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Chapitre 2

Circuits magnétiques

Chapitre 2 – 1ère partie

Grandeurs et lois fondamentales du magnétisme

Excitation magnétique

Electronique de Puissance - L3 REL - B. JAMMES 3

La circulation d’un courant dans un conducteurélectrique crée en tout point de l’espace une

excitation magnétique 𝐻.

(unité = ampère par mètre = A/m ou A.m-1).

Rappel : Le résultat C de A^B estsur une droite orthogonale au

plan défini par A et B et sadirection est telle que le repère

(A, B, C) est direct.

𝑑𝐻

Loi de Biot et Savart (*): 𝑑𝐻 = 1

4𝜋𝑟2𝑑𝑙^ 𝑟

En pratique, pour déterminer la direction de C on utilise la règledu tire-bouchon ou des 3 doigts de la main droite.

(*) Jean-Baptiste Biot (1774-1862) et Félix Savart (1791-1841), physiciens français.

Théorème d’Ampère (*)


La circulation de 𝐻 le long d’une ligne fermée (C) entourant n fois un conducteur électriqueparcouru par un courant I est égale au produit de n par I.

(𝐶)

𝐻. 𝑑𝑙 = n. I

(*) André-Marie Ampère (1775-1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français.

L’amplitude de 𝐻 ne dépend que du courant. Pour prendre en compte les propriétés

magnétiques du milieu on utilise une autre grandeur : l’Induction Magnétique 𝐵.

𝐵et 𝐻 définissent le champ magnétique.

Induction magnétique et perméabilité


L’induction magnétique en tout point de l’espace est donnée par :

𝐵 = 𝜇 𝐻

μ = la perméabilité magnétique du milieu

Unités : B en Tesla (T) et μ en Henry par mètre (H/m ou H.m-1)

La perméabilité du vide μ0 = 4 π 10-7 H/m.

On donne généralement la perméabilité magnétique d’un matériau relativement à celle de l’air (≃ vide) :

μ = μr * μ0

μr = perméabilité relative du matériau. C’est une grandeur sans dimension.

Perméabilité relative de quelques matériaux à 20°C


Courbe de 1ère aimantation


La perméabilité d’un matériau dépend en réalité de l’excitation magnétique.

courbe de 1ère aimantation d’un matériau magnétique

μ ≃ cste

μ ≃ μ0 # 0

Caractéristique idéalisée

Champ magnétique - Lignes de champ - Tube de champ


Une ligne de champ magnétique est une courbe telle que le champ magnétique lui esttangent en tout point.

Dans l'espace il existe une infinité de lignes de champ, mais il passe une seule ligne dechamp par chaque point de l'espace. Les lignes de champ sont orientées dans le sens duchamp.

Un tube de champ est la surface imaginaire formée par l'ensemble des lignes de champ quis'appuient sur une courbe fermée.

Flux magnétique


Le flux de 𝐵 à travers une surface S est défini par :

∅ =

𝑆

𝐵. 𝑛

où 𝑛 est le vecteur unitaire normal à l’élément de surface dS.

Unité de ∅ = Weber (Wb).

Si on se place dans le cas d’une surface plane placé dans un champ magnétique uniforme etperpendiculaire à la surface alors :

∅ = 𝐵. 𝑆

Le flux est conservatif :le flux à l’entrée d’un tube de champ est donc égal au flux à la sortie.

𝐵

𝑆

𝑆𝐵

𝑛

Loi de Faraday (*)


Le signe moins traduit la loi de LENZ (**) :

Tout phénomène physique s’oppose à la cause qui lui a donné naissance.

Le courant crée par la f.e.m. génère un flux i(t) qui s’oppose à (t)

Rque : La loi de Faraday est également valable pour conducteur électrique se déplaçantdans un champ constant.

𝑆

𝑏(𝑡)

𝑒(𝑡)

Un conducteur électrique formant une lignefermée traversée par un flux variable est lesiège d’une fem d’auto-induction :

𝑒 𝑡 = −𝑑𝜑(𝑡)𝑑𝑡

(*) Michael Faraday (1791-1867) physicien et chimiste britannique. (**) Emil Lenz (1804-1865), physicien allemand.

Force électromagnétique : Loi de Laplace(*)


Tout conducteur électrique parcouru par un courant I et placé dans un champ magnétiqueest soumis à une force telle que :

𝑑𝐹 = −𝐼. 𝑑𝑙^𝐵

(*) Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) mathématicien, astronome et physicien français.

𝑑𝐹

𝐵

Chapitre 2 – 2ème partie

Lois des circuits magnétiques en continu

Circuits magnétiques : Définitions


Un circuit magnétique est une portion de l’espace qui canalise et amplifie le champmagnétique.

B ≫ Bair Bair ≃0

Un circuit magnétique est parfait si

Il n’est pas saturé (r = cste).

Toutes les lignes de champ créées par le(s) conducteur(s) qui l’entoure y sont canalisées(pas de fuite de flux).

Un tore ferromagnétiqueentouré de spires jointivesd’un conducteur électrique =bonne image d’un circuitmagnétique parfait.

http://jocelyn.bernaud.free.fr/cours4.html

http://jocelyn.bernaud.free.fr/cours4.html

Si on suppose que H est uniforme dans la bobine alors :

(𝐶)

𝐻. 𝑑𝑙 = 𝐻

(𝐶)

𝑑𝑙 = 𝐻. 𝑙 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙 = 𝑝é𝑟𝑖𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 𝑑𝑢 𝑡𝑜𝑟𝑒 = 2𝜋𝑅

et le th. d’Ampère se simplifie en

𝐻. 𝑙 = 𝑛. 𝐼

Loi n°1 : Théorème d’Ampère


Considérons un tore ferromagnétique de rayonmoyen R entouré de n spires jointives d’unconducteur électrique parcouru par un courant I.

http://www.cayrel.net/?Cours-P1-Mecanique

RRayonmoyen

= ?=




Loi n°1 : Théorème d’Ampère (2)


• •𝐼2

𝐼1

𝐻. 𝑙 = 𝑛1. 𝐼1 − 𝑛2. 𝐼2

Si le tore est entouré de n1 spires parcourues par un courant I1 et de n2 spires parcourues par

un courant I2 (on peut généraliser à k conducteurs) alors :

𝐻. 𝑙 = 𝑛1. 𝐼1 + 𝑛2. 𝐼2

ATTENTION, les contributions des courants peuvent être de signes différents en fonction

des sens des bobinages et des courants.

Pour simplifier la lecture des schémas on repère par un ‛•’ la borne de la bobine par laquelle

le courant doit entrer pour avoir une contribution positive sur H.

Loi n°1 : Théorème d’Ampère (3)


Si le tore est composé de tronçons de matériaux différents (perméabilités ) alors :

*

𝑙1r1

𝑛

𝐼

𝑙2r2

ATTENTION, il faut que « 𝑙1 + 𝑙2 » constitue un contour fermé.

𝐻1. 𝑙1 + 𝐻2. 𝑙2 = 𝑛 . 𝐼

*

𝑙1r1

𝑛

𝐼

𝑙2

r2

𝑙3

𝐻1. 𝑙1 +𝐻3. 𝑙3 = 𝑛 . 𝐼

Loi n°2 : Formule d’Hopkinson (*)


∅ = 𝐵. 𝑆𝐻. 𝑙 = 𝑛. 𝐼𝐵 = 𝜇.𝐻

𝑛. 𝐼 =𝑙

𝜇. 𝑆∅

(*) John Hopkinson (1849 - 1898) physicien anglais.

= réluctance du circuit magnétique

Unité = 1/H ou H-1

Formule d’Hopkinson : 𝑛. 𝐼 = ∅

Rque : dépend des propriétés magnétiques et des géométriques du circuit magnétique

Analogie Magnétique / Electrique


Electrique Magnétique

E = R I n.I =

𝑅 =𝑙

𝛾 𝑆 =𝑙

𝜇 𝑆

f.e.m. Force magnétomotrice

RéluctanceRésistance

ConductivitéPerméabilité

Cette analogie permet de ramener l’étude d’un circuit magnétique à celle d’un circuit électrique

n.I



Analogie Magnétique / Electrique (2)


http://www.etasc.fr/index.php?/page/cours/reluctanceParallele/physiqueGenerale:circuitMagn

2

n.I

D

G 1

2

𝑒𝑞 = 𝐺 +𝐷𝐶

𝐷+𝐶

et

∅ = ∅1 + ∅2

http://www.etasc.fr/index.php?/page/cours/reluctanceParallele/physiqueGenerale:circuitMagn

Entrefer dans un circuit magnétique


Dans certaines applications (machines tournantes, électro-aimants, stockage magnétique dans une inductance, … ) le circuit magnétique est constitué, volontairement ou non,

d’une (ou plusieurs) « petite » portion non magnétique appelée ENTREFER.

Epaisseur de l’entrefer faible

Pas de déformation des lignes de champs

Entrefer = tube de champ de même section que le circuit mag.

http://f.leplus.free.fr/resultats/cm_E.jpg

Rque : Entrefer ⇒ création de pôles magnétiques :

http://www.elharzli.com/structureMCC.php

http://f.leplus.free.fr/resultats/cm_E.jpg

http://www.elharzli.com/structureMCC.php

Entrefer dans un circuit magnétique (2)


I

n.I

fer

𝑛 𝐼 = 𝑓𝑒𝑟 +𝜀 ∅ =𝑙−𝜀𝜇𝑆 +

𝜀𝜇0𝑆

∅ ≅ 𝑙𝜇𝑆 +

𝜀𝜇0𝑆

∅

r du fer = 1000 et = l /1000 ⇒ 𝑓𝑒𝑟 = 𝜀

Un entrefer de 1mm consomme autant d’A.t qu’un circuit magnétique de 1m

Il faut éviter les entrefers

Rq

ue

:

Inductance à noyau de fer


L’inductance d’une spire parcourue par un courant I et traversée par un flux = 𝐿 = ∅𝐼

Bobine de n spires ⇒ ∅total = n ∅⇒ 𝐿 = 𝑛 ∅𝐼

𝑛 𝐼 = ∅ 𝐿 = 𝑛2

dépend de ⇒ L dépend de

L = cste tant que le circuit mag. n’est pas saturé

et

L ⇾ 0 qd le circuit mag. est saturé

Rq

ue

:

Bobine alimentée par une tension continue


*𝑛 𝐸

𝐼

𝐸 = 𝑛𝑑𝜑𝑑𝑡

𝜑 𝑡 = 𝐸𝑛𝑡

La tension impose le flux

𝑠𝑖 𝜑 0 = 0

Le flux impose le courant

𝑛 𝑖(𝑡) = 𝜑 𝑡

𝑖(𝑡) = 𝐸𝑛2𝑡

𝜑 𝑡

𝑡

i 𝑡

𝑡

Bobine alimentée par une tension continue (2)


En pratique :

𝜑 𝑡

𝑡𝑡𝑠𝑎𝑡

i 𝑡

𝑡

?


Circuits magnétiques en régime sinusoïdal

Circuits magnétiques en régime sinusoïdal


Les lois établies en régime continu restent valables en régime sinusoïdal, il suffit de remplacer les valeurs continues par les valeurs efficaces ou les amplitudes.

Apparition de 2 phénomènes qui modifient le comportement du circuit magnétique et créent des pertes dans le circuit magnétique (Pertes fer) : Hystérésis et courants de Foucault

MAIS

Phénomène d’hystérésis


Si un matériau ferromagnétique est soumis à une excitation sinusoïdale, la relation entre B et H est donnée par :

Aimantation non réversible

L’énergie nécessaire à l’aimantation du matériau > celle récupérée à la

désaimantation.

L’énergie perdue au cours d’un cycle est proportionnelle à la surface du cycle et

au volume de matériau.

(*) Rudolf Richter (1877-1957) génie électricien allemand.

Surface du cycle pas simple à déterminer ⇒ formule empirique de Richter(*) :

𝑷𝒉 = 𝒌𝟏𝑽𝒇𝑩𝒎𝒂𝒙 + 𝒌𝟐𝑽𝒇𝑩𝒎𝒂𝒙𝟐

qui peut se réduire pour les fortes valeurs de Bmax (≥ 1 𝑇) à : 𝑷𝒉 = 𝒌𝟐𝑽𝒇𝑩𝒎𝒂𝒙𝟐

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hysteresiskurve.svg

Cycle d’Hystérésis

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hysteresiskurve.svg

Courant de Foucault (*)


Les matériaux magnétiques ont généralement une bonne conductivité électrique(ex. 4.5 10-9 Ω.m pour le Permalloy 45 à comparer au 17 10-9 Ω.m du cuivre)

Matériaux magnétiques ≃ conducteurs électriques

On peut imaginer un nombre infini de « spires électriques » dans la section d’un circuit magnétique traversées par un flux variable

f.e.m induites (loi de Faraday) ⇒ courants appelés courants de Foucault ou « eddy curents ».

(*) Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868) physicien et astronome français.

B

if

Spire

imaginaire

Courants de Foucault

Pertes : 𝑝𝑓 =𝑓𝑒𝑚2

𝑅= 𝑘

𝑆2

𝑙

avec S = surface spire et 𝑙 = longueur spire

Courant de Foucault (2)


Circuit magnétique feuilleté (tôles de qqs vernies)

𝒑𝒇 = 𝒌 (𝒆. 𝒇. 𝑩𝒎𝒂𝒙𝟐 )

http://hibiscustour.pagesperso-orange.fr/hibcurc/physic7.htm

Réduire les pertes par courants de Foucault

http://hibiscustour.pagesperso-orange.fr/hibcurc/physic7.htm

Les expressions des pertes par hystérésis et par courant de Foucault sont approximatives

Les « datasheets » des matériaux magnétiques fournissent les pertes fer globales (ph + pf) par unité de volume ou de masse = pertes spécifiques

Pertes fer


Ex : Diagramme des pertes spécifiques pour un matériau 3C90 (Manganèse Zinc) de chezFerroxcube (http://www.ferroxcube.com).

http://www.ferroxcube.com/

Bobine à noyau de fer alimentée en tension sinus : Forme du courant


Matériau sans hystérésis

http://www.phytem.ens-cachan.fr/cours_archives.htm#Docs_IETI


Bobine à noyau de fer alimentée en tension sinus : Forme du courant (2)


Matériau avec hystérésis



∅𝑀 =𝑉𝑀𝑛 𝜔

=2𝑉

𝑛 2 𝜋 𝑓 𝑉 ≅ 4.44 𝑛 𝑓 ∅𝑀

Relation de Boucherot


*𝑛

𝑣(𝑡)

𝑖(𝑡)𝜑(𝑡)

~

Si on néglige la résistance de la bobine on peut écrire :

𝑣 𝑡 = 𝑛𝑑 𝜑(𝑡)

𝑑𝑡

𝑣 𝑡 = 𝑉𝑀 sin𝜔𝑡 𝜑 𝑡 =𝑉𝑀

𝑛𝜔sin(𝜔𝑡 −

𝜋

2)

∅𝑀

𝑉

𝐼

!!! ATTENTION !!! Valeur maximale du flux


Aimants permanents

aimant permanent = matériau magnétique dur (cycle hystérésis large)

Induction rémanente et excitation coercitive importantes

Définition


http://stanis.lyszyk.free.fr/magnetisme/cours/index_magnetisme1_cours.htm

http://stanis.lyszyk.free.fr/magnetisme/cours/index_magnetisme1_cours.htm

Caractéristiques des aimants permanents


Matériaux Br (T) Hc (kA/m)T° de Curie

(°C)Remarques diverses

Aciers 10-3 à 0,02 6 à 19 750 Anciens aimants

Ferrites 0,2 à 0,4 200 300 Les moins chers

Alnico 1,2 50 750 à 850 Se démagnétisent trop facilement

Samarium cobalt

0,5 800 700 à 800 Prix élevé à cause du cobalt

Néodyme fer bore

1,3 1500 310Prix en hausse (terres rares), sujet à l'oxydation

https://fr.wikipedia.org/wiki/Aimant_permanent

https://fr.wikipedia.org/wiki/Aimant_permanent

Conservation du flux au passage fer / aimant 𝐵𝑓 𝑒𝑡 𝐵𝑎 ont la même direction

Circuit magnétique comportant un aimant permanent


*𝑙𝑎

𝑙𝑓

f

Aimant permanent

Matériau magnétique

Th. d’Ampère :

𝐻𝑎 𝑙𝑎 + 𝐻𝑓 𝑙𝑓 = 0

𝐻𝑎 = − 𝐻𝑓𝑙𝑓𝑙𝑎

⇓

Dans le matériau magnétique 𝐵𝑓 = 𝜇𝐻𝑓

Donc 𝐻𝑎 𝑒𝑡 𝐵𝑎 sont de directions opposées

Circuit magnétique comportant un aimant permanent (2)


Point de fonctionnement de l’aimant = ?

𝐻𝑎 𝑙𝑎 + 𝐻𝑓 𝑙𝑓 = 0

𝐵𝑎 𝑆𝑎 = 𝐵𝑓 𝑆𝑓

𝐻𝑎 𝑙𝑎 = −𝑯𝒇 𝑙𝑓 = −𝑩𝒇

𝜇𝑓𝑙𝑓

𝐻𝑎 𝑙𝑎 = −𝐵𝑎

𝑆𝑎𝑆𝑓

𝜇𝑓𝑙𝑓

𝒇

𝐻𝑎 𝑙𝑎 = −𝐵𝑎𝑆𝑎𝑙𝑓

𝜇𝑓𝑆𝑓

𝐵𝑎 = −𝐻𝑎𝑙𝑎𝑆𝑎

1

𝑓

𝐵

𝐻

𝐵𝑟

-𝐻𝑐

Droite de charge de l’aimant

Hypothèse :

𝐵𝑎 = 𝐵𝑟 +𝐵𝑟𝐻𝑐𝐻𝑎 ≅ 𝐵𝑟 + 𝜇0𝐻𝑎

𝐵a

𝐻𝑎

𝐵𝑟

−𝐻𝑐

Modèle électrique d’un aimant permanent


*𝑙𝑎

𝑙𝑓

f

Aimant permanent Matériau magnétique

a

Fmma

f

Ua

𝑈𝑎 = 𝑓 ∅ =𝑙𝑓

𝜇𝑓𝑆𝑓𝐵𝑓𝑆𝑓

𝑈𝑎 =𝐵𝑓

𝜇𝑓𝑙𝑓 = 𝐻𝑓 𝑙𝑓 = −𝐻𝑎 𝑙𝑎

réaliste pour les aimants terre rare

𝑝𝑒𝑛𝑡𝑒 ≅ 𝜇0

?

= 𝐻𝑐𝑙𝑎 −𝑙𝑎

𝐵𝑟𝐻𝑐𝑆𝑎∅𝑎

Modèle électrique d’un aimant permanent (2)


𝐵𝑎 = 𝐵𝑟 +𝐵𝑟𝐻𝑐𝐻𝑎

𝑈𝑎 = 𝐹𝑚𝑚𝑎 −𝑎 ∅

~ 𝜇0

𝑎

= 𝐻𝑐𝑙𝑎 −𝐻𝑐𝑙𝑎𝐵𝑟

𝐵𝑎=𝐻𝑐𝐵𝑟

𝐵𝑟 − 𝐵𝑎 𝑙𝑎𝑈𝑎 = −𝐻𝑎𝑙𝑎

a

Fmma

f

Ua

Fonctionnement « optimal » d’un aimant : critère d’Evershed(*)

41

(*) Sydney Evershed (1857 – 1939) ingénieur anglais

𝐵𝑎𝑆𝑎 = 𝐵𝑓𝑆𝑓

𝐻𝑎𝑙𝑎 = −𝐻𝑓𝑙𝑓

𝐵𝑓 = 𝜇𝑓 𝐻𝑓

𝐻𝑎𝑙𝑎𝐵𝑎𝑆𝑎 = −𝐻𝑓𝑙𝑓𝐵𝑓𝑆𝑓 𝑆𝑎𝑙𝑎 = 𝑙𝑓𝑆𝑓𝐵𝑓2

𝜇𝑓

1𝐻𝑎𝐵𝑎

Quel est le volume minimal d’aimant nécessaire pour créer un induction Bf (ou un flux f)dans le circuit magnétique ?

Cste

Donc volume aimant mini 𝑯𝒂𝑩𝒂 maxi

Fonctionnement « optimal » d’un aimant : critère d’Evershed (2)

42

Evershed a montré que le point correspondant à 𝐻𝑎𝐵𝑎 maxi peut être déterminégraphiquement.

𝐵

𝐻

𝐵𝑟

-𝐻𝑐

𝐵𝑎𝑜𝑝𝑡

𝐻𝑎𝑜𝑝𝑡

Le point de fonctionnement est aussi sur la droite de charge de l’aimant (cf diapo 38)

⇓𝑆𝑎𝑜𝑝𝑡 = 𝑙𝑜𝑝𝑡

1

𝐵𝑎𝑜𝑝𝑡𝐻𝑎𝑜𝑝𝑡

1

𝑓

𝑉𝑎𝑚𝑖𝑛 = 𝑙𝑓𝑆𝑓𝐵𝑓2

𝜇𝑓

1


⇓𝑆𝑎𝑜𝑝𝑡

2 = 𝑉𝑎𝑚𝑖𝑛1


1

𝑓

Exercice 1

43

Un circuit magnétique, supposé parfait, est constitué par un tore en acier doux deperméabilité relative r = 1590, de section S=10cm2, et de longueur moyenne L=50cm. Ce toreest entouré de n=250 spires d’un conducteur électrique parcouru par un courant continu I.1. Calculer les valeurs de l’induction (B), de l’excitation (H) et du courant I lorsque le flux

magnétique dans le tore est de 0,001 Wb.2. On effectue un entrefer de 0,1 cm dans le circuit magnétique. Calculez, en faisant

l’hypothèse que les lignes de champ ne se déforment pas au passage de l’entrefer, lecourant I’ qu’il faut faire circuler dans le bobinage pour conserver le flux de 0,001 Wb.Calculer les valeurs de B et H dans les 2 parties du tore (matériau magnétique et entrefer).

Rappel : La perméabilité de l’air est 0 = 4 10-7 H/m

Exercice 2

44

On considère le circuit magnétique, supposé parfait, de la figure ci-dessous. Lescaractéristiques connues des branches sont les suivantes :

Branche B : LB = 50cm, SB = 4cm2, B = perméabilité = 5 10-3 H/m.

Branche C : LC =20cm.

La branche A est entourée par 1400 spires parcourues par un courant de 1,5A.

1. Donner le schéma électrique équivalent de ce circuit magnétique.

2. Donner la relation entre les flux dans les branches A, B et C, respectivement A, B et C.

3. La réluctance totale du circuit magnétique étant égale à 700 103 H-1, déterminez A.

4. Sachant que la réluctance de la branche B est 2 fois plus grande de celle de la branche C,déterminez la relation qui lie B à C. Calculez B et C.

5. A l’aide du théorème d’Ampère, déterminez la relation entre HB et HC, l’excitationmagnétique dans les branches B et C. Calculer HB et HC.

I

Branche A

Branche B

Branche C

Exercice 3

45

On s’intéresse au circuit magnétique d’une machine à courant continu (figure 3-1), supposéidéal, qui comporte un aimant permanent dont la caractéristique est donnée sur la figure 3-2,avec Hc = 16 103 A/m et Br = 0,8 T.Les caractéristiques du circuit magnétique sont les suivantes :Pièces polaires du stator et du rotor : r >> 1Entrefers : Section moyenne = 10 cm2, épaisseur totale = 2 mm.

Figure 3-1 :(http://alain.canduro.free.fr) Figure 3-2

1- Donnez un schéma du circuit magnétique et indiquez le sens de B et H sur la ligne de champmoyenne, dans les différentes parties du circuit (Aimant, fer rotor, fer stator, entrefer). Onpourra simplifier le schéma en représentant un seul entrefer. Justifiez le sens des vecteurs.

2- Calculer la relation qui relie B et H dans l’aimant pour H [-Hc 0].

3- Déterminer le point de fonctionnement optimal de l’aimant.

-

http://alain.canduro.free.fr/

Exercice 3 (2)

46

On souhaite obtenir une induction de 0,5 T dans l’entrefer du circuit magnétique.

4- Calculer le flux magnétique dans l’entrefer.

5- Déterminer la section de l’aimant (Sa)qui conduit à son fonctionnement optimal.

6- Donner le schéma électrique équivalent (Hopkinson) du circuit de la machine àcourant continu.

En déduire la relation entre Ua, la différence de potentiel magnétique aux bornes del’aimant, et e, la réluctance globale des entrefers.

7- Calculez e et en déduire la valeur de Ua.

8- Déterminer la relation entre Ha et He, l’excitation magnétique dans l’aimant etdans l’entrefer.

9- Déterminer la relation entre Ua et Ha.

10- Déduire de la question précédente, la longueur La de l’aimant qui permet unfonctionnement optimal de ce dernier.

11- En utilisant la caractéristique magnétique de l’aimant permanent calculée à laquestion 2, exprimez Ua en fonction des caractéristiques géométriques (Sa et La) etmagnétiques (Hc et Br) de l’aimant, et du flux.

En déduire l’expression de la force magnétomotrice de l’aimant (FMMa) et sa réluctanceéquivalente (a).

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