+2 · sin a · sin b+ sin2 b+ cos2 b︸ ︷︷ ︸1

+2 · cos a · cos b = 3

1 + 2 · sin a · sin b+ 1 + 2 · cos a · cos b = 3

2 · sin a · sin b+ 2 · cos a · cos b = 3− 1− 1

2 · sin a · sin b+ 2 · cos a · cos b = 1

Izlucim 2 na lijevoj strani:

2 (sin a · sin b+ · cos a · cos b) = 1 / : 2

cos a · cos b+ sin a · sin b = 1

2

24

No ako malo promotrim lijevu stranu izraza mogu uociti da se radi i adicijskomteoremu za kosinus:

cos (x± y) = cosx · cos y ∓ sinx · sin y

Drugim rijecima vrijedi:

cos (a− b) = 1

2

Dakle izracunali smo da mora vrijediti cos (a− b) = 1

2, cime je zadatak rijesen.

− ?−

Zadatak 35: 5) (str. 67) Dokazi sljedeci identitet:

sin (x− y)tg x+ tg y

= cosx · cos y

Rjesenje: Raspisat cemo lijevu stranu imajuci na umu identitet tg x =sinx

cosxi

adicijski teorem za sinus:

sin (x± y) = sinx · cos y ± cosx · sin y

Dakle racunam:

sin (x− y)tg x+ tg y

=sinx · cos y + cosx · sin y

sinx

cosx+

sin y

cos y

Svedem razlomke u nazivniku na yajednicki nazivnik i to cosx · cos y. Slijedi:

sin (x− y)tg x+ tg y

=sinx · cos y + cosx · sin ysinx · cos y + cosx · sin y

cosx · cos y

=

sinx · cos y + cosx · sin y1

sinx · cos y + cosx · sin ycosx · cos y

Uocavam da se brojnici dobivenog dvojnog razlomka mogu pokratiti pa ucinimto:

sin (x− y)tg x+ tg y

=

1

(((((((

((((sinx · cos y + cosx · sin y1

(((((((

((((sinx · cos y + cosx · sin y1cosx · cos y

=

1

11

cosx · cos y

sin (x− y)tg x+ tg y

= cosx · cos y

Usporedim li dobiveno s desnom stranom pocetnog izraza vidim da se onepodudaraju pa je time zadatak rijesen.

− ?−

25