ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

21
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

description

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z. Μετασχηματισμός - z. Ιδιότητες Μετασχηματισμού -z. Γραμμικότητα Χρονική Ολίσθηση Κλιμάκωση στο Επίπεδο- z Παραγώγιση Συνέλιξη στο Πεδίο του Χρόνου Κατοπτρισμός στο Πεδίο του Χρόνου Συσχέτιση Συζυγές Σήμα - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Page 1: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Page 2: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Μετασχηματισμός - z

• Γραμμικότητα

• Χρονική Ολίσθηση

• Κλιμάκωση στο Επίπεδο-z

• Παραγώγιση

• Συνέλιξη στο Πεδίο του Χρόνου

• Κατοπτρισμός στο Πεδίο του Χρόνου

• Συσχέτιση

• Συζυγές Σήμα

• Συνέλιξη στο Μιγαδικό Επίπεδο

Ιδιότητες Μετασχηματισμού-z

Page 3: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Μετασχηματισμός - z

• Αριστερή Ολίσθηση

• Δεξιά Ολίσθηση

• Θεώρημα Αρχικής Τιμής

• Θεώρημα Τελικής Τιμής

• Μετασχηματισμός-z Περιοδικών Σημάτων

Ιδιότητες Μονόπλευρου Μετασχηματισμού-z

Page 4: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Μετασχηματισμός - z

Αναλυτικές Συναρτήσεις

• Συνθήκες Cauchy-Riemann

• Αρμονικές Συναρτήσεις

Αναλυτικές Συναρτήσεις και Δυναμοσειρές

0

)()(n

nn azazf

Page 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Αναλυτικές Συναρτήσεις-Θεώρημα του Cauchy

Μετασχηματισμός - z

Έστω f(z) μία αναλυτική συνάρτηση στο δίσκο Β(α, R) & έστω γ μία κλειστή καμπύλη που κείται εντός του δίσκου. Τότε:

0)( dzzf

Im{z}

Re{z}

Β(α, R)

Page 6: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης

Μια Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει μία απομονωμένη ανωμαλία στο σημείο z=α αν η f(z) να ορίζεται και να είναι αναλυτική στον κύκλο Β(α, R)-{α} αλλά όχι στον Β(α, R).

:0 R

Im{z}

Re{z}

Β(α, R)

Παραδείγματα

z

zzf

)sin()(

zzf

1)(

1

)(

zezf

Μετασχηματισμός - z

Page 7: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Απαλειφόμενα Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης

Αν η Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει μία απομονωμένη ανωμαλία στο ση-μείο z=α, τότε το σημείο z=α είναι ένα απαλείψιμο σημείο ανωμαλίας αν και μόνο αν:

0)()(lim

zfazaz

Μετασχηματισμός - z

Page 8: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι

Αν η Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει μία απομονωμένη ανωμαλία στο ση-μείο z=α, τότε το σημείο z=α είναι ένας πόλος της f() αν :

1.

|)(|lim zfaz

2. Αν η Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει ένα πόλο στο σημείο z=α και m είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο το ακόλουθο όριο :

είναι πεπερασμένο, τότε θα λέμε ότι η f(z)έχει ένα πόλο τάξης m στο z=a

)()(lim zfaz m

az

Μετασχηματισμός - z

Page 9: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι

H Μιγαδική Συνάρτηση f(z) μπορεί να γραφεί ως

maz

zgzf

)(

)()(

όπου g(z) η ακόλουθη αναλυτική συνάρτηση:

n

nn

mm

mmm

azcazazA

azAazAAzg

)()()(

...)()()(

0

11

2)2()1(

Μετασχηματισμός - z

Page 10: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι

Το τμήμα:

της g(z) ονομάζεται ανώμαλο ή κύριο τμήμα της f(z) στο z=α.

11)1( )(...)()(

mmma azAazAAzS

azm

kazakkm zfazdz

d

kzS

dz

d

kA

kk

)}(){(!

1|)(

!

1)(

Υπολογισμός των Α-(m-k) , k=0,1,…,m-1

Μετασχηματισμός - z

Page 11: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης -Δυναμοσειρές

maz

zgzf

)(

)()(

n

nn

mm

mmm

azcazazA

azAazAAzg

)()()(

...)()()(

0

11

2)2()1(

n

nnm

m

mm azc

az

A

az

A

az

Azf )(

)(...

)()()(

0

11

)1(

Αν είδαμε ότι:

Άρα:

Μετασχηματισμός - z

και:

1),(2)( AaCjndzzfC

Page 12: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

C az

dz

jaCn

2

1),(

Στροφικός Αριθμός ή Δείκτης Καμπύλης ως προς σημείο

Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης

1,0

1,2

)( k

kj

az

dzC k

Θεώρημα Cauchy

Ο n(C,α) είναι ΑΚΕΡΑΙΟΣ!!

Μετασχηματισμός - z

Page 13: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Μετασχηματισμός - z

Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης

Ας υποθέσουμε ότι η μιγαδική συνάρτηση έχει ένα πόλο, πολλαπλότητας m, στο σημείο α, μίας περιοχής του μιγαδικού επιπέδου-z δηλαδή:

)(zf

maz

zgzf

)(

)()(

11

)1(

)]()!1(

1}),({sRe

Azgdz

d

mazf azm

m

Τότε ορίζουμε σαν ολοκληρωτικό υπόλοιπο της στο σημείο α την παρακάτω ποσότητα:

)(zf

Page 14: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Μετασχηματισμός - z

Ολοκληρωτικά Υπόλοιπά Μιγαδικής Συνάρτησης

Ας υποθέσουμε ότι η μιγαδική συνάρτηση είναι αναλυτική συνάρτηση εκτός από ένα πεπερασμένο πλήθος μεμονωμένων ανώ-μαλων σημείων z1, z2,…zN και έστω καμπύλη γ

)(zf

)),((Res),(2)(1

i

N

ii zzfzCnjdzzf

γ

Page 15: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z

Ανάπτυγμα σε Απλά Κλάσματα

)()()(

)()(

1

zPzSzq

zpzR

N

ii

Αν R(z) είναι μια ρητή μιγαδική συνάρτηση με Ν πόλους στα σημεία αi, i=1,2,…Ν, τότε:

Όπου Si(z) το ανώμαλο τμήμα της ρητής μιγαδικής συνάρτησης R(z) στο z=αi και P(z) Πολυώνυμο.

Page 16: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z

Ουσιώδη Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης

Αν μια απομονωμένη ανωμαλία δεν είναι ούτε απαλείψιμη ούτε πόλος, θα λέμε ότι είναι ουσιώδες ανώμαλο σημείο της συνάρτησης.

n

nn azazf )()(

Page 17: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z

Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Σύνοψη

Έστω z=α μία απομονωμένη ανωμαλία της μιγαδικής συνάρτησης f(z) και έστω

n

nn azazf )()(

η σειρά Laurent. Τότε:

• το z=α είναι ένα απαλείψιμο ανώμαλο σημείο αν και μόνο αν

• το z=α είναι ένας πόλος τάξης m αν και μόνο αν &

• το z=α είναι ένα ουσιώδες ανώμαλο σημείο αν για μια απειρία αρνητικών τιμών του n.

1,0 nan

0 ma )1(,0 mnan

0na

Page 18: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z

Έστω κλειστή καμπύλη C η οποία περικλείει Ν πόλους (στα σημεία zi , i=0,1,…N-1), της μιγαδικής ρητής συνάρτησης και ανήκει εξ ολοκλήρου στην Περιοχή Σύγκλισης της μιγαδικής συνάρτησης, τότε:

C

n dzzzXj

nx 1)(2

1][

1)( nzzX

Im{z}

0

C

(k)

Re{z}

Page 19: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z

Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης

Ας υποθέσουμε ότι η μιγαδική ρητή συνάρτηση έχει ένα πόλο, πολλαπλότητας m, στο σημείο α, δηλαδή:

1)( nzzX

mn

az

zgzzX

)(

)()( 1

azm

mn zg

dz

d

mazzXs

)](

)!1(

1},)({Re

1

)1(1

Τότε ορίζουμε σαν ολοκληρωτικό υπόλοιπο της στο σημείο α την παρακάτω ποσότητα:

1)( nzzX

Page 20: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z

Θεώρημα Ολοκληρωτικών Υπολοίπων

Αν υποθέσουμε ότι μία κλειστή καμπύλη C, που ανήκει στην περιοχή σύγκλισης του περικλείει Ν πόλους (στα σημεία zi , i=0,1,…N-1), της μιγαδικής ρητής συνάρτησης , τότε:1)( nzzX

N

ii

n

C

n zzzXsdzzzXj

nx1

11 },)({Re)(2

1][

Page 21: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z

Άλλες Μέθοδοι Υπολογισμού

• Μέθοδος Αναπτύγματος σε Δυναμοσειρά

azazzf ||),1ln()( 1

k

azaz

k

k

k )()1()1ln(

1

1

11