07 Integral Lipat Tiga - Arisgunaryati's Blog · PDF fileIntegral Lipat Tiga (Koordinat Tabung...

Click here to load reader

  • date post

    15-May-2018
  • Category

    Documents

  • view

    375
  • download

    13

Embed Size (px)

Transcript of 07 Integral Lipat Tiga - Arisgunaryati's Blog · PDF fileIntegral Lipat Tiga (Koordinat Tabung...

  • Program Perkuliahan Dasar Umum

    Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

    [MA1124] KALKULUS II

    Integral Lipat TigaIntegral Lipat Tiga

  • Integral Lipat Tiga pada BalokIntegral Lipat Tiga pada Balok

    z

    xk

    yk

    1. Partisi balok B menjadi n bagian;

    B1, B2, , Bk, , BnDefinisikan |||| = diagonal ruang terpanjang dari Bk

    2. Ambil

    3. Bentuk jumlah Riemann

    )z,y,x( kkk

    B

    Bk zk

    kkkk B)z,y,x(

    n

    V)z,y,x(f

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    2

    x

    y

    4. Jika |||| 0 diperoleh limit jumlah Riemann

    Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis

    k

    n

    1kkkk

    0V)z,y,x(flim

    =

    =

    1k

    kkkk V)z,y,x(f

    k

    n

    1kkkk

    0B

    V)z,y,x(flimdV)z,y,x(f = =

  • Integral Lipat Tiga pada Balok (2)Integral Lipat Tiga pada Balok (2)

    vk = xk yk zk dV = dx dy dzSehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:

    =BB

    dzdydx)z,y,x(fdV)z,y,x(f

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    3

  • ContohContoh

    B

    dVyzx2Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran

    B = {(x,y,z)| 1 x 2, 0 y 1, 1 z 2}

    Jawab.

    dVyzx2 dzdydxyzx =

    2 1 22

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    4

    B

    dVyzx dzdydxyzx =1 0 1

    dzdyxyz

    =2

    1

    1

    0

    2

    1

    3

    3

    1

    dzyz

    =2

    1

    1

    0

    2

    2

    1

    3

    7

    2

    1

    2

    2

    1

    6

    7

    = z4

    7=

  • Integral Lipat Tiga pada Daerah Integral Lipat Tiga pada Daerah SembarangSembarang

    Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1)

    z

    B

    S

    2 dVyzxHitung , Jika S benda padat sembarang

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    5

    x

    y

    z

    S

    (gb. 1)

  • Integral Lipat Tiga pada Daerah Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang (2)Sembarang (2)

    Jika S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=1(x,y) dan z=2(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka:

    z

    S

    z=2(x,y)

    z=1(x,y)

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    6

    Catatan:

    Jika f(x,y,z) = 1, maka menyatakan volume benda pejal S

    =b

    a

    x

    x

    yx

    yxS

    dxdydzzyxfdVzyxf

    )(

    )(

    ),(

    ),(

    2

    1

    2

    1

    ),,(),,(

    S

    dVzyxf ),,(x

    y

    Sxyb

    a

    y=2(x)y=1(x)

    (gb. 2)

  • ContohContoh

    S

    dVzyxf ),,(Hitung dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda

    padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- x2 danbidang-bidang z = 0, y=x, y=0

    y=0

    y=xz=2 x2z Jawab.

    Dari gambar terlihat bahwa

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    7

    y=0

    x

    ySxy

    Sxy = proyeksi S pada XOY(segitiga)

    Dari gambar terlihat bahwa

    S={(x,y,z)|0x2, 0yx0z 2 x2}

    2

    0 Sehingga,

    S

    dVxyz2

    =2

    0 0

    2

    12

    0

    2

    2x

    x

    dxdydzxyz

    =2

    0 0

    2

    12

    0

    22x x

    dxdyzxy

  • Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)

    =2

    0 0

    2

    2

    2

    12

    x

    dxdyxxy

    +=2

    0 0

    242

    2

    1

    4

    124 dxyxxx

    x

    +=2

    753

    8

    12 dxxxx

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    8

    +=0

    82 dxxxx

    2

    0

    864

    64

    1

    6

    1

    2

    1xxx +=

    3

    44

    3

    328 =+=

  • LatihanLatihan

    S

    dVz1. Hitung , S benda padat di oktan pertama yang

    dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabungx2 + z2 = 1.

    2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung y2 + z2 = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    9

    tabung y + z = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatnya.

    3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh :a. y = x2, y + z = 4, x = 0, z = 0.b. 1 = z2+y2, y = x, x = 0.c. x2 = y, z2 =y, y = 1.d. y = x2 + 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0.

    ++2/

    0

    z

    0

    y

    0

    dxdydz)zyxsin(4. Hitung

  • Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola)dan Bola)

    r

    z

    P(r,,z)

    x

    y

    z

    r

    z

    P(,,)

    x

    y

    z

    Syarat & hubungan dg KartesiusSyarat & hubungan dg Kartesius

    Koordinat Tabung Koordinat Bola

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    10

    Syarat & hubungan dg Kartesiusr 0, 0 2

    x = r cos y = r sin z = zr2 = x2 + y2

    Syarat & hubungan dg Kartesius

    0, 0 2 , 0 x = r cos r = sin y = r sin r = sin z = cos x2 + y2 + z2 = 2

    } x = cos sin

    } y = sin sin

    Jika D benda pejal punya sumbu simetri Koordinat TabungJika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik Koordinat Bola

  • ContohContoh

    1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung x2+y2=4 dan bidang z = 0, z = 4

    z

    4

    D dalam koordinat:

    a. Cartesius:

    Jawab.

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    11

    x

    yr2

    2

    a. Cartesius:

    D={(x,y,z)| 0x2, 0y , 0z4}

    24 x

    b. Tabung:

    D={(x,y,z)| 0r2, 0 /2, 0z4}

    0

    x2+y2=4

  • ContohContoh

    2. Sketsa D; D bagian bola x2+y2 + z2=4 di oktan I.

    z

    2

    D dalam koordinat:

    a. Cartesius:

    D={(x,y,z)| 0x2, 0y , 24 x

    Jawab.

    2

    224 yxz =

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    12

    x

    yr2

    2 D={(x,y,z)| 0x2, 0y , 0z }

    24 x

    b. Bola

    D={(x,y,z)| 02, 0 /2, 0 /2}

    224 yx 0

  • Penggantian Peubah dalam Integral Penggantian Peubah dalam Integral Lipat TigaLipat Tiga

    Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w)

    maka:

    dimana

    =DD

    dwdvdu)w,v,u(J))w,v,u(p),w,v,u(n),w,v,u(m(fdzdydx)z,y,x(f

    xxx

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    13

    dimana

    wz

    vz

    uz

    wy

    vy

    uy

    wx

    vx

    ux

    )w,v,u(J

    =

    Jacobian

  • Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius TabungTabung

    x = r cos y = r sin z = z

    Matriks Jacobiannya:

    xxx

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    14

    rsinrcosr

    100

    0cosrsin

    0sinrcos

    zzz

    rz

    zyy

    ry

    zxx

    rx

    )w,v,u(J 22 =+=

    =

    =

    =DD

    dzddrr)z,sinr,cosr(fdzdydx)z,y,x(f

  • Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius BolaBola

    x = cos sin y = sin sin z = cos Matriks Jacobiannya:

    xxx

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    15

    sin

    10cos

    sincoscossinsinsin

    coscossinsincossin

    ),,( 2=

    =

    =

    zzz

    yyy

    xxx

    wvuJ

    =D

    2

    D

    dddsin)cos,sinsin,cossin(fdzdydx)z,y,x(f

  • Contoh (Tabung)Contoh (Tabung)

    1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloidz = x2 + y2 dan z = 4.

    Z

    z = 4

    Jawab.

    Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah:

    S={(x,y,z)|-2 x 2, y , 24 x24 x

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    16

    x

    y S={(x,y,z)|-2 x 2, y , x2 + y2 z 4}

    24 x24 x

    Dalam koordinat tabung:

    S={(r,,z)|0 r 2, 0 2 , r2 z 4}

    Sehingga, volume benda pejalnya adalah

    =2

    0

    2

    0

    4

    2

    r

    drddzr=S

    dVV 1

    Sxy

  • Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)

    =2

    0

    2

    0

    4

    2

    r

    drddzrV

    =2

    0

    2

    0

    4

    2

    drdzrr

    ( ) =2

    2

    0

    24 drrr

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    17

    ( )0

    0

    0

    242

    4

    122

    = rr 8=

    Jadi volume benda pejalnya adalah 8

  • Contoh (bola)Contoh (bola)

    2. Hitung volume bola pejal x2 + y2 + z2 = 4 di oktan I

    z

    2

    2

    224 yxz = D dalam koordinat:

    a. Cartesius:

    D={(x,y,z)| 0x2, 0y , 24 x

    Jawab.

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    18

    x

    y2

    2

    0D={(x,y,z)| 0x2, 0y ,

    0z }

    24 x

    b. Bola:

    D={(x,y,z)| 02, 0 /2, 0 /2}

    224 yx

    Sehingga, volume benda pejalnya adalah

    =2/

    0

    2/

    0

    2

    0

    2 sin

    ddd=S

    dVV 1

  • Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)

    =2/

    0

    2/

    0

    2

    0

    2 sin

    dddV

    =2/

    0

    2/

    0

    2

    0

    3

    3

    1sin

    drd

    ( ) =2/ 2/

    cos3

    8

    d

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    19

    ( ) =0 0

    cos3

    d

    ( ) 2/03

    8 = 3

    4=

    Jadi volume benda pejalnya adalah 4/3

  • ContohContoh

    D

    2 dVx1. Hitung , dengan D benda pejal yang dibatasi

    z =9 x2 y2 dan bidang xy.

    2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi

    bola x2 + y2+ z2 = 1 dan x2 + y2+ z2 =4.

    3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    20

    3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh

    bola r2+ z2 = 5 dan di bawah r2 =4z.

    4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid

    z = x2 + y2 dan bidang z =4.

    5. Hitung volume benda pej