5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o · PDF fileMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju...

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Geometrija – O kutevima 1

5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut 90 pravi kut 90 tupi kut 90 180ravni kut 180 izboceni kut 180 360 puni kut 360

Komplementi kutevi - su kutevi ciji je zbroj 90 : 90Suplemen

α α

α α

α β

< =

= < <

+ =

tni kutevi - su kutevi ciji je zbroj 180 : 180Vrsni kutevi - su 4 kuta koji nastaju kada se dva pravca sijeku. Dva i dva kuta su jednaka. Dva kuta, razlicita po velicini, su ujedno suplementni kut

α β+ =

evi.

α

α

< <

=

Kutevi koji nastaju kada pravac - transferzala, sjece dva paralelna pravca, imajuslijedece karakteristike:

Zbroj unutarnjih kuteva je 180 : 4 6 3 5 180Neki su kutevi jednaki: 1 5; 2 6; 3 7;

∠ +∠ = ∠ +∠ =∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠ 4 8∠ = ∠

1. Izracunaj vrijednost za i , ako su poznate velicine zadane na slici.Kutevi su jednaki: 2 3 20 20

2 102 20 10 30

x yx x xx y

y y

= − ⇒ = °= +

⋅ = + ⇒ = °


( )1. Dva kuta su suplementna, velicine 7 27 2 . Izracunaj kuteve.

180 7 27 2 180 9 180 27 237 27 7 23 27 1342 2 27 46

x i xx x x x

xx

α β

α β

αβ

= − =

+ = °⇒ − + = °⇒ = ° − °⇒ = °

= − = ⋅ ° − ° = °= = ⋅ ° = °

2. Pod kojim kutem se sjeku dva pravca, ako je omjer kuteva : 2 : 3. Izracunaj kut .

180 zamijenimo 2 , 3 2 3 180 36 2 2 36 72

x x x x xx

α β αα β α βα

=+ = ° ⇒ = = ⇒ + = °⇒ = °= = ⋅ ° = °

3. Dva komplementna kuta su 3 , . Izracunaj kuteve.

90 3 90 4 90 22.53 3 22.5 67.5

22.5

x xx x x x

xx

α βα βαβ

= =+ = °⇒ + = °⇒ = ° = °= = ⋅ ° = °= = °

( ) ( )

( )4. Dva komplementna kuta su 30 , 10 . Izracunaj kuteve.

90 30 10 90 2 70 3530 35 30 6510 35 10 25

x x

x x x xxx

α β

α β

αβ

= + ° = − °

+ = °⇒ + + − = °⇒ = ° = °

= + ° = ° + ° = °= − ° = ° − ° = °

5. Dva su kuta komplementna; , 2 30 . Izracunaj kuteve.

90 2 30 90 3 60 2020 2 30 2 20 30 70

x xx x x x

x x

α βα βα β

= = + °+ = °⇒ + + = °⇒ = ° = °= = ° = + ° = ⋅ ° + ° = °

6. Dva suplementna kuta imaju vrijednosto 20 2 1. Izracunaj i

180 20 2 1 180 3 159 5320 53 20 73

2 1 2 53 1 107

7. Pravac sjece dva paralelna pravca tako da su kutev

x i xx x x x

xx

α β αα βαβ

= + = ++ = °⇒ + + + = °⇒ = ° ⇒ = °= + ° = ° + ° = °= + = ⋅ ° + = °

i unutar paralelnih pravaca imaju vrijednosti 3 1 2 6. Izracunaj kuteve.

180 3 1 2 6 180 3 185 373 1 3 37 1 1122 6 2 37 6 68

x i xx x x x

xx

α β

α βαβ

= + = −

+ = °⇒ + + − = °⇒ = °⇒ == + = ⋅ ° + ° = °= − = ⋅ ° − ° = °

β

Geometrija – O kutevima 2

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5.2 Ono naj vaznije o trokutima Trokut je geometrijski lik omedjen sa tri stranice koje mogu biti jednake ili razlicite po duzini.Zbroj kuteva u trokutu je 180 .Vanjski kut uz bilo koji vrh trokuta, jednak je zbroju unutarnji

α β γ+ + = °kuteva uz preostal dva vrha.

Zbroj dviju stranica trokuta je uvijek veci od trece stranice.Razlika dviju stranica trokuta je uvijek manja od trece stranice.Simetrala kuta sjece suprotnu stranicu u omje

( ) ( )( )( )

2

ru duzina stranica koje cine taj kut.

Visina trokuta na bazu, sjece bazu na dva dijela. Tada je visina lijevi dio desni dio

Povrsina trokuta jednaka je : baza visina / 2.

Povrsina trokuta se racuna i ovak

=

⋅

( )( )( )2o: , gdje je 2 .Kosinuson, sinusov i Pitagorin poucak obradjeni su u dijelu trigonometrijaSukladnost trokuta:

1. Dva su trokuta sukladna ako imaju sve tri stranice jednake.2. Dva su

P s s a s b s c s a b c= − − − = + +

trokuta sukladna ako imaju jednake dvije stranice i kut medju njima.3. Dva su trokuta sukladna ako imaju jednake jednu stranicu i dva prilezeca

kuta toj stranici.Slicnost trokuta:

a) Ako su dva trokuta (ili bilo koja dva lika) slicna, tada su njihovi odgovarajuci djelovi (elementi) proporcionalni.

b) Dva su trokuta slicna ako imaju jednaka barem dva kuta.c) Omjer opsega dva slicna trokuta je konst

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

2 21 2 1 2 1 2 1

antan i proporcionalan je omjeru pripadnih stranica: / / / / .

d) Omjer povrsina dva slicna trokuta je konstantan i jednak omjeru pripadajucih

stranica na kvadrat: / / /

O O a a b b c c

P P a a b b c

= = =

= = = ( )22/ .c

Simetrala kuteva - je duzina koja spaja vrh trokuta sa stranicom trokuta i simetrala je doticnog kuta. Sve tri simetrale se sjeku u jednoj tocki: Sredistu trokutu upisane kruznice.

Okomice povucene na polovista stranica trokuta, sjeku se u jednoj tocki koja je: Srediste trokutu opisane kruznice.

Geometrija – O trokutima 3


Okomice povucene iz vrha trokuta na suprotne stranice, sjeku se u jednoj tocki: Ortocentru trokuta. Ono lezi unutar ostrokutog trokuta odnosno izvan trokuta, ako je trokut tupokutan.

( ) ( )

( )

1. Kutevi uz bazu istokracnog trokuta su: 3 1 i 2 16 . Izracunaj sve kuteve.3 1 2 16 17

3 1 3 17 1 50 2 16 2 17 16 50180 180 100 80

x xx x x

x x

α β

α βα β

γ α β

= − = +

= ⇒ − = + ⇒ == − = ⋅ − = ° = + = ⋅ + = °

= ° − + = ° − ° = °

2. Kutevi u trokutu imaju vrijednosti: 3 1, 10 11 i 2. Izracunaj kuteve.180 3 1 10 11 2 180 14 168 12

3 1 3 12 1 35 10 11 10 12 11 1312 12 2 14

x x xx x x x x

x xx

α β γα β γα βγ

= + = + = ++ + = °⇒ + + + + + = °⇒ = ⇒ = °= + = ⋅ + = ° = + = ⋅ + = °= + = + = °



1 1

2

2

1

2

3. Zadana su dva slicna trokuta koji imaju omjer stranica : 1: 2.a) Izracunaj opseg prvog trokuta ako je opseg drugog O 12b) Izracunaj povrsinu prvog trokuta ako je povrsina drugog P 12.

1)

a a

OaO

==

=

=2

1 1 22 1

2

12 1 1 126 b)2 2 2 2 4 4 4

O P PO P

P ⇒ = = = = = ⇒ = = =

3

4. Simetrala kuta sjece bazu na dva dijela. Poznavajuci velicine sa slike, izracunaj duzinu .6 12Iz definicije imamo: 5

10

a

aa

γ

= ⇒ =

5. Kut izmedju jednakih stranica istokracnog trokuta iznosi 50 . Izracunaj preostala dva kuta.180 50 130

130U istokracnom trokutu: 652

α β γ α β α β

α β

°+ + = ° = + + °⇒ + = °

°= = = °

6. Omjer kuteva u trokutu je 1:5:6. Odredi koje je vrste trokut.

1 5 6 180 12 180 151 15 5 5 15 75 6 6 15 90 Trokut je pravokutan

x x x x xx x xα β γ

+ + = ° ⇒ = ° = °= = ° = = ⋅ ° = ° = = ⋅ ° = °⇒

( )

7. Zadan je trokut prema slici. Koristeci slicnost trokuta izracunaj bazu trokuta.2 4Iz slicnosti trokuta postavimo jednakost: 10

2 3

x

xx

= ⇒ =+



( )

8. Zadani su kutevi istokracnog trokuta: 3 1 i 2 16. Izracunaj kut .3 1 2 16 17

3 1 3 17 1 50 180 180 100 80

x xx x x

x

α βα β

α γ α β

= − = += ⇒ − = + ⇒ = °

= − = ⋅ − = ° = ° − + = ° − ° = °

γ

9. Zadani su kutevi trokuta: 3 1 i 10 11 i 2. Izracunaj kuteve180 3 1 10 11 2 180 14 168 12

3 1 3 12 1 35 10 11 10 12 11 1312 12 2 14

x x xx x x x x

x xx

α β γα β γα βγ

= − = + = ++ + = °⇒ − + + + + = °⇒ = ⇒ = °= − = ⋅ − = ° = + = ⋅ + = °= + = + = °

( ) ( )( ) ( )2 2

10. Zadan je trokut sa stranicom 13 i lijevim dijelom baze nastale nakon sto je povucena visina, 4. Izracunaj visinu trokuta .

Po definiciji imamo: visina lijevidio desnidio 4 13 4 4 9 366

ck v

vv

==

= ⇒ = ⋅ − =

=

⋅ =


Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 11. U trokutu su stranica i paralelne. Izracunaj stranicu ako su poznate velicine sa slike.

Iz ABC imamo stranice 6 i 6 a iz trokuta DBE stranice 2 i .

Trokuti su slicni pa iz omjera s

m b xb a x m x= = + =

6 6tranica imamo: 6 12 2 32

x x x xx+

= ⇒ = + ⇒ =

12. Stap duzine 1m ima sjenu dugu 1.2m a zgrada ima sjenu dugu 21m. Izracunaj visinu zgrade.1Iz omjera slicnih trokuta imamo: 17.5

1.2 21x x m= ⇒ =

13. Vrh krova kuce visok je 4.8m u odnosu na horizontalni dio krova. Podupora visoka 2m je na udaljenosti 5m od osi vrha. Izracunaj sirinu krova.

2Iz omjera slicnih trokuta imamo: 3.65 4.8

Polovic

x x mx

= ⇒ =+

a krova je siroka: 5 3.6 5 8.6 , a cijeli krov dvostruko: 17.2 x m m+ = + =

14. Mjerenjerenjem su utvrdjene zadane duzine. Odredi duzinu objekta . 8.6 19.5Iz omjera slicnih trokuta imamo: 35.82

15.8

x

x mx

= ⇒ =


Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5.3 Ponesto o kruznicama Kruznica je geometrijsko mjesto tocaka koje su jednako udaljene od jedne cvrste tocke, koja se

zove srediste . Udaljenost od sredista zove se radijus ili polumjer; .

Duzina koja spaja dvije tocke

S r S= F

na kruznici i prolazi sredistem zove se dijametar ili promjer .Pravac koji je povucen iz tocke van kruznice, na kruznicu je:

a) tangenta - dira kruznicu u jednoj tocki, b) sekanta - sjece kruzn

d DE

A

=

icu u dva nejednaka dijela.

Duzina sekante koja pada unutar kruznice je tetiva .t BC=

1. Tetiva duzine 12, sjece kruznicu i pripadajuci luk toj tetivi je 60 . Izracunaj radijus kruznice.

Iz trokuta ASB imamo: 60 180 2 120 60Trokut je istostranican.

x x x x°

+ + ° = °⇒ = °⇒ = °

2 2

2. Izracunaj povrsinu kruznog isjecka koji ima unutarnji kut 72 a radijus kruznice je 5.72 725 25 5 5

360 360360

r

P r P

αα

π π π π π

= ° =

= ⋅ = = = ⇒ =

Geometrija – – O kruznicama 8

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 3. Dvije tetive se sjeku tako da su segmenti velicine : 10, 4, 8, .

Iracunaj duzinu segmenta .Iz definicije o tetivama: Produkt segmenata na tetivama je jednak.

10 4 8 5

AB BC BE DB xx

AB BC DB BE x x

= = = =

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

4. Iz iste tocke van kruznice povucene su sekante na kruznicu. Segmenti tetiva su velicine:

12, 4, 9. Iracunaj duzinu segmenta .Iz definicije o sekantama: Produkt segmenata na sekantama je TB TC TD TA x= = = =

jednak.369 4 12 312

TD TC TB TA x x⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = =

( )2 2

5. Iz iste tocke van kruznice povucene su sekanta i tangenta na kruznicu. Segmenti su velicine:

3, 9. Iracunaj duzinu tangente .

Iz definicije znamo: 9 3 3 36 6

TB BC TA x

TA TC TB x x

= = =

= ⋅ ⇒ = + ⋅ = ⇒ =

6. Zadani su sredisnji i obodni kut, koji pripadaju istom luku od 40 . Izracunaj obodni kut.

Po definiciji: Sredisnji i obodni kut koji pripadaju istom luku odnose se u omjeru 1:2

: 2 :1

α

αα β β

= °

= ⇒ =40 20

2 2°

= = °



7. Izracunaj luk ako je poznati kut u vrhu i luk .

200Po definiciji je: 50 2 50 200 1002 2

AB T AC

AC AB xT x− ° −∠ = ⇒ ° = ⇒ ⋅ ° = ° − ⇒ = °x

( )

8. Zadane su dvije tetive na kruznici, i pripadajuci luk izmedju tetiva. Izracunaj kut pod kojim se

tetive sjeku. 20 , 70 , 210

Iz definicije znamo: 3602

360 20 70 21

AD BC BD

AC BDx AVB AC AD BC BD

AC

= ° = ° = °

+= = ⇒ = − + +

= ° − ° + ° +( ) 60 2100 60 1352

x ° + °° = °⇒ = = °

9. Zadana je kruznica radijusa 3. Izracunaj duzinu luka koji pripada sredisnjem kutu od

= radijana. Duzina luka se racuna: 36 6

r

L rπ πϕ ϕ

=

= ⋅ = ⋅ =2π



10. Izracunaj kut ako je zadan omjer lukova na kruznici: : : 2 : 3 : 7Vrijednost za puni kut je : 2 3 7 360 30

: : 2 30 : 3 30 : 7 30 60 , 90 , 210

210Po definiciji je:2

AB BC ABCx x x x

AB BC ADC AB BC ADC

ADC AB

ϕ

ϕ

=+ + = ° ⇒ = °

= ⋅ ° ⋅ ° ⋅ ° ⇒ = ° = ° = °

− ° −= =

60 752

°= °

11. Izracunaj kut trokuta , ako je zadan luk pripadajuce tetive 40 . Vidi sliku.Trokut je istokracan, pa su oba kuta , jednaka.Iz trokuta imamo:180 2 40 2 140 70

x ASB lASB xABC x x x

= °

° = + °⇒ = °⇒ = °

12. Zadana je kruznica i njene dvije tetive i koje zatvaraju luk od 140 i 100 . Izracunaj kut medju tetivama.

BCObodni kut : 360 140 100 120 602 2

AB AC

BC BC BC

α

α α α

° °

= ⇒ ° = + + ⇒ = °⇒ = = °



2 2

2 2

13. Zadana je kruznica polumjera 4 i upisani kvadrat. Izracunaj povrsinu izmedju kruznice i kvadrata. Povrsina kruga: 4 16 Diagonala kvadrata: 2 2 4 8

8 32 Razlika povrsina iznos2 2

r

P r P d r

dP

π π π

=

= ⇒ = = = = ⋅ =

= = = ⇒

○ ○

i: 16 32P P P π= − = −○

14. Zadana je kruznica i tri tocke iz kojih su povucene tangente na kruznicu. Duzine segmenata

su: 4, 5 9. Izracunaj duzinu .

Iz definicije znamo: 5 9 5 4

4 4

CF FB i AB AC

FB EB AE AB EB

AE AD CF CD AC AD

= = =

= = ⇒ = − = − =

= = = = = 4 4 8CD+ = + =



Geometrija – Poligoni 13

5.4 Poligoni – mnogokuti Poligoni su geometrijski likovi sa tri i vise stranica i njima odgovarajucih kuteva. Poseban slucaj

poligona su trokuti (koje tako i zovemo), cetverokuti (paralelogrami, kvadat, romb, trapez...) te mn

( )ogokuti u pravom smislu rijeci, sa brojem stranica 5 beskonacno.

Zbroj unutrasnjih kuteva poligona jednak je: 180 2

Zbroj vanjskih kuteva poligona iznosi: 360Spajanjem sredisnjica stranica p

U

V

nK n

K

= ÷

= ° −

= °∑∑

oligona dobije se novi poligon sa istim brojem stranica. U slucaju cetverokuta, novi cetverokut je paralelogram.Dijadonale cetverokuta se prepolavljaju a dijagonale kvadrata i romba sjeku se pod pravim kutem.

( )( ) ( )

4U

4U

1. Izracunaj kut , ako su poznati podaci zadani na slici. Suma svih unutarnjih kuteva cetverokuta iznosi: K 180 2

K 180 2 180 4 2 360 360 55 85 115360 255 105

xn

n xx x

= ° −

= ° − = ° − = °⇒ ° = + ° + ° + °

° = + °⇒ = °

∑∑

( )

( ) ( )

6U

6U

2. Izracunaj kut , ako su poznati podaci zadani na slici. Suma svih unutarnjih kuteva sesterokuta iznosi: K 180 2

720K 180 2 180 6 2 720 720 6 1206

xn

n x

= ° −

°= ° − = ° − = °⇒ ° = ⇒ = =

∑∑ x °

3. Izracunaj kut i ako su poznati podaci zadani na slici. Iz 180 70 35 180 135 75Iz 180 110 25 180 135 45

x yABD x xBCD y y

⇒ ° = + ° + °⇒ = ° − ° =⇒ ° = + ° + °⇒ = ° − ° =

°°


Geometrija – – Poligoni 14

4. Izracunaj kuteve i , ako su poznati podaci zadani na slici. Iz istostranicnog trokuta 60Iz istoskracnog trokuta 45 60 45 105

x yACDABC x y x

αα

⇒ = °⇒ = °⇒ = + = ° + ° = °

( ) ( )5. Izracunaj kut , ako su poznati podaci zadani na slici.

360 35 45 360 4 80 360440 110

4

U

xK x x x x x

x

= °⇒ + + − + − = °⇒ − =

°= = °

∑ °

( )

6. Izracunaj kuteve i , ako su poznati podaci zadani na slici. Iz 80 180 50 80 50 80 130Drugi nacin: 180 80 180 50 80 130

x yAB CD x x x y x

y x y⇒ + + ° = °⇒ = ° = + ° = ° + ° =

° − + ° + = °⇒ = ° + ° = °

°



u

7. Unutarnji kut poligona iznosi 135 . Izracunaj vanjski kut i odredi koji poligon je u pitanju.135 180 180 135 45

Za poligon vrijedi: 360 45 360 8 osmerokut (oktagon)u v v

vK n n

αα α α α

== ° + = ° = ° − ° = °

= °⇒ ⋅ ° = °⇒ =∑

( ) ( )8. Zadan je trapez prema slici. Izracunaj kuteve i .

Stranice su paralelne: pa imamo: 2 5 5 18070 180 3 180 60 180 70 110

x yAB CD x x

y x x y− + + =

+ ° = ° = °⇒ = ° = ° − ° = °

°

9. Zadani su kvadrat i istostranicni trokut prema slici. Izracunaj kutKutevi u trokutu iznose: 60 ; 90Kut iznosi: 45 90 60 30Iz trokuta imam

.

o:

ABE ABE ABC BCDACB ACB ABC ABE

BCF

ϕ

β

β

∠ = ° ∠ = ∠ = °∠ ∠ = °⇒ = ∠ −∠ = ° − ° =

+ 180Aϕ

ϕ

⇒

°180 45

105CB β ϕ+ ∠ = ° + +

=

= °

( )( )

10. Zadan je jednakostranicni trapez. Izracunaj vrijednosti i .

Jednakostranican trapez ima 5 3 20 2 20 10Horizontalne stranice su paralelne, pa je: 3 20 180

180 30 20 130

x y

AD BC x x x xAB CD y x

y

= ⇒ = + ⇒ = ⇒ = °

⇒ + + =

= ° − + = °

°



11. Zadan je romb sa dijagonalama prema slici. Izracunaj nepoznanice i .Dijagonala se sjeku u polovici njihovih duzina, pa se moze napisati:

2 153 2 15 3 3 3 3 9

3

x y

x yy y y x y x

x y+ =

⇒ + = ⇒ = = = ⋅ = ⇒ == 9

12. Zadan je trapez prema slici. Izracunaj nepoznanice i . Sredisnjica sjece dijagonalu na dva jednaka djela, pa se moze napisati:

1 158 7.52 2

x y

AB CD DF FB x CG GB CB y⇒ = ⇒ = = = ⇒ = =

( )

( ) ( )

13. Zadana je lik u obliku zvijezde sa pet krakova. Izracunaj nepoznanicu . Zbroj unutarnjih kuteva poligona iznosi: 180 2

540180 2 180 5 2 540 5 540 1085

Iz slike je vidljivo, dij

u

u u

xK n

K n K K

= ° −

°= ° − = ° − = °⇒ = °⇒ = =

∑∑ u °

agonale sjeku unutarnji kut na 3 jednaka djela:1083 36 36

3u uK x x K°= ⇒ = = °⇒ = °


14. Zadana je trapez prema slici. Izracunaj nepoznanice i .Sredisnjica sjece dijagonalu i bocne stranice na dva jednaka djela.

2 7 45 26 3 4 67 21

x y

CF FB x x AG GC y y= ⇒ − = ⇒ = = ⇒ + = ⇒ =


Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5.5 Povrsine likova, geometrijska tijela Povrsina geometrijskih likovaPovrsina geometrijskih likova racuna se po znanom nacinu: sirina puta visina.Citaoc mor sam definirati te dvije kategorije prilikom postave zadatka.Za poligone - mnogokute vrijede slijedece: Povrsina poligona je sastavljena iz vise elementarnih djelova, obicno trokuta i moze se razviti u: trapez - ako je broj stranica neparan

paralelogram - ako je broj stranica paranNa

P

osnovu toga, povrsina poligona je jednaka:Povrsina poligona

O Opseg poligona 2

okomita udaljenost stranice od sredista poligona(apothem)

Za likove kojima je osnova kruznica, treba prim

PP

P

PO a

Pa

=⋅ = =

=2ijeniti pravilo za povrsinu kruga .

Geometrijska tijelaVolumen tijela se u pravilu racuna: povrsina baze puta visina. Povrsina tijela se racuna tako, da se izracuna povrsina ploha tijela, koje su o

r π

bicno geometrijski likovi (trokuti, krug, paralelogrami) i inda se te povrsine zbroje.

1Volumen stozaca i piramida racuna se po jednadzbi: povrsina baze puta visina.3

2Volumen kugle jednak je volumena3

2 2 3 3

valjka kome je visina jednaka promjeru:

2 2 2 4 42 3 3 3 3 3K V KV V r h r r r V rπ π π π= = ⋅ = ⋅ = =

1. Izracunaj povrsinu pravilnog sesterokuta, kome je najkraca udaljenost stranice od sredista

opisane kruznice 41 cm a duzina stranice 34 cm.204 41Opseg sesterokuta: 6 6 34 204 426

2 2P

P

a stO a

O st P

= =⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ = ⇒ = = = 24cm

Geometrija – Povrsine likova, tijela 18


( )2. Izracunaj povrsinu zadanog paralelograma ako su poznate velicine prema slici.

2 2 2 2 3 7 2 2 40 7 2 2 7 2 42

Iz paralelograma imamo: 3 2 2 3 2 2

Rjesenje jednadzbi iznosi: 4 7

O x x y x x y O x y x y

x y x y

x y

= + + − + = + − ⇔ = = + − ⇒ + =

= − ⇒ − = −

= =

2 2

2

3. Izracunaj povrsinu zadanog kombiniranog lika.

3 6 3Povrsina istostranicnog trokuta stranice 6 iznosi: 9 34 4

Povrsina kruznog isjecka, koji pripada luku 360 60 300 , :2

6360 2

aa P

al r

lP r π

= = = =

° = ° − ° = ° =

° = ⋅ = °

2 300 9 300 15360 360 2

15 45Sveukupna povrsina lika iznosi: 3 9 3 3 9 32 2

P P P

π π π

π π

° ⋅ ° = = °

= + = + = +

2 2

22

4. Izracunaj povrsinu zadanog kombiniranog lika.Povrsina kvadrata stranice 18 iznosi: 18 324

Povrsina kruznog isjecka, koji pripada luku 90 , :2

18 90 81 90360 2 360 360

a P aal r

lP r π π π

= = = =

° = ° =

° ° ⋅ ° = ⋅ = = ° ° ° 814

81Sveukupna povrsina lika iznosi: 4 324 4 324 814

P P P

π

π π

=

= − = − ⋅ = −



2 2

2

5. Izracunaj povrsinu zadanog kombiniranog lika.

3 3Povrsina istostranicnog trokuta stranice 12 iznosi: 12 36 34 4

12Povrsina kruga radijusa : 362 2

Povrsina kruznog isjecka, koji prip

a P a

ar P π π

= = = =

= = =

○

22

ada luku 60 , ;To su dvije neobojane i 2

jedna obojana povrsina unutar trokuta.

12 60 36 60 6360 2 360 360

Sveukupna povrsina lika iznosi: Povrsina kruga radijusa r, plus povr

al r

lP r π π π π

° = ° =

° ° ⋅ ° = ⋅ = = = ° °

( ) ( )

sina trokuta umanjena za tri kruzna isjecka:

3 36 36 3 3 6 36 36 3 18 36 3 18P P P P π π π π= + − = + − ⋅ = + − = +○ π

3 3 3

3

6. Nogometna lopta je u kutiji (kocka) sa stranicom 25 , koji je jednak promjeru lopte. Koliki postotak volumena je oko lopte?Volumen kocke je: 25 15625

4 4Volumen lopte je: 3 3 2

k

l

a cm

V a cm

aV r π

=

= = =

= =

3 334 25 8181.231

3 215625 8181.231100 100 100 0.4764 47.64%

15625k l

vk

cm

V Vp

V

π π = =

− −= ⋅ = ⋅ = ⋅ =



7. Silos ima oblik valjka koji ima na vrhu oblik polukugle radijusa 4 . Ukupna visina silosa je 7.5 . Izracunaj volumen silosa.Volumen silosa cine valjak i polukugla. Visina valjka je 7.5 4v

r mh m

h h r

==

= − = − = 3.5 a baza ima 4m r m=

2 2 3

3 3

3

Volumen valjka iznosi: 4 3.5 561 4 1 4 4 64 64Volumen polukugle iznosi: 42 3 2 3 6 3

64Volumen silosa iznosi: 56 77.33 3103

v v

pk

s v pk

V r h m

V r

V V V m

π π π

π π π π

π π π

= ⋅ = ⋅ =

⋅ = = = =

= + = + = =

3m

8. Keopsova piramida ima za bazu kvadrat sa stranicom duzine 230.4 a visina

piramide je 147 . Izracunaj priblizno koliko je kamenih blokova dimenzije 2.3 1.8 bilo potrebno za poplociti pirk

a mh m

P m

==

= ×

2

2

2

2 2

2

2

amidu, ukljucujuci i bazu.Povrsina piramide iznosi: cetiri povrsine trokuta plus povrsina base:

4 230.4 53084.160

230.4230.4 1472

21514.9822 2 22

P

P

P P P P a m

bP

v a

P

h m

= + ⇒ = = =

+ ⋅ = = = =

24 4 21514.982 53084.160 139144.088

139144.088Za poplociti piramidu trebalo je : 33610 kamenih blokova 2.3 1.8

P

k

P P mP

nP

= + = ⋅ + =

= =⋅

2a +


5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o · PDF fileMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju...

Documents

Transcript of 5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o · PDF fileMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju...