07 Integral Lipat Tiga - Arisgunaryati's Blog · PDF fileIntegral Lipat Tiga (Koordinat Tabung...

Program Perkuliahan Dasar Umum
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
[MA1124] KALKULUS II
Integral Lipat TigaIntegral Lipat Tiga

Integral Lipat Tiga pada BalokIntegral Lipat Tiga pada Balok
z
xk
yk
1. Partisi balok B menjadi n bagian;
B1, B2, , Bk, , BnDefinisikan |||| = diagonal ruang terpanjang dari Bk
2. Ambil
3. Bentuk jumlah Riemann
)z,y,x( kkk
B
Bk zk
kkkk B)z,y,x(
n
V)z,y,x(f
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
2
x
y
4. Jika |||| 0 diperoleh limit jumlah Riemann
Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis
k
n
1kkkk
0V)z,y,x(flim
=
=
1k
kkkk V)z,y,x(f
k
n
1kkkk
0B
V)z,y,x(flimdV)z,y,x(f = =

Integral Lipat Tiga pada Balok (2)Integral Lipat Tiga pada Balok (2)
vk = xk yk zk dV = dx dy dzSehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:
=BB
dzdydx)z,y,x(fdV)z,y,x(f
3

ContohContoh
B
dVyzx2Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran
B = {(x,y,z)| 1 x 2, 0 y 1, 1 z 2}
Jawab.
dVyzx2 dzdydxyzx =
2 1 22
4
B
dVyzx dzdydxyzx =1 0 1
dzdyxyz
=2
1
1
0
2
1
3
3
1
dzyz
=2
1
1
0
2
2
1
3
7
2
1
2
2
1
6
7
= z4
7=

Integral Lipat Tiga pada Daerah Integral Lipat Tiga pada Daerah SembarangSembarang
Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1)
z
B
S
2 dVyzxHitung , Jika S benda padat sembarang
5
x
y
z
S
(gb. 1)

Integral Lipat Tiga pada Daerah Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang (2)Sembarang (2)
Jika S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=1(x,y) dan z=2(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka:
z
S
z=2(x,y)
z=1(x,y)
6
Catatan:
Jika f(x,y,z) = 1, maka menyatakan volume benda pejal S
=b
a
x
x
yx
yxS
dxdydzzyxfdVzyxf
)(
)(
),(
),(
2
1
2
1
),,(),,(
S
dVzyxf ),,(x
y
Sxyb
a
y=2(x)y=1(x)
(gb. 2)

ContohContoh
S
dVzyxf ),,(Hitung dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda
padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- x2 danbidang-bidang z = 0, y=x, y=0
y=0
y=xz=2 x2z Jawab.
Dari gambar terlihat bahwa
7
y=0
x
ySxy
Sxy = proyeksi S pada XOY(segitiga)
Dari gambar terlihat bahwa
S={(x,y,z)|0x2, 0yx0z 2 x2}
2
0 Sehingga,
S
dVxyz2
=2
0 0
2
12
0
2
2x
x
dxdydzxyz
=2
0 0
2
12
0
22x x
dxdyzxy

Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)
=2
0 0
2
2
2
12
x
dxdyxxy
+=2
0 0
242
2
1
4
124 dxyxxx
x
+=2
753
8
12 dxxxx
8
+=0
82 dxxxx
2
0
864
64
1
6
1
2
1xxx +=
3
44
3
328 =+=

LatihanLatihan
S
dVz1. Hitung , S benda padat di oktan pertama yang
dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabungx2 + z2 = 1.
2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung y2 + z2 = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan
9
tabung y + z = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatnya.
3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh :a. y = x2, y + z = 4, x = 0, z = 0.b. 1 = z2+y2, y = x, x = 0.c. x2 = y, z2 =y, y = 1.d. y = x2 + 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0.
++2/
0
z
0
y
0
dxdydz)zyxsin(4. Hitung

Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola)dan Bola)
r
z
P(r,,z)
x
y
z
r
z
P(,,)
x
y
z
Syarat & hubungan dg KartesiusSyarat & hubungan dg Kartesius
Koordinat Tabung Koordinat Bola
10
Syarat & hubungan dg Kartesiusr 0, 0 2
x = r cos y = r sin z = zr2 = x2 + y2
Syarat & hubungan dg Kartesius
0, 0 2 , 0 x = r cos r = sin y = r sin r = sin z = cos x2 + y2 + z2 = 2
} x = cos sin
} y = sin sin
Jika D benda pejal punya sumbu simetri Koordinat TabungJika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik Koordinat Bola

ContohContoh
1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung x2+y2=4 dan bidang z = 0, z = 4
z
4
D dalam koordinat:
a. Cartesius:
Jawab.
11
x
yr2
2
a. Cartesius:
D={(x,y,z)| 0x2, 0y , 0z4}
24 x
b. Tabung:
D={(x,y,z)| 0r2, 0 /2, 0z4}
0
x2+y2=4

ContohContoh
2. Sketsa D; D bagian bola x2+y2 + z2=4 di oktan I.
z
2
D dalam koordinat:
a. Cartesius:
D={(x,y,z)| 0x2, 0y , 24 x
Jawab.
2
224 yxz =
12
x
yr2
2 D={(x,y,z)| 0x2, 0y , 0z }
24 x
b. Bola
D={(x,y,z)| 02, 0 /2, 0 /2}
224 yx 0

Penggantian Peubah dalam Integral Penggantian Peubah dalam Integral Lipat TigaLipat Tiga
Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w)
maka:
dimana
=DD
dwdvdu)w,v,u(J))w,v,u(p),w,v,u(n),w,v,u(m(fdzdydx)z,y,x(f
xxx
13
dimana
wz
vz
uz
wy
vy
uy
wx
vx
ux
)w,v,u(J
=
Jacobian

Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius TabungTabung
x = r cos y = r sin z = z
Matriks Jacobiannya:
xxx
14
rsinrcosr
100
0cosrsin
0sinrcos
zzz
rz
zyy
ry
zxx
rx
)w,v,u(J 22 =+=
=
=
=DD
dzddrr)z,sinr,cosr(fdzdydx)z,y,x(f

Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius BolaBola
x = cos sin y = sin sin z = cos Matriks Jacobiannya:
xxx
15
sin
10cos
sincoscossinsinsin
coscossinsincossin
),,( 2=
=
=
zzz
yyy
xxx
wvuJ
=D
2
D
dddsin)cos,sinsin,cossin(fdzdydx)z,y,x(f

Contoh (Tabung)Contoh (Tabung)
1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloidz = x2 + y2 dan z = 4.
Z
z = 4
Jawab.
Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah:
S={(x,y,z)|-2 x 2, y , 24 x24 x
16
x
y S={(x,y,z)|-2 x 2, y , x2 + y2 z 4}
24 x24 x
Dalam koordinat tabung:
S={(r,,z)|0 r 2, 0 2 , r2 z 4}
Sehingga, volume benda pejalnya adalah
=2
0
2
0
4
2
r
drddzr=S
dVV 1
Sxy

Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)
=2
0
2
0
4
2
r
drddzrV
=2
0
2
0
4
2
drdzrr
( ) =2
2
0
24 drrr
17
( )0
0
0
242
4
122
= rr 8=
Jadi volume benda pejalnya adalah 8

Contoh (bola)Contoh (bola)
2. Hitung volume bola pejal x2 + y2 + z2 = 4 di oktan I
z
2
2
224 yxz = D dalam koordinat:
a. Cartesius:
D={(x,y,z)| 0x2, 0y , 24 x
Jawab.
18
x
y2
2
0D={(x,y,z)| 0x2, 0y ,
0z }
24 x
b. Bola:
D={(x,y,z)| 02, 0 /2, 0 /2}
224 yx
Sehingga, volume benda pejalnya adalah
=2/
0
2/
0
2
0
2 sin
ddd=S
dVV 1

Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)
=2/
0
2/
0
2
0
2 sin
dddV
=2/
0
2/
0
2
0
3
3
1sin
drd
( ) =2/ 2/
cos3
8
d
19
( ) =0 0
cos3
d
( ) 2/03
8 = 3
4=
Jadi volume benda pejalnya adalah 4/3

ContohContoh
D
2 dVx1. Hitung , dengan D benda pejal yang dibatasi
z =9 x2 y2 dan bidang xy.
2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi
bola x2 + y2+ z2 = 1 dan x2 + y2+ z2 =4.
3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh
20
3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh
bola r2+ z2 = 5 dan di bawah r2 =4z.
4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid
z = x2 + y2 dan bidang z =4.
5. Hitung volume benda pej

07 Integral Lipat Tiga - Arisgunaryati's Blog · PDF fileIntegral Lipat Tiga (Koordinat Tabung...

Documents

Transcript of 07 Integral Lipat Tiga - Arisgunaryati's Blog · PDF fileIntegral Lipat Tiga (Koordinat Tabung...

6. Laminar and turbulent boundary layers · PDF filenet heat conductionrate out of R + Z R qdR_ | {z } rate of heat generationinR (6.36) Foraconstantpressureﬂowﬁeld. ... Heattransfer-Convection

Power system simulation lab - lab_final.pdf · PDF filel r c S R l R r R 2 ... VR = Receiving end voltage Cos φ r = Receiving end power factor Z = Line series ... = Receiving end

âˆ†adW[difhaV[adT.W. |kzoد€ rw | x z o s ox wxj |z آµo r}|آµ|, jz|z o~ |z} vآµ | . \|m o{s uzد€ yuo}xs

Hydrogen Atom â€“ Atomic Orbitals Lecture - 3 X Y Z x P (e - ) z Q y R

Limit Topology for Dimer Algebra Random R- ... Abstract We prove inverse partition correlation of Z

Semiconductors and heterostructures COPYRIGHTED i~r = p (1.4) where r= @ @x ^ + @ @y ^ + @ @z k^ (1.5)

PENGARUH SUBSTITUSI TEPUNG LABU KUNING (Cucurbitae ... . NASKAH Sebanyak tiga juta

E40M RC Circuits and Impedance - Stanford University · PDF fileParallel: Z eq = 1 1 Z 1 + 1 Z 2 = 1 1 R +j∗2πFC = R 1+j∗2πFRC Check limits on these expressions! M. Horowitz,

Ekuivalen radius, r BL =1,186103 € - .Karena tidak ada momen yang bekerja terhadap sumbu z maka

X®½ ¯’ R®¹¯â€ ®µ®»®±¯’ R®¹®› Z¯â€ ®¹®´®¹¯’ R® R®µ¯â€ ®»®µ¯â‚¬

o آµ } } } } v t r ] l } v d Z u } u أپ ] Z d u آµ r v v u ... P U أ أ® X أ¬ u u } o v u Z أ‡ o أ¯

M r O râ€™ R d ( ) q R - gps.ijl.univ- .Q T ( ) $ % ! § j ehg l°r>o o u"z e o r m j z jr i jm

BAB 8 RANGKAIAN TIGA FASE - USU · PDF filevp ∠0° vp ∠−120 ° vp ∠120 ° Ada beberapa hal, yang perlu diperhatikan dari sistem tiga fase ini, diantaranya : Gambar 8.4. Sistem

A Computational Analysis of a Two-Fluid non-Linear ...e-jst. · PDF file Fzz R or dG S ... N N u if R z r R z r WP w d d w (6) Where R p is the radius of the plug flow region. The

Mechanics - hkage.org. Mechanics 1 Vector 1.1 Any vector x 0 y 0 z A A x A y A z 0 r r r r = + + (1.1) Addition of two vectors: x x 0 y y 0 z z ( ) ( ) ( ) C A B A B x A B y A B z

R E C E N Z I I

PENGARUH PEMBERIAN TIGA JENIS KOMBINASI HERBAL A, B

4 s { h 5 r { C v x x r | r 5 r v v x r | z | i y £® £¬ £® £¬ ... 4 s { h 5 r { C v x x r | r 5 r v

R-vent Brandwerende Producten - ihb.nl .7 SC60 ronde brandklep ”p = v2 x 0,6 x z v = Q z = verlies

Generalized Social Marginal Welfare Weights for Optimal Tax ... ... R i w iu ci dT(z i) = R i g idT(z