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Aerodinâmica I

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

• Escoamento em torno de um cilindro circular com

circulação –Γ

- Potencial complexo

- Velocidade complexa

Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano

em Torno de um Sólido

( )zz

azVW ln

2i

2

π

Γ+

+= ∞

r

zz

aVV

dz

dW

π2i1

2

2 Γ+

−== ∞

r

Aerodinâmica I



circulação –Γ

- Pontos de estagnação



2

2

2

41

4i

02

i1

0

Γ−±

Γ−=

=Γ

+

−

==

∞∞

∞

Vaa

Vz

zz

aV

Vdz

dW

rr

r

ππ

π

Aerodinâmica I



circulação –Γ


- Dois pontos de estagnação com a mesma parteimaginária e partes reais simétricas, menores que a



∞<Γ Var

π4.1

2

41

4i

Γ−±

Γ−=

∞∞ Vaa

Vz rr

ππ

Aerodinâmica I



circulação –Γ


- Um ponto de estagnação (raíz dupla) no eixo

imaginário em

∞=Γ Var

π4.2

ai−

2

41

4i

Γ−±

Γ−=

∞∞ Vaa

Vz rr

ππ



Aerodinâmica I



circulação –Γ


- Dois pontos de estagnação no eixo imaginário. Umabaixo de e outro no interior do cilindro

∞>Γ Var

π4.3

ai−

2

41

4i

Γ−±

Γ−=

∞∞ Vaa

Vz rr

ππ



Aerodinâmica I



circulação –Γ



0.1 =Γ

Aerodinâmica I



circulação –Γ



∞<Γ Var

π4.1

Aerodinâmica I



circulação –Γ



∞=Γ Var

π4.2

Aerodinâmica I



circulação –Γ



∞>Γ Var

π4.3

Aerodinâmica I


0.1 =Γ

Fluido Perfeito Fluido Real



Aerodinâmica I

Mestrado Integrado em Engenharia AeroespacialFluido Real


∞<Γ Var

π4.1



Aerodinâmica I



∞=Γ Var

π4.2



Aerodinâmica I





∞>Γ Var

π4.3

Aerodinâmica I


• Potencial complexo do escoamento em torno de um cilindro

• Velocidade complexa

• Na superfície do cilindro



( )zz

azVW ln

2i

2

π

Γ+

+= ∞

r

zz

aVV

dz

dW

π2i1

2

2 Γ+

−== ∞

r

( )a

VVVπ

θ2

sen2Γ

+== ∞

rr

θiaez =

Aerodinâmica I


• Forças aplicadas nas direcções x e y podem ser obtidasintegrando a distribuição superficial de pressão

• Pela equação de Bernoulli

• Para um cilindro com circulação num escoamento

uniforme tem-se



( ) ( )∫∫ −=−=ππ

θθθθ2

0

2

0sencos adpFadpF yx

( )2

2

2sen2

2

1

2

1

Γ+−=−= ∞

aVpVpp oo

πθρρ

rr

Γ== ∞VFF yx

rρ0

Aerodinâmica I


Teorema de Blasius• Considere-se um corpo de forma arbitrária

em escoamento permanente

• Forças aplicadas ao corpo são resultado

da distribuição de pressão na superfície docorpo, C

x

y pdSFd =r

C



Aerodinâmica I


Teorema de Blasius

• Utilizando a equação de Bernoulli e tendo em

atenção que o integral ao longo de um contorno fechado de um valor constante (po) não contribui

para a força, tem-se



x

y

dSdy

dx

ydF

xdF ( )

( ) zpddydxpdFdF

dxdypdFdF

pdxpdydFdF

pdxdFpdydF

yx

yx

yx

yx

iiii

ii

ii

−−−=−

+−=−

−−=−

=−=

∫∫ =−=−cc

dzdz

dWzpdFF yx

2

i2

1ii ρ

C

Aerodinâmica I


Teorema de Blasius• Considere-se um corpo de forma arbitrária

em escoamento permanente

• Momento aplicado ao corpo é resultado

da distribuição de pressão na superfície docorpo, C

y

Cx

bbpdSFbdMd o ==

rrFdr

Fluido Perfeito/IdealMomento Exercido por um Escoamento Plano


Aerodinâmica I


Teorema de Blasius

• Utilizando a equação de Bernoulli e tendo em

atenção que o integral ao longo de um contorno fechado de um valor constante (po) não contribui

para a força, tem-se

x

y

dSdy

dx

ydF

xdF ( )( )zzdpdM

ydyxdxpdM

pxdxpydydM

xdFydFdM

o

o

o

yxo

ℜ=

+=

+=

+−=

C



( )

ℜ−=ℜ= ∫∫ cc

zdzdz

dWzzdpM

2

02

1ρ

Aerodinâmica I


Teorema de Kutta-Joukowski

• Considere-se a aplicação do teorema de Blasiusao caso de um escoamento uniforme no infinito,

em torno de um corpo de foma arbitrária

• Desenvolvendo em série de Laurent



∫=−c

dzdz

dWFF yx

2

i2

1i ρ

∞∞ −= VUV i

dz

dW

......2

212

210++++++=== −−

∞

−∞=

∑z

A

z

AzAzAAzAV

dz

dW

n

n

n

Aerodinâmica I



• No infinito, , a velocidade é imposta, donde



...

10

i

2

21

0

0

+++==

≥⇐=

−=

−−

∞∞

z

A

z

AAV

dz

dW

nA

VUA

n

∞→z

Aerodinâmica I



• Tomando como contorno de integração umacircunferência de raio R muito superior às dimensões

do corpo e tendo em atenção que não existem

singularidades entre a superfície do corpo e ocontorno C

[ ]3

22

ii

−∞∞ +

Μ+

Γ−+−== R

zz

QVUV

dz

dW

π



O

Aerodinâmica I



• Q é o somatório das intensidades das linhas defontes e poços no interior do contorno C

• Γ é o somatório das intensidades das linhas de vórtice no interior do contorno C

• Μ representa o momento complexo resultantedas linhas de dipolos no interior do contorno C

[ ]3

22

ii

−∞∞ +

Μ+

Γ−+−== R

zz

QVUV

dz

dW

π



O

Aerodinâmica I



• A função integranda da equação de Blasius é



...22

......

20

2

12101

2

00

2

21

0

2

2

21

0

2

−−−

−−−−

+===

+++=

+++=

AAABAABAB

z

B

z

BB

z

A

z

AA

dz

dW

Aerodinâmica I



• Pelo teorema dos resíduos tem-se

• Comparando

com



101

2

i4i2 −− ==

∫ AABdz

dz

dWππ

c

...2

21

0+++== −−

z

A

z

AAV

dz

dW

[ ]3

22

ii

−∞∞ ++

Γ−+−== R

zz

QVUV

dz

dW µ

πO

Aerodinâmica I





( )π

π

π

2

iii4

2

i

i

2

1

0

Γ−−=

Γ−=

−=

∞∞

−

∞∞

∫Q

VUdzdz

dW

QA

VUA

c

Aerodinâmica I



• Substituindo na fórmula de Blasius

ou seja



( )( )Γ−−−=

=− ∞∞∫ iii

2

1i

2

QVUdzdz

dWFF yx ρρ

c

−Γ−=

Γ+−=

∞∞

∞∞

QVUF

VQUF

y

x

ρρ

ρρ

Aerodinâmica I



• Projectando o vector força nas direcções paralela

e perpendicular à direcção do escoamento não

perturbado (em ) obtem-se



Γ−=+−

=

−=+

=

∞

∞

∞∞

∞

∞

∞∞

VV

FUFVL

QVV

FVFUD

yx

yx

rr

rr

ρ

ρ

∞→z

Aerodinâmica I





Γ×−=

−=

∞

∞

rrr

rr

VL

QVD

ρ

ρ

• Em escoamento potencial, um corpo finito imerso

num escoamento uniforme tem:

- Força de resistência (D) nula

- Força de sustentação (L) proporcional à circulação(Γ)

- As forças de resistência e sustentação são independentes da forma do corpo

Aerodinâmica I


• Fórmula de Blasius

como

( )

ℜ−=ℜ= ∫∫ cc

zdzdz

dWzzdpM

2

02

1ρ

( )

Μ−+

Γ−=

∞∞∫ VU

Qzdz

dz

dWi2

2

ii2

22

ππ

c



Aerodinâmica I


em que α é o ângulo entre e o eixo x

• Em notação vectorial

• depende da forma do corpo devido a Μ

∞Vr

Μ×+Γ

−= ∞

rrr

rV

QM πρ

πρ 2

20

0M

( ) ( )[ ]

[ ]απρπ

ρ

πρπ

ρ

i

0

0

2i2

22

−∞Μ−ℜ+

Γ−=

Μℜ−Μℑ+Γ

−=

eUQ

M

VUQ

M



Aerodinâmica I


• Escoamento incompressível e irrotacionalobedece à equação

• Condição de fronteira numa parede sólida

Fluido Perfeito/IdealEscoamento Tri-dimensional, Irrotacional e Incompressível

φφ ∇==∇⋅∇ Vrrr

com0

0=∂

∂=⋅

nnV

φrr

Aerodinâmica I


• Coordenadas Cartesianas

• Coordenadas Cilíndricas


( )zyx ,,φφ =

( )zr ,,θφφ =

zW

yV

xU

zyx

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

φφφ

φφφ

,,

02

2

2

2

2

2

zW

rV

rV

zrrr

rr

r∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

φ

θ

φφ

φ

θ

φφ

θ ,1

,

011

2

2

2

2

2

Aerodinâmica I


• Coordenadas Esféricas


( )ϕθφφ ,,r=

( )

( )

( )

( )

( ) ϕ

φ

θθ

φφ

ϕ

φ

θϕ

θ

φθ

θ

φθ

θ

ϕθ∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

sen

1,

1,

0

sen

1

sen

sen

sen

1

2

2

rV

rV

rV

rr

r

r

r

Aerodinâmica I


• Fonte/poço pontual

• Escoamento com linhas de corrente radiais

• Caudal que atravessa uma esfera de raio r

donde


Singularidades

rer

cV

r

c rrr

2=∇=→−= φφ

0,0,2

=== ϕθ VVr

cVr

2

24 r

r

cdSnVQ

Sπ∫ =⋅=

rr

π4

Qc =

Aerodinâmica I



Singularidades

Função potencial de uma fonte(Q>0)/poço(Q<0) pontual

r

Q

πφ

4−=

ϕ

r

θ

Aerodinâmica I


• Dipolo pontual

- Par fonte/poço a tenderem para o mesmo ponto ao longo do segmentolcom intensidades

simétricas a tender para infinito


Poço Fontel

rr1

∞→→ Ql ,0

1

1

4 rr

rr

r

Q −−=

πφP

θ( )

2

cos

4 r

l

r

Q θ

πφ −=

( )2

cos

4 rr

θ

π

µφ −=

• Função potencial em P

• No limite quando

Aerodinâmica I


Função potencial de um dipolo pontual

−µ é a intensidade do dipolo

- θ é a orientação do dipolo


Singularidades

( )2

cos

4 r

θ

π

µφ −=

( ) ( )0,

sen

4,

cos

233

=== ϕθ

θ

π

µθ

π

µV

rV

rVr

θ

rµ

ϕ

Aerodinâmica I


• Sobreposição de um escoamento uniforme orientado

com o sentido negativo do eixo z com um dipolo naorigem do referencial alinhado com o eixo z e de

intensidade

- Escoamento uniforme


Escoamento em torno de uma esfera

( )

( )

0

sen

cos

=

=

−=

∞

∞

ϕ

θ θ

θ

V

VV

VVr

r

r

ϕ

∞= VRr

32πµ

Aerodinâmica I


• Velocidade ao longo da esfera de raio R

• Só existe componente Vθ na superfície da esfera de raio R. Logo, a função potencial obtida da soma de um

escoamento uniforme com um dipolo pontual representao escoamento em torno de uma esfera de raio R



( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

sen2

3sen

4

2sen

0cos

2

2cos

3

3

3

3

=

=+=

=+−=

∞

∞

∞

∞

∞

ϕ

θ θθ

π

πθ

θ

π

πθ

V

VR

VRVV

R

VRVVr

rr

r

rr

Aerodinâmica I


• Distribuição de pressão na superfície da esfera



( )θ

ρ

ρ

2

2

2

2

sen4

91

1

21

21

−=

−=

=+

−=

∞

∞

∞

∞

p

p

e

p

C

V

VC

ctVp

V

ppC

r

r

θ em graus

Cp

Esfera

Cilindro

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