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Espaces vectoriels normés 1

ESPACES VECTORIELS NORMES

Dans tout le chapitre, E désigne un espace vectoriel sur ou =K .

I - Espaces vectoriels normés

1) Norme

Définition : On appelle norme sur un espace vectoriel E toute application N de E dans + qui vérifie :

1. ExxNEx 00)( =⇒=∈∀ . (séparation)

2. )()( xNxNKEx λ=λ∈λ∀∈∀ . (homogénéité)

3. )()()(),( 2 yNxNyxNEyx +≤+∈∀ . (inégalité triangulaire)

Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel muni d’une norme.

Exemples : La valeur absolue sur ou le module sur .

La norme euclidienne associée à un produit scalaire.

Remarque : On verra que toutes les normes ne sont pas associées à un produit scalaire.

Propriétés : ExxNEx 00)( =⇔=∈∀ .

)()()(),(2

yxNyNxNEyx +≤−∈∀ .

Démonstration :

• Pour montrer que 0)(0 =⇒= xNx E , il suffit d’utiliser 2 pour 0=λ .

• )()( yyxx −++= donc )()()( yNyxNxN ++≤ car )()( yNyN =− .

)()( xyxy −++= donc )()()( xNyxNyN ++≤ car )()( xNxN =− .

Donc )()()( yxNyNxN +≤− et )()()( yxNxNyN +≤− .

Donc )()()(),(2

yxNyNxNEyx +≤−∈∀ .

Définition : Dans un espace vectoriel normé, un vecteur x est unitaire si 1)( =xN .

Pour tout Ex 0≠ , il existe au moins deux vecteurs unitaires colinéaires à x : xxN )(

1± .

Définition : Si F est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé E, la

restriction à F de la norme de E est une norme sur F, appelée norme induite.

Evident car les propriétés sont vraies pour tous les éléments de E, donc pour ceux de F.

La norme induite sur F sera notée comme la norme sur E.

Théorème : Si ∏=

=p

k

kEE1

est un produit d’espaces vectoriels kE normés par la norme

kN , l’application N définie sur E par )(Max)(1

kkpk

xNxN≤≤

= si ),...,( 1 pxxx = est une

norme sur E appelée norme produit.

Démonstration : C’est évidemment une application de E dans + .

• 0)( =xN si et seulement si 0)(,1 =∈∀ kk xNpk TP , donc si kEkxpk 0,1 =∈∀ TP ,

donc si Ex 0= .

• Soit 0≠λ : )(Max)(Max)(11

kkpk

kkpk

xNxNxN λ=λ=λ≤≤≤≤

. Or )()(,1 xNxNpk kk ≤∈∀ TP .

Donc : )()( xNxNEx λ≤λ∈∀ . Donc : )(11

xNxNEx λλ

≤

λ

λ∈∀ .

Donc : )()( xNxNEx λ≤λ∈∀ . Donc si 0≠λ , on a )()( xNxNEx λ=λ∈∀ .

Pour 0=λ , l’égalité est évidente. Donc : )()( xNxNKEx λ=λ∈λ∀∈∀ .

Catherine LAIDEBEURE - 2013


• )(Max)(1

kkkpk

yxNyxN +=+≤≤

. Or )()()(,1 kkkkkkk yNxNyxNpk +≤+∈∀ TP .

Donc )()()(,1 yNxNyxNpk kkk +≤+∈∀ TP . Donc )()()( yNxNyxN +≤+ .

Conséquence : Sur nK , l’application définie par knk

xxN≤≤

=1Max)( est une norme.

Mais il en existe d’autres comme par exemple la norme euclidienne ∑=

=n

k

kxxN1

2)( .

On peut les comparer, ce qui permettra de comparer les propriétés associées.

Définition : Deux normes 1N et 2N sont équivalentes s’il existe deux réels strictement

positifs a et b tels que : )()()( 221 xbNxNxaNEx ≤≤∈∀ .

On vérifie facilement que c’est une relation d’équivalence.

Exemple : Sur nK , notons knk

xxN≤≤

=1

1 Max)( et ∑=

=n

k

kxxN1

2

2 )( .

Le maximum des kx est atteint, donc jknk

xx =≤≤1

Max et jk xxnk ≤∈∀ TP ,1 .

Donc : 2

1

22

j

n

k

kj xnxx ≤≤∑=

. Donc )()()( 221 xNnxNxNEx ≤≤∈∀ .

Donc les deux normes sont équivalentes.

2) Distance associée

Définition : On appelle distance sur E associée à la norme N l’application définie par :

)(),(),( 2 yxNyxdEyx −=∈∀ .

La définition est analogue à celle de la distance euclidienne.

Propriétés : yxyxdEyx =⇔=∈∀ 0),(),( 2 .

),(),(),( 2 xydyxdEyx =∈∀ .

),(),(),(),,( 3 zydyxdzxdEzyx +≤∈∀ . (inégalité triangulaire)

• 0),( =yxd si et seulement si Eyx 0=− , donc si yx = .

• ),()()(),(),( 2 yxdyxNxyNxydEyx =−=−=∈∀ .

• )()()()(),(),,( 3 zyNyxNzyyxNzxNzxdEzyx −+−≤−+−=−=∈∀ .

donc ),(),(),(),,( 3 zydyxdzxdEzyx +≤∈∀ .

Si A est une partie non vide de E et si Ax ∈ , alors Ayyxd ∈/),( est une partie non

vide de + , donc minorée par 0. Donc elle possède une borne inférieure.

Définition : Si A est une partie non vide de E et si Ax ∈ , on appelle distance de x à la

partie A le réel : AyyxdAxd ∈= /),(Inf),( .

3) Boules

Définition : Soit Ea ∈ et un réel 0>r :

- L’ensemble raxExraB <−∈= /),( est appelé boule ouverte de centre a et de rayon r.

- L’ensemble raxExraB f ≤−∈= /),( est appelé boule fermée de centre a et de rayon r.

Exemple : Si 2=E , représenter les boules

)1,0(B pour chacune des trois normes

usuelles :

1N en vert, 2N en rouge, ∞N en bleu.



Propriétés :

a) L’intersection de deux boules ),( 1raB et ),( 2raB de même centre a est la boule

),( raB de centre a et de rayon ),(Min 21 rrr = .

b) Si 21 aa ≠ , il existe un réel 0>r tel que =∩ ),(),( 21 raBraB .

c) Pour tout point x d’une boule ouverte ),( raB , il existe un réel 0>ε tel que la

boule ouverte ),( εxB soit entièrement contenue dans ),( raB .

Démonstration : La propriété a) est évidente.

Pour la propriété b), il suffit de prendre 213

1aar −= .

En effet, pour tout point ),( 1 raBx ∈ et tout point ),( 2 raBy ∈ , on a :

yxrayyxxaaa −+≤−+−+−≤− 22121 . Or raa 321 =− .

Donc : 0>≥− ryx . Donc yx ≠ . Donc =∩ ),(),( 21 raBraB .

Pour la propriété c), il suffit de prendre ][2

1xar −−=ε ( 0> car rxa <− ). Pour

tout ),( ε∈ xBy , on a : ε+−<−+−≤− xayxxaya .

Or ε−=− 2rxa . Donc : rrya <ε−<− . Donc ),( raBy ∈ .

Remarque : Cette propriété est fausse pour les boules fermées. En effet, si x appartient

à la frontière de ),( raB f , c’est-à-dire si rxa =− , toute boule de centre x et de

rayon ε contient des éléments extérieurs à ),( raB , donc n’est pas contenue dans

),( rAB . En effet )(2

axr

xy −ε

+= appartient à ),( εxB car 2

ε=− xy et

n’appartient pas à ),( raB car 2

ε+=− ray .

Définition : Une partie V de E est un voisinage d’un point Ea ∈ s’il existe une boule

ouverte de centre a contenue dans V.

L’ensemble des voisinages de Ea ∈ est noté )(aV . Il est stable par réunion et par

intersection finie.

4) Parties bornées

Définition : Une partie D de E est bornée s’il existe un réel K tel que KxDx ≤∈∀ .

Cela signifie qu’il existe une boule ),( KOB f contenant D. Il n’y a pas unicité de K,

donc la boule peut être ouverte ou fermée.

Plus généralement, s’il existe une boule ),( raB telle que ),( raBD ⊂ , alors pour tout

point x de D, on a axax −+≤ , donc rax +≤ .

Théorème : Une partie D de E est bornée si et seulement si il existe une boule

contenant D.

Exemples : Les boules ouvertes ou fermées sont des parties bornées de E.

Tout segment ],[ BA est une partie bornée de 2 pour la norme euclidienne.

Propriétés :

a) L’intersection d’un nombre fini ou infini de parties bornées est une partie bornée.

b) La réunion d’un nombre fini de parties bornées est une partie bornée.

L’intersection est contenue dans n’importe quelle partie, donc dans une boule.

Si Un

i

iDD1=

= et si pour tout TP ni ,1∈ , les parties iD sont bornées, donc s’il existe

0>ir tel que ),0( iEi rBD ⊂ , alors ),0( rBD E⊂ avec ),...,Max( 1 nrrr = .



Théorème : Si 1D , ..., pD sont des parties bornées des espaces vectoriels normés

),( 11 NE , ..., ),( pp NE , alors pDDD ××= ...1 est une partie bornée de pEEE ××= ...1

muni de la norme produit.

Démonstration : Soit Dx ∈ . Donc ),...,( 1 pxxx = et kk Dxpk ∈∈∀ TP ,1 .

Or, quel que soit k, kD est bornée, donc il existe 0>km tel que kkk mxN ≤)( .

Donc : kpk

mxN≤≤

≤1Max)( . Donc D est une partie bornée de E.

II - Normes usuelles

1) Normes usuelles sur Kn

Il existe 3 normes usuelles sur nK . Si ),...,( 1 nxxx = :

∑=

==n

k

kxxxN1

11 )( ∑=

==n

k

kxxxN1

2

22 )( knk

xxxN≤≤∞∞ ==

1Max)(

On a vu que 2N et ∞N sont des normes équivalentes : )()()( 2 xNnxNxNEx ∞∞ ≤≤∈∀ .

1N est évidemment une application de E dans + . Elle vérifie :

• 0)(1 =xN si et seulement si 0,1 =∈∀ kxnk TP , donc si 0,1 =∈∀ kxnk TP , donc

si Ex 0= .

• )()( 1

11

1 xNxxxNn

k

k

n

k

k λ=λ=λ=λ ∑∑==

.

• ∑=

+=+n

k

kk yxyxN1

1 )( , donc ∑=

+≤+n

k

kk yxyxN1

1 )()( , donc )()()( 111 yNxNyxN +≤+ .

Donc 1N est aussi une norme sur nK .

De plus : )()()( 1 xnNxNxNEx ∞∞ ≤≤∈∀ . Donc 1N et ∞N sont équivalentes.

Théorème : Les trois normes 1N , 2N et ∞N sont équivalentes.

Conséquence : On peut en déduire trois normes équivalentes dans tout espace vectoriel

normé de dimension n car les calculs seront identiques.

2) Normes usuelles sur les polynômes

][XK n est un espace vectoriel de dimension 1+n . Donc avec la remarque précédente :

Il existe 3 normes usuelles équivalentes sur ][XK n . Si ∑=

=n

k

k

k XaP0

:

∑=

==n

k

kaPPN1

11 )( ∑=

==n

k

kaPxN1

2

22 )( knk

aPxN≤≤∞∞ ==

1Max)(

Plus généralement, on peut définir des normes analogues sur ][XK .

Les polynômes peuvent s’écrire ∑+∞

=

=0k

k

k XaP où la suite )( ka est à support fini.

Il existe 3 normes usuelles sur ][XK . Si ∑+∞

=

=0k

k

k XaP :

∑+∞

=

==0

11 )(k

kaPPN ∑+∞

=

==0

2

22 )(k

kaPPN kk

aPPN∈∞∞ == Max)(

Elles ne sont pas équivalentes, mais : )()()(][ 12 PNPNPNXKP ≤≤∈∀ ∞ .

1N , 2N et ∞N sont des normes (démonstration analogue aux précédentes).



( )2

00

22Max

≤≤ ∑∑

∞+

=

∞+

=∈

k

k

k

kkk

aaa

(sommes finies) donc )()()( 12 PNPNPN ≤≤∞ .

Mais, si nXXP ...1 ++= , alors 1)(1 += nPN , 1)(2 += nPN et 1)( =∞ PN . Donc

∞N

N1 et ∞N

N 2 ne sont pas bornées. Donc les normes ne sont pas équivalentes.

3) Normes usuelles sur les matrices

On a bien sûr la norme euclidienne sur )(, KpnM : ∑===ji

ji

taAAAAN

,

2

,22 )(Tr)( .

On considère )(, KpnM comme espace produit p

n K )]([ 1,M et on munit )(1, KnM de la

norme ∑=

=n

k

kxX1

1, on obtient comme norme produit : ∑

=≤≤

==n

i

jipj

aAAN1

,111 Max)( .

On considère )(, KpnM comme espace produit n

p K )]([ ,1M et on munit )(,1 KpM de la

norme ∑=

=p

k

kxX1

1, on obtient comme norme produit : ∑

=≤≤∞∞ ==

p

j

jini

aAAN1

,1Max)( .

Il existe trois normes usuelles sur )(, KpnM . Si )( , jiaA = : ∑=

≤≤==

n

i

jipj

aAAN1

,111 Max)(

∑===ji

ji

taAAAAN

,

2

,22 )(Tr)( ∑=

≤≤∞∞ ==p

j

jini

aAAN1

,1Max)(

Ces trois normes sont équivalentes.

En effet : ∑ ∑∑ ∑∑= == =

=

=

p

j

n

i

ji

n

i

p

j

ji

ji

ji aaa1 1

2

,

1 1

2

,

,

2

, .

Donc )()()( 121 ANpANAN ≤≤ et )()()( 2 ANnANAN ∞∞ ≤≤ .

4) Autres normes usuelles

Sur l’espace vectoriel ),(1 Kl des suites sommables : ∑+∞

=

=0

1n

nuu .

Sur l’espace vectoriel ),(2 Kl des suites de carré sommable : ∑+∞

=

=0

2

2n

nuu .

Sur l’espace vectoriel ),( K∞l des suites bornées : nn

uu∈∞

== Max .

Ces trois normes ne sont pas équivalentes.

Soit I un intervalle de .

Sur l’espace vectoriel ),(1 KIL des fonctions continues et intégrables : ∫=I

dttff )(1

.

Sur l’espace vectoriel ),(2 KIL des fonctions continues de carré intégrable : ∫=I

dttff2

2)( .

Sur l’espace vectoriel ),( KIL∞ des fonctions bornées : )(Sup tffI

=∞

.

Ces trois normes ne sont pas équivalentes.

III - Suites convergentes

Dans ce paragraphe, E est un espace vectoriel muni d’une norme notée .

1) Définitions

Définition : Une suite ∈nnx )( d’éléments de E est convergente s’il existe un point

E∈l tel que : ε≤−≥∀∈∃>ε∀ lnxnnn 000 . Catherine LAIDEBEURE - 2013


Supposons qu’il existe deux éléments distincts 1l et 2l qui conviennent. Soit 0>ε .

Donc ε≤−≥∀∈∃ 111 lnxnnn et ε≤−≥∀∈∃ 222 lnxnnn .

Donc ε≤−+−≤−≥∀ 2),Max( 212121 llll nn xxnnn .

Or ceci n’est pas possible, par exemple si 213

1ll −=ε .

Théorème : Si une suite )( nx converge vers l , alors l est unique.

On parlera donc de la limite de la suite convergente et on note : nn

x+∞→

= liml .

Définition : On appelle suite extraite de )( nx toute suite de la forme )( )(nxϕ où ϕ est

une application strictement croissante de dans .

Si une suite )( nx converge vers l , alors toute suite extraite converge vers l .

Mais la convergence d’une suite extraite ne prouve pas la convergence de la suite.

Définition : Une suite )( nx d’éléments de E est divergente si elle n’est pas

convergente, donc si : ε>−≥∃∈∀>ε∃∈∀ ll nxnnnE 000 .

Si deux suites extraites convergent vers deux limites distinctes, la suite diverge.

2) Propriétés

Théorème : Si une suite converge vers l pour une norme, elle converge vers l pour

toute norme équivalente.

C’est évident car il existe 0>a et 0>b tels que 121

xbxxaEx ≤≤∈∀ .

Donc ε≤−⇒ε

≤−21

ll nn xb

x et ε≤−⇒ε≤−12

ll nn xax .

Donc 0lim0lim21

=−⇔=−+∞→+∞→

ll nn

nn

xx .

Donc pour étudier une convergence, on peut choisir n’importe quelle norme

équivalente.

Théorème : L’ensemble des suites convergentes de E est un espace vectoriel et

l’application qui à toute suite convergente associe sa limite est linéaire.

Démonstration : Si )( nx et )( ny sont deux suites convergentes de limites l et 'l et si

0−∈λ K , on pose : nnn yxzn +λ=∈∀ .

Pour tout 0>ε : λ

ε≤−≥∀∈∃

211 lnxnnn et

2'22

ε≤−≥∀∈∃ lnynnn .

Donc ε≤−+−λ≤−λ−≥∀ ''),Max( 21 llll nnn yxznnn .

La suite )( nz converge vers 'll +λ .

Si 0=λ , la propriété est évidente.

Théorème : Toute suite convergente ∈nnx )( d’éléments de E est une suite de Cauchy :

ε≤−≥∀≥∀∈∃>ε∀ qp xxnqnpn 0000 .

Si la suite )( nx converge : 2

0 00

ε≤−≥∀∈∃>ε∀ lnxnnn .

Donc si 0np ≥ et 0nq ≥ : ε≤−+−≤− qpqp xxxx ll .

Remarque : La réciproque est fausse.

Théorème : Toute suite convergente est bornée.

Démonstration : Soit 1=ε , donc : 100 ≤−≥∀∈∃ lnxnnn .

Soit ),...,,1Max(00 ll −−= nxxr . Donc : rxn n ≤−∈∀ l .



Théorème de Bolzano-Weierstrass : De toute suite bornée de réels, on peut extraire

une sous-suite convergente.

Démonstration : On procède par dichotomie. Soit )( nx une suite bornée de réels.

Donc )( nx une suite d’éléments de ],[ ba avec ba < . Soit 0)0( =ϕ .

L’un au moins des intervalles

+

2,

baa et

+b

ba,

2 contient une infinité d’éléments de

la suite (il existe une infinité d’indices tels que nx soit dans l’intervalle). Soit 1I cet

intervalle et 1/*Min)1( Ixn n ∈∈=ϕ . Donc )1()0( ϕ<ϕ .

On partage 1I en deux et l’un des deux intervalles contient une infinité d’éléments de la suite.

Soit 2I cet intervalle et 2et )1(/Min)2( Ixnn n ∈ϕ>∈=ϕ . Donc )2()1( ϕ<ϕ .

Ainsi, de proche en proche, on construit une suite d’intervalles emboités ],[ nnn baI =

de longueur n2

1 et une application ϕ strictement croissante de dans telle que

nn Ixn ∈∈∀ ϕ )( , donc nnn bxa ≤≤ ϕ )( .

Les suites )( na et )( nb sont adjacentes, donc convergent vers la même limite

],[ ba∈l . Donc la suite )( )(nxϕ extraite de )( nx converge vers ],[ ba∈l .

IV - Applications continues

1) Définitions

Définition : Un point Ea ∈ est adhérent à une partie ≠A de E si ≠∩>∀ AraBr ),(0 .

Remarque : Tout point de A est adhérent à A.

Exemple : Tout point x vérifiant rax =− est adhérent à ),( raBA = .

En effet, si r>ε , la boule ),( εxB contient a.

Et, si r≤ε , la boule ),( εxB contient )(2

axr

xy −ε

−= car 2

ε=− xy , et y

appartient ),( raB car 2

ε−=− ray , donc ray <− .

Soient ),(E

E et ),(F

F deux espaces vectoriels normés.

Définition : Une application f d’une partie ≠A de E dans F admet en un point Ea ∈

adhérent à A une limite F∈l si : ε≤−⇒α≤−∈∀>α∃>ε∀FE

xfaxAx l)(00 .

Supposons qu’il existe deux éléments distincts 1l et 2l qui conviennent. Soit 0>ε .

Donc : ε≤−⇒α≤−∈∀>α∃FE

xfaxAx 111 )(0 l .

Et ε≤−⇒α≤−∈∀>α∃FE

xfaxAx 222 )(0 l . Donc :

ε≤−+−≤−⇒αα≤−∈∀ 2)()(),Min( 212121 FFFExfxfaxAx llll .

Or ceci n’est pas possible, par exemple si 213

1ll −=ε .

Théorème : Si une application admet en a une limite l , alors l est unique.

On parlera donc de la limite de l’application et on note : )(lim xfax→

=l .

Caractérisation séquentielle : Une application f d’une partie ≠A de E dans F admet

en Aa ∈ une limite l si et seulement si, pour toute suite )( nx d’éléments de A qui

converge vers a, la suite ))(( nxf est convergente vers l .

Démonstration :

⇒ Soit f une application qui admet en Aa ∈ une limite l .



Donc : ε≤−⇒α≤−∈∀>α∃>ε∀FE

xfaxAx l)(00 .

Soit une suite )( nx d’éléments de A qui converge vers a.

Donc : α≤−≥∀∈∃>α∀ axnnn n000 .

Donc : ε≤−≥∀∈∃>ε∀Fnxfnnn l)(0 00 . Donc l=

+∞→)(lim n

nxf .

⇐ Soit f une application définie sur A telle que, pour toute suite )( nx d’éléments de

A qui converge vers a, la suite ))(( nxf soit convergente vers l .

On raisonne par l’absurde, en supposant que f n’admet pas l pour limite en a.

Donc : ε>−α≤−∈∃>α∀>ε∃FE

xfaxAx l)(et 00 .

Donc : ε>−+

≤−∈∃∈∀>ε∃FnEnn xf

naxAxn l)(et

1

10 .

Donc on aboutit à une contradiction car on a construit une suite )( nx d’éléments de A

qui converge vers a et la suite ))(( nxf ne converge pas vers l .

Donc f admet l pour limite en a.

Définition : Une application f d’une partie ≠A de E dans F est continue en Aa ∈ si

elle admet en a une limite. Alors )()(lim afxfax

=→

.

En effet, si Aa ∈ (donc a est adhérent à A) et si f admet une limite l en a, alors :

ε≤−>ε∀F

af l)(0 . car ax = vérifie α≤−E

ax pour tout 0>α .

Donc )(af=l .

Caractérisation séquentielle : Une application f d’une partie ≠A de E dans F est

continue en Aa ∈ si et seulement si, pour toute suite )( nx d’éléments de A qui

converge vers a, la suite ))(( nxf est convergente vers )(af .

C’est la caractérisation de la limite.

Définition : Une application f d’une partie ≠A de E dans F est continue sur A si

elle est continue en tout point de A.

Exemple : L’application f de E dans définie par xxf =)( est continue sur E.

En effet : axaxafxfEax −≤−=−∈∀ )()(),( 2 .

Donc pour tout a de E : ε≤−⇒α≤−∈∀ε=α∃>ε∀ )()(0 afxfaxEx .

Plus généralement le raisonnement sera le même pour toute fonction vérifiant

EFaxkafxfEax −≤−∈∀ )()(),(

2 où k est un réel positif.

Définition : Etant donné un réel 0>k , une application est k-lipschitzienne de E dans

F si EF

yxkyfxfEyx −≤−∈∀ )()(),(2

.

Exemple : La norme est 1- lipschitzienne de E dans .

Toute combinaison linéaire d’applications lipschitziennes de E dans F est lipschitzienne :

FFFygxgyfxfygfxgfEyx )()()()())(())((),(

2 −+−λ≤+λ−+λ∈∀

Donc si f est k-lipschitzienne et g est k’-lipschitzienne :

EFyxkkygfxgfEyx −+λ≤+λ−+λ∈∀ )'())(())((),(

2.

Si f est k-lipschitzienne de E dans F et si g est k’-lipschitzienne de F dans G, la

composée fg o est lipschitzienne de E dans G :

EFGyxkkyfxfkyfgxfgEyx −≤−≤−∈∀ ')()('))(())((),(

2 oo .

Théorème : Toute application k-lipschitzienne de E dans F est continue sur E.

Démonstration identique à celle de la norme avec k

ε=α .



2) Propriétés

Théorème : Si une fonction admet en a une limite l pour une norme, elle admet la

même limite l pour toute norme équivalente.

Si une fonction est continue en a pour une norme, elle est continue en a pour toute

norme équivalente.

Même justification que pour les suites.

Donc pour étudier une limite, on peut choisir n’importe quelle norme équivalente.

Théorème : L’ensemble des fonctions définies sur A et qui admettent une limite en a

est un espace vectoriel et l’application qui à toute fonction associe sa limite est

linéaire.

L’ensemble des fonctions définies sur A et continues en Aa ∈ est un espace vectoriel.

Démonstration : Si f et g sont deux fonctions définies sur A de limites l et 'l en a et si

0−∈λ K , on pose : )()()( xgxfxhAx +λ=∈∀ .

Pour tout 0>ε : λ

ε≤−⇒α≤−∈∀>α∃

2)(0 11 FE

xfaxAx l .

Et : 2

')(0 22

ε≤−⇒α≤−∈∀>α∃

FExgaxAx l . Donc :

ε≤−+−λ≤−λ−⇒αα≤−∈∀FFFE

xgxfxhaxAx ')()(')(),(Min 21 llll .

Donc la fonction h admet en a la limite 'll +λ .

Si 0=λ , la propriété est évidente.

Dans le cas des applications linéaires : FF

yxfyfxfEyx )()()(),(2 −=−∈∀ .

Donc la continuité en tout point se ramène à la continuité en E0 .

Théorème Une application linéaire de E dans F est continue sur E si et seulement si

elle est continue en E0 : ε≤⇒α≤∈∀>α∃>ε∀FE

xfxEx )(00 .

Un cas particulier est celui des applications composantes.

Théorème : Si pEEE ××= ...1 est un produit d’espaces vectoriels normés, les

applications composantes kp : kp xxxx a),...,( 1= sont continues de E muni de la

norme produit dans ),( kk NE .

En effet, elles sont linéaires et )()]([ xNxpNEx kk ≤∈∀ car )(Max)(1

kkpk

xNxN≤≤

= .

Théorème Une application linéaire de E dans F est continue sur E si et seulement si elle

est bornée sur la boule unité )1,0( EfB : MxfxExMFE

≤⇒≤∈∀≥∃ )(10 .

Démonstration :

⇒ Soit f une application linéaire continue sur E. Donc elle est continue en E0 .

Donc : 1)(0 ≤⇒α≤∈∀>α∃FE

xfxEx . Or : α≤α∈∀ xBx Ef )1,0( .

Donc 1)()1,0( ≤α∈∀FEf xfBx , donc 1)( ≤α

Fxf , donc

α≤

1)(

Fxf .

⇐ Soit f une application linéaire bornée sur la boule unité.

Donc : MxfxExMFE

≤⇒≤∈∀≥∃ )(10 .

Or : )1,0(1

0 Ef

E

E Bxx

Ex ∈−∈∀ , donc Mxx

fEx

FE

E ≤

−∈∀

10 .

Par linéarité : Mxfx

Ex

FE

E ≤−∈∀ )(1

0 , donc EFE xMxfEx ≤−∈∀ )(0 .

Donc EF

xMxfEx ≤∈∀ )( . Donc : ε≤⇒α≤∈∀ε

=α∃FE

xfxExM

)( .



Donc f est continue en E0 , donc continue sur E.

Donc si f est linéaire et continue, )1,0(/)( EfFBxxf ∈ est une partie non vide

majorée de + , donc admet une borne supérieure.

Théorème : L’application qui à toute application f linéaire de E dans F et continue sur

E associe le réel )1,0(/)(Sup)( EfFBxxffN ∈= est une norme sur l’espace

vectoriel des applications linéaires continues sur E, appelée norme subordonnée aux

normes de E et de F.

Démonstration :

• 0)( =fN si et seulement si 0)()1,0( =∈∀FEf xfBx , donc si Fxf 0)( = .

Or )1,0(1

0 Ef

E

E Bxx

Ex ∈−∈∀ , donc F

E

E xx

fEx 01

0 =

−∈∀ .

Donc F

E

E xfx

Ex 0)(1

0 =−∈∀ , donc Fxf 0)( = . Et FEf 0)0( = , donc 0=f .

• )1,0(/)(Sup)1,0(/)(Sup)( EfFEfFBxxfBxxffN ∈λ=∈λ=λ .

Or )()()1,0( fNxfBxFEf ≤∈∀ , donc )()( fNfNK λ≤λ∈λ∀ .

Donc )(11

0 fNfNK λλ

≤

λ

λ−∈λ∀ , donc )()( fNfN λ≤λ .

Donc )()( fNfNK λ=λ∈λ∀ car c’est aussi vérifié pour 0=λ .

• )1,0(/)()(Sup)( EfFBxxgxfgfN ∈+=+ .

Or FFF

xgxfxgxfEx )()()()( +≤+∈∀ .

Donc )()()()()1,0( gNfNxgxfBxFEf +≤+∈∀ . Donc )()()( gNfNgfN +≤+ .

Donc, c’est bien une norme.

Propriété : Si f et g sont linéaires et continues : )()()( fNgNfgN ≤o .

En effet : )()()1,0( fNxfBxFEf ≤∈∀ , donc 1)(

)(

1)1,0( ≤∈∀

F

Ef xffN

Bx .

Donc )1,0()()(

1)1,0( FfEf Bxf

fNBx ∈∈∀ , donc )()(

)(

1gNxf

fNg

G

≤

.

Donc : )()())(()1,0( fNgNxfgBxGEf ≤∈∀ o . Donc )()()( fNgNfgN ≤o .

IV - Topologie

Dans ce paragraphe, E est un espace vectoriel muni d’une norme notée .

1) Parties ouvertes

Par analogie avec les propriétés des boules, on définit la notion d’« ouvert ».

Définition : Une partie D de E est ouverte si =D ou si pour tout Dx ∈ , il existe

une boule ouverte de centre x contenue dans D (D voisinage de chacun de ses points).

C’est-à-dire : =D ou : DxBDx ⊂ε+∞∈ε∃∈∀ ),([,0] .

Exemples :

• et E sont des parties ouvertes de E.

• Les boules ouvertes sont des parties ouvertes de E, mais pas les boules fermées.

Propriétés :

a) La réunion d’un nombre fini ou infini de parties ouvertes est une partie ouverte.

b) L’intersection d’un nombre fini de parties ouvertes est une partie ouverte.



Démonstration :

a) Soit IiiD ∈)( une famille d’ouverts de E et UIi

iDD

∈

= . Si =D , alors D est un

ouvert. Sinon, soit Dx ∈ . Donc il existe Ii ∈ tel que iDx ∈ . Comme iD est un

ouvert de E, il existe un réel 0>ε tel que iDxB ⊂ε),( . Or DDi ⊂ . Donc

DxB ⊂ε),( . Donc D est un ouvert.

b) Soit niiD ≤≤1)( une famille d’ouverts de E et In

i

iDD

1=

= . Soit Dx ∈ . Donc pour

tout TP ni ,1∈ , on a iDx ∈ . Comme, pour tout TP ni ,1∈ , iD est un ouvert de E, il

existe un réel 0>εi tel que ii DxB ⊂ε ),( . Donc DxBn

i

i ⊂ε=

I1

),( . Or on a vu que

),(),(1

ε=ε=

xBxBn

i

iI si ),...,Min( 1 nεε=ε . Comme les iε sont en nombre fini, ε

est l’un des iε et donc 0>ε . Donc DxB ⊂ε),( . Donc D est un ouvert.

Remarque : Par contre, dans le cas d’une intersection d’un nombre infini d’ouverts,

le minimum ε ne serait pas forcément atteint et on pourrait avoir 0=ε . Donc une

intersection d’un nombre infini d’ouverts n’est pas forcément un ouvert.

Théorème : Si 1D , ..., pD sont des parties ouvertes des espaces vectoriels normés

),( 11 NE , ..., ),( pp NE , alors pDDD ××= ...1 est une partie ouverte de pEEE ××= ...1


Démonstration : Soit Dx ∈ . Donc ),...,( 1 pxxx = et kk Dxpk ∈∈∀ TP ,1 .

Or les kD sont des ouverts. Donc kkkk DrxBrpk ⊂>∃∈∀ ),(0,1 TP .

Soit kpkrr

≤≤=

1Min et soit ),( rxBy ∈ . Donc rxyN <− )( . Or )(Max)(

1kkk

pkxyNxyN −=−

≤≤.

Donc ),...,( 1 pyyy = et kkkk rrxyNpk ≤<−∈∀ )(,1 TP , donc kk Dy ∈ . Donc Dy ∈ .

Donc DrxB ⊂),( . Donc D est un ouvert de E.

Théorème : Si f est continue sur E, l’image réciproque d’un ouvert de F est un ouvert de E.

Démonstration : Soit D un ouvert de F et )(1 DfA −= . Si =A , c’est un ouvert.

Si ≠A , soit Aa ∈ . Donc Daf ∈)( . Or D est un ouvert, donc DafB ⊂ε>ε∃ )),((0 .

Or f est continue en a. Donc : ε≤−⇒α≤−∈∀>α∃FE

afxfaxEx )()(0 .

Donc : )),(()(),( ε∈α∈∀ afBxfaBx , donc Dxf ∈)( . Donc AaB ⊂α),( .

Donc dans les deux cas, )(1 DfA −= est un ouvert.

Remarque : C’est faux pour l’image directe. Par exemple si xxf =)( , [1,0[[)1,1(] =−f .

2) Parties fermées

Les boules fermées ne sont pas des parties ouvertes de E. Par contre, si D est le

complémentaire d’une boule fermée ),( raB f , c’est-à-dire si raxExD >−∈= / ,

on peut montrer que D est une partie ouverte.

En effet, pour tout Dx ∈ on peut poser ][2

1rax −−=ε (donc 0> ).

Alors : ε+−<−+−≤−ε∈∀ ayyxayaxxBy ),( .

Donc ε−−≥− axay . Or : ε+=− 2rax . Donc : rray >ε+≥− . Donc

Dy ∈ . Donc DxBDx ⊂ε+∞∈ε∃∈∀ ),([,0] .

Donc D est une partie ouverte de E.

On en déduit une généralisation de la notion de « fermé ».



Définition : Une partie D de E est fermée si son complémentaire DE − est une partie

ouverte de E.

Exemples :

Les boules fermées sont des parties fermées de E.

et E sont des parties à la fois ouvertes et fermées de E.

Propriétés :

a) La réunion d’un nombre fini de parties fermées est une partie fermée.

b) L’intersection d’un nombre fini ou infini de parties fermées est une partie fermée.

Ces propriétés sont des conséquences évidentes de celles des ouverts par passage au

complémentaire.

Théorème : Si 1D , ..., pD sont des parties fermées des espaces vectoriels normés

),( 11 NE , ..., ),( pp NE , alors pDDD ××= ...1 est une partie fermée de pEEE ××= ...1


Démonstration : Soit ),...,( 1 pxxx = . Alors : kk DxpkDx ∉∈∃⇔∉ TP ,1 .

Donc Up

k

pkkk EEDCEEDC1

111 ...)(...)(=

+− ××××××= .

Donc le complémentaire de D est une réunion de produits d’ouverts de E.

Donc le complémentaire de D est un ouvert de E. Donc D est un fermé de E.

Théorème : Si f est continue sur E, l’image réciproque d’un fermé de F est un fermé de E.

Démonstration : Soit D un fermé de F. Donc son complémentaire )(DC est un ouvert

de F. Or f est continue sur E, donc )]([1 DCf − est un ouvert de E.

Or )]([)]([ 11 DfCDCf −− = . Donc )(1 DfA −= est un fermé de E.

Remarque : C’est faux pour l’image directe. Par exemple, est un fermé puisque son

complémentaire est ouvert, et si 1

)(2

2

+=

x

xxf , [1,0[)( =f qui n’est pas fermé.

Caractérisation séquentielle : Une partie A de E est fermée si et seulement si toute suite

convergente d’éléments de A a sa limite dans A.

Démonstration :

⇒ Soit A une partie fermée de E et )( nx une suite d’éléments de A qui converge vers

E∈l . On raisonne par l’absurde : supposons que A∉l .

Donc l appartient au complémentaire de A qui est un ouvert. Donc il existe une boule

),( rB l contenue dans ce complémentaire, donc qui ne contient aucun élément de A,

donc aucun élément de la suite.

Or : ε≤−≥∀∈∃>ε∀ lnxnnn 000 , donc ),( ε∈ lBxn .

On aboutit à une contradiction pour r=ε . Donc A∈l .

⇐ Soit A une partie de E telle que toute suite convergente d’éléments de A ait sa

limite dans A. On raisonne par l’absurde : supposons que A ne soit pas fermé.

Donc le complémentaire de A n’est pas ouvert.

Donc il existe Aa ∉ tel que ≠∩ε>ε∀ AaB ),(0 .

Donc

+∈∈∃∈∀

1

1,n

aBxAxn nn , donc 1

1

+≤−

naxn

.

Donc la suite )( nx vérifie : ε≤−≥∀∈∃>ε∀ axnnn n000 .

Donc on a construit une suite d’éléments de A qui converge vers Aa ∉ .

On aboutit à une contradiction. Donc A est un fermé.

3) Adhérence d’une partie

Définition : Un point a est adhérent à une partie ≠A si ≠∩>∀ AraBr ),(0 .

L’adhérence A d’une partie A est l’ensemble des points adhérents à A. Catherine LAIDEBEURE - 2013


Exemple : ),(),( raBraB f= .

Propriétés :

1. Aa ∈ si et seulement si il existe une suite d’éléments de A qui converge vers a.

2. Aa ∈ si et seulement si 0),( =Aad .

Démonstration 1 :

⇒ Mêmes arguments que pour les fermés. Soit Aa ∈ .

Donc ≠∩>∀ AraBr ),(0 .

Donc

+∈∈∃∈∀

1

1,n

aBxAxn nn , donc 1

1

+≤−

naxn

.

Donc ε≤−≥∀∈∃>ε∀ axnnn n000 . La suite converge vers a.

⇐ Soit Ea ∈ tel qu’il existe une suite )( nx d’éléments de A qui converge vers a.

Donc : ε≤−≥∀∈∃>ε∀ axnnn n000 , donc AaBxn ∩ε∈ ),( .

Donc ≠∩ε>ε∀ AaB ),(0 . Donc Aa ∈ .

Démonstration 2 :

⇒ Soit Aa ∈ . Donc il existe une suite )( nx d’éléments de A qui converge vers a.

Donc ε≤−≥∀∈∃>ε∀ axnnn n000 . Donc 0/Inf =∈− naxn .

Or Anaxn ⊂∈− / , donc ∈−≤≤ naxAad n /Inf),(0 . Donc 0),( =Aad .

⇐ Supposons que 0),( =Aad , donc ε≤−∈∃>ε∀ axAx0 .

Donc 1

1

+≤−∈∃∈∀

naxAxn nn . Donc la suite )( nx converge vers a. Donc Aa ∈ .

Propriété : A est le plus petit fermé contenant A.

Conséquence : A est un fermé si et seulement si AA = .

Démonstration :

AraBarAa ∩∈>∀∈∀ ),(0 , donc ≠∩ AraB ),( , donc Aa ∈ . Donc AA ⊂ .

Montrons que A est un fermé, en montrant que son complémentaire )(AC est un

ouvert. Soit )(ACa ∈ , donc Aa ∉ , donc =∩>∃ AraBr ),(0 .

Soit ),( raBx ∈ . Il existe 0>ε tel que ),(),( raBxB ⊂ε , donc =∩ε AxB ),( .

Donc AxraBx ∉∈∀ ),( . Donc )(),( ACraB ⊂ .

Donc )(AC est un ouvert et A est un fermé.

Soit F un fermé contenant A. Donc toute suite convergente d’éléments de F a sa limite

dans F, donc toute suite convergente d’éléments de A a sa limite dans F. Or sa limite

appartient à A . Donc FA ⊂ .

Donc A est le plus petit fermé contenant A.

Conséquence évidente car A sera le plus petit fermé contenant A.

A est l’intersection de tous les fermés contenant A.

Propriétés :

1. BABA ⊂⇒⊂ .

2. BABA ∩⊂∩ et BABA ∪=∪ .

Démonstration 1 : On suppose BA ⊂ et Aa ∈ . Donc il existe une suite d’éléments de

A (donc de B) qui converge vers a. Donc Ba ∈ . Donc BA ⊂ .

Démonstration 2 :

• AA ⊂ et BB ⊂ , donc BA ∩ est un fermé qui contient BA ∩ . Donc BABA ∩⊂∩ .

• AA ⊂ et BB ⊂ , donc BA ∪ est un fermé qui contient BA ∪ . Donc BABA ∪⊂∪ .

De plus BAA ∪⊂ et BAB ∪⊂ , donc BAA ∪⊂ et BAB ∪⊂ .

Donc BABA ∪⊂∪ . Catherine LAIDEBEURE - 2013


Définition : Une partie A est dense dans E si EA = .

Cela revient à dire que tout élément de E est limite d’une suite d’éléments de A.

Exemple : est dense dans .

Théorème : Si deux fonctions f et g continues sur E coïncident sur une partie A dense

de E, alors elles sont égales.

Démonstration : Pour tout Ea ∈ , il existe une suite )( nx d’éléments de A qui converge

vers a car EA = . Donc par continuité : )()(lim afxf nn

=+∞→

et )()(lim agxg nn

=+∞→

.

Or )()( nn xgxfn =∈∀ car Axn ∈ . Donc par unicité de la limite : )()( agaf = .

Par exemple, il suffit de démontrer l’égalité sur de deux fonctions continues pour avoir

l’égalité sur .

Définition : Un point a est valeur d’adhérence d’une suite )( nx s’il existe une suite

extraite de )( nx qui converge vers a.

Cela revient à dire que a appartient à l’adhérence de ∈= nxA n / .

Toute suite convergente possède une seule valeur d’adhérence : sa limite.

Donc si une suite possède deux valeurs d’adhérence distinctes, elle diverge.

4) Intérieur d’une partie

Définition : Un point a est intérieur à une partie ≠A si AraBr ⊂>∃ ),(0 .

L’intérieur o

A d’une partie A est l’ensemble des points intérieurs à A.

Exemple : 48476 o

f raBraB ),(),( = .

Propriété : o

A est le plus grand ouvert contenu dans A.

Conséquence : A est un ouvert si et seulement si AAo

= .

Démonstration : AraBrAao

⊂>∃∈∀ ),(0 , donc Aa ∈ . Donc AAo

⊂ .

Soit Ω un ouvert contenu dans A. Donc AraBra ⊂Ω⊂>∃Ω∈∀ ),(0 . Donc o

A⊂Ω .

Montrons que o

A est un ouvert. Soit o

Aa ∈ , donc AraBr ⊂>∃ ),(0 . Or ),( raB est

un ouvert, donc o

AraB ⊂),( . Donc o

A est un ouvert.

Donc o

A est le plus grand ouvert contenu dans A.

Conséquence évidente car A sera le plus grand ouvert contenu dans A. o

A est la réunion de tous les ouverts contenus dans A.

Propriétés :

1. oo

BABA ⊂⇒⊂ .

2. oo

o

BABA ∩=∩876

et 876o

oo

BABA ∪⊂∪ .

3. )()( ACAC

o

=876

et )()(o

ACAC = . (complémentaires)

Démonstration 1 : Si BA ⊂ , tous les ouverts contenus dans A sont contenus dans B.

En particulier o

A est un ouvert contenu dans B. Donc oo

BA ⊂ .

Démonstration 2 :

• ABA ⊂∩ et BBA ⊂∩ , donc o

o

ABA ⊂∩876

et o

o

BBA ⊂∩876

, donc oo

o

BABA ∩⊂∩876

.

De plus AAo

⊂ et BAo

⊂ , donc oo

BA∩ est un ouvert contenu dans BA ∩ .



Donc 876o

oo

BABA ∩⊂∩ . Donc oo

o

BABA ∩=∩876

.

• BAA ∪⊂ et BAB ∪⊂ , donc 876o

o

BAA ∪⊂ et 876o

o

BAB ∪⊂ , donc 876o

oo

BABA ∪⊂∪ .

Démonstration 3 :

• 876o

ACa )(∈ si et seulement si )(),(0 ACraBr ⊂>∃ , donc ssi =∩>∃ AraBr ),(0 ,

donc ssi Aa ∉ . Donc )()( ACAC

o

=876

.

• )(ACa ∈ si et seulement si ≠∩>∀ )(),(0 ACraBr , donc ssi

AraBr ⊄>∀ ),(0 , donc ssi o

Aa ∉ . Donc )()(o

ACAC = .

5) Frontière d’une partie

Définition : La frontière d’une partie ≠A est o

AAA −=)Fr( .

Exemple : Si ),( raBA = , raxExA =−∈= /)Fr( .

Propriétés : )Fr(A est un fermé et )](Fr[)Fr( ACA = .

En effet : )()()Fr( ACAACAAAAoo

∩=∩=−= .

Donc c’est une intersection de deux fermés, donc un fermé. Et )](Fr[)Fr( ACA = .

6) Parties compactes

Définition : Une partie A de E est compacte si toute suite d’éléments de A admet au

moins une valeur d’adhérence dans A, c’est-à-dire qu’il existe une suite extraite qui

converge dans A.

Exemple : ],[ ba est une partie compacte de , mais n’est pas compact car de la

suite de terme général nxn = , on ne peut pas extraire une suite convergente. En effet,

toute suite extraite est de la forme )( )(nxϕ avec ϕ strictement croissante de dans

donc : nnn ≥ϕ∈∀ )( .

Propriétés :

a) L’intersection d’un nombre fini ou infini de parties compactes est une partie compacte.

b) La réunion d’un nombre fini de parties compactes est une partie compacte.

Démonstration :

a) Soit IiiA ∈)( une famille de parties compactes de E et IIi

iAA∈

= .

Soit )( nx une suite d’éléments de A, donc de iA pour tout Ii ∈ .

Or pour tout Ii ∈ , iA est compacte, donc il existe une suite extraite )( )(nixϕ qui

converge vers ii A∈l . Les applications iϕ sont strictement croissantes de dans

, donc : nnn i ≥ϕ∈∀ )( .

Donc pour tout ∈n , l’ensemble Iini ∈ϕ /)( est une partie non vide de

minorée par n, donc possède un plus petit élément )(nϕ .

)1()( +ϕ<ϕ∈∀∈∀ nnnIi ii , donc )1()( +ϕ<ϕ nn .

Donc ϕ est une application strictement croissante de dans .

Donc la suite )( )(nxϕ est extraite des suites convergentes )( )(nixϕ , donc est

convergente. Soit l sa limite.

De plus, pour tout Ii ∈ , elle a même limite que )( )(nixϕ . Donc : ll =∈∀ iIi .

Donc : iAIi ∈∈∀ l . Donc A∈l . Donc on a construit une suite extraite de )( nx

qui converge dans A. Donc A est compacte.



b) Soit 1A , ..., kA une famille finie de parties compactes de E et Uk

i

iAA1=

= .

Soit )( nx une suite d’éléments de A. Donc ninn AxIin ∈∈∃∈∀ .

Comme les iA sont en nombre fini, il existe au moins un entier Ii ∈ tel que

ini AxnK ∈∈= / soit infini. En renumérotant de manière strictement

croissante les éléments de la suite qui appartiennent à iA , on construit une suite

extraite de )( nx dont tous les éléments sont dans le compact iA , donc dans A.

Donc de cette suite extraite, on peut extraire une suite qui converge dans iA , donc

dans A. Donc A est un compact.

Remarque : C’est faux pour une réunion d’une infinité de compacts. Par exemple

les intervalles ],[ nn− sont des parties compactes de . mais leur réunion qui est

égale à n’est pas compact.

Théorème : Si 1D , ..., pD sont des parties compactes des espaces vectoriels normés

),( 11 NE , ..., ),( pp NE , alors pDDD ××= ...1 est une partie compacte de pEEE ××= ...1


Démonstration : Soit )( nx une suite d’éléments de D. Donc ),...,( )()1( p

nnn xxxn =∈∀ .

)( )1(

nx est une suite d’éléments de 1D . Or 1D est compacte dans ),( 11 NE .

Donc on peut extraire une sous-suite )()1(

)(1 nxϕ qui converge vers 11 D∈l .

La suite )( )(1 nxϕ est extraite de )( nx .

)()2(

)(1 nxϕ est une suite d’éléments de 2D . Or 2D est compacte dans ),( 22 NE .

Donc on peut extraire une sous-suite )()2(

)(2 nxϕ qui converge vers 22 D∈l .

Et la suite )()1(

)(2 nxϕ est extraite de )()1(

)(1 nxϕ , donc converge vers 11 D∈l .

Et ainsi de suite jusqu’à p. On obtient une suite )( )(nxϕ extraite de )( nx dont toutes les

composantes )()(

)(

k

nxϕ sont convergentes vers kk D∈l .

Soit ),...,( 1 plll = , donc D∈l . Et : )(Max)( )(

)(1

)( k

k

nkpk

n xNxNn ll −=−∈∀ ϕ≤≤

ϕ .

Comme pour tout k, on a k

k

nn

x l=ϕ+∞→

)(

)(lim , alors l=ϕ+∞→

)(lim nn

x .

On a extrait une sous-suite qui converge vers D. Donc D est compacte.

Théorème : Toute partie compacte de E est fermée et bornée.

Démonstration : Soit A une partie compacte de E.

Soit )( nx une suite convergente d’éléments de A. Sa limite l est l’unique valeur

d’adhérence de la suite. Donc toute suite extraite converge vers l . Or A est compacte,

donc A∈l . Donc A est une partie fermée de E.

Supposons que A ne soit pas bornée. Donc : nxAxn nn >∈∃∈∀ .

On a ainsi construit une suite d’éléments de A. Or A est compacte. Donc il existe une

suite extraite )( )(nxϕ qui converge dans A.

ϕ est une application strictement croissante de dans , donc : nnn ≥ϕ∈∀ )( .

Donc nxn n >∈∀ ϕ )( . Contradiction car toute suite convergente est bornée.

Donc la partie A est bornée.

Théorème : En dimension finie, une partie de E est compacte si et seulement si elle est

fermée et bornée.

Démonstration : Il s’agit de montrer la réciproque.

• La propriété est vraie dans : tout segment ],[ ba est compact ( ba < ) car de

toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente dans ],[ ba . Catherine LAIDEBEURE - 2013


• On peut considérer comme produit 2 muni de la norme produit

),Max()( yxiyxN =+ . Soit une partie A fermée et bornée de .

Soit )( nz une suite d’éléments de A, donc bornée. Donc les suites )( nx et )( ny des

parties réelles et imaginaires sont bornées, donc on peut extraire des sous-suites

)( )(nxϕ et )( )(nyψ convergentes. Donc la suite )( )(nz ϕψo est une suite extraite de

)( nz et convergente. Et comme A est fermée, elle converge dans A.

Donc A est une partie compacte de .

• Soit E un espace vectoriel de dimension p sur =K ou =K de base ),...,( 1 pee .

On le munit de la norme knk

xxxN≤≤∞∞ ==

1Max)( si ∑

=

=p

k

kk exx1

.

Soit A une partie fermée et bornée de E. Et soit )( nx une suite d’éléments de E.

Pour tout n, on note : ∑=

=p

k

k

k

n exx1

)(. Donc les suites )( )(k

nx sont des suites bornées

de K. On peut donc en extraire des sous-suites convergentes.

Donc, comme pour le produit de compacts, on peut construire une suite )( )(nxϕ

extraite de )( nx dont toutes les composantes )()(

)(

k

nxϕ sont convergentes. Donc la

suite )( )(nxϕ est convergente. Or A est fermée, donc elle converge dans A.

Donc A est un compact.

Théorème : Si f est une application continue d’un espace vectoriel normé E dans un

espace vectoriel normé F et si A est un compact de E, alors )(Af est un compact de F.

Démonstration : Soit )( ny une suite d’éléments de )(Af .

Donc )( nnn xfyAxn =∈∃∈∀ . Or A est un compact, donc on peut extraire de

la suite )( nx une sous-suite )( )(nxϕ convergente dans A. Soit A∈l sa limite.

Or f est continue donc la suite )( )(nxϕ converge vers )(lf qui appartient à )(Af .

Donc )(Af est un compact de F.

Corollaire : Si f est une application continue d’un espace vectoriel normé E dans et

si A est un compact de E, alors f est bornée sur A et atteint ses bornes.

Démonstration : En effet, )(Af est un compact de , donc )(Af est fermé et borné.

Donc f est bornée. Donc )(Af est une partie non vide de majorée et minorée.

Donc )(Af admet une borne inférieure et une borne supérieure.

)(Inf Afm = , donc ε+≤≤∈∃>ε∀ mxmAfx )(0 .

Donc en particulier : 1

1)(

++≤≤∈∃∈∀

nmxmAfxn nn .

Donc il existe une suite d’éléments de )(Af qui converge vers m. Donc )(Afm ∈ .

Un raisonnement analogue montre que )(AfM ∈ .

Or )(Af est fermé. Donc )(Afm ∈ et )(AfM ∈ . Donc f atteint ses bornes.

Théorème : Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont

équivalentes.

Démonstration : Soit E un espace vectoriel de dimension p sur =K ou =K de

base ),...,( 1 pee . On le munit de la norme knk

xxxN≤≤∞∞ ==

1Max)( si ∑

=

=p

k

kk exx1

.

Soit N une autre norme sur E. Alors : ∑=

≤∈∀p

k

kk exNxNEx1

)()( .



Donc : ∑∑=

∞=

≤≤∈∀p

k

k

p

k

kk eNxNeNxxNEx11

)()()()( . Soit ∑=

=p

k

keNb1

)( .

Donc N est b-lipschitzienne car )()(),( 2 xbNxNEyx ∞≤∈∀ , donc continue sur E.

La partie 1)(/ =∈= ∞ xNExA est bornée par construction et fermée car image

réciproque du fermé 1 de par l’application continue ∞N .

Donc c’est un compact de E. Donc N est bornée sur A : bxNaAx ≤≤<∈∀ )(0 .

Or pour tout Ex 0≠ , le vecteur xxN )(

1

∞

appartient à A.

Donc bxxN

NaEx E ≤

≤−∈∀

∞ )(

10 , donc b

xN

xNa ≤≤

∞ )(

)(.

donc )()()( xbNxNxaNEx ∞∞ ≤≤∈∀ car c’est aussi vrai pour E0 .

Donc les normes sont équivalentes.

7) Parties complètes

Définition : Une suite de Cauchy est une suite qui vérifie :

ε≤−≥∀≥∀∈∃>ε∀ qp xxnqnpn 0000 .

Exemples : Les suites convergentes.

Propriétés :

- Toute suite de Cauchy est bornée.

- Toute suite de Cauchy qui a au moins une valeur d’adhérence l converge vers l .

- Toute suite de Cauchy qui possède une suite extraite convergente est convergente.

Remarque : Les deux dernières propriétés sont équivalentes.

Démonstration :

• Si )( nx est de Cauchy, pour 1=ε : 1000 ≤−≥∀≥∀∈∃ qp xxnqnpn .

Donc 100 ≤−≥∀ nn xxnn , donc 0/ nnxn ≥ est bornée, et 0/ nnxn < est

une partie finie, donc bornée. Donc la suite est bornée.

• Si )( nx est de Cauchy : 2

0 000

ε≤−≥∀≥∀∈∃>ε∀ qp xxnqnpn .

Si )( nx possède une valeur d’adhérence l , il existe une suite )( )(nxϕ extraite qui

converge vers l : 2

0 )(11

ε≤−≥∀∈∃>ε∀ ϕ lnxnnn .

Or : ll −+−≤−∈∀ ϕϕ )()( nnnn xxxxn et nn ≥ϕ )( ( ϕ strictement croissante).

Donc : ε≤−≥∀=∃>ε∀ lnxnnnnMaxn 2102 ),(0 . Donc l=+∞→

nn

xlim .

On a vu que toute suite convergente est de Cauchy, mais la réciproque est fausse.

Définition : Une partie A d’un espace vectoriel normé est complète si toute suite de

Cauchy d’éléments de A est convergente dans A.

Un espace vectoriel normé E est complet si toute suite de Cauchy converge.

Exemple : On a montré que dans , de toute suite bornée on peut extraire une suite

convergente. Or toute suite de Cauchy est bornée, donc de toute suite de Cauchy de

réels on peut extraire une suite convergente. Donc est un espace vectoriel normé

complet et tout segment ],[ ba de est une partie complète de .

Théorème : Toute partie complète d’un espace vectoriel normé E est fermée.

Démonstration : Soit A une partie complète de E et Aa ∈ .

Donc il existe une suite )( nx d’éléments de A qui converge vers a. Cette suite

convergente est une suite de Cauchy de A. Donc elle converge dans A. Donc Aa ∈ .

Donc AA = . Donc A est une partie fermée de E. Catherine LAIDEBEURE - 2013


Théorème : Si E est un espace vectoriel normé complet, toute partie fermée de E est complète.

Démonstration : Soit E un espace vectoriel normé complet et A une partie fermée de E.

Soit une suite de Cauchy )( nx d’éléments de A (donc de E). Elle converge vers Ea ∈

car E est complet. Donc a est valeur d’adhérence de la suite, donc Aa ∈ .

Or A est fermé, donc Aa ∈ . Donc toute suite de Cauchy de A converge dans A.

Donc A est une partie complète de E.

Théorème : et sont des espaces vectoriels normés complets.

Démonstration : On l’a déjà vu pour .

Soit )( nz une suite de Cauchy de : ε≤−≥∀≥∀∈∃>ε∀ qp zznqnpn 0000 .

Or, si )Re( nn zx = et )Im( nn zy = : qpqp zzxx −≤− et qpqp zzyy −≤− .

Donc les suites )( nx et )( ny sont des suites de Cauchy réelles, donc convergentes.

Soit nn

xa+∞→

= lim et nn

yb+∞→

= lim . Or : 22 )()()( byaxibaz nnn −+−=+− .

Donc la suite )( nz converge vers iba + .

Théorème : Tout espace vectoriel normé de dimension finie sur ou est complet.

Démonstration : Soit E un espace vectoriel normé de dimension r de base ),...,( 1 ree .

Soit )( nx une suite de Cauchy et : ∑=

=∈∀r

k

k

k

nn exxn1

)( .

E est de dimension finie, donc toutes les normes sont équivalentes. Choisissons par

exemple dans E la norme ∑=

==n

k

kxxxN1

1 )( .

Donc qp

k

p

k

p xxxxrk −≤−∈∀ )()(,1 TP . Donc, pour tout TP rk ,1∈ , les suites )( )(k

nx

sont des suites de Cauchy d’éléments de ou , donc convergentes.

Soit pour tout TP rk ,1∈ , )(lim k

nn

k xa+∞→

= et ∑=

=r

k

kk eaa1

.

Or : ∑=

−=−∈∀r

k

k

k

nn axaxn1

)( . Donc la suite )( nx converge vers a.


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