Μετασχηματισμός Z

109
Ηλεκτρονικη και Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 1 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Μετασχηματισμός Z ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

description

Ο μετασχηματισμός Ζ ως εργαλείο στην Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος.

Transcript of Μετασχηματισμός Z

Page 1: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 1

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

ΣΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο

Μετασχηματισμός Z

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Page 2: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Ποιός είναι ο DTFT της u(n)??

k

ωj)kπ2ω(πδ

e1

1)n(u

Page 3: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Τι περιλαμβάνει

Μετασχ. -z –ορισμός

αντίστροφος μετασχ.-z

ιδιότητες μετασχ.-z

πόλοι και μηδενισμοί

απόκριση συχνότητας

εφαρμογές

Page 4: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

z Μιγαδική συχνότητα

0

( ) ( ) n

n

X z x n z

Μετασχ. -z Ορισμός

ωje|z|z

nωjn e|z|)n(x)z(X

Page 5: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 5 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

x(n)= { 1, 3, 4 , 2 , 0, 2}

X(z)=1+3z-1+4z-2+2z-3+2z-5

Παράδειγμα

Ποιος είναι ο μετασχ. –z ???

Page 6: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 6 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ

C

1n1dzz)z(X

j2

1)]z(X[Z)n(x

π

C είναι ένας κλειστός δρόμος που

• περικλείει την αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου

• βρίσκεται μέσα στη περιοχή σύγκλισης

• περικλείει όλους τους πόλους της Χ(z)

Page 7: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 7 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Παράδειγμα

Να υπολογιστεί ο Μετασχηματισμός -z της ακολουθίας

x(n)=1, 0.8, 0.64,….

Από τον ορισμό :

X(z) =1z0+0.8z-1+0.64z-2+ ....=1+(0.8z-1)+(0.8z-1)2+(0.8z-1)3+.......=

1z8.01

1

0.8|z-1|<1

0

( ) ( ) n

n

X z x n z

|z|>0.8

Page 8: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 8

3D

-2-1

01

2

-2

0

2

0

1

2

3

4

5

-2-1

01

2-2

0

2

0

1

2

3

4

5

-2

-1

0

1

2

-2-1

01

2

0

1

2

3

4

5

-2

0

2

-2-1012

0

1

2

3

4

5

1z8.01

1

Page 9: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 9

επίπεδο-z

Re(z)

Im(z)

μοναδιαίος

κύκλος |z|=1

Μιγαδικό επίπεδο

ωje|z|z

Page 10: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 10

Περιοχή Σύγκλισης –

region of convergence – (ROC)

Το σύνολο των τιμών του z που ο Χ(z) υπάρχει ονομάζεται

περιοχή σύγκλισης

Kαθορίζεται από δύο θετικούς αριθμούς Rx+ και Rx- : Rx-<|z|<Rx+

Η μορφή του ROC

είναι πάντα ένας

δακτύλιος

Im(z)

Re(z)

Rx+

Rx-

ROC

Το επίπεδο z, και ένα γενικό ROC

Page 11: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 11

Παράδειγμα

Θα υπολογίσουμε το μετασχ.-z της u(n)

Υπολογίζουμε:

221

1

z1

11

2z

1

1

321

0n

n

n

n

z1

1....zzz1zz)n(x)z(X

Επομένως η Περιοχή Σύγκλισης (ROC) βρίσκεται έξω από ένα

κύκλο ακτίνας |z|=1

|z|>1

Εάν επιλέξουμε την τιμή z=2 έχουμε ότι

Χ(2)=1+2-1+2-2+2-3+...... = Χ(z)|z=2

δηλ. η σειρά συγκλίνει γιατί η τιμή z=2 ROC

Page 12: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 12

Ακολουθίες θετικού

και αρνητικού χρόνου

x1(n)=anu(n) για n>0

εάν |α|<|z| az

z)z(X

1

0 n

x(n)

0 n

x(n)

Page 13: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 13 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

bz

z

1

11

b

z1

b

z

z

b

z)b(z)n(x)z(X

bz

0n

n1

n 1n

nn

1

n

nn

n

n2

Το συμπέρασμα από τη μελέτη των δύο παραπάνω ακολουθιών είναι

ότι ενώ για a=b, οι μετασχ.z , είναι ίδιοι: Χ1(z)=X2(z), oι αντίστοιχες

ακολουθίες x1(n) και x2(n) είναι διαφορετικές.

n 0

x(n)

x2(n)=-bnu(-n-1) για χρόνους (n-1)

|z|<b

Page 14: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 14 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Παράδειγμα

Έστω το σήμα x(n)=αnu(n)-bnu(-n-1)

έχουμε :

|b||z||a|bz

z

az

z

|b||z:|2ROC,bz

z|a||z:|1ROC,

az

z

zbza)z(X0n

1nnnn

Page 15: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 15 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Πόλοι-μηδενισμοί –ιδιότητες του ROC

Οι ρίζες του παρονομαστού και οι ρίζες του αριθμητού μίας

συνάρτησης Χ(z) ονομάζονται αντίστοιχα πόλοι και μηδενισμοί

της Χ(z)

Ισχύει ότι το ROC δεν μπορεί να περικλείει ένα πόλο της Χ(z)

Tο ROC είναι μία συνεκτική περιοχή δηλ. δεν μπορεί να

αποτελείται από σύνολο επιμέρους τμημάτων.

Page 16: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 16 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Πίνακας Μετασχηματισμών Ζ και περιοχών σύγκλισης

a|z|γιαaωcosazz

ωcosazz)n(u)ωncos(a

a|z|γιαaωcosazz

ωsinaz)n(u)ωnsin(a

|z|γιαωcoszz

ωcoszz)n(u)ωncos(

|z|γιαωcoszz

ωsinz)n(u)ωnsin(

1|z|άγιzz

z)n(u

|a||z|άγι)az(

az)n(una

|a|zγιαazaz

z)n(ua

|z|για)z(

z

)z(

z)n(nu

zγιαzz

z)n(u

zκαθεγια)n(δ

n

n

n

n

22

2

22

2

2

2

1

21

1

1

21

1

2

1

2

2

112

112

1

1

11

1

1

1

111

11

1

1

1

Page 17: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 17 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Αντίστροφος

μετασχηματισμός Ζ

Page 18: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 18 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Αντίστροφος μετασχηματισμός z

Μέθοδος Ολοκληρωτικών υπολοίπων

Θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων του Cauchy :

]z)z(X[resdzz)z(X

jπ)z(XZ)n(x

n

C

n 111

2

1

ξεωςάτηςλουςόπγια

)]z(Xz)pz[(lim)]z(Xz[sRe

και

ξεωςάτmλουςόπγια

])pz)(z(Xz[dz

dlim

)!m()]z(Xz[sRe

n

ipz

n

pz

m

i

n

m

m

pz

n

pz

ii

ii

1

1

1

11

1

1

11

Όπου:

Page 19: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 19 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Παράδειγμα

2

2 1

1

2

1 1

1

1

1 1

0.5

0.5

( )1 0.5

[ ] Re1 0.5

1 Re 21 0.5 0.5

0.5 Re 0.51 0.5 1

[ ] 2 0.5

m

n

n

n

z p

n n

z

z

n n

z

z

zH z

z z

z zh n s

z z

z zp s

z z z

z zp s

z z z

h n

Page 20: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 20 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Αντίστροφος μετασχηματισμός z

Μέθοδος μακράς διαίρεσης

Εκτελούμε την διαίρεση – (long division)

Παράδειγμα :

1

1

2 31 1 1 1

1 2 3 4

1

1.2

1 1.2

[1 1.2 1.2 1.2 ...]

1.2 1.44 1.728 ...

X zz

z

z

z z z z

z z z z

Αρα x(n)=0 , 1, -1.2, 1.44, -1.728 ....

Page 21: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 21 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Η μέθοδος αυτή είναι η πιο διαδεδομένη

και

Αντίστροφος μετασχηματισμός z

Μέθοδος ανάπτυξης σε μερικά

κλάσματα

Βασίζεται στην μετατροπή της Χ(z) σε

απλά κλάσματα

Page 22: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 22 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

1

1

1

1

...

1 a ... a

M

o M

N

N

b b z b zX z

z z

Yλοποιείται με τα εξής βήματα:

Εάν η Χ(z) έχει την μορφή :

1 1

1 1

101

...

1 a ... a

N M No N k

kNkN

b b z b zX z C z

z z

τροποποιούμε:

11 01

N M Nkk

k

k kk

RX z C z

P z

Και τελικά

NM

k

k

k

N

k

k )kn(δCzp

R)n(x0

1

1

1 1

1Z

Μ>Ν

Page 23: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 23 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Μέθοδος ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα

Παράδειγμα 1

Να βρεθεί η x(n) όταν: 23 4 1

zX z

z z

1

1 22

1

111 1

1

3( )4 14 1

133 33 3

11 1 1 13

11 2 1 211 1

33

zz

X z

z zz z

z

zzz z

Πόλοι: 1, 1

3

x x 1/3 1

απλός πόλος

Page 24: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 24 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Παράδειγμα 1 (συνέχεια)

Εάν :

Εάν :

Εάν :

1 z 1 1 1

( )2 2 3

n

x n u n u n

11

3z

1

3z

1 1 11 1

2 2 3

n

x n u n u n

1 1 1

( 1)2 2 3

n

x n u n u n

Page 25: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 25 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Μέθοδος ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα

Παράδειγμα 2

1

1

1

11

z5.01

z2

z1

zz

1z2

4

1z

1

z

1

1z21z

B

z

A)z(X

Γ

)z)(z(z)z(X

121

1

Τελικά:

x(n)=δ(n-1)+u(n-1)-2 (0.5)n-1u(n-1) για ROC: |z|>1

Τι «συμφέρει»???

z ή z-1

Page 26: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 26 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

).z)(z(

zz

.z.z

zz

.z.z

zz)z(H

501

12

5051

12

5051

222

2

Μέθοδος ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα

Παράδειγμα 3

)n(u).()n(u)n(h n5046

11501

4

1

6

50

4

1

6

z.z.zzz

Page 27: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 27 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Μέθοδος ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα-

Παράδειγμα 4

5268.0b,15.0aό)jbaz(

1

)jbaz(

z

3.0z3.0z

z)z(X

2

jbazjbazz)z(X

jbjb 21

21

)n2934.1sin()3.0(5268.0

1)n(x

2/n

Μιγαδικός πόλος

a

btanφee)ba(

jb)jba()jba(

jb)n(x φjnφjn/nnn 1222

2

1

2

1

a|z|γιαaωcosazz

ωsinaz)n(u)ωnsin(an

22 2

Page 28: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 28 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Διπλός πόλος

Μέθοδος ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα-

Παράδειγμα 5

)z9.01()z9.01(

1)z(X

121 : |z|>0.9

1211 z9.01

25.0

)z9.01(

5.0

z9.01

25.0)z(X

121

1

1z9.01

25.0

)z9.01(9.0

z9.0z5.0

z9.01

25.0

h(n)=0.25 0.9n u(n)+5/9 (n+1) 0.9n+1 u(n+1) +0.25 (-0.9)n u(n)

λεπτομέρειες

Page 29: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 29

1211901901901

z.

Γ

)z.(

B

z.

Α

)z.()z.()z(X

121901901

1

1

21

21

21

1

21

901

901

901

901

901

901

z.

)z.(Γ

)z.(

)z.(B

z.

)z.(Α

)z.()z.(

)z.(121

21

901901

901

1

211

1901

901901

901

1

z.

)z.(ΓB)z.(A

z.

2

1

901

1

901

B

z. .z

4

1090

901

90

901

901901

901

1

90

90

21

1

21

11

1

111

A....A.z.

.

z.

)z.(Γ

dz

dB

dz

d)z.(

dz

dA

z.dz

d

.z

.z

Για το Α

Page 30: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 30 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

α) θεωρούμε ότι

αντιστοιχεί σε ένα σύστημα

β) χρησιμοποιούμε την ιδιότητα

H z h n

Αντίστροφος μετασχηματισμός z

από την εξίσωση διαφορών

Παράδειγμα

H(z) Y(z) X(z)

mx n m z X z

Page 31: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 31 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

1

1 2 1

Y zH z

z z z X z

3 2

1 2 3

1

1 2 1

1 2 1

2 3

2 3

2 3 1 2 3

2 3 1 2 3

0 0 1 0

Έχουμε :

από την οποία προκύπτει :

Y zH z

z z z X z

Y z z z z X z

Y z z z z X z

Y z z z z X z

y n y n y n x n

x n n h n h n h n n

h h

12 0 3

2

4 1.5 3 0.5 2 0.75

h h

h h h

Page 32: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 32

8

1

3z8.01

1)z(Η

42

421

1z25.0z84.01

z4z49)z(H

1

1

2z5.01

5.0)z(Η

Matlab impz – filter - residuez

8

1

4z8.01

1)z(Η

h1(n)=

h2(n)=

h4(n)=

h3(n)=

filter(b,a,[1 zeros(1,n-1)])

impz(b,a)

residuez(b,a)

[b1,a1]=residuez([r(1:2)],[p(1:2)],0);

[b2,a2]=residuez([r(3:4)],[p(3:4)],0);

Page 33: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 33

)(zH1

)(zH2)(nx )(ny

g

)(zH1 )(zH2)(nx )(nyg

Page 34: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 34 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Ζ

Γραμμικότητα

Αν η x(n) έχει μετασχηματισμό τον X(z) και η y(n)έχει μετασχηματισμό

τον Y(z) με περιοχές σύγκλισης και αντίστοιχα τότε :

xR yR

Zax n by n aX z bY z

mx n m z X z

Παράδειγμα:

0

0

1

o

n o

n

nn

o o

n

n X z n z z

n n X z n n z z

Kαθυστέριση - μετατόπιση στο χρόνο

Αν η x(n) έχει μετασχηματισμό τον X(z) τότε :

Page 35: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 35 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Ιδιότητες Μετασχηματισμού z – (συνέχεια)

Συμπεριφορά για

Αν η x(n) έχει μετασχηματισμό τον X(z)

n

1

1lim lim

zn

zx n X z

z

To σύστημα έχει είσοδο την u(n). 0.8

zH z

z

1 1

1 1lim lim lim 5

1 0.8 1 0.8z zn

z z zy n H z

z z z

Παράδειγμα

n Στην σταθερή κατάσταση έχουμε:

8.0z

z

1-z

zX(z)H(z)Y(z)Η έξοδος είναι:

Επιβεβαίωση

Page 36: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 36

8.0z

z

1-z

zX(z)H(z)Y(z)

Αναλύομε σε μερικά κλάσματα:

.....8.0z

Bz

1z

Az

8.0z

z

1-z

zY(z)

8.0z

z4

1z

z5)n(u8.04)n(u5)n(y n

Για n y(n)=5

Page 37: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 37 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Θεώρημα συνέλιξης

Ιδιότητες Μετασχηματισμού z – (συνέχεια)

)z(X)n(x 11 )z(X)n(x 22

)z(X)z(X)n(x)n(x 2121

εάν

και

τότε

Page 38: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 38 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

1 2 3 4 1 2

1 2 3 4 6

1 2 3 1 1 0 0 0 0 ...

2 1 1 0 0 0 0 0 0 ... και *

2 3 3 3 6 0 1 0 0 ...

1 2 3 και 2

2 3 3 3 6

2 3 3 3 6 0 1 0 0 ...

δηλαδή ό

x n

h n y n x n h n

y n

X z z z z z H z z z

X z H z z z z z z

y n

πως και προηγουμένως

Παράδειγμα

Page 39: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 39 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Άλλες ιδιότητες Μετασχηματισμού Ζ – (συνέχεια)

Αντιστροφή στο χρόνο

Αν x(n) X(z)

τότε x(-n) Χ(z-1)

Page 40: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 40 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Παράδειγμα

Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός z της x(n)=2nu(-n)

Για την y(n)=(1/2)nu(n) 1

21 z1

1)z(Y

Επειδή y(-n)=x(n) z1

1)z(Y)z(Χ

21

1

Παρατηρώ ότι: x(n)=2nu(-n)=(1/2)-nu(-n)

Page 41: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 41

Άλλες ιδιότητες Μετασχηματισμού Ζ – (συνέχεια)

Παράγωγος

Αν x(n) X(z)

τότε dz

)z(dXz)n(nx

Page 42: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 42 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Παράδειγμα

Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός z της

Ισχύει ότι

1 1

1 1 1 z

1

n

Zu na a z a

nx n na u n

1

1 z

1

Zna u n aaz

Και τελικά με την ιδιότητα της παραγώγου προκύπτει ότι

1

1 z

1

Zna u n aa z

1

21 1

1

1 1

d a zz z a

dz a z a z

επομένως θα είναι και

χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της αντιστροφής στο

χρόνο

nx n na u n

Page 43: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 43

Μετασχ. –z

Μετασχ. Laplace

Μετασχ. Fourier

Page 44: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 44 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Ιδιότητες Μετασχηματισμού z

Μετασχηματισμός του επιπέδου–s στο επίπεδο–z (Laplace z)

Μετασχηματισμός-z

0n

nz)n(x)z(X

0k

)kn(δ)k(x)n(xΨηφιακό σήμα

Το σήμα συνεχούς χρόνου

0k

)nTt(δ)nT(x)t(x

μετασχηματισμόσ Laplace

0n

nTse)nT(x)s(X

Mε σύγκριση των παραπάνω : z=eTs

Page 45: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 45 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Για d=0 s=jΩ |z|=1 και z = ω = ΩΤ

z=eTs

s=d+jΩ

δηλ. το αριστερό ημιεπίπεδο του επιπέδου–s απεικονίζεται στο

εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου του επιπέδου–z.

δηλ. ο άξονας jΩ του επιπέδου –s απεικονίζεται στο μοναδιαίο κύκλο

του επιπέδου –z σε λωρίδες 2π/Τ.

Για d<0 |z|=|eTd ejΩT|=|eTd|<1

Page 46: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 46

επίπεδο-z

Re(z)

Im(z)

μοναδιαίος

κύκλος

επίπεδο-s

d

Τπj

z=eTs

Page 47: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 47 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Mετασχηματισμός-z και Fourier

Αν μια ακολουθία x(n) έχει μετασχηματισμό-z τον X(z) και μετασχηματισμό Fourier (DTFT) τον X(ejω) τότε : Aπό τη σχέση αυτή υπολογίζεται η απόκριση συχνότητας (μετασχηματισμός Fourier - DTFT)

ωjez

ωj)z(X)e(X

0

( ) ( ) n

n

X z x n z

j jnX e x n e

Μετασχηματισμός DTFT

Μετασχηματισμός -z

Page 48: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 48

μηδενισμός

|z|=1

πόλος

Page 49: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 49 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Υπολογισμός της απόκρισης συχνότητας από τον μετασχηματισμό z

Παράδειγμα

πόλος μηδενισμός

z=ejπ/4

7071.0z

1z)z(H

7071.045ημj45συν

45ημj45συν1

7071.0ημωjσυνω

ημωjσυνω1

7071.0e

1e)e(H

ωj

ωjωj

o5.67je6131.2

7071.07071.0j7071.0

7071.0j7071.01

Να βρεθεί η Η(ejω) για ω=π/4

Page 50: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 50

Γεωμετρικός υπολογισμός της

Απόκρισης συχνότητας (DTFT)

Page 51: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 51 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Παράδειγμα

Επίπεδο z 8.0e

8.0e)ω(H

8.0z

8.0z)z(H

ωj

ωj

ω=0

ω1

ω=π

1ωjez

π 2π 3π ω

|Η|

Page 52: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 52 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Απόκριση Συχνότητας –(συνέχεια)

Υπολογισμός του |X(ejω)|

ωjez

1ωjωj

ωj*ωj2

ωj

)z(X)z(X)e(Χ)e(Χ

)e(Χ)e(Χ)e(Χ

j jnX e x n e

παράδειγμα

Η ιδιότητα αυτή διευκολύνει

πολύ τον υπολογισμό της

απόκρισης πλάτους

Page 53: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 53 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Να υπολογιστεί η απόκριση του

Βήμα 1ο :

Βήμα 2ο : υπολογίζουμε για

2

2

1

0.9 0.81

zH z

z z

2 22

2 2 1

2

0.81 1.629 2.4661

2 2 2

0.81 2 2 3.258 2.4661

j z zH e

z z z z

jz e

Απόκριση Συχνότητας - Παράδειγμα

81.0z9.0z

1z

81.0z9.0z

1z)z(H)z(H

12

2

2

21

Page 54: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 54

Περιγραφή Συστημάτων στο

Επίπεδο z

Πόλοι και Μηδενισμοί

Συνάρτηση Μεταφοράς

Page 55: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 55 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Συνάρτηση Συστήματος

Ορίζουμε ως συνάρτηση συστήματος την :

Λόγω της ιδιότητας της συνέλιξης η απόκριση Y(z) του συστήματος

αυτού σε σήμα εισόδου X(z) είναι :

Y(z)=H(z)X(z)

nz)n(h)}n(h{Z)z(H

Page 56: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 56 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

από την εξίσωση διαφορών

Η συνάρτηση αυτή μπορεί να γραφτεί με τον ακόλουθο τρόπο

)mn(xb)kn(ya)n(yM

0mm

N

1kk

)z(Xzb)z(Yza)z(Y mM

0mm

N

1k

k

k

N

1k

k

k

mM

0mm

za1

zb

)z(X

)z(Y)z(H

Υπολογίζεται η

και η H(z):

N

1kk

M

1mm

MN

0

)zz(

)zz(

zb)z(X

)z(Y)z(H

μηδενισμοί

πόλοι

Page 57: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 57 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Πόλοι – μηδενισμοί - Παράδειγμα

Δεδομένων των πόλων και μηδενισμών

εύκολα βρίσκεται η συνάρτηση μεταφοράς

2

5 2

1.2 1

0.5 0.7 0.5 0.7 0.8

1 1

z z zX z

z j z j z

X z z z

x

x

x

72o

Μοναδιαίος

κύκλος

Page 58: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 58 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Και κάθε σήμα περιγράφεται στο πεδίο-z από πόλους και

μηδενισμούς πχ. η u(n)

Επίπεδο -z

1z1

1

1z

z)n(u

Page 59: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 59 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Ευστάθεια γραμμικών συστημάτων στο πεδίο του χρόνου:

h(n)=

Στο πεδίο του μετασχ.-z έχουμε αντίστοιχη σχέση:

Ευστάθεια στο επίπεδο Ζ

)k(h

Ενα σύστημα είναι ευσταθές όταν οι πόλοι

του ευρίσκονται μέσα στον μοναδιαίο

κύκλο.

Page 60: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 60 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Ευστάθεια στο επίπεδο Ζ - Παράδειγμα 1

h(n)=Z-1 = an-1u(n-1)

az1

z1

1

az

1

)z(X

)z(Y)z(H

Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα το σύστημα είναι

ευσταθές εάν α<1

h(n)=[0 1 a a2 a3 ......]

Είναι προφανές ότι για ευστάθεια πρέπει a<1

επαλήθευση :

Page 61: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 61 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Ευστάθεια στο επίπεδο Ζ - Παράδειγμα 2

2 2

2 2

2

2 4 6

1

a

a

a 2 2

0, 0, 1, 0, a , 0, a , 0, a ,...

ευστάθεια a 1

Y zH z

z X z

z Y z Y z X z

y n y n x n

h n

Page 62: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 62 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Για ένα σύστημα 2ας τάξεως εκφράζουμε τους πόλους

στη μορφή και έχουμε: a jre

Ευστάθεια στο επίπεδο Ζ – (συνέχεια)

22

21

cos2

1.......

))((

1

))((

1)(

rrzz

rezrezzzzzzH

jj

Για ευστάθεια: r<1

Page 63: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 63 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Συστήματα

Κάθε σύστημα υψηλής τάξεως μπορεί να παρασταθεί από

συστήματα 1ης και 2ας τάξεως σε διαδοχική ή παράλληλη σύνδεση.

)z(H1)(zH2

)(zHk)(nx )(ny

)(zH1

)(zH2

)z(Hk

)(nx )(ny

0c

Page 64: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 64 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Σύστημα -συνάρτηση

1ης τάξεως

221zrzcosr21

1)z(H.

az

z)z(H.

221

2

2

1

1o

1j1j

2

2

1

1o

zrzcosr21

zbzbb

)zre1)(zre1(

zbzbb)z(H

1

1

pz

zz)z(H

Σύστημα-συνάρτηση

2ας τάξεως

Page 65: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 65 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Συστήματα 1ης τάξεως

Η απόκριση συχνότητας Η(ejω) σχετίζεται με τον πόλο της συνάρτησης.

az

z)z(H

Για ω=0 και ω=π η ενίσχυση είναι:

11

1

z zH z

z p

a1

1

ae

e)0(GG

0

0

1

a1

1

ae

e)π(GG

πj

πj

2

Ο πόλος είναι πάντα πραγματικός αριθμός

Εάν a>0 βαθυπερατό φίλτρο

Εάν a<0 ηψιπερατό φίλτρο

Page 66: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 66 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

….συνέχεια

επίπεδο z a a

H(ω)

G1

G2

H(ω)

G1

G2

π

ω π

ω

h(n)

h(n) an (-a)n

az

z)z(H

Page 67: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 67 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Συστήματα 1ης τάξεως - συμπερασματικά:

Όσον ο πόλος κινείται πιο κοντά στον μοναδιαίο

κύκλο (a1):

η «κορυφή» αυξάνει

το εύρος ζώνης μειώνεται, και η

κρουστική απόκριση εξασθενεί πιο αργά.

Page 68: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 68 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Συστήματα 2ας τάξεως

2

2

1

1

2

2

1

1

1

zaza

zbzbb)z(H o

Εάν οι πόλοι είναι μιγαδικοί: z 1,2 =rejθ

)zre1)(zre1(

zbzbb)z(H

1θj1θj

2

2

1

1o

221

2

2

1

1o

zrzθcosr21

zbzbb)z(H

Page 69: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 69 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

221zrzcosr21

1)z(H

Ας θεωρήσουμε μόνο τους

πόλους (μηδενισμούς μόνο στο z=0):

Aπόκριση συχνότητος

x

x

r θ

..συνέχεια

Page 70: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 70 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

0 1 2 3 4-20

-10

0

10

20

30

40

x r

θ=0

0 1 2 3 4-20

-10

0

10

20

30

x

x

r θ

0 1 2 3 4-10

-5

0

5

10

15

20

x

x

r

θ

0 1 2 3 4-10

-5

0

5

10

15x

x

r θ

0 1 2 3 4-10

-5

0

5

10

15

20

x

x

r θ

0 1 2 3 4-20

-10

0

10

20

30

x

x

r θ

0 1 2 3 4-20

-10

0

10

20

30

40

x r

θ

Τι γίνεται όταν μεταβάλλεται η γωνία θ

Page 71: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 71 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

x

x

r=0.5

Τι γίνεται όταν μεταβάλλεται η απόσταση r

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

10

20

30

40

50

frequency --> rad

magnitude -

-> d

B

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

10

20

30

40

50

frequency --> rad

magnitude -

-> d

B x

x

r=0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

10

20

30

40

50

frequency --> rad

magnitude -

-> d

B

x

x

r=0.9

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

10

20

30

40

50

frequency --> rad

magnitude -

-> d

B

x

x

r=0.99

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

10

20

30

40

50

frequency --> rad

magnitude -

-> d

B

x

x

r=0.999

Page 72: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 72

Συμπερασματικά

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

r1 η απόκριση γίνεται οξεία και το εύρος ζώνης

ελαττώνεται. Η κρουστική απόκριση έχει μικρότερο

ρυθμό εξασθένησης.

r=1 έχουμε σύστημα – ταλαντωτή.

θ=0 βαθυπερατό φίλτρο

θ=π υψιπερατό.

Σε ενδιάμεσα θ έχουμε ζωνοδιαβατά φίλτρα.

Page 73: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 73 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Παράδειγμα 1 (πόλοι πάνω στο μοναδιαίο κύκλο)

)ze1)(ze1(

)z1(2

zz1

z22)z(H

13/j13/j

1

21

1

)n(u)1n(3

cos4)n(uee2)n(uee2)n(h3/j3/nj3/nj3/j

Δίνεται : y(n)=y(n-1)-y(n-2)+2x(n)+2x(n-1)

13/πj

3/πj

13/πj

3/πj

ze1

e2

ze1

e2

x

x

θ=π/3

Page 74: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 74 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

….συνέχεια

Παρατήρηση: Η συχνότητα του ταλαντωτή είναι π/3

n

h(n)

2

Page 75: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 75 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Παράδειγμα 2 (πόλοι μέσα στο μοναδιαίο κύκλο)

Για το σύστημα:

2

411

21 zz1

1)z(H

13/πj

21

6/πj

3

1

13/πj

21

6/πj

3

1

ze1

e

ze1

e

2

x

x

r=1/2

θ=π/3

)n(u6

πn

3

πcos

2

1

3

2)n(h

n

Η εξασθένηση

)n(x)2n(y)1n(y)n(y41

21

Page 76: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 76 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Ζωνοδιαβατά φίλτρα 2ας τάξεως

Έχουν: πόλους πλησίον του μοναδιαίου κύκλου

μηδενισμούς στο ω=0 και ω=π ( z=1 και z=-1)

21

ω2621ω25834412

ω221eH

z810z901

z1zH

ωj

21

2

cos.cos..

cos|)(|

..)(

απόκριση

x

x

r=0.9

θ=π/3

Πόλοι=

0.4500 + 0.7794i

0.4500 - 0.7794i

Page 77: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 77 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Aπόκριση συχνότητας του ζωνοδιαβατού φίλτρου.

Διακρίνονται: η κεντρική συχνότητα ωο το εύρος ζώνης Δω,

και οι μηδενισμοί (ω=0 και ω=π)

Δω ω/π

|Η(e

jω)|

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

2

4

6

8

10

12 Hm

ωο

2

Hm

21

2

z81.0z9.01

z1)z(H

Page 78: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 78 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

(Γεωμετρικός) Σχεδιασμός ενός

ταλαντωτού

ωο -ωο

2211j1jzRzcosR21

G

)zRe1)(zRe1(

G)z(H

ο

ωωωοο

το σύστημα αυτό έχει την εξής συνάρτηση μεταφοράς

Α

Q

P

Δω Β

ω 0

oωjRep 1ο τεταρτημόριο

Page 79: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 79 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Α

Q

P

Δω Β

ω 0

0 π

H

2

H

0

απόκριση-επιπ.-z

....συνέχεια

π/2

Page 80: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 80 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

....συνέχεια

|A*P||PA|

G|)(H|

)Q*P||PQ|

G|)ω(H| Q

2

1

PA

PQ

)(

)(H

Q

Από την τελευταία σχέση συνεπάγεται ότι αν το PQA είναι

ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι και ισοσκελές δηλ. ΑQ=PQ .

Άρα Δω = μήκος τόξου ΑΒ=2ΑQ=2PQ=2(1-OP)=2(1-R)

Συμπέρασμα Δω=2(1-R)

Α

Q

P

Δω Β

ω 0

Page 81: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 81 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

παράδειγμα

Από την τιμή αυτή υπολογίζονται οι οι παράμετροι του

ταλαντωτή ως εξής:

Να σχεδιασθεί ένας ταλαντωτής (2 πόλων) με μέγιστο στη συχνότητα fo=500Hz εύρος ζώνης Δf=32Hz και συχνότητα δειγματοληψίας fs = 10KHz

Αρχικά υπολογίζονται οι κανονικοποιημένες τιμές

ωο=2πfo/fs =0.1π rad

Δω=2πΔf/fs = 0.0064 π 0.02

2(1-R)=0.02 R=0.99

Page 82: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 82 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Αρα η συνάρτηση H(z) είναι:

1

2

2

2

a 2 cos 2 0.99 cos0.1 1.8831

a 0.9801

1 1 2 cos2 0.0062

R

R

G R R R

1 2

0.0062

1 1.8831 0.9801H z

z z

1

0 1 2 3 4 5

H f

f k Hz

221zRzcosR21

1)z(H

Page 83: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 83

Εξίσωση Διαφορών - Λύσεις

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Page 84: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 84 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Μονόπλευρος Μετασχηματισμός Ζ

Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός-z ενός σήματος x(n) ορίζεται η μιγαδική συνάρτηση

Στον μονόπλευρο μετασχηματισμό–z αθροίζουμε από το μηδέν

ανεξάρτητα αν η ακολουθία είναι αιτιατή ή όχι.

Για αιτιατά σήματα ο μονόπλευρος μετασχηματισμός-z

ταυτίζεται με τον δίπλευρο μετασχηματισμό-z

)]()([)()( nunxZznxzX0n

n

Page 85: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 85 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Παρατηρήσεις

Η αξία και το νόημα του μονόπλευρου μετασχηματισμού-z

βρίσκεται στην λύση εξισώσεων διαφορών με αρχικές

συνθήκες

Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός-z δεν περιέχει

πληροφορία για το σήμα στις αρνητικές χρονικές στιγμές

Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός-z ταυτίζεται με τον

δίπλευρο του σήματος x(n)u(n) και δεν χρειάζεται να

ορίζουμε περιοχή σύγκλισης

Για τον μονόπλευρο μετασχηματισμό-z ισχύουν όλες οι

ιδιότητες του μετασχηματισμού-z εκτός από την ιδιότητα

της μετατόπισης (καθυστέρησης) που ορίζεται στη

συνέχεια.

Page 86: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 86 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Αρχικές συνθήκες – ιδιότητα μετατόπισης

Εάν Χ+(z) είναι ο μονόπλευρος μετασχ-z του x(n) τότε

x(n-k) έχει τον εξής (μονόπλευρο) μετασχ.-z :

km

)km(kmn

n

nz)m(xz)kn(x)]n(u)kn(x[Z)]kn(x[Z

0

k

0m

m1

km

)km(zz)m(xz)m(x

k

m

m

km

)km(zz)m(xz)m(x

0

1

k1

km

)km( z)z(Xz)m(x

)z(Xzk

Δηλαδή εκτός από την καθυστέρηση των k σημείων θα πρέπει να

προστεθούν και k όροι για να εκφράσουν τις k αρχικές συνθήκες.

)k(x...z)2(xz)1(xk2k1

Page 87: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 87 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Παραδείγματα

Αν

τότε

Αν

τότε

)1()()( 1

1 xzXzzX

1 1x n x n

2 2x n x n

)2()1()()( 12

2 xxzzXzzX

Page 88: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 88 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Παραδείγματα - συνέχεια

a 1y n y n x n

1

1

-1

a 1

1 a a 1

a 1

1 a z

Y z y z Y z X z

Y z z X z y

X z yY z

Δίνεται η εξής Εξ.Διαφορών:

Πως γίνεται ο Μετασχ.-z αν δίνονται και μη μηδενικές

αρχικές συνθήκες??

Page 89: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 89 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Εξίσωση Διαφορών

Ομογενής και μερική λύση -Παράδειγμα

Δίνεται η εξίσωση διαφορών: y(n)-3/2y(n-1)+1/2y(n-2)=x(n) n0

Όπου:

και οι αρχικές συνθήκες είναι: y(-1)=4 και y(-2)=10

)n(u)n(xn

41

Για την εύρεση της y(n) έχουμε:

1

41

121

z1

1)2(yz)1(yz)z(Y

2

1)1(yz)z(Y

2

3)z(Y

1

41

31

1

32

1

211

4111

21

2

211

49

z1z1z1

1

)z1)(z1)(z1(

zz2)z(Y

)n(u)n(u)n(u)n(yn

41

31

32n

21

Page 90: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 90 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

….συνέχεια

Η παραπάνω λύση της εξ. διαφορών μπορεί να χωρισθεί σε δύο

τμήματα.

)()(41

31

1 nunyn

)()()(32

21

2 nununyn

Η y1(n) είναι η μερική λύση και η y2(n) η λύση της ομογενούς.

Page 91: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 91

Μετασχ.-z Εφαρμογές

Page 92: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 92 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Ισοσταθμιστές (Equalizer) 2ας τάξεως

Για equalizer 2ας τάξεως με μηδενισμούς στην ίδια

συχνότητα με τους πόλους έχουμε:

z

oo

oo

ωjωj

ωjωj

Rep,Rep

,rez,rez

21

21

221

221

21

21

zRzσυνωR

zrzσυνωr)z(H

ο

ο

Page 93: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 93 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

r<R

r>R

Συχνότητα xπ

ωο

z1=0.98*exp(j*pi/3)

z2=0.98*exp(-j*pi/3)

p1=0.99*exp(-j*pi/3)

p2=0.99*exp(j*pi/3)

Page 94: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 94 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Παράδειγμα

Δίνεται για τους πόλους R=0.98, ωο=0.4π. Να βρεθεί η H(z) για

“εξισωτή” που έχει μηδενισμούς

Από την σχέση :

0.964 0.995 1r ή r ή r

1 2 2

1 2 2

1 2 cos( )

1 2 cos

r z r zH z

R z R z

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 0.5964 0.93120.964

1 0.6057 0.9604

1 0.6149 0.990.995

1 0.6057 0.9604

1 0.6181

1 0.6057 0.9604

z zr H z

z z

z zr H z

z z

z zr H z

z z

Page 95: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 95 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Eπειδή για την

ισχύουν

μπορεί να πάρει την μορφή :

1 2

1 2

1 2

1 2

1( )

1 a a

b z b zH z

z z

zeros:...

poles:

o

o

j

j

e

Re

1

2

2

1

2

a 2 cos

a

2cos

1

R

R

b

b

1 1

2

2 2

a

a

R b

R b

1 2

1 2

1 2

1 2

1( )

1

N zb z b zH z

zz z Nb bRR R

equalizers 2ης τάξης με μηδενισμούς στην ίδια

συχνότητα με τους πόλους και |z|=1 (στον

μοναδιαίο κύκλο) ------Notch Filters---

z

Page 96: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 96 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Η προηγούμενη σχέση μπορεί να γενικευτεί για συναρτήσεις

υψηλής τάξεως

Η Η(ω) είναι επίπεδη εκτός από μια περιοχή γύρω από τους

μηδενισμούς του παρανομαστή Ν(z)

1 2

1 2

1 2 2

1 2

1 ...( )

1 ...

M

M

M M

o M

N zb z b z b zH z

zR b z R b z R b zN

R

Page 97: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 97 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|H(e

jω)|

ω xπ

R=0.98 ωο=0.2π

πόλοι

μηδενισμοί

Παραμετρικοί εξισωτές υψηλής τάξεως

- παράδειγμα

Page 98: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 98 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Notch Filters Παράδειγμα

Ένα σύστημα με συχνότητα δείγματος έχει παρεμβολές από το δίκτυο δηλαδή σε συχνότητες και αρμονικές: . Να σχεδιασθεί ένα φίλτρο, που να μηδενίζει τις παρεμβολές αυτές. Αυτό θα είναι ένα notch filter με μηδενισμούς στα

Οι τιμές του k βρίσκονται από:

600sf Hz60sf Hz 60kf k Hz

k

2 0.2 ή γενικά:

ω 0.2

s

f

f

k k

0.2 2 10k k

Δηλαδή 0, 1,.....9k

Page 99: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 99 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Μια επιλογή του

9 9

1 1 10

0 0

0.21 1 1kj j kN z e z e z z

1100.98 0.998p

1010

10

10

pz

10

zp1

z1

)(1

z1)z(H

Αρα

και

Page 100: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 100 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Γεννήτριες Ημιτονικών Σημάτων

Για τις γεννήτριες ημιτονικών σημάτων ισχύει :

1

1 2 2

sinsin

1 2 cos

n R zh n R n u n H z

R z R z

Απόδειξη

Page 101: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 101 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

0

1

0

1 1 1 1

0 0 0

1

1 1

sin

2

1 1

2 2

1 1 1 1 1

2 1 1 2

n n

j n j nn

n n n nj j j j

j j

H z R n z

e eR z

j

R z e R z e R z e R z ej j

R z e

j R z e R z e j

1

1 2 2

1

0

1 2 2

1

1 2 2

1

1 2 cos

cos sin cos sin1

2 1 2 cos

sin

1 2 cos

j jR z e

R z R z

R z j j

j R z R z

R z

R z R z

Page 102: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 102 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Γεννήτριες Περιοδικών Σημάτων

Ένα περιοδικό σήμα έχει την μορφή:

1 1 1 1, ,..., , , ,..., ,...o D o Dh b b b b b b

1 2 3

1 2 3

41

ob b z b z b zH z

z

Θα μελετήσουμε την διαδικασία παραγωγής του με το επόμενο

παράδειγμα:

Εστω ότι η περίοδος του είναι D=4 σημεία:

h=[b0 b1 b2 b3 b0 b1 b2 b3 … . .]

αποδεικνύεται ότι ο αντίστοιχος μετασχ-z είναι :

Page 103: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 103 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

1 2 3 4 8 12

1 2 3

1 2 3 1 2 3 4

1 2 3 1 2 3

1 2 3 8

1 2 3

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 1 2 3

8 9

1 2

1 ...

........

o

o o

o

o o

o

H z b b z b z b z z z z

b b z b z b z b b z b z b z z

b b z b z b z z

b b z b z b z b z b z b z b z

b z b z b z

10 11

3

1 2 3

..........

....o o

b z

h n b b b b b

4 8 12

4

11 ...

1z z z

z

επειδή

The Maclaurin series: (1 − x)−1 =1+x+x2 +x3 +…

Page 104: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 104 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Ακουστικά Εφέ - Comb Filters

Καθυστερήσεις To σήμα, που ακούμε συνήθως, είναι άθροισμα της

ηχητικής πηγής και του ανακλωμένου από διάφορα σημεία,

που έρχονται με κάποια καθυστέρηση.

)Dn(δa)n(δ)n(h

az1)z(H

)z(Xaz)z(X)z(Y

)Dn(ax)n(x)n(y

D

D

1D,...,1,0keaz D/)1k2(jπD/1k

Απλή ανάκλαση – Ηχώ (Echo)

Μηδενισμοί:

Page 105: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 105 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Πολλαπλή ανάκριση

2

1

a

k

j kD

k

D

jp pe pe

p

D

D22D

32

az1

1)z(H

.....zaaz1)z(H

......)D3n(xa)D2n(xa)Dn(ax)n(x)n(y

Πόλοι :

Page 106: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 106 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Αποσυνέλιξη –

Αντίστροφο Φιλτράρισμα

Στην εξίσωση

δίνεται το και ζητείτε το

Από την προηγούμενη εξίσωση με μετασχηματισμό Ζ έχουμε :

Εφαρμογές :

Channel Equalizer

Listening Rooms audio effects

*y n h n x n

y n x n

1

Y z H z X z X z Y zH z

Page 107: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 107 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

….συνέχεια

Περιορισμοί Θόρυβος

Ευστάθεια

επειδή οι μηδενισμοί δεν είναι μέσα στον μοναδιαίο κύκλο η

μπορεί να είναι ασταθής

*

ˆ ˆ ˆ* όπου *n n

INV INV

y n h n x n v n

x n h y n x n v n v n h v n

,

z

INV

N z D zH z H

D z N z

z

INVH

Page 108: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 108 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

…..συνέχεια Παράδειγμα

1

1 1

1

1 1

1 1.25 1.52.5

1 0.5 1 0.5 ευσταθέςαιτιατό

2.5 ( ) 1.5 0.5

1 0.5 0.60.4

1 1.25 1 1.25 ασταθέςαιτιατό

0.6 1.250.4

n

z

INV

nn

INV

zH z

z z

h n n u n

zH

z z

h n

«Παραβλέποντας» την αιτιατότητα έχουμε:

)().(.)(.)(

1nu25160nδ40hnn

INV } ευσταθές μή αιτιατό

Page 109: Μετασχηματισμός Z

Ηλεκτρονικη και

Επεξεργασία της Πληροφορίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 109 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-z Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

…συνέχεια

Υλοποίηση : Η άπειρη σειρά κόβεται σε κάποιο

σημείο και γίνεται προσέγγιση ως εξής

Τελικά

n D

0

nn INV

INV

h n Dh

n D

*n

INVx n h y n