Espaces Euclidiens 1 - L'université des sciences en...

Espaces Euclidiens 1

ESPACES EUCLIDIENS

Dans tout le chapitre, E désigne un espace vectoriel réel de dimension finie.

I - Produit scalaire

1) Définition

Définition : On appelle produit scalaire sur E toute forme ϕ bilinéaire, symétrique,

définie et positive, c’est-à-dire toute application de EE × dans � qui vérifie :

1. Pour tout Ey ∈ , l’application ),( yxx ϕa est linéaire (linéarité de ϕ à gauche).

2. Pour tout Ex ∈ , l’application ),( yxy ϕa est linéaire (linéarité de ϕ à droite).

3. ),(),(),( 2 xyyxEyx ϕ=ϕ∈∀ (symétrie).

4. 0),( ≥ϕ∈∀ xxEx (positivité).

5. 00),( =⇔=ϕ∈∀ xxxEx .

Notation : ><=ϕ yxyx ,),( .

Exercice : Vérifier que les exemples suivants sont des produits scalaires.

Exemple 1 : ∑=

=><n

k

kk yxyx1

, sur nE �= .

Exemple 2 : ∫=><1

0

)()(, dttQtPQP sur ][XE n�= .

Exemple 3 : )Tr(, MNNM t=>< sur ][, �pnE M= .

Définition : On appelle espace vectoriel euclidien tout espace vectoriel réel de dimension

finie, muni d’un produit scalaire.

Remarque : On peut définir un produit scalaire sur un espace vectoriel qui n’est pas de

dimension finie, par exemple : ∫=><b

a

dttgtfgf )()(, sur ]),([0 baCE = avec ba < .

Un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire est un espace préhilbertien.

2) Expression matricielle

Dans une base ),...,( 1 nee=B de E, pour tous vecteurs ∑=

=n

k

kk exx1

et ∑=

=n

k

kk eyy1

:

∑∑∑∑= ===

><=><=><n

i

n

j

jiji

n

j

jj

n

i

ii eeyxeyexyx1 111

,,, . Donc avec

=

nx

x

X M

1

et

=

ny

y

Y M

1

:

Propriété : Si ),...,( 1 nee=B est une base de E et A la matrice carrée (symétrique)

d’ordre n de coefficients ><= jiji eea ,, , alors : XAYyxEyx t=><∈∀ ,),( 2 .

Exercice : Pour chacun des exemples de produit scalaire, déterminer la matrice A pour la

base canonique de l’espace vectoriel considéré.

II - Norme euclidienne associée

1) Définition

Définition : Si E est un espace vectoriel euclidien, on appelle « norme » euclidienne

associée au produit scalaire l’application de E dans +� définie par :

><=∈∀ xxxEx , .

Exercice : Pour chacun des exemples de produit scalaire, déterminer l’expression de la

« norme » euclidienne. Catherine LAIDEBEURE - 2013


Expression matricielle : Si ),...,( 1 nee=B est une base de E et A la matrice carrée

d’ordre n de coefficients ><= jiji eea ,, , alors : XAXxEx t=∈∀ .

(en identifiant XAXt avec son unique élément).

2) Propriétés

Premières Propriétés : ExxEx 00 =⇔=∈∀ .

xxEx λ=λ∈λ∀∈∀ � .

Démonstration :

• 00 =⇔=∈∀ xxEx d’après l’axiome 5.

• ><λ=>λλ<=λ∈λ∀∈∀ xxxxxEx ,, 2� donc xx λ=λ .

Identités remarquables : ><++=+∈∀ yxyxyxEyx ,2),(2222 .

><−+=−∈∀ yxyxyxEyx ,2),(2222 .

222 ,),( yxyxyxEyx −=>−+<∈∀ .

Démonstration :

• ><+><+><+><=>++<=+ yyxyyxxxyxyxyx ,,,,,2

.

Or ><=>< xyyx ,, . Donc : ><++=+ yxyxyx ,2222

.

• ><+><−><−><=>−−<=− yyxyyxxxyxyxyx ,,,,,2

.

Donc : ><−+=− yxyxyx ,2222

.

• 22

,,,,, yxyyxyyxxxyxyx −=><−><+><−><=>−+< .

Identité du parallélogramme : 22222 22),( yxyxyxEyx +=−++∈∀ .

Démonstration : Evidente en ajoutant les deux premières égalités.

Identités de polarisation : ( )2222

2

1,),( yxyxyxEyx −−+=><∈∀ .

( )2222

2

1,),( yxyxyxEyx +−+=><∈∀

( )222

4

1,),( yxyxyxEyx −−+=><∈∀ .

Démonstration : Evidente à partir des identités remarquables.

Remarque : La « norme » a été définie à partir du produit scalaire, et les identités de

polarisation permettent d’exprimer le produit scalaire à partir de la « norme ».

Inégalité de Cauchy-Schwarz : yxyxEyx ×≤><∈∀ ,),(2

.

Il y a égalité si et seulement si x et y sont colinéaires.

Démonstration : 0),(22 ≥+λ∈λ∀∈∀ yxEyx � .

Donc : 0,2),(2222 ≥+><λ+λ∈λ∀∈∀ yyxxEyx �

• Si 0=x , alors Ex 0= , donc 0, =×=><∈∀ yxyxEy .

De plus x et y sont colinéaires, quel que soit Ey ∈ .

• Si 0≠x , alors on a un polynôme du second degré en λ qui ne change pas de

signe. Donc son discriminant est négatif ou nul.

Or : ( ) 2224,4 yxyx ×−><=∆ . Donc yxyx ×≤>< , .

Catherine LAIDEBEURE - 2013


De plus, si 0<∆ , le polynôme ne s’annule pas. Par contre, si 0=∆ , le

polynôme admet une racine 0λ , donc 02

0 =+λ yx , donc xy 0λ−= , donc x

et y sont colinéaires.

Inégalité triangulaire (ou de Minkovski) : yxyxEyx +≤+∈∀ 2),( .

Démonstration : ),(2)(),( 222 yxyxyxyxEyx ×−><=+−+∈∀ .

Or : yxyxyxEyx ×≤><≤><∈∀ ,,),( 2. Donc : 22

)( yxyx +≤+ .

Donc : yxyx +≤+ car ce sont des réels positifs.

Conséquence : La « norme » euclidienne est bien une norme car elle vérifie :

1. ExxEx 00 =⇔=∈∀ .

2. xxEx λ=λ∈λ∀∈∀ � .

3. yxyxEyx +≤+∈∀ 2),( .

3) Distance euclidienne associée

Définition : Si E est un espace vectoriel euclidien, on appelle distance euclidienne

associée au produit scalaire l’application de EE × dans +� définie par :

xyyxdEyx −=∈∀ ),(),( 2.

Les propriétés suivantes sont conséquences des propriétés de la norme.

Propriétés : yxyxdEyx =⇔=∈∀ 0),(),( 2 .

),(),(),( 2 xydyxdEyx =∈∀ .

),(),(),(),,( 3 zydyxdzxdEzyx +≤∈∀ . (inégalité triangulaire)

La dernière s’obtient en remarquant que )()( xyyzxz −+−=− .

Propriété : ),(),(),(),,( 3zxdzydyxdEzyx ≤−∈∀ .

Démonstration : En appliquant l’inégalité triangulaire :

),(),(),( yzdzxdyxd +≤ donc : ),(),(),( zxdzydyxd ≤− .

),(),(),( zxdxydzyd +≤ donc : ),(),(),( zxdyxdzyd ≤− .

Définition : La distance d’un élément x de E à une partie non vide A de E est

{ }AyyxdAxd ∈= /),(Inf),( .

En effet { }Ayyxd ∈/),( est une partie non vide de +� , donc minorée par 0. Donc elle

possède une borne inférieure.

III - Orthogonalité

1) Orthogonalité de deux vecteurs

Définition : Deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux si 0, =>< yx .

Remarque : Tout vecteur est orthogonal au vecteur nul.

En effet : ><+>=<>+=<><∈∀ EEEEE xxxxEx 0,0,00,0, donc 00, =>< Ex .

Théorème de Pythagore : Deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux si et seulement si :

222

yxyx +=+ .

Démonstration : Evidente avec l’une des identités de polarisation.

2) Famille orthonormale

Définition : Une famille Iiie ∈)( de vecteurs est orthogonale si les vecteurs sont deux à

deux orthogonaux.

C’est-à-dire : 0,),( 2 =><⇒≠∈∀ ji eejiIji . Donc 2

,

2 ,),( ijiji eeeIji δ=><∈∀ .



Théorème de Pythagore : Si ),...,( 1 nee est une famille orthogonale de vecteurs, alors :

22

1

2

1 ...... nn eeee ++=++ .

Démonstration : ∑∑∑∑∑∑====

=δ=><=><=n

i

i

ji

iji

ji

ji

n

j

j

n

i

i

n

i

i eeeeeee1

2

,

2

,

,11

2

1

,, .

Théorème : Toute famille orthogonale qui ne contient pas le vecteur nul est libre.

Démonstration : Soit Iiie ∈)( une famille orthogonale de vecteurs telle que EieIi 0≠∈∀ .

Si une famille de réels Iii ∈λ )( vérifie E

Ii

iie 0=λ∑∈

, alors : 0, =>λ<∈∀ ∑∈Ii

iij eeIj .

Donc : 0, =><λ∈∀ ∑∈Ii

iji eeIj , donc 02

=λ∈∀ jj eIj car 0, =>< ij ee si

ji ≠ . Or EjeIj 0≠∈∀ , donc 0≠∈∀ jeIj , donc 0=λ∈∀ jIj .

Définition : Une famille Iiie ∈)( de vecteurs est orthonormale (ou orthonormée) si les

vecteurs sont unitaires (de norme 1) et deux à deux orthogonaux.

D’après ce qui précède, toute famille orthonormale est libre.

Réciproquement, toute famille libre peut être « orthonormalisée ».

Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt : Si ),...,( 1 nee est une famille libre de

vecteurs, alors il existe une unique famille orthonormale ),...,( 1 nuu de vecteurs qui

vérifie :

1. ),...,(Vect),...,(Vect,1 11 kk uueenk =∈∀ TP .

2. ∗+∈><∈∀ �kk uenk ,,1 TP .

Démonstration : On raisonne par récurrence.

Initialisation : Pour 1=n , soit une famille libre )( 1e .

Donc : 1111 )(Vect)(Vect euue λ=∈λ∃⇔= � car Ee 01 ≠ (libre).

Donc : 2

1111111 ,,, eeeeeue λ=><λ=>λ<=>< , donc 0, 11 >λ⇔∈>< ∗+�ue .

Et : 2

1

2

11

2

1111 ,,, eeeeeuu λ=><λ=>λλ<=>< .

Or la famille )( 1u est orthonormale si et seulement si 11 =u , donc si 1

1

e=λ .

Donc il existe une unique famille solution : 1

1

1

1e

eu = .

Hérédité : Soit *�∈n tel que la propriété soit vérifiée.

Soit ),...,( 11 +nee une famille libre. Il s’agit de trouver une famille orthonormale

),...,( 11 +nuu de vecteurs qui vérifie :

1. ),...,(Vect),...,(Vect1,1 11 kk uueenk =+∈∀ TP .

2. ∗+∈><+∈∀ �kk uenk ,1,1 TP .

Ceci équivaut à trouver :

• une famille orthonormale ),...,( 1 nuu de vecteurs qui vérifie :

1. ),...,(Vect),...,(Vect,1 11 kk uueenk =∈∀ TP .

2. ∗+∈><∈∀ �kk uenk ,,1 TP .

• un vecteur 1+nu qui vérifie :

1. ),...,(Vect),...,(Vect 1111 ++ = nn uuee .

2. 0,,1 1 =><∈∀ +nk uunk TP .

3. 11 =+nu .



4. ∗+++ ∈>< �11 , nn ue .

La famille ),...,( 1 nee est libre car elle est extraite d’une famille libre. Donc, d’après

l’hypothèse de récurrence, il existe une unique famille orthonormale ),...,( 1 nuu de

vecteurs qui vérifie ),...,(Vect),...,(Vect,1 11 kk uueenk =∈∀ TP et

∗+∈><∈∀ �kk uenk ,,1 TP . Il reste donc à déterminer le vecteur 1+nu .

Or ),...,(Vect),...,(Vect 11 nn uuee = , donc ),,...,(Vect),...,(Vect 1111 ++ = nnn euuee .

Donc la condition 1 est vérifiée ssi : ),,...,(Vect 111 ++ ∈ nnn euuu , donc ssi :

11111

1

11 ...),...,( ++++

+ λ+λ++λ=∈λλ∃ nnnnn

n

n euuu� .

Or ),...,( 1 nuu est orthonormale, donc : ><λ+λ=><∈∀ +++ 111 ,,,1 nknknk euuunk TP .

Donc la condition 2 est vérifiée ssi : ><λ−=λ∈∀ ++ 11 ,,1 nknk eunk TP , donc ssi

vu nn 11 ++ λ= où ∑=

++ ><−=n

k

knkn ueuev1

11 , .

Ev 0≠ car la famille ),...,( 11 +nee est libre, donc 1+ne n’appartient pas à ),...,(Vect 1 nee

donc à ),...,(Vect 1 nuu . Donc la condition 3 est vérifiée ssi v

n

11 =λ + .

><λ=>< ++++ veue nnnn ,, 1111 . Or 2

11 ,,,,1 knknkk ueueuuvnk ><−><=><∈∀ ++TP ,

donc 0,,1 ==><∈∀ kuvnk TP , donc : >=< + vev n ,1

2. Donc

2

111 , vue nnn +++ λ=>< .

Donc la condition 4 est vérifiée ssi 01 >λ +n .

Donc il existe un unique vecteur 1+nu solution : vv

un

11 =+ où ∑

=

++ ><−=n

k

knkn ueuev1

11 , .

Donc il existe une unique famille orthonormale ),...,( 11 +nuu solution.

Conclusion : La propriété est démontré pour tout entier *�∈n .

Dans la pratique : On commence par déterminer une famille orthogonale que l’on norme

ensuite. On pose 1

1

1

1e

eu = , puis ∑

−

=

><−=≥∀1

1

,2k

i

ikikk ueuevk et k

k

k vv

u1

= .

On verra que les coefficients correspondent à la projection orthogonale de ke sur le

sous-espace ),...,(Vect 11 −kuu .

Exercice : Pour chacun des exemples de produit scalaire, vérifier que la famille donnée est

libre, et l’orthonormaliser :

Exemple 1 : )1,1,0(1 =e , )1,0,1(1 =e et )0,1,1(1 =e dans 3�=E .

Exemple 2 : 11 =P , XP += 12 et 2

3 1 XXP ++= sur ][2 XE �= .

Exemple 3 :

=

11

101M ,

=

11

012M ,

=

10

113M et

=

01

114M sur ][2 �M=E .

3) Base orthonormale

Si la famille ),...,( 1 nee est une base, on parle de base orthonormale (ou orthonormée).

Tout espace euclidien est de dimension finie, donc possède une base que l’on peut

orthonormaliser. On obtiendra une famille libre ayant le même nombre de vecteurs,

donc une base. Donc :

Théorème : Tout espace euclidien possède une base orthonormale (ou orthonormée).

Toute famille orthonormale peut être complétée en une base orthonormale.

On complète la famille orthonormale (donc libre) en une base, et on orthonormalise

cette base. Par construction, les premiers vecteurs sont conservés.

Par construction, sur une base orthonormale, la matrice associée au produit scalaire est

la matrice identité. Catherine LAIDEBEURE - 2013


Donc sur une base ),...,( 1 nee orthonormale : ∑=

==><n

k

kk

t yxXYyx1

, .

Et donc, si ),...,( 1 nee est une base orthonormale : kk xex =>< , .

Donc sur une base ),...,( 1 nee orthonormale : ∑=

><=n

k

kk eexx1

, .

On en déduit une expression de la matrice d’un endomorphisme u car le coefficient

jia , de sa matrice est la i-ème composante de )( jeu .

Conséquence : Si ),...,( 1 nee est une base orthonormale de E, et si u est un

endomorphisme de E, sa matrice A a pour coefficients ><= )(,, jiji euea , et donc sa

trace est : ∑=

><==n

k

kk eueATruTr1

)(,)()( .

4) Orthogonalité de deux parties

Définition : Deux parties non vides A et B de E sont orthogonales si :

0,),( =><×∈∀ yxBAyx .

Tout vecteur de A est orthogonal à tous les vecteurs de B.

Définition : On appelle orthogonal d’une partie non vide A de E l’ensemble des vecteurs

de E qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de A : { }0,/ =><∈∀∈= yxAyExA� .

En particulier : { } EE =�

0 et { }EE 0=� .

En effet : E0 est le seul vecteur orthogonal à tous les vecteurs de E.

Exercice : Pour chacun des exemples précédents, déterminer l’orthogonal de A :

Exemple 1 :

=∈= ∑=

0/1

n

k

kxExA .

Exemple 2 : { }XA ,1= .

Exemple 3 : { }nIA = .

Propriété : Pour toute partie non vide A de E, �A est un sous-espace vectoriel de E.

En effet, �AE ∈0 et �A est stable par combinaison linéaire à cause de la linéarité du

produit scalaire.

Théorème : Pour toute forme linéaire ϕ sur un espace euclidien E, il existe un unique

Ea ∈ tel que : ><=ϕ∈∀ axxEx ,)( .

Conséquence 1 : L’application qui à Ea ∈ associe la forme linéaire ϕ : >< axx ,a est

un isomorphisme entre E et son dual *E .

Conséquence 2 : L’orthogonal d’un vecteur non nul de E est un hyperplan de E.

Réciproquement, tout hyperplan de E est l’orthogonal d’au moins un vecteur non nul.

Démonstration : Soit ),...,( 1 nee une base orthonormale de E et ϕ une forme linéaire.

Existence : >ϕ<=ϕ><=ϕ∈∀ ∑∑==

n

k

kk

n

k

kk eexeexxEx11

)(,)(,)( .

Donc il existe ∑=

ϕ=n

k

kk eea1

)( tel que ><=ϕ∈∀ axxEx ,)( .

Unicité : supposons que : ><=><=ϕ∈∀ bxaxxEx ,,)( .

Donc 0, =>−<∈∀ baxEx . Donc, pour bax −= : 02

=− ba , donc ba = .

La conséquence 1 est évidente par linéarité à droite du produit scalaire.

La conséquence 2 est évidente car le noyau d’une forme linéaire non nulle est un

hyperplan. Si { }�aH = , on dira que a est un vecteur normal à H.



Propriété : Pour toutes parties non vides A et B de E :

- { }EAA 0⊂∩ � .

- �� ABBA ⊂⇒⊂ .

- �� )()Vect( AA ⊂ .

Démonstration :

• Seul le vecteur nul est orthogonal à lui-même. Donc { }EAA 0⊂∩ � .

• On suppose que BA ⊂ . Alors, si �Bx ∈ : 0, =><∈∀ yxBy .

Donc en particulier : 0, =><∈∀ yxAy , donc �Ax ∈ . Donc �� AB ⊂ .

• 0, =><∈∀∈∀ yxAyAx � , donc 0, =><∈∀∈∀ xyAxAy � .

Donc �� )(AyAy ∈∈∀ , donc �� )(AA ⊂ . Donc �� )()Vect( AA ⊂ car �� )(A est

un sous-espace vectoriel.

Attention ! On a toujours �� )(AA ⊂ , mais il n’y a pas toujours égalité.

De même : �� BA = ne prouve pas BA = .

Exemple : En dimension 3 dans une base orthonormale, si u et v sont deux vecteurs de E,

l’application ),,det( xvux a est une forme linéaire sur E. Donc il existe un unique

Ea ∈ tel que : ><=∈∀ xaxvuEx ,),,det( . C’est le produit vectoriel vua ∧= .

5) Sous-espaces vectoriels orthogonaux

Remarque : L’orthogonal de F est noté �F ou 0F .

Dans le cas des sous-espaces vectoriels, on a d’autres propriétés :

Théorème : Si E est un espace vectoriel préhilbertien et si F est un sous-espace

vectoriel de E de dimension finie, alors F et �F sont supplémentaires : �FFE ⊕= .

On dira que �F est le supplémentaire orthogonal de F.

Démonstration : La propriété est évidente si { }EF 0= ou si EF = .

Dans les autres cas, si pF =dim , F admet une base orthonormale ),...,( 1 pee .

Soit Ex ∈ . Soit ∑=

λ=p

k

kk ey1

un élément de F et yxz −= .

Donc jj

p

k

kjkjjjj exeeexeyexez λ−><=><λ−><=><−><=>< ∑=

,,,,,,1

.

Donc si ><=λ∈∀ jj expj ,,1 TP , alors ⊥∈ Fz .

Donc Ex ∈ se décompose en zyx += avec ∑=

><=p

k

kk eexy1

, dans F et ⊥∈ Fz .

Donc ⊥+= FFE . De plus { }EFF 0=∩ � , donc �FFE ⊕= .

�F est le seul supplémentaire de F qui lui soit orthogonal (ce qui justifie le nom).

En effet, si GFE ⊕= , il existe une base de E qui est réunion d’une base ),...,( 1 pee

de F et d’une base ),...,( 1 np ee + de G. Et si G est orthogonal à F, les vecteurs

),...,( 1 np ee + sont tous orthogonaux à F, donc appartiennent à �F . Donc G est inclus

dans �F et a même dimension pn − . Donc �FG = .

Théorème : Si E est un espace vectoriel euclidien de dimension n et si F et G sont des

sous-espaces vectoriels de E, alors :

- nFF =+ �dimdim .

- �� )(FF = .

- �� GFGF ∩=+ )( .

- �� GFGF ∩=∪ )( .

- �� )( GFGF ∩=+ . Catherine LAIDEBEURE - 2013


Démonstration :

• nFF =+ �dimdim car �FFE ⊕= .

• On sait déjà que �� )(FF ⊂ . Et �� )dim(dim FF = car �� )(FFE ⊕= .

• GFF +⊂ et GFG +⊂ , donc �� FGF ⊂+ )( et �� GGF ⊂+ )( .

Donc : �� GFGF ∩⊂+ )( .

Inversement, si �� GFx ∩∈ , il est orthogonal à tout vecteur de F et à tout

vecteur de G, donc à toute somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G, donc à

tout vecteur de GF + . Donc �� )( GFGF +⊂∩ .

• )Vect( GFGF ∪=+ , donc �� )()( GFGF +=∪ .

• Soit �� GFx +∈ . Donc bax += avec �Fa ∈ et �Gb ∈ .

Donc : ><+><=><∩∈∀ ybyayxGFy ,,, .

Or 0, =>< ya car Fy ∈ et 0, =>< yb car Gy ∈ . Donc 0, =><∩∈∀ yxGFy .

Donc �)( GFx ∩∈ . Donc �� )( GFGF ∩⊂+ .

De plus, si pF =dim , qG =dim et rGF =∩dim , alors rqpGF −+=+ )dim( . �� )dim(dimdim)dim(dimdim)dim( GFGFGFGFGF +−+=∩−+=+ .

Donc �� )dim()]([)()()dim( GFrnrqpnqnpnGF ∩=−=−+−−−+−=+ .

Donc �� )( GFGF ∩=+ .

Conséquence : Puisque les sous-espaces F et �F sont supplémentaires, on peut définir

la projection sur F suivant �F et la symétrie par rapport à F suivant �F .

Définition : On appelle projection orthogonale sur F la projection sur F suivant �F .

Elle a évidemment toutes les propriétés des projections, et quelques propriétés

particulières :

Propriétés : Si p est la projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel F, alors :

- xxpEx ≤∈∀ )( .

- ><=><∈∀ )(,),(),( 2 ypxyxpEyx .

- yxxpxFyEx −≤−∈∀∈∀ )( .

- ),()( Fxdxpx =− .

Démonstration :

• )]([)( xpxxpxEx −+=∈∀ où Fxp ∈)( et �Fxpx ∈− )]([ .

Donc : 222

)()( xpxxpx −+= , donc 22

)(xpx ≥ , donc )(xpx ≥ .

• )]([)( xpxxpxEx −+=∈∀ et )]([)( ypyypyEy −+=∈∀ .

Donc >−<+><=>< )(),()(),(),( ypyxpypxpyxp .

Or Fxp ∈)( et �Fypy ∈− )]([ , donc ><=>< )(),(),( ypxpyxp .

Et par symétrie : ><=><=>< yxpypxpypx ),()(),()(, .

• ])([)]([ yxpxpxyxFyEx −+−=−∈∀∈∀ . Or �Fxpx ∈− )]([ et Fyxp ∈− ])([ .

Donc 222

)()( yxpxpxyx −+−=− , donc 22

)(xpxyx −≥− .

• ),()( Fxdxpx =− est le minimum de la distance de x aux éléments y de F.

Donc : ),()( Fxdxpx =− . Et )(xp est le seul point où ce minimum est atteint.

Conséquences : Si ),...,( 1 pee est une base orthonormale de F :

- ∑=

><=∈∀p

k

kk eexxpEx1

,)( .

- Inégalité de Bessel : 2

1

2),( xexExp

k

k ≤><∈∀ ∑=

.



En effet : FxpEx ∈∈∀ )( donc ∑=

><=∈∀p

k

kk eexpxpEx1

),()( .

Donc ∑∑==

><=><=∈∀p

k

kk

p

k

kk eexeepxxpEx11

,)(,)( .

Donc ∑=

><=∈∀p

k

kexxpEx1

22),()( , d’où l’inégalité car xxpEx ≤∈∀ )( .

Exercice : Calculer le minimum de ∫ −−1

0

22 )( dtbatt pour a et b réels.

On remarque que 2

2

1

0

22 )( baXXdtbatt −−=−−∫ pour le produit scalaire

∫=><1

0

)()(, dttQtPQP dans l’espace ][2 X� . Donc ∫ −−1

0

22 )( dtbatt sera minimum

quand )(2 baXX +− le sera. Or cette norme représente la distance entre le

polynôme 2X et un élément quelconque du sous-espace ][1 XF �= .

Donc ce minimum est atteint ssi baX + est le projeté orthogonal de 2X sur F.

F a pour base ),1( X que l’on orthonormalise en )323,1( X− .

Donc : )323(323,1,)( 222 XXXXXp −>−<+><= .

Donc : )21(21,31,)( 222XXXXXp −>−<+><= .

Or 3

11,

1

0

22 ==>< ∫ dttX et 6

1

2

1

3

1)21(21,

1

0

22 −=−=−=>−< ∫ dtttXX .

Donc le projeté orthogonal de 2X sur F est 6

1)21(

2

1

3

1)( 2 −=−−= XXXp .

Et le minimum cherché est : 180

1

6

11

0

2

2 =

+−∫ dttt .

Définition : On appelle symétrie orthogonale par rapport à F la symétrie par rapport à

F suivant �F .

Si F est un hyperplan, la symétrie orthogonale par rapport à F est appelée réflexion.

Elle a évidemment toutes les propriétés des symétries, et quelques propriétés

particulières :

Propriétés : Si s est la symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace vectoriel F, alors :

- xxsEx =∈∀ )( .

- ><=><∈∀ )(,),(),( 2 ysxyxsEyx .

Démonstration : On utilise Idps −= 2 où p est la projection orthogonale.

• ])([)()( xxpxpxsEx −+=∈∀ où Fxp ∈)( et �Fxxp ∈− ])([ .

Donc : 222222

)()()()()( xxpxxpxxpxpxs =−+=−+= , donc xxs =)( .

• )]([)( xpxxpxEx −+=∈∀ et )]([)( ypyypyEy −+=∈∀ .

Donc ><=><−><=><−><=>< )(,,)(,2,),(2),( ysxyxypxyxyxpyxs .

IV - Endomorphismes

1) Adjoint d’un endomorphisme

Théorème : Etant donné un endomorphisme u d’un espace euclidien E, il existe un

unique endomorphisme *u de E tel que : ><=><∈∀ )(*,),(),( 2 yuxyxuEyx .



Définition : Cet endomorphisme *u s’appelle l’adjoint de l’endomorphisme u.

Démonstration : Soit ),...,( 1 nee une base orthonormée de E.

La matrice A de u dans cette base est )( , jiaA = avec ><= )(,, jiji euea .

Donc ><===><∈∀ )(*,)()(),(),( 2 yuxAYXYAXyxuEyx ttt où *u est

l’endomorphisme de E de matrice At . Il reste à montrer l’unicité.

Supposons deux endomorphismes solutions : *u et **u .

Donc ><=><∈∀ )*(*,)(*,),( 2 yuxyuxEyx , donc 0)*(*)(*, =>−< yuyux .

Donc EyuyuEy 0)*(*)(* =−∈∀ car il est orthogonal à tous les vecteurs de E.

Donc )*(*)(* yuyuEy =∈∀ , donc *** uu = .

Exemples : Les projections orthogonales et les symétries orthogonales sont égales à

leur adjoint. On dira qu’elles sont autoadjointes.

Propriétés : Si A est la matrice de u dans une base orthonormale, la matrice de *u dans la

même base est At .

Conséquences : uu =*)*( , *)rg()rg( uu = , *)tr()tr( uu = , *)det()det( uu = .

*uu a est un endomorphisme de )(EL et **)*( uvvu oo = .

u est un automorphisme ssi *u est un automorphisme. Et *)(*)( 11 −− = uu .

u et *u ont les mêmes valeurs propres et même polynôme caractéristique.

�)(Im*)Ker( uu = et �)(Ker*)Im( uu = .

Démonstration : Les premières sont les propriétés de la transposition des matrices.

Exuux 0)(**)Ker( =⇔∈ , donc 0)(*,*)Ker( =><∈∀⇔∈ xuyEyux .

Donc 0),(*)Ker( =><∈∀⇔∈ xyuEyux , donc �)(Im*)Ker( uxux ∈⇔∈ .

Donc �)(Im*)Ker( uu = et en appliquant à *u : �*)(Im)Ker( uu = , donc �)(Ker*)Im( uu = .

Théorème : Un sous-espace vectoriel F est stable par u si et seulement si �F est stable

par *u .

Démonstration : Soit F un sous-espace stable par u. Donc FxuFx ∈∈∀ )( .

Donc 0),( =><∈∀∈∀ yxuFxFy � , donc 0)(*, =>< yux .

Donc �� FyuFy ∈∈∀ )(* . Donc �F est stable par *u .

L’équivalence est obtenue en appliquant ce qui précède à �F et *u .

En particulier, un hyperplan de vecteur normal a est stable par u si et seulement si a est

un vecteur propre de *u , ou encore un vecteur non nul a est vecteur propre de u si et

seulement si son hyperplan orthogonal est stable par *u .

2) Endomorphisme autoadjoint

Définition : Un endomorphisme u de E est autoadjoint (ou symétrique) si uu =* .

L’ensemble des endomorphismes autoadjoints de E est noté )(ES .

Définitions équivalentes :

Un endomorphisme u est autoadjoint ssi ><=><∈∀ )(,),(),( 2 yuxyxuEyx .

Un endomorphisme est autoadjoint ssi sa matrice dans une base orthonormée est symétrique.

Exemples : Les projections orthogonales et les symétries orthogonales.

Un projecteur est autoadjoint si et seulement si il s’agit d’une projection orthogonale.

En effet, soit p est un projecteur autoadjoint par rapport à F parallèlement à G.

00,)(,),(,),( =><=><=><=><×∈∀ ExypxyxpyxGFyx . Donc ⊥= FG .

Tout projecteur autoadjoint est orthogonal.

Si nE =dim , alors )(ES est un sous-espace vectoriel de )(EL et 2

)1()(dim

+=

nnES

car les matrices sont symétriques.



Propriété : Les sous-espaces propres d’un endomorphisme autoadjoint sont deux à

deux orthogonaux.

Démonstration : Soit λ et µ deux valeurs propres distinctes de u.

><λ=><∈∀∈∀ µλ yxyxuEyEx ,),( et ><µ=>< yxyux ,)(, .

Or u est autoadjoint. Donc 0,)( =><µ−λ∈∀∈∀ µλ yxEyEx , donc 0, =>< yx .

Propriété : Tout endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien possède au moins

une valeur propre réelle.

Démonstration : Soit u un endomorphisme autoadjoint de matrice AA t= dans une base

orthonormale. Il a au moins une valeur propre λ éventuellement complexe car son

polynôme caractéristique a au moins une racine complexe. Soit x un vecteur propre

associé et X sa matrice. On a xxu λ=)( et XAX λ= .

Notons X la matrice dont les éléments sont les conjugués de ceux de X.

Comme A est une matrice symétrique réelle, on a : XXA λ= , donc XAX tt λ= .

Donc : XXAXX tt λ= et XXAXX tt λ= . Donc 0)( =λ−λ XXt .

Or si

=

nx

x

X M

1

, alors 01

2≠=∑

=

n

k

k

t xXX . Donc λ=λ . Donc λ est réelle.

Conséquence : Toutes les valeurs propres de u sont réelles.

Théorème spectral : Tout endomorphisme autoadjoint est diagonalisable en base

orthonormale.

Corollaire : Tout matrice symétrique réelle est diagonalisable.

Démonstration : Notons 1λ , ..., pλ les valeurs propres de u, et 1E , ..., pE les sous-

espaces propres associés.

Soit pEEF ⊕⊕= ...1 (somme directe car les valeurs propres sont distinctes).

F est stable par u car tous les sous-espaces propres sont stables.

Donc �F est stable par uu =* . Donc �Fu

/ est un endomorphisme autoadjoint de �F ,

donc si { }EF 0≠� , il possède au moins une valeur propre réelle et donc au moins un

vecteur propre qui sera aussi vecteur propre de u. Or c’est impossible puisque

{ }EFF 0=∩ � . Donc { }EF 0=� et EF = .

Donc u est diagonalisable car pEEE ⊕⊕= ...1 .

Dans chaque sous-espace propre, on peut choisir une base orthonormale de vecteurs

propres, et donc la réunion de ces bases est une base orthonormale de E.

3) Endomorphismes orthogonaux

Définition : Un endomorphisme u de E est orthogonal si EIduuuu == ** oo .

L’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E est un sous-groupe de )(EGL appelé

groupe orthogonal de E et noté )(EO .

Définitions équivalentes :

1. Un endomorphisme u est orthogonal ssi u est bijectif et *1 uu =− .

2. Un endomorphisme u est orthogonal ssi : ><=><∈∀ yxyuxuEyx ,)(),(),( 2 .

3. Un endomorphisme u est orthogonal ssi : xxuEx =∈∀ )( .

4. Un endomorphisme u est orthogonal ssi u transforme une (toute) base orthonormale en

une base orthonormale.

Démonstration :

On a vu que �≠)(EO et, de manière évidente, la composée de deux

endomorphismes orthogonaux est un endomorphisme orthogonal.

• L’équivalence avec 1 est évidente. C’est la définition de la bijectivité et de la réciproque. Catherine LAIDEBEURE - 2013


Donc )()( EGLE ⊂O . De plus �≠)(EO car )(EO contient EId .

La composée de deux endomorphismes orthogonaux est un endomorphisme orthogonal

car : EE IduuuIduuvvuuvuv ==== ooooooooo ****)(*)( si u et v sont orthogonaux.

Et si u est orthogonal, sa réciproque *1 uu =− est orthogonal car uu =*)*( .

• Si u est orthogonal, il conserve le produit scalaire car :

><=><=><∈∀ yxyuuxyuxuEyx ,))(*(,)(),(),( 2o .

Réciproquement si u conserve le produit scalaire : ><=><∈∀ yxyuxuEyx ,)(),(),( 2 .

Or ><=><∈∀ )(*,),(),( 2 zuxzxuEzx .

Donc : ><=><∈∀ ))(*(,)(),(),( 2 yuuxyuxuEyx o , donc ><=>< ))(*(,, yuuxyx o .

Donc : yyuuEy =∈∀ ))(*( o puisque l’égalité est vraie pour tout x.

Donc EIduu =o* . Donc u est orthogonal.

• Si u est orthogonal, il conserve le produit scalaire, donc la norme.

Réciproquement, si u est un endomorphisme qui conserve la norme :

[ ] [ ] ><=−−+=−−+=>< yxyxyxyuxuyuxuyuxu ,2

1)()()()(

2

1)(),(

222222

car u est linéaire donc )()()( yxuyuxu +=+ .

Donc u conserve le produit scalaire, donc est orthogonal.

• Il est évident que si u est orthogonal, il conserve le produit scalaire et la norme,

donc transforme toute base orthonormale en une base orthonormale.

Réciproquement si u est un endomorphisme qui transforme la base orthonormale

),...,( 1 nee en base orthonormale ( ))(),...,( 1 neueu , alors :

∑=

><=∈∀n

k

kk eexxEx1

, et ∑=

><=n

k

kexx1

22),( .

Donc ∑=

><=n

k

kk euexxu1

)(,)( et 2

1

22),()( xexxu

n

k

k =><=∑=

.

Remarque : Toute application de E dans E qui conserve le produit scalaire est linéaire.

En effet, pour tous x et y de E, et tout λ réel :

><λ+>+λ<−

>+λ<λ−+λ++λ=−λ−+λ

)(),(2)(),(2

)(),(2)()()()()()(22222

yuxuyuyxu

xuyxuyuxuyxuyuxuyxu

Or u conserve le produit scalaire, donc la norme. Donc :

0,2

,2,2)()()(22222

=><λ+

>+λ<−>+λ<λ−+λ++λ=−λ−+λ

yx

yyxxyxyxyxyuxuyxu

Donc )()()( yuxuyxu +λ=+λ .

Par contre, la linéarité est indispensable pour les autres définitions.

Exemple : Si 1dim =E , les seuls endomorphismes orthogonaux sont EId± .

Exemple : La symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace vectoriel F est un

endomorphisme orthogonal. En effet, tous les vecteurs x et y de E se décomposent en

�FF xxx += et �FF yyy += , et l’on a : �FF xxxs −=)( et �FF yyys −=)( .

Donc : ><=><+><=>−−<=>< yxyxyxyyxxysxsFFFFFFFF ,,,,)(),( �� .

Exemple :

Théorème : Si u est un endomorphisme orthogonal de E, alors { }1,1)Sp( −⊂u .

En effet, si λ est une valeur propre de u et x un vecteur propre associé : xxu λ=)( .

Donc xxu λ=)( . Or u conserve la norme et Ex 0≠ . Donc 1=λ .

Corollaire : Un endomorphisme u est orthogonal si et seulement si sa matrice A dans

une base orthonormale est inversible et vérifie AA t=−1 . Catherine LAIDEBEURE - 2013


En effet, la matrice de *u est At .

Définition : Une matrice )(�nA M∈ est orthogonale si elle vérifie n

t IAA = .

Elle est donc inversible et son inverse est AA t=−1 .

L’ensemble des matrices orthogonales de )(�nM est un sous-groupe de )(�nGL

appelé groupe orthogonal d’ordre n et noté )(�nO .

Un endomorphisme u de E est un endomorphisme orthogonal si et seulement si sa

matrice dans une base orthonormale est orthogonale.

Et toute matrice de changement de bases orthonormales est une matrice orthogonale.

Théorème : Si A est une matrice orthogonale, alors : 1det ±=A et { }1/)( =λ∈λ⊂ ��

ASp .

La première égalité est évidente car AAt detdet = .

Soit λ une valeur propre de A et X un vecteur propre associé. Donc 0≠X et XAX λ= .

La matrice A est réelle, donc XXA λ= , donc XAX ttt λ= . Donc XXAAXX ttt λλ= .

Or n

t IAA = . Donc 0)1( =λλ− XXt . Donc 1=λλ car 0≠X . Donc 1=λ .

La réciproque de ce théorème est évidemment fausse.

Définition : On appelle rotation tout endomorphisme orthogonal u tel que 1det +=u .

L’ensemble des rotations est un sous-groupe de )(EO appelé groupe spécial

orthogonal et noté )(ESO .

En effet, �≠)(ESO car EId est une rotation, la composée de deux rotations est une

rotation car ))(det(det)det( vuvu =o , et la réciproque d’une rotation est une rotation

car u

udet

1)det( 1 =− .

Remarque : L’ensemble des endomorphismes orthogonaux de déterminant 1− n’est

pas un groupe car la composition n’est pas interne.

4) Endomorphismes orthogonaux en dimension 2

Soit A une matrice orthogonale d’ordre 2 :

=

db

caA telle que 2IAAt = .

Les vecteurs colonnes de A sont unitaires et orthogonaux (base orthonormale).

Donc θ=+ππ−∈θ∃ ieiba],]! et θ±=+ iieidc , donc

=

−=

ad

bc ou

−=

=

ad

bc.

Théorème : Une matrice carrée d’ordre 2 est orthogonale si et seulement si elle est de

la forme

θθ

θ−θ=

cossin

sincosA ou

θ−θ

θθ=

cossin

sincosA où θ est unique modulo π2 .

Dans le premier cas 1det +=A et dans le second cas 1det −=A .

Théorème : Soit u un endomorphisme orthogonal de matrice A dans une base

orthonormale ),( 21 ee .

Si sa matrice est de la forme

θθ

θ−θ=

cossin

sincosA , u est la rotation d’angle de mesure θ .

Si sa matrice est de la forme

θ−θ

θθ=

cossin

sincosA , u est la réflexion par rapport à la

droite D de base 21

2cos

2sin ee

θ+

θ.

En effet, dans le deuxième cas A est symétrique et 2

2 IA = , donc EIduu =o , donc u

est une symétrie, de plus )Ker( EIdu − et )Ker( EIdu + sont orthogonaux.

On peut remarquer qu’en dimension 2 le groupe )(ESO est commutatif : la composée

des rotations d’angles θ et 'θ est la rotation d’angle 'θ+θ . Catherine LAIDEBEURE - 2013


D’autre part, la composée d’une rotation et d’une réflexion est une réflexion. Donc

toute rotation est composée de deux réflexions.

Théorème : En dimension 2, tout endomorphisme orthogonal est composé d’une ou

deux réflexions.

5) Endomorphismes orthogonaux en dimension 3

On sait que : { }1,1)Sp( −⊂u . Soit { }xxuExF =∈= )(/ l’ensemble des vecteurs

invariants ou encore le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 si )Sp(1 u∈ .

F est un sous-espace vectoriel de E et 3dim ≤F . Et FF dim3dim −=� .

De plus, les restrictions de u à F et à �F sont des endomorphismes orthogonaux.

1er cas : 3dim =F .

Donc EIdu = et )(ESOu ∈ .

2ème cas : 2dim =F , donc 1dim =�F .

Donc Fu / est FId , et �� FFIdu −= (aucun vecteur non nul de �F n’est invariant).

Donc u est la réflexion par rapport à F et il existe une base orthonormale ),,( 321 eee de

E où la matrice de u est de la forme

−

=

100

010

001

A .

3ème cas : 1dim =F , donc 2dim =�F .

Donc Fu / est FId , et �Fu est une rotation car aucun vecteur non nul de �F n’est invariant.

Donc il existe une base orthonormale ),,( 321 eee de E où la matrice de u est de la

forme

θθ

θ−θ=

cossin0

sincos0

001

A et u est la rotation d’axe F et d’angle θ .

Comme la rotation plane �Fu est composée de deux réflexions planes par rapport à des

droites 1D et 2D de �F , u est composée de deux réflexions par rapport aux plans

),Vect( 11 DFP = et ),Vect( 22 DFP = .

4ème cas : 0dim =F , donc EF =� .

Soit Ea ∈ et )(aub = . Comme u n’a pas de vecteur invariant, le vecteur ab − est

non nul. Soit H le plan de vecteur normal ab − et Hs la réflexion par rapport à H.

u est orthogonal, donc ab = . Donc 0,22

=−=>−+< ababab .

Donc Hab ∈+ )( et �Hab ∈− )( .

Or : )(2

1)(

2

1ababb −++= , donc aababbsH =−−+= )(

2

1)(

2

1)( .

Donc aausH =))(( o . Donc usH o est un endomorphisme orthogonal qui a au moins

un vecteur invariant, ce qui nous ramène à l’un des cas précédent.

Ce n’est pas le premier cas, car sinon on aurait Hsu = , donc HF = .

Ce n’est pas le deuxième cas, car sinon on aurait GH ssu o= composée de deux

réflexions par rapport à des plans, donc FGH ⊂∩ , donc { }EGH 0=∩ , ce qui n’est

pas possible pour deux plans en dimension 3.

Donc usH o est une rotation d’axe engendré par a.

Donc u est composé d’une réflexion et d’une rotation, donc de trois réflexions.

Théorème : En dimension 3, tout endomorphisme orthogonal est composé d’une, deux

ou trois réflexions.



4ème cas : 0dim =F , donc EF =� .

Le polynôme caractéristique de u est de degré 3, donc a au moins une racine réelle qui

n’est pas 1 car { }EF 0= . Or { }1,1)Sp( −⊂u . Donc )1(− est valeur propre de u.

Soit G l’orthogonal du sous-espace propre associé à )1(− . Donc 2dim ≤G .

Soit Gs la symétrie orthogonale par rapport à G. Donc xxsGx −=∈∀ )( .

Donc us o est un endomorphisme orthogonal tel que : xxusGx =∈∀ ))(( o .

On est donc ramené à l’un des cas précédents car { }xxusExH =∈= ))((/ o contient

G, donc est de dimension supérieure ou égale à 1.

Si 3dim =H , alors EIdus =o , donc su = , donc { }EGF 0== ⊥ , donc EG = , donc EIdu −= .

Si 2dim =H , alors Hsus =o réflexion par rapport à H. Donc Hssu o=


Espaces Euclidiens 1 - L'université des sciences en...

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