ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z
description
Transcript of ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
Μετασχηματισμός - z
• Γραμμικότητα
• Χρονική Ολίσθηση
• Κλιμάκωση στο Επίπεδο-z
• Παραγώγιση
• Συνέλιξη στο Πεδίο του Χρόνου
• Κατοπτρισμός στο Πεδίο του Χρόνου
• Συσχέτιση
• Συζυγές Σήμα
• Συνέλιξη στο Μιγαδικό Επίπεδο
Ιδιότητες Μετασχηματισμού-z
Μετασχηματισμός - z
• Αριστερή Ολίσθηση
• Δεξιά Ολίσθηση
• Θεώρημα Αρχικής Τιμής
• Θεώρημα Τελικής Τιμής
• Μετασχηματισμός-z Περιοδικών Σημάτων
Ιδιότητες Μονόπλευρου Μετασχηματισμού-z
Μετασχηματισμός - z
Αναλυτικές Συναρτήσεις
• Συνθήκες Cauchy-Riemann
• Αρμονικές Συναρτήσεις
Αναλυτικές Συναρτήσεις και Δυναμοσειρές
0
)()(n
nn azazf
Αναλυτικές Συναρτήσεις-Θεώρημα του Cauchy
Μετασχηματισμός - z
Έστω f(z) μία αναλυτική συνάρτηση στο δίσκο Β(α, R) & έστω γ μία κλειστή καμπύλη που κείται εντός του δίσκου. Τότε:
0)( dzzf
Im{z}
Re{z}
Β(α, R)
Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης
Μια Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει μία απομονωμένη ανωμαλία στο σημείο z=α αν η f(z) να ορίζεται και να είναι αναλυτική στον κύκλο Β(α, R)-{α} αλλά όχι στον Β(α, R).
:0 R
Im{z}
Re{z}
Β(α, R)
Παραδείγματα
z
zzf
)sin()(
zzf
1)(
1
)(
zezf
Μετασχηματισμός - z
Απαλειφόμενα Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης
Αν η Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει μία απομονωμένη ανωμαλία στο ση-μείο z=α, τότε το σημείο z=α είναι ένα απαλείψιμο σημείο ανωμαλίας αν και μόνο αν:
0)()(lim
zfazaz
Μετασχηματισμός - z
Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι
Αν η Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει μία απομονωμένη ανωμαλία στο ση-μείο z=α, τότε το σημείο z=α είναι ένας πόλος της f() αν :
1.
|)(|lim zfaz
2. Αν η Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει ένα πόλο στο σημείο z=α και m είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο το ακόλουθο όριο :
είναι πεπερασμένο, τότε θα λέμε ότι η f(z)έχει ένα πόλο τάξης m στο z=a
)()(lim zfaz m
az
Μετασχηματισμός - z
Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι
H Μιγαδική Συνάρτηση f(z) μπορεί να γραφεί ως
maz
zgzf
)(
)()(
όπου g(z) η ακόλουθη αναλυτική συνάρτηση:
n
nn
mm
mmm
azcazazA
azAazAAzg
)()()(
...)()()(
0
11
2)2()1(
Μετασχηματισμός - z
Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι
Το τμήμα:
της g(z) ονομάζεται ανώμαλο ή κύριο τμήμα της f(z) στο z=α.
11)1( )(...)()(
mmma azAazAAzS
azm
kazakkm zfazdz
d
kzS
dz
d
kA
kk
)}(){(!
1|)(
!
1)(
Υπολογισμός των Α-(m-k) , k=0,1,…,m-1
Μετασχηματισμός - z
Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης -Δυναμοσειρές
maz
zgzf
)(
)()(
n
nn
mm
mmm
azcazazA
azAazAAzg
)()()(
...)()()(
0
11
2)2()1(
n
nnm
m
mm azc
az
A
az
A
az
Azf )(
)(...
)()()(
0
11
)1(
Αν είδαμε ότι:
Άρα:
Μετασχηματισμός - z
και:
1),(2)( AaCjndzzfC
C az
dz
jaCn
2
1),(
Στροφικός Αριθμός ή Δείκτης Καμπύλης ως προς σημείο
Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης
1,0
1,2
)( k
kj
az
dzC k
Θεώρημα Cauchy
Ο n(C,α) είναι ΑΚΕΡΑΙΟΣ!!
Μετασχηματισμός - z
Μετασχηματισμός - z
Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης
Ας υποθέσουμε ότι η μιγαδική συνάρτηση έχει ένα πόλο, πολλαπλότητας m, στο σημείο α, μίας περιοχής του μιγαδικού επιπέδου-z δηλαδή:
)(zf
maz
zgzf
)(
)()(
11
)1(
)]()!1(
1}),({sRe
Azgdz
d
mazf azm
m
Τότε ορίζουμε σαν ολοκληρωτικό υπόλοιπο της στο σημείο α την παρακάτω ποσότητα:
)(zf
Μετασχηματισμός - z
Ολοκληρωτικά Υπόλοιπά Μιγαδικής Συνάρτησης
Ας υποθέσουμε ότι η μιγαδική συνάρτηση είναι αναλυτική συνάρτηση εκτός από ένα πεπερασμένο πλήθος μεμονωμένων ανώ-μαλων σημείων z1, z2,…zN και έστω καμπύλη γ
)(zf
)),((Res),(2)(1
i
N
ii zzfzCnjdzzf
γ
Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z
Ανάπτυγμα σε Απλά Κλάσματα
)()()(
)()(
1
zPzSzq
zpzR
N
ii
Αν R(z) είναι μια ρητή μιγαδική συνάρτηση με Ν πόλους στα σημεία αi, i=1,2,…Ν, τότε:
Όπου Si(z) το ανώμαλο τμήμα της ρητής μιγαδικής συνάρτησης R(z) στο z=αi και P(z) Πολυώνυμο.
Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z
Ουσιώδη Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης
Αν μια απομονωμένη ανωμαλία δεν είναι ούτε απαλείψιμη ούτε πόλος, θα λέμε ότι είναι ουσιώδες ανώμαλο σημείο της συνάρτησης.
n
nn azazf )()(
Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z
Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Σύνοψη
Έστω z=α μία απομονωμένη ανωμαλία της μιγαδικής συνάρτησης f(z) και έστω
n
nn azazf )()(
η σειρά Laurent. Τότε:
• το z=α είναι ένα απαλείψιμο ανώμαλο σημείο αν και μόνο αν
• το z=α είναι ένας πόλος τάξης m αν και μόνο αν &
• το z=α είναι ένα ουσιώδες ανώμαλο σημείο αν για μια απειρία αρνητικών τιμών του n.
1,0 nan
0 ma )1(,0 mnan
0na
Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z
Έστω κλειστή καμπύλη C η οποία περικλείει Ν πόλους (στα σημεία zi , i=0,1,…N-1), της μιγαδικής ρητής συνάρτησης και ανήκει εξ ολοκλήρου στην Περιοχή Σύγκλισης της μιγαδικής συνάρτησης, τότε:
C
n dzzzXj
nx 1)(2
1][
1)( nzzX
Im{z}
0
C
(k)
Re{z}
Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z
Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης
Ας υποθέσουμε ότι η μιγαδική ρητή συνάρτηση έχει ένα πόλο, πολλαπλότητας m, στο σημείο α, δηλαδή:
1)( nzzX
mn
az
zgzzX
)(
)()( 1
azm
mn zg
dz
d
mazzXs
)](
)!1(
1},)({Re
1
)1(1
Τότε ορίζουμε σαν ολοκληρωτικό υπόλοιπο της στο σημείο α την παρακάτω ποσότητα:
1)( nzzX
Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z
Θεώρημα Ολοκληρωτικών Υπολοίπων
Αν υποθέσουμε ότι μία κλειστή καμπύλη C, που ανήκει στην περιοχή σύγκλισης του περικλείει Ν πόλους (στα σημεία zi , i=0,1,…N-1), της μιγαδικής ρητής συνάρτησης , τότε:1)( nzzX
N
ii
n
C
n zzzXsdzzzXj
nx1
11 },)({Re)(2
1][
Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z
Άλλες Μέθοδοι Υπολογισμού
• Μέθοδος Αναπτύγματος σε Δυναμοσειρά
azazzf ||),1ln()( 1
k
azaz
k
k
k )()1()1ln(
1
1
11