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Espaces Lp non commutatifs associes a desgroupes discrets
Colloque Inter’Actions 2016
Ignacio VERGARA
Unite de Mathematiques Pures et Appliquees
ENS Lyon26 mai 2016
Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 1 / 12
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Espaces Lp non commutatifs
Espaces Lpclassiques
Espaces Lpnon commutatifs
Espace mesurable(Ω,A)
←→ Algebre de von NeumannM⊂ B(H)
Mesure µ ←→ Trace τ
Cas particulier : G groupe discret
M = L(G) ⊂ B(`2(G))
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Espaces Lp non commutatifs
Espaces Lpclassiques
Espaces Lpnon commutatifs
Espace mesurable(Ω,A)
←→ Algebre de von NeumannM⊂ B(H)
Mesure µ ←→ Trace τ
Cas particulier : G groupe discret
M = L(G) ⊂ B(`2(G))
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Espaces Lp non commutatifs
Espaces Lpclassiques
Espaces Lpnon commutatifs
Espace mesurable(Ω,A)
←→ Algebre de von NeumannM⊂ B(H)
Mesure µ ←→ Trace τ
Cas particulier : G groupe discret
M = L(G) ⊂ B(`2(G))
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L’espace `2(G)
Soit G un groupe discret.
`2(G) =
x : G→ C
∣∣∣∣ ∑s∈G|x(s)|2 <∞
.
C’est un espace de Hilbert avec
〈x, y〉 =∑s∈G
x(s)y(s),
‖x‖`2 =
(∑s∈G|x(s)|2
) 12
.
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L’espace `2(G)
Soit G un groupe discret.
`2(G) =
x : G→ C
∣∣∣∣ ∑s∈G|x(s)|2 <∞
.
C’est un espace de Hilbert avec
〈x, y〉 =∑s∈G
x(s)y(s),
‖x‖`2 =
(∑s∈G|x(s)|2
) 12
.
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Representation reguliere a gauche
Soit B(`2(G)) l’espace des operateurs bornes sur `2(G), c’est-a-dire,
B(`2(G)) = f : `2(G)→ `2(G) | f lineaire continue.
‖f‖∞ := ‖f‖B(`2(G)) = sup‖x‖`2=1
‖f(x)‖`2 .
La representation reguliere a gauche λ : G→ B(`2(G)) est definie par
[λ(s)x](t) = x(s−1t), ∀s, t ∈ G, ∀x ∈ `2(G).
Remarque
Soit δt : G→ C definie par δt(s) =
1, s = t0, s 6= t.
Alorsλ(s)δt = δst.
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Representation reguliere a gauche
Soit B(`2(G)) l’espace des operateurs bornes sur `2(G), c’est-a-dire,
B(`2(G)) = f : `2(G)→ `2(G) | f lineaire continue.
‖f‖∞ := ‖f‖B(`2(G)) = sup‖x‖`2=1
‖f(x)‖`2 .
La representation reguliere a gauche λ : G→ B(`2(G)) est definie par
[λ(s)x](t) = x(s−1t), ∀s, t ∈ G, ∀x ∈ `2(G).
Remarque
Soit δt : G→ C definie par δt(s) =
1, s = t0, s 6= t.
Alorsλ(s)δt = δst.
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Representation reguliere a gauche
Soit B(`2(G)) l’espace des operateurs bornes sur `2(G), c’est-a-dire,
B(`2(G)) = f : `2(G)→ `2(G) | f lineaire continue.
‖f‖∞ := ‖f‖B(`2(G)) = sup‖x‖`2=1
‖f(x)‖`2 .
La representation reguliere a gauche λ : G→ B(`2(G)) est definie par
[λ(s)x](t) = x(s−1t), ∀s, t ∈ G, ∀x ∈ `2(G).
Remarque
Soit δt : G→ C definie par δt(s) =
1, s = t0, s 6= t.
Alorsλ(s)δt = δst.
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Algebre de von Neumann de groupe L(G)
La representation reguliere peut s’etendre a C[G] (fonctions a supportfini).
λ
(∑s∈G
ass
)=∑s∈G
asλ(s) ∈ B(`2(G)).
Remarque
Les elements de λ (C[G]) sont des operateurs de convolution.[λ
(∑s∈G
ass
)x
](t) =
∑s∈G
asx(s−1t) = a ∗ x(t),
ou a =∑asδs.
Definition
L(G) = λ (C[G])WOT ⊆ B(`2(G))
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Algebre de von Neumann de groupe L(G)
La representation reguliere peut s’etendre a C[G] (fonctions a supportfini).
λ
(∑s∈G
ass
)=∑s∈G
asλ(s) ∈ B(`2(G)).
Remarque
Les elements de λ (C[G]) sont des operateurs de convolution.[λ
(∑s∈G
ass
)x
](t) =
∑s∈G
asx(s−1t) = a ∗ x(t),
ou a =∑asδs.
Definition
L(G) = λ (C[G])WOT ⊆ B(`2(G))
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Algebre de von Neumann de groupe L(G)
La representation reguliere peut s’etendre a C[G] (fonctions a supportfini).
λ
(∑s∈G
ass
)=∑s∈G
asλ(s) ∈ B(`2(G)).
Remarque
Les elements de λ (C[G]) sont des operateurs de convolution.[λ
(∑s∈G
ass
)x
](t) =
∑s∈G
asx(s−1t) = a ∗ x(t),
ou a =∑asδs.
Definition
L(G) = λ (C[G])WOT ⊆ B(`2(G))
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La trace τ
On definit la trace (ou mesure non commutative) τ : L(G)→ C par
τ(f) = 〈f(δe), δe〉,
ou e est l’element neutre de G.
Proprietes
τ est lineaire
∀f ∈ L(G), τ(f∗) = τ(f)
∀f ∈ L(G), |τ(f)| ≤ ‖f‖∞
τ(λ(s)) =
1, s = e0, s 6= e
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La trace τ
On definit la trace (ou mesure non commutative) τ : L(G)→ C par
τ(f) = 〈f(δe), δe〉,
ou e est l’element neutre de G.
Proprietes
τ est lineaire
∀f ∈ L(G), τ(f∗) = τ(f)
∀f ∈ L(G), |τ(f)| ≤ ‖f‖∞
τ(λ(s)) =
1, s = e0, s 6= e
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La trace τ
On definit la trace (ou mesure non commutative) τ : L(G)→ C par
τ(f) = 〈f(δe), δe〉,
ou e est l’element neutre de G.
Proprietes
τ est lineaire
∀f ∈ L(G), τ(f∗) = τ(f)
∀f ∈ L(G), |τ(f)| ≤ ‖f‖∞
τ(λ(s)) =
1, s = e0, s 6= e
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La trace τ
On definit la trace (ou mesure non commutative) τ : L(G)→ C par
τ(f) = 〈f(δe), δe〉,
ou e est l’element neutre de G.
Proprietes
τ est lineaire
∀f ∈ L(G), τ(f∗) = τ(f)
∀f ∈ L(G), |τ(f)| ≤ ‖f‖∞
τ(λ(s)) =
1, s = e0, s 6= e
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La trace τ
On definit la trace (ou mesure non commutative) τ : L(G)→ C par
τ(f) = 〈f(δe), δe〉,
ou e est l’element neutre de G.
Proprietes
τ est lineaire
∀f ∈ L(G), τ(f∗) = τ(f)
∀f ∈ L(G), |τ(f)| ≤ ‖f‖∞
τ(λ(s)) =
1, s = e0, s 6= e
Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 6 / 12
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L’espace Lp non commutatif associe a (L(G), τ)
Soit 1 ≤ p <∞. Pour tout f ∈ L(G) on definit
‖f‖p = τ(
(f∗f)p2
) 1p.
Inegalite de Holder
Soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ tels que 1p + 1
q = 1. Pour tous f, g ∈ L(G)
|τ(fg)| ≤ ‖f‖p‖g‖q.
Definition
Pour 1 ≤ p <∞, l’espace Lp(L(G), τ) est le complete de L(G) pour lanorme ‖ · ‖p. On pose L∞(L(G), τ) = L(G).
Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 7 / 12
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L’espace Lp non commutatif associe a (L(G), τ)
Soit 1 ≤ p <∞. Pour tout f ∈ L(G) on definit
‖f‖p = τ(
(f∗f)p2
) 1p.
Inegalite de Holder
Soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ tels que 1p + 1
q = 1. Pour tous f, g ∈ L(G)
|τ(fg)| ≤ ‖f‖p‖g‖q.
Definition
Pour 1 ≤ p <∞, l’espace Lp(L(G), τ) est le complete de L(G) pour lanorme ‖ · ‖p. On pose L∞(L(G), τ) = L(G).
Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 7 / 12
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L’espace Lp non commutatif associe a (L(G), τ)
Soit 1 ≤ p <∞. Pour tout f ∈ L(G) on definit
‖f‖p = τ(
(f∗f)p2
) 1p.
Inegalite de Holder
Soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ tels que 1p + 1
q = 1. Pour tous f, g ∈ L(G)
|τ(fg)| ≤ ‖f‖p‖g‖q.
Definition
Pour 1 ≤ p <∞, l’espace Lp(L(G), τ) est le complete de L(G) pour lanorme ‖ · ‖p. On pose L∞(L(G), τ) = L(G).
Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 7 / 12
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Cas abelien (G = Z)
Pour tout x ∈ `2(Z),
[λ(m)x] (n) = x(n−m), ∀n,m ∈ Z.
Rappel
La transformee de Fourier F : `2(Z)→ L2(R/Z),
F(x)(θ) =∑n∈Z
x(n)e2πinθ
est une isometrie.
Pour tout m ∈ Z,
F(λ(m)x)(θ) =∑n∈Z
x(n−m)e2πinθ = e2πimθF(x)(θ).
Donc λ(m) est un operateur de multiplication sur L2(R/Z).Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 8 / 12
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Cas abelien (G = Z)
Pour tout x ∈ `2(Z),
[λ(m)x] (n) = x(n−m), ∀n,m ∈ Z.
Rappel
La transformee de Fourier F : `2(Z)→ L2(R/Z),
F(x)(θ) =∑n∈Z
x(n)e2πinθ
est une isometrie.
Pour tout m ∈ Z,
F(λ(m)x)(θ) =∑n∈Z
x(n−m)e2πinθ = e2πimθF(x)(θ).
Donc λ(m) est un operateur de multiplication sur L2(R/Z).Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 8 / 12
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Cas abelien (G = Z)
Pour tout x ∈ `2(Z),
[λ(m)x] (n) = x(n−m), ∀n,m ∈ Z.
Rappel
La transformee de Fourier F : `2(Z)→ L2(R/Z),
F(x)(θ) =∑n∈Z
x(n)e2πinθ
est une isometrie.
Pour tout m ∈ Z,
F(λ(m)x)(θ) =∑n∈Z
x(n−m)e2πinθ = e2πimθF(x)(θ).
Donc λ(m) est un operateur de multiplication sur L2(R/Z).Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 8 / 12
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Cas abelien (G = Z)
Pour tout x ∈ `2(Z),
[λ(m)x] (n) = x(n−m), ∀n,m ∈ Z.
Rappel
La transformee de Fourier F : `2(Z)→ L2(R/Z),
F(x)(θ) =∑n∈Z
x(n)e2πinθ
est une isometrie.
Pour tout m ∈ Z,
F(λ(m)x)(θ) =∑n∈Z
x(n−m)e2πinθ = e2πimθF(x)(θ).
Donc λ(m) est un operateur de multiplication sur L2(R/Z).Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 8 / 12
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Cas abelien (G = Z)
On peut montrer que L(Z) = L∞(R/Z) en identifiant∑n∈Z
anλ(n) ←→∑n∈Z
ane2πinθ.
De plus,
τ
(∑n∈Z
anλ(n)
)= a0 =
∫ 1
0
(∑n∈Z
ane2πinθ
)dθ.
Par consequent, pour tout 1 ≤ p ≤ ∞,
Lp(L(Z), τ) = Lp(R/Z).
Remarque
En general, pour G abelien discret,
Lp(L(G), τ) = Lp(G).
Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 9 / 12
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Cas abelien (G = Z)
On peut montrer que L(Z) = L∞(R/Z) en identifiant∑n∈Z
anλ(n) ←→∑n∈Z
ane2πinθ.
De plus,
τ
(∑n∈Z
anλ(n)
)= a0 =
∫ 1
0
(∑n∈Z
ane2πinθ
)dθ.
Par consequent, pour tout 1 ≤ p ≤ ∞,
Lp(L(Z), τ) = Lp(R/Z).
Remarque
En general, pour G abelien discret,
Lp(L(G), τ) = Lp(G).
Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 9 / 12
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Cas abelien (G = Z)
On peut montrer que L(Z) = L∞(R/Z) en identifiant∑n∈Z
anλ(n) ←→∑n∈Z
ane2πinθ.
De plus,
τ
(∑n∈Z
anλ(n)
)= a0 =
∫ 1
0
(∑n∈Z
ane2πinθ
)dθ.
Par consequent, pour tout 1 ≤ p ≤ ∞,
Lp(L(Z), τ) = Lp(R/Z).
Remarque
En general, pour G abelien discret,
Lp(L(G), τ) = Lp(G).
Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 9 / 12
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Cas abelien (G = Z)
On peut montrer que L(Z) = L∞(R/Z) en identifiant∑n∈Z
anλ(n) ←→∑n∈Z
ane2πinθ.
De plus,
τ
(∑n∈Z
anλ(n)
)= a0 =
∫ 1
0
(∑n∈Z
ane2πinθ
)dθ.
Par consequent, pour tout 1 ≤ p ≤ ∞,
Lp(L(Z), τ) = Lp(R/Z).
Remarque
En general, pour G abelien discret,
Lp(L(G), τ) = Lp(G).
Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 9 / 12
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Transformee de Hilbert
La transformee de Hilbert H : L2(R/Z)→ L2(R/Z) est donnee par
f =∑n∈Z
f(n)e2πinθ 7−→∑n>0
f(n)e2πinθ.
Theoreme (M. Riesz, 1928)
La transformee de Hilbert definit un operateur borneH : Lp(R/Z)→ Lp(R/Z) pour tout 1 < p <∞.
Remarque
f(n) =
∫ 1
0f(θ)e−2πinθ dθ = τ(fλ(−n))
Ainsi, dans le cas general on peut definir les coefficients de Fourier def ∈ L(G) :
f(s) = τ(fλ(s−1)), ∀s ∈ G.Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 10 / 12
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Transformee de Hilbert
La transformee de Hilbert H : L2(R/Z)→ L2(R/Z) est donnee par
f =∑n∈Z
f(n)e2πinθ 7−→∑n>0
f(n)e2πinθ.
Theoreme (M. Riesz, 1928)
La transformee de Hilbert definit un operateur borneH : Lp(R/Z)→ Lp(R/Z) pour tout 1 < p <∞.
Remarque
f(n) =
∫ 1
0f(θ)e−2πinθ dθ = τ(fλ(−n))
Ainsi, dans le cas general on peut definir les coefficients de Fourier def ∈ L(G) :
f(s) = τ(fλ(s−1)), ∀s ∈ G.Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 10 / 12
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Transformee de Hilbert
La transformee de Hilbert H : L2(R/Z)→ L2(R/Z) est donnee par
f =∑n∈Z
f(n)e2πinθ 7−→∑n>0
f(n)e2πinθ.
Theoreme (M. Riesz, 1928)
La transformee de Hilbert definit un operateur borneH : Lp(R/Z)→ Lp(R/Z) pour tout 1 < p <∞.
Remarque
f(n) =
∫ 1
0f(θ)e−2πinθ dθ = τ(fλ(−n))
Ainsi, dans le cas general on peut definir les coefficients de Fourier def ∈ L(G) :
f(s) = τ(fλ(s−1)), ∀s ∈ G.Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 10 / 12
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Transformee de Hilbert
La transformee de Hilbert H : L2(R/Z)→ L2(R/Z) est donnee par
f =∑n∈Z
f(n)e2πinθ 7−→∑n>0
f(n)e2πinθ.
Theoreme (M. Riesz, 1928)
La transformee de Hilbert definit un operateur borneH : Lp(R/Z)→ Lp(R/Z) pour tout 1 < p <∞.
Remarque
f(n) =
∫ 1
0f(θ)e−2πinθ dθ = τ(fλ(−n))
Ainsi, dans le cas general on peut definir les coefficients de Fourier def ∈ L(G) :
f(s) = τ(fλ(s−1)), ∀s ∈ G.Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 10 / 12
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Transformee de Hilbert
Pour tout f ∈ λ (C[G]) ⊆ L(G),
f =∑s∈G
f(s)λ(s) =∑s∈G
τ(fλ(s−1))λ(s).
Soit maintenant G = F2 = F(a, b) le groupe libre a deux generateurs.On peut definir la transformee de Hilbert sur F2 par∑
s∈F2
f(s)λ(s) 7−→∑
s∈W (a)
f(s)λ(s),
ou W (a) designe l’ensemble des mots reduits qui commencent par a.
Theoreme (Mei, Ricard, 2016)
Sur le groupe libre F2, la transformee de Hilbert definit un operateurborne H : Lp(L(F2))→ Lp(L(F2)) pour tout 1 < p <∞.
Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 11 / 12
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Transformee de Hilbert
Pour tout f ∈ λ (C[G]) ⊆ L(G),
f =∑s∈G
f(s)λ(s) =∑s∈G
τ(fλ(s−1))λ(s).
Soit maintenant G = F2 = F(a, b) le groupe libre a deux generateurs.On peut definir la transformee de Hilbert sur F2 par∑
s∈F2
f(s)λ(s) 7−→∑
s∈W (a)
f(s)λ(s),
ou W (a) designe l’ensemble des mots reduits qui commencent par a.
Theoreme (Mei, Ricard, 2016)
Sur le groupe libre F2, la transformee de Hilbert definit un operateurborne H : Lp(L(F2))→ Lp(L(F2)) pour tout 1 < p <∞.
Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 11 / 12
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Transformee de Hilbert
Pour tout f ∈ λ (C[G]) ⊆ L(G),
f =∑s∈G
f(s)λ(s) =∑s∈G
τ(fλ(s−1))λ(s).
Soit maintenant G = F2 = F(a, b) le groupe libre a deux generateurs.On peut definir la transformee de Hilbert sur F2 par∑
s∈F2
f(s)λ(s) 7−→∑
s∈W (a)
f(s)λ(s),
ou W (a) designe l’ensemble des mots reduits qui commencent par a.
Theoreme (Mei, Ricard, 2016)
Sur le groupe libre F2, la transformee de Hilbert definit un operateurborne H : Lp(L(F2))→ Lp(L(F2)) pour tout 1 < p <∞.
Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 11 / 12
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Merci pour votre attention.
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