Fluidos: hidrodinâmica

Física

Fluido Ideal em Movimento

Considerando o fluido: • Incompressível

• Não-viscoso

• Com temperatura constante

e o fluxo: • Estacionário (velocidade e pressão num dado

ponto independentes do tempo)

• Laminar (não-turbulento)

• Irrotacional (sem vórtices)

Compressibilidade

atmp 100≈Δ%3,0003,0 3 →≈Δ

cmg

ρ

Densidade da água do mar vs profundidade

y < 1000 m:

y > 1000 m:0≈Δρ

(Picnoclina)

y

Viscosidade

• Ex.: A velocidade de aglutinação de 2 gotas de um líquido depende da sua viscosidade.

• É equivalente ao ATRITO

• Sem VISCOSIDADE = = Sem dissipação de energia

Turbulência

LINHA DE CORRENTE: É a trajetória de um pequeno elemento do fluido

Fluxo laminar: Linhas de corrente não se cruzam

Fluxo turbulento:

Cruzamento de linhas de corrente

Fluxo Ideal 

 

 

Fluxo irrotacional

O fluxo é irrotacional se a integral da velocidade ao longo de uma trajetória fechada no fluido for nula.

Velocidade de escoamento do fluido:

 

 

Equação da continuidade

tLA

tLA

tV

tm

Δ

Δ=

Δ

Δ=

Δ

Δ=

Δ

Δρ

ρρ Fluxo de massa

   

 

Δ

 

  

Caso Geral:

Vazão ou Fluxo de massa

Equação da continuidade

Avtm

ρ=Δ

Δ

 

 

=Δ

Δ=

Δ

Δ=

tV

tlAvA 11

111Vazão:

222111 vAvA ρρ =

1lΔ

2lΔ

.222 CteAv

tVvA ==Δ

Δ=

Equação da continuidade

• Massa que entra é igual a massa que sai.

Ou (mais geral):

(Fluidos incompressíveis)

 

Exemplo: Fluxo sangüíneo

a) RV = Av = 2×10-4 m2 ×0,35 m/s = 7×10-5 m3/s

Suponha que o sangue flui através da aorta com velocidade de 0,35 m/s. A área da seção reta da aorta é de 2 x 10-4 m2.a) Encontre a vazão de sangue;b) Os ramos da aorta se dividem em dezenas de milhares devasos capilares com área de seção reta total de 0,28 m2. Qual é a velocidade média do sangue nesses vasos?

m/s 105,2m 0,28

/m 107v 42

35

c−

−

×=×

=s

cccc AAvvvAAv =→=b)

Equação de Bernoulli

VpdtvApWVpdtvApWΔ−=−=

Δ==

22222

11111

)()(

Trabalho realizado para mover o fluido:

2p

1p

dtv1

dtv2

VΔ

VΔ

Daniel Bernoulli (1700 – 1782)Físico e Médico Holandês

 

 

Trabalho total realizado ao longo do tubo:

Teorema trabalho-energia:

)()(21

1221

2221 hhgvvpp −+−=− ρρ

Equação de Bernoulli

   

 

 

cteghvp =++ ρρ 2

21

...ao longo de uma linha de corrente ou escoamento

)()(21

1221

2221 hhgvvpp −+−=− ρρ

Equação de Bernoulli

22221

211 2

121 ghvpghvp ρρρρ ++=++

Escoamento horizontal: cteh =

CABCABCAB pppvvvAAA =<→=>→=<

Equação de Bernoulli

AvCv

Bv

BBCCAAV vAvAvAR ===

222

21

21

21

BBCCAA vpvpvp ρρρ +=+=+pois:

ctevp =+⇒ 2

21ρ

Fluxômetro de Venturi

Mede a velocidade de escoamento de um fluido

CABCABCAB pppvvvAAA =<→=>→=<

A CBv

cteghvp =++ ρρ 2

21

BBCCAA vAvAvA ==

Sustentação aerodinâmica

cteghvp =++ ρρ 2

21

Efeito Magnus

Bola com o efeito de força vertical:

+ =

F

Exemplo: Eq. de Bernoulli

22221

211 2

121 ghvpghvp ρρρρ ++=++

P2=?

cteghvp =++ ρρ 2

21

)()(21

2122

2112 hhgvvpp −+−+= ρρ e m/s 11,25 1

2

12 == v

AAv

kPa 6,42 =pLogo:

Exemplo: Eq. de Bernoulli

A1 A2

Δp

A1 = 1,2 x 10-3 m2; A2 = A1/2; ρ = 791 kg/m3; Δp = 4120 Pa, Rv= ?

ghvpghvp ρρρρ ++=++ 222

211 2

121

)(21 2

12221 vvpp −=− ρ

Fluidos reais

Lei de Newton da Viscosidade:

1cp = 10-2 Poise = 10-3 Ns/m2

Fluxo laminar com VISCOSIDADE

Ad

x

y

z 0=v

• Placa superior em movimento; • Placa inferior parada

η : coeficiente de Viscosidade

Fluido entre duas placas:

Gradiente de velocidades:

Unidade:

 

 

 

 

Lei de Poiseuille

)(4

)()( 2221 rRLpprvz −

−=

η

Vazão: 421

8)( R

LppV π

η−

=

Fluido Viscoso Força: diferença de pressão para manter fluxo

Perfil de Velocidades:

TUBO CILÍNDRICO

Turbulência

Previsão de Turbulência:

Cilindro de diâmetro D

Número de Reynolds: Re

!!"

#$$%

&=

η

ρvDRe

• Velocidade e pressão num ponto variam no tempo;• Fatores: Velocidade do fluido, viscosidade, densidade, obstáculos.

2000Re ≥